3.3 幂函数
基础过关练
题组一 幂函数的概念及其图象
1.现有下列函数:①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x,其中幂函数的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知f(x)是定义在R上的幂函数,则f(0)-f(1)=( )
A.0 B.-1 C.1 D.不确定
3.如图所示,给出了四个幂函数的图象,它们所对应的函数分别是( )
A.①y=,②y=x2,③y=,④y=x-1
B.①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1
C.①y=x2,②y=x3,③y=,④y=x-1
D.①y=x3,②y=,③y=x2,④y=x-1
4.(多选题)已知幂函数f(x)满足f()=5,则( )
A. f(x)=x3
B. f(x)=x2
C. f(x)的图象经过原点
D. f(x)的图象不经过第二象限
5.已知幂函数f(x)=k·xa的图象过点,则f的值为 .
题组二 幂函数的性质及其应用
6.已知函数f(x)=(m2-2m-2)是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增,则实数m=( )
A.3 B.-1 C.1 D.3或-1
7.幂函数f(x)=xα的图象过点(9,3),那么函数f(x)的单调递增区间是( )
A.(-2,+∞) B.[-1,+∞)
C.[0,+∞) D.(-∞,-2)
8.已知幂函数f(x)的图象过点(2,8),若f(2a+3)+f(-3)>0,则a的取值范围为( )
A.(2,+∞) B.(1,+∞)
C.(0,+∞) D.(-1,+∞)
9.(多选题)下列关于幂函数y=xα(α为常数)的描述正确的有( )
A.幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)
B.幂函数的图象不可能过第四象限
C.当α=-1,,3时,幂函数y=xα是奇函数
D.当α=,3时,幂函数y=xα是增函数
10.已知幂函数f(x)=(m2+4m+4)xm+2在(0,+∞)上单调递减,若(2a-1)-m<(a+3)-m,则a的取值范围为 .
11.(教材习题改编)比较大小: .(填“>”“<”或“=”)
12.已知幂函数f(x)=(m2-7m+13)x-m-1(m∈R)为偶函数.
(1)求f 的值;
(2)若f(2a+1)=f(a),求实数a的值.
能力提升练
题组一 幂函数的概念及其图象
1.幂函数y=xm与y=xn的部分图象如图所示,则( )
A.-1
C.-11 D.n<-1,m>1
2.(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过A(0,0),B(1,1),C(-1,-1),D(4,2)中的三个点,则f(3)的值可能为(注:=)( )
A. B. C.3 D.9
3.常用符号[x]表示不超过x的最大整数,如[1.4]=1,已知函数f(x)=x-[x]与g(x)=k的图象在区间[1,5]上恰好有三个不同的交点,则k的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
题组二 幂函数的性质及其应用
4.(多选题)已知幂函数f(x)=(m2-3)xn(m,n∈R),则下列说法正确的是( )
A.若n=m-1,则f(x)在(0,+∞)上单调递减
B.若n=m+1,则f(x)是奇函数
C.函数y=2f(x-1)+1过定点(2,1)
D.若n=-3,则f(5)+f(-4)<0
5.若点(m,81)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上,则函数g(x)=+的值域是( )
A.[0,] B.[1,]
C.[,2] D.[2,3]
6.(多选题)已知幂函数y=f(x)的图象经过点(9,3),则下列结论正确的有( )
A. f(x)为偶函数
B. f(x)在定义域内为增函数
C.若x>1,则f(x)>1
D.若x2>x1>0,则f>
7.已知幂函数f(x)=xm-3(m∈N*)的图象关于y轴对称,且f(x)在(0,+∞)上单调递减,则满足f(a+1-m)8.(教材内容拓展)+的最小值为 .
9.已知幂函数y=f(x)的图象过点,设函数g(x)=x-f(x).
(1)求函数f(x)的解析式、定义域,并判断此函数的奇偶性;
(2)研究函数g(x)的单调性,画出g(x)的大致图象,并求其值域.
答案与分层梯度式解析
3.3 幂函数
基础过关练
1.B 2.B 3.B 4.ACD 6.A 7.C 8.C 9.BD
1.B 根据幂函数的概念,可得①⑤为幂函数,②③④不符合幂函数的基本形式.故选B.
2.B 设f(x)=xα,∵幂函数f(x)=xα的定义域是R,∴f(0)=0, f(1)=1,因此f(0)-f(1)=-1.故选B.
3.B 结合选项与所给图象分析:因为y=与y=x3的定义域为R且为奇函数,在第一象限内,y=x3的图象下凸,y=的图象上凸,故y=x3的图象应为①;二次函数y=x2的图象开口向上,且顶点为原点,应为②;y=的定义域为[0,+∞)且为增函数,其图象应为③;y=x-1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递减,其图象应为④.故选B.
4.ACD 设幂函数f(x)=xa,
根据f()=5可得5=()a,
解得a=3,则f(x)=x3,故f(x)的图象经过原点,不经过第二象限.故选ACD.
