(共12张PPT)
已知函数类型的应用问题,常用待定系数法求出函数解析式,再用函数知识解决问题.
3.4 函数的应用(一)
知识点 1 已知函数类型解决函数应用问题
知识 清单破
未知函数类型解决函数应用问题
利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行:(1)审题;(2)建模;
(3)求模;(4)还原.
知识点 2
知识辨析
1.在实际问题中,若自变量的取值不同,自变量与函数值间的对应关系不同,如何确定函数模
型
2.运用函数模型解决实际问题时,如何确定函数的定义域
一语破的
1.需构建分段函数模型.
2.函数的定义域不仅要使解析式有意义,还要使自变量以及用自变量表示的所有量都满足实
际意义.
定点 1 建立函数模型解决实际应用问题
关键能力 定点破
在实际应用问题中,若涉及的两个变量之间的关系符合已知函数模型,如一次函数模
型、二次函数模型、反比例函数模型、幂函数模型等,则可根据以下步骤解决:
(1)根据题意设出函数解析式,并利用待定系数法求解函数解析式;
(2)根据函数解析式,结合题中需要研究的函数的性质解决实际问题.
典例 某个体经营者试销A,B两种商品,他把开始六个月的逐月投资金额与所获纯利润进行了
统计并制成下表(单位:万元):
投资金额x 1 2 3 4 5 6
A种商品所 获纯利润y1 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
B种商品所 获纯利润y2 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
该个体经营者准备在下月投入12万元经营这两种商品,请你帮忙制订一个资金投入方案,使
该个体经营者获得最大纯利润,并按你的方案求出该个体经营者下月可获得的最大纯利润
(结果保留两位有效数字).
解析 在平面直角坐标系中,以投资金额为横坐标,所获纯利润为纵坐标,根据题表中数据画
出散点图,如图所示.
由散点图可以看出,A种商品所获纯利润y1(万元)与投资金额x(万元)之间的变化规律可以用
二次函数模型拟合.
取最高点(4,2),设y1=a(x-4)2+2(a≠0),把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,
所以y1=-0.15(x-4)2+2.
B种商品所获纯利润y2(万元)与投资金额x(万元)之间的变化规律可以用一次函数模型进行拟合.
设y2=kx+b(k≠0),
将点(1,0.25)和(4,1)代入,得 解得 所以y2=0.25x.
设下月A,B两种商品的投资金额(万元)分别为xA,xB,获得的纯利润(万元)分别为yA,yB,总利润为
W(万元),则xA+xB=12,0
所以W=yA+yB=-0.15(xA-4)2+2+0.25xB,
所以W=- + (0当xA= ≈3.2时,W取得最大值,最大值为 ≈4.1,此时xB=8.8,
即该个体经营者下月把12万元中的3.2万元投入A种商品,8.8万元投入B种商品时,可获得最大
纯利润,最大纯利润约为4.1万元.
利用分段函数解决实际应用问题
1.在一些实际问题中,函数值与自变量的对应关系随着自变量取值的不同而不同,如:分段计
费、分段税率等问题,解决此类问题常需构造分段函数模型,利用分段函数解决问题.
2.利用分段函数解决实际问题时,先在自变量的每段取值范围中解决相应的问题,再综合各段
的结论,得到问题的最终解.
定点 2
典例 国庆节期间,某商场进行如下的优惠促销活动:
优惠一:一次购买商品的价格每满60元立减5元;
优惠二:在优惠一之后,每满400元再减40元.
例如,一次购买商品的价格为140元,则实际支付额为140-5× =140-5×2=130(元),其中[x]
表示不大于x的最大整数.又如,一次购买商品的价格为880元,则实际支付额为880-5× -40×2
=730(元).
(1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品,他是分两次支付好,还是一
次性支付好 请说明理由;
(2)已知某商品是小明常用必需品,其价格为30元/件.小明趁商场促销,想多购买几件该商品,
且预算不超过500元,则他应购买多少件该商品,才能使其平均价格最低 最低平均价格是多少
解析 (1)分两次支付:支付额为250-5× +650-5× -40=230+600-40=790(元);
一次性支付:支付额为900-5× -40×2=745(元).
因为745<790,所以一次性支付好.
(2)设购买x(x∈N*)件,平均价格为y元/件.
由于预算不超过500元,所以最多购买19件.
易知当1≤x≤14时,不能享受优惠二,
y= =30- ×
=
=
又27.5+ >27.5,所以当购买偶数件时,平均价格最低,为27.5元/件.
当15≤x≤19时,能享受优惠二,
y= =30- × -
=
=
若x为偶数,则x=16时,ymin=25.
若x为奇数,则x=15时,ymin=25.