5.答案
解析 由幂函数的定义得k=1,将代入f(x)=xa,得=,从而a=,则幂函数f(x)==,
∴f==.
6.A 因为函数f(x)=(m2-2m-2)是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增,
所以解得m=3.故选A.
7.C 幂函数f(x)=xα的图象过点(9,3),因为=3,所以f(x)=,
它的单调递增区间是[0,+∞).故选C.
8.C 设f(x)=xα(α为常数),
∵幂函数f(x)的图象过点(2,8),∴2α=8,解得α=3,∴f(x)=x3,
∵f(x)=x3在R上单调递增,且为奇函数,
∴由f(2a+3)+f(-3)>0,可得f(2a+3)>f(3),
∴2a+3>3,解得a>0,
即a的取值范围为(0,+∞).故选C.
9.BD 幂函数 y=xα的图象都过点(1,1),当 α≤0时,图象不经过点(0,0),故A错误;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且当x>0时,y=xα>0(α∈R),所以幂函数的图象不可能出现在第四象限内,故B正确;当幂指数α=时,幂函数y=是非奇非偶函数,故C错误;当幂指数α=,3时,幂函数y=xα是增函数,故D正确.
10.答案 (-∞,4)
解析 由题意可知解得m=-3,
∴不等式(2a-1)-m<(a+3)-m即为(2a-1)3<(a+3)3,
∵函数y=x3在R上单调递增,∴2a-111.答案 >
解析 因为函数y=在(0,+∞)上单调递减,故>3..
12.解析 (1)由题意知m2-7m+13=1,解得m=4或m=3,
当m=4时, f(x)=x-5,为奇函数,不满足题意;
当m=3时, f(x)=x-4,满足题意,
∴f(x)=x-4,∴f ==16.
(2)由f(x)=x-4和f(2a+1)=f(a)可得|2a+1|=|a|,即2a+1=a或2a+1=-a,
∴a=-1或a=-.
能力提升练
1.B 2.BC 3.B 4.BD 5.B 6.BCD
1.B 由题图可知,y=xm在[0,+∞)上单调递增,y=xn在(0,+∞)上单调递减,则m>0,n<0.当x>1时,y=xm的图象在直线y=x的下方,y=xn的图象在y=x-1的图象的下方,则m<1,n<-1.
综上可知,n<-1,02.BC 设f(x)=xα,α为常数,由幂函数的性质可知f(x)的图象必定经过点B.
若f(x)的图象经过A,B,C三点,则α>0,由f(-1)=(-1)α=-1,得α为正奇数或分子、分母均为奇数的正分数,又f(3)=3α,=3-1,=,3=31,9=32,
所以α=1, f(x)=x,则f(3)=3;
若f(x)的图象经过A,B,D三点,由f(4)=4α=2,得α=,则f(x)=,此时f(3)=;
由D(4,2)知α=,则C(-1,-1)必不在函数图象上,故f(x)的图象不可能同时经过B,C,D三点.
故选BC.
3.B 由题意得f(x)=作出y=f(x)与y=g(x)在[1,5]上的图象,如图:
由图可知,若函数f(x)=x-[x]与g(x)=k的图象在区间[1,5]上恰好有三个不同的交点,
则k>0,且解得≤k<.故选B.
4.BD 因为f(x)=(m2-3)xn为幂函数,
所以m2-3=1,解得m=2或m=-2.
对于A,当m=2时,n=1,此时f(x)=x,易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,A错误;
对于B,由题意得f(x)=x3或f(x)=x-1,均为奇函数,B正确;
对于C,因为幂函数f(x)的图象恒过点(1,1),所以y=2f(x-1)+1=2(x-1)n+1的图象恒过点(2,3),C错误;
对于D,若n=-3,则f(x)=,
所以f(5)+f(-4)=5-3+(-4)-3=5-3-4-3<0,D正确.故选BD.
5.B ∵点(m,81)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上,
∴解得
∴函数g(x)=+=+,
∴∴3≤x≤4,
[g(x)]2=1+2=1+2,
因为x∈[3,4],所以-x2+7x-12∈,
所以[g(x)]2∈[1,2],
所以函数g(x)的值域为[1,].
故选B.
6.BCD 设f(x)=xα,将(9,3)代入,得3=9α,则α=,∴f(x)=.
对于A,易知f(x)的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,∴f(x)不具有奇偶性,因此A错误;
对于B,∵>0,∴函数f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,因此B正确;
对于C,当x>1时,>1,即f(x)>1,因此C正确;
对于D,因为f(x)=,所以f(x)≥0,若x2>x1>0,
则-
=-
=-=
=-<0,即因此D正确.故选BCD.
小题巧解 对于D,可画出f(x)=的图象,并连接点(x1, f(x1))与点(x2, f(x2)),由所得线段的中点位于曲线y=f(x)下方,可得7.答案 ∪(1,2)
解析 由f(x)在(0,+∞)上单调递减,得m-3<0,解得m<3,又m∈N*,所以m=1或m=2,
当m=2时, f(x)=x-1,为奇函数,且图象关于原点对称,不符合题意,
当m=1时, f(x)=x-2,为偶函数,且图象关于y轴对称,符合题意.