因为27.5>25,所以购买15件或16件该商品,才能使其平均价格最低,最低平均价格为25元/件.3.4 函数的应用(一)
基础过关练
题组一 一次函数、二次函数模型及其应用
1.以速度v(单位:m/s)从地面竖直向上发射子弹,经过时间t(单位:s)后的子弹高度h(单位:m)可由二次函数h=vt-4.9t2确定.已知发射后第5 s末时的子弹高度为245 m,则子弹在245 m以上的高度能持续( )
A.10 s B.长于5 s短于10 s
C.长于10 s D.5 s
2.某批发市场一服装店试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于成本的40%.经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)近似满足一次函数y=kx+b,且x=80时,y=40,x=70时,y=50,则这个一次函数的解析式为 ,x的取值范围是 .
3.一个服装厂生产风衣,月销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系式为p=160-2x,生产x件风衣的成本R(元)与x之间的关系式为R=500+30x.
(1)当月产量为多少时,月利润不少于1 300元
(2)当月产量为多少时,可获得最大利润 最大利润是多少
题组二 分段函数模型及其应用
4.(多选题)某公司计划定制一批精美小礼品,准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾,现有两个工厂可供选择,甲厂费用分为设计费和加工费两部分,先收取固定的设计费,再按礼品数量收取加工费,乙厂直接按礼品数量收取加工费,甲厂的总费用y1(千元),乙厂的总费用y2(千元)与礼品数量x(千个)的函数关系图象分别如图中甲、乙所示,则( )
A.甲厂的总费用y1与礼品数量x之间的函数关系式为y1=x+1
B.当礼品数量不超过2千个时,乙厂的加工费为1.5元/个
C.当礼品数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与礼品数量x之间的函数关系式为y2=x+
D.若该公司需定制的礼品数量为6千个,则该公司选择乙厂更节省费用
5.如图,点P从点A处出发,按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周,O为正三角形ABC的中心,设点P走过的路程为x,△OAP的面积为f(x),则函数f(x)的图象大致为( )
6.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表:
每户每月用水量 水价
不超过12 m3 3元/m3
超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3
超过18 m3的部分 9元/m3
(1)设每户每月用水量为x m3时,应交纳的水费为y元,写出y关于x的函数关系式;
(2)甲同学家本月用水20 m3,则应交纳的水费为多少元
(3)若乙同学家本月交纳的水费为54元,则其本月用水量是多少m3
题组三 幂函数等其他函数模型及其应用
7.某服装加工厂为了适应市场需求,引进某种新设备,以提高生产效率和降低生产成本.已知购买m台设备的总成本为f(m)=m2+m+200(单位:万元),若要使每台设备的平均成本最低,则应购买设备 ( )
A.100台 B.200台 C.300台 D.400台
8.某公司一年购买某种货物800吨,每次购买x吨,运费为8万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .
9.某公司研发的A,B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元,现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产A芯片的毛收入y1(千万元)与投入资金x(千万元)成正比,已知每投入1千万元,公司获得毛收入0.25千万元;生产B芯片的毛收入y2(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系为y2=kxa(x>0),其图象如图所示.
(1)试分别求出生产A,B两种芯片的毛收入y1,y2与投入资金x的函数关系式;
(2)如果公司只生产一种芯片,那么生产哪种芯片的毛收入更大
(3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A,B两种芯片,求分别对A,B两种芯片投入多少资金时,可以获得最大净利润,并求出最大净利润.(净利润=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研发耗费资金)
能力提升练
题组一 非分段函数模型及其应用
1.已知超市内某商品的日销售量y(单位:件)与当日销售单价x(单位:元)满足关系式y=-2x+100,其中10A.1 500元 B.1 200元 C.1 000元 D.800元
2.(多选题)设矩形ABCD(AB>BC)的周长为定值2a,把△ABC沿AC向△ADC折叠,AB折过去后交DC于点P,如图,则下列说法正确的是( )
A.矩形ABCD的面积有最大值
B.△APD的周长为定值
C.△APD的面积有最大值
D.线段PC的长有最大值
3.近年来,共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投入资金200万元,每座城市都至少要投入资金70万元,由前期市场调研可知,在甲城市投入资金a万元时,甲城市的收益P(单位:万元)满足P=2-8,乙城市的收益Q(单位:万元)满足Q=53-.
(1)当在甲城市投入资金125万元时,求该公司的总收益;
(2)当分别在甲、乙两座城市投入多少资金时,总收益最大
4.某企业开发、生产了一款新型节能环保产品,对市场需求调研后,决定提高产品的产量,投入90万元安装了一台新设备,并立即进行生产,预计使用该设备前n(n∈N*)年的材料费、维修费、人工工资等共万元,每年的销售收入为55万元,设使用该设备前n年的总盈利额为f(n)万元.