故f(a+1-m)由于f(x)为偶函数,所以f(|a|)又f(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以|a|>|2-2a|>0,解得因此实数a的取值范围是∪(1,2).
8.答案
解析 设t=,t≥,则+=t+,t∈[,+∞),令y=t+,t∈[,+∞),
易知函数y=t+在[,+∞)上单调递增,所以当t=时,ymin=,故+的最小值为.
9.解析 (1)设f(x)=xα.
因为函数f(x)=xα的图象过点,
所以3α===,因此α=-,所以f(x)=.
易得函数f(x)的定义域为(0,+∞).
显然,函数f(x)的定义域不关于原点对称,
所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)由(1)知,g(x)=x-=x-,x∈(0,+∞).
x1,x2∈(0,+∞),且x1则g(x1)-g(x2)=-
=(x1-x2)-=(x1-x2)+
=(-)(+)+
=(-),
因为x2>x1>0,所以-<0,+>0,>0,
所以g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)因此函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,易知g(1)=0,
画出函数g(x)的大致图象,如图所示:
由图象知函数g(x)的值域为R.
7(共11张PPT)
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
3.3 幂函数
知识点 1 幂函数的概念
知识 清单破
五个幂函数的性质
知识点 2
幂函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
图象
定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,
+∞)
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,
+∞)
单调性 增函数 在[0,+∞)上 单调递增, 在(-∞,0]上 单调递减 增函数 增函数 在(0,+∞)上
单调递减,
在(-∞,0)上单
调递减
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
共同点 图象都经过点(1,1) 知识辨析
1.哪个象限一定有幂函数的图象 哪个象限一定没有幂函数的图象
2.当n<0时,幂函数y=xn是不是定义域上的减函数
3.若幂函数y=xα在(-∞,0)上有意义,能否确定此幂函数一定具有奇偶性
4.幂函数的图象是否一定与坐标轴相交 若相交,交点是不是定点
一语破的
1.第一象限;第四象限.
2.不一定.如函数y=x-1在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数.
3.能.幂函数图象在第一、三象限时,函数为奇函数;幂函数图象在第一、二象限时,函数为偶
函数.
4.不一定;是.只有当α>0时,幂函数y=xα的图象才与坐标轴相交.若相交,交点是原点,为定点.
定点 1 幂函数的图象
关键能力 定点破
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)在第一象限内,根据幂函数的图象确定幂指数α的范围,依据图象高低判断幂指数的大小,
相关结论如下:
①当α>0时,幂函数在区间[0,+∞)上单调递增,且图象过原点.在第一象限内,当α>1时,幂函数
的图象下凸;当α=1时,幂函数的图象为直线y=x在第一象限内的部分;当0<α<1时,幂函数的图
象上凸.
当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上单调递减,且函数在原点处无意义.
当α=0时,y=x0=1(x≠0)的图象为不包括点(0,1)且平行于x轴的直线.
②如图,作出直线x=a(a>1),它同各幂函数的图象相交,按交点从下到上的顺序,幂指数α依次增大.
(2)利用幂函数的定义域、奇偶性及其在第一象限内的图象可确定它在其他象限内的图象.
典例 已知点( ,2)与点 分别在幂函数f(x),g(x)的图象上,分别求x的值或取值范围,使
f(x)>g(x);f(x)=g(x);f(x)解析 设f(x)=xα,g(x)=xβ.
由题意得( )α=2,(-2)β=- ,
所以α=2,β=-1,
所以f(x)=x2,g(x)=x-1.
在同一平面直角坐标系中作出它们的图象,如图所示.
由图可知,当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时, f(x)>g(x);当x=1时, f(x)=g(x);当x∈(0,1)时, f(x)运用幂函数的性质解决相关问题
幂函数y=xα中只有一个参数α,幂函数的所有性质都与α的取值有关,故可由α确定幂函数
的定义域、值域、单调性、奇偶性.反过来,也可由幂函数的性质去限制α的取值:利用幂函
数的单调性求出α的取值范围;由奇偶性结合所给条件确定α的值.
定点 2
典例 (1)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)·x-2m-1在(0,+∞)上单调递增,求f(x)的解析式;
(2)若(k+1)-1<(3-2k)-1,求实数k的取值范围.
解析 (1)因为f(x)是幂函数,
所以m2-m-1=1,
解得m=-1或m=2.
又f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以-2m-1>0,即m<- ,
所以m=-1,所以f(x)=x.
(2)易知y=x-1在区间(-∞,0),(0,+∞)上均单调递减.
分三种情况讨论:
①当k+1<0<3-2k,即k<-1时,
易知原不等式恒成立;
②当k+1<0且3-2k<0时,k∈ ;
③当k+1>0且3-2k>0,
即-1由题意得k+1>3-2k,
即k> ,
所以 综上,k的取值范围是(-∞,-1)∪ .