(1)写出f(n)关于n的函数关系式,并计算该设备从第几年开始使企业盈利;
(2)使用若干年后,对该设备的处理方案有两种:
方案一:当总盈利额达到最大值时,该设备以10万元的价格处理;
方案二:当年平均盈利额达到最大值时,该设备以50万元的价格处理.
问选择哪种处理方案更合适 请说明理由.
题组二 分段函数模型及其应用
5.济南市地铁项目正在如火如荼地进行中,通车后将给市民出行带来便利,已知某条线路通车后,列车的发车时间间隔t(单位:分钟)满足2≤t≤20,经市场调研测算,列车的载客量p(t)(单位:人)与发车时间间隔t相关,当10≤t≤20时,列车为满载状态,载客量为500人,当2≤t<10时,载客量会减少,减少的人数与(10-t)2成正比,且当t=2时,载客量为372人.
(1)求p(t)的表达式,并求当列车的发车时间间隔为5分钟时,列车的载客量;
(2)若该线路每分钟的净收益(单位:元)为Q(t)=-60,则当列车的发车时间间隔为多少时,该线路每分钟的净收益最大 并求出最大值.
6.电动出租车司机小李到商场里充电,充电费由电费和服务费两部分组成,即充电费=(电费+服务费)×度数,商场采用按时间分不同时段的方式计算费用,11:00—13:00时电费是0.50元/度,服务费为0.35元/度,13:00—15:00时电费为1.15元/度,服务费为0.20元/度,假定在充电时电量是均匀输入的,车主小李充电30度需要60分钟.
(1)小李从12:40开始到充电30度需要多少充电费
(2)若小李在某春运期间第x天的收入g(x)(元)近似地满足g(x)=165-|30-x|,1≤x≤40,x∈N*,第x天的充电费f(x)(元)近似地满足f(x)=35+x,1≤x≤40,x∈N*,记盈利比=,则哪天的盈利比最大
答案与分层梯度式解析
3.4 函数的应用(一)
基础过关练
1.D 4.ABC 5.A 7.B
1.D 由题意知,当t=5时,h=245,即5v-4.9×52=245,解得v=73.5,所以h=73.5t-4.9t2,该二次函数图象的对称轴方程为t=-=7.5,所以子弹在245 m以上的高度能持续2×(7.5-5)=5(s).故选D.
2.答案 y=-x+120;[60,84]
解析 根据题意,得解得
∴一次函数的解析式为y=-x+120.
由题意可得60≤x≤60(1+40%),∴60≤x≤84,即x的取值范围为[60,84].
3.解析 (1)设该厂的月利润为y元,由题意得y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500,
由y≥1 300得-2x2+130x-500≥1 300,
∴x2-65x+900≤0,即(x-20)(x-45)≤0,解得20≤x≤45,∴当x∈[20,45]时,月利润不少于1 300元.
(2)由(1)知y=-2x2+130x-500=-2(x-32.5)2+1 612.5.
∵x为正整数,∴当x=32或x=33时,y取得最大值,为1 612,
∴当月产量为32件或33件时,可获得最大利润,为1 612元.
4.ABC 由题图可知甲厂的总费用y1(千元)与礼品数量x(千个)满足的函数为一次函数,且图象过(0,1),(8,5)两点,
所以甲厂的总费用y1(千元)与礼品数量x(千个)满足的函数关系式为y1=x+1,因此A正确;
当礼品数量不超过2千个时,乙厂的总费用y2(千元)与礼品数量x(千个)之间的函数关系式为y2=x,
所以乙厂的加工费为=1.5元/个,因此B正确;
易知当x≥2时,y2与x之间的函数为一次函数,且图象过点(2,3),(8,5),
所以函数关系式为y2=x+,因此C正确;
当x=6时,y1=×6+1=4,y2=×6+=,因为y15.A 由三角形的面积公式知,
当0≤x≤a时, f(x)=·x··a=ax,因此f(x)在[0,a]上的图象为直线的一部分,故排除B;
当a6.解析 (1)当0≤x≤12时,y=3x;
当12当x>18时,y=12×3+6×6+(x-18)×9=9x-90,
所以y=
(2)因为20∈(18,+∞),所以当x=20时,y=9×20-90=90,所以应交纳的水费为90元.
(3)令3x=54,解得x=18,不满足0≤x≤12,舍去;
令6x-36=54,解得x=15,满足12令9x-90=54,解得x=16,不满足x>18,舍去.
综上所述,x=15,所以乙同学家本月用水量是15 m3.
7.B 由题意得=m+1+≥2+1=3,当且仅当=,即m=200时,等号成立,所以应购买200台,才能使得每台设备的平均成本最低.故选B.
8.答案 40
解析 由题意可设一年的总运费与总存储费用之和为y万元,
则y=×8+4x=+4x,0∴y=+4x≥2=320,当且仅当=4x,即x=40时,等号成立,
∴当x=40时,一年的总运费与总存储费用之和最小.
9.解析 (1)由题意可设y1=ax(x>0),由已知得当x=1时,y1=0.25,故a=,即y1=(x>0).
将(1,1),(4,2)代入y2=kxa,
得∴∴y2=(x>0).
(2)令=,得x=16;令>,得x>16;
令<,得0∴当投入资金大于16千万元时,生产A芯片的毛收入更大;当投入资金等于16千万元时,生产A,B两种芯片的毛收入相等;当投入资金小于16千万元时,生产B芯片的毛收入更大.
(3)设净利润为f(x)千万元,对B芯片投入x千万元资金,则对A芯片投入(40-x)千万元资金,故f(x)=+-2=-(-2)2+9,故当=2,即x=4时, f(x)max=9,此时40-x=36,所以分别对A,B两种芯片投入36千万元和4千万元资金时,所获净利润最大,最大净利润为9千万元.
能力提升练
1.C 根据条件,将x=15,y=110代入y=-2x+100,得a=200,
设该商品的日利润为g(x)元,
则g(x)=(x-10)=-2x2+120x-800
=-2(x-30)2+1 000,其中10所以当x=30时,该商品的日利润取得最大值,且最大值为1 000元.故选C.
2.BC 设AB=x,则BC=a-x,
因为AB>BC>0,所以x>a-x>0,即a矩形ABCD的面积S=x(a-x)≤=,当且仅当x=a时取等号,根据题意可知等号成立的条件取不到,A错误;
根据折叠的性质可知,△APD≌△CPB1,所以△APD的周长为AP+PD+DA=AP+PB1+DA=AB+DA=a,B正确;
设DP=m,则AP=PC=x-m,因为DP2+DA2=AP2,
所以m2+(a-x)2=(x-m)2,化简得m=a-,
所以△APD的面积S=(a-x)=-·≤a2,
当且仅当x=a时取等号,此时S取得最大值,C正确;
由上述分析可知PC=x+-a,根据对勾函数的单调性可知,PC在x∈内取不到最大值,D错误.故选BC.
3.解析 (1)由已知得总收益为2-8+53-=63.75(万元).
(2)设总收益为f(a)万元,则f(a)=2-8+53-=-a+2+45,
依题意得解得70≤a≤130.
所以f(a)=-a+2+45(70≤a≤130).
令t=,则t∈[,],
所以y=-t2+2t+45,t∈[,],
因为该二次函数的图象开口向下,且对称轴方程为t=4,而4∈[,],
所以当t=4,即a=80时,y取得最大值,为65,
所以当在甲城市投入资金80万元,在乙城市投入资金120万元时,总收益最大,且最大总收益为65万元.
4.解析 (1)由题意得, f(n)=55n-90-=-n2+50n-90.
令f(n)>0,得-n2+50n-90>0,即n2-20n+36<0,
解得2由于n∈N*,故该设备从第3年开始使企业盈利.
(2)方案一:f(n)=-(n-10)2+160,易知当n=10时, f(n)max=160,
故使用方案一处理设备后的总利润为160+10=170(万元),此时n=10.
方案二: =50-≤50-×2=20,当且仅当n=,即n=6时,等号成立,
故使用方案二处理设备后的总利润为6×20+50=170(万元),此时n=6.
比较两种方案,可知获利都是170万元,但由于第一种方案需要10年,而第二种方案需要6年,故选择第二种方案更合适.
5.解析 (1)当2≤t<10时,设p(t)=500-k(10-t)2(k≠0),
又当t=2时,载客量为372人,
∴p(2)=500-k(10-2)2=372,解得k=2.
∴p(t)=
故当t=5时,p(5)=300+40×5-2×52=450,
所以当发车时间间隔为5分钟时,列车的载客量为450人.
(2)由(1)知Q(t)=
当2≤t<10时,Q(t)≤260-2=132,当且仅当16t=,即t=4时,等号成立,
∴当2≤t<10时,Q(t)max=Q(4)=132;
当10≤t≤20时,Q(t)单调递减,则Q(t)max=Q(10)=74.4.
综上,当列车的发车时间间隔为4分钟时,该线路每分钟的净收益最大,为132元.
6.解析 (1)∵车主小李充电30度需要60分钟,即2分钟充1度电,
∴小李在12:40—13:00时充电10度,此时费用为0.85×10=8.5(元),
在13:00—13:40时充电20度,此时费用为20×1.35=27(元),
因此总充电费为8.5+27=35.5(元).
(2)g(x)=165-|30-x|=
∴g(x)在x∈[30,40],x∈N*上单调递减,
又f(x)=35+x在x∈[30,40],x∈N*上单调递增,
∴盈利比的最大值不可能在[30,40]上取到.
当x∈[1,30],x∈N*时,盈利比===2+,∴当x=1时,盈利比取到最大值,为.
7