单元整合练　函数性质的综合运用

单元整合练　函数性质的综合运用
1.已知函数f(x+2)是偶函数,当x1,x2∈[2,+∞)时,[f(x1)-f(x2)]·(x1-x2)<0恒成立,设a=f(1),b=f,c=f,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.c2.定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(-1)=0,则关于x的不等式xf(x)<0的解集为(　　)
A.(-1,0)∪(0,1)　　　　B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)　　　　D.(-1,0)∪(1,+∞)
3.(多选题)已知函数f(x)=是奇函数,则下列选项正确的有(　　)
A.b=0　　　　
B. f(x)在区间(1,+∞)上单调递减
C. f(x)的最小值为-　　　　
D. f(x)的最大值为2
4.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数, f(-2x+1)为奇函数,则(　　)
A. f(-1)=0　　　　B. f(2)=0　　
C. f(4)=0　　　　D. f=0
5.数学用语中,max{a,b}表示a,b中较大的数.已知函数f(x)=max{x2+4x,x2-4x},若f(2-a)>f(2a),则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　　B.　　
C.　　　　D.
6.已知函数f(x)和g(x)的定义域均为R,且y=f(1+x)为偶函数,y=g(x+1)+1为奇函数, x∈R,均有f(x)+g(x)=x2+3,则f(4)g(4)=(　　)
A.66　　B.70　　C.74　　D.78
7.已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)的图象关于直线x=1对称,给出下列说法:①f(x+4)=f(x);②f(22)=3;③f(x)图象的一条对称轴为直线x=6;④f(1)+f(2)+…+f(23)=0.其中正确的个数是(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
8.(多选题)设函数f(x)=min{|x-2|,x2,|x+2|},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者,下列说法正确的有(　　)
A.函数f(x)为偶函数
B.当x∈[1,+∞)时,有f(x-2)≤f(x)
C.当x∈R时, f(f(x))≤f(x)
D.当x∈[-4,4]时, f(x-2)≥f(x)
9.(多选题)设奇函数f(x)的定义域为R,且满足①f(x)=f(2-x);②当x∈[2,3]时, f(x)=2-x,则下列说法正确的是(　　)
A. f(x)的图象存在对称轴
B. f(7)=-1
C.当x∈[-5,-4]时, f(x)=x+4
D.方程5f(x)=x+2有4个实数根
10.高斯函数是数学中的一个重要函数,在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设x∈R,用符号[x]表示不大于x的最大整数,如[1.6]=1,[-1.6]=-2,函数f(x)=[x]叫做高斯函数.给出下列关于高斯函数的说法:
①f(-3)=-3;
②若f(a)=f(b),则|a-b|<1;
③函数y=f(x)-x的值域是[-1,0);
④函数y=xf(x)在[1,+∞)上单调递增.
其中所有正确说法的序号是　　　　　　.
11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若对于任意给定的实数x1,x2,且x1≠x2,不等式x1 f(x1)+x2 f(x2)12.定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=3-,则f(2 023)=　　　　.
13.已知函数h(x)=x2+bx+c是偶函数,且h(-1)=0, f(x)=.
(1)当x∈[1,2]时,求函数f(x)的值域;
(2)设F(x)=x2+-2af(x),x∈[1,2],a∈R,求函数F(x)的最小值g(a).
14.已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R).
(1)若f(4)=0,当x∈[2,5]时,求f(x)的值域;
(2)讨论函数f(x)的奇偶性;
(3)设实数m≥1,若不等式m-2≤f(x)对任意的x∈[1,3]恒成立,求实数m的取值范围.
15.已知函数f(x)=(a,b∈R)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断f(x)的单调性,并利用定义证明你的结论;
(3)设函数g(x)=f(x-1)+2,若存在x1,x2∈,使得g(mx1)+g()-5f(x2)>0成立,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
单元整合练　函数性质的综合运用
1.C 2.A 3.ABC 4.A 5.D 6.B 7.B 8.ABC
9.ABC
1.C　因为当x1,x2∈[2,+∞)时,[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0恒成立,所以f(x)在[2,+∞)上单调递减,
又函数f(x+2)是偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,
因此a=f(1)=f(3),c=f=f,
由函数f(x)在[2,+∞)上单调递减,
得f>f(3)>f,即f>f(1)>f,所以b>a>c.故选C.
2.A　因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(0)=0, f(1)=-f(-1)=0,
可画出其大致图象,如图所示,
因为xf(x)<0,
所以当x>0时, f(x)<0,解得0当x<0时, f(x)>0,解得-1当x=0时,显然不合题意,
所以不等式xf(x)<0的解集为(-1,0)∪(0,1),故选A.
3.ABC　对于A,因为函数f(x)=是奇函数,所以f(-x)+f(x)=+=-=0,所以b=0,A正确;
对于B,由A中结论可得f(x)=,任取x1,x2∈(1,+∞),且x1>x2,
则f(x1)-f(x2)=-==,
由于x1>x2>1,所以x2-x1<0,x1x2-1>0,故有f(x1)-f(x2)<0,
则函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,B正确;
对于C,D,任取x3,x4∈(0,1),且x3由于00,x3x4-1<0,故有f(x3)-f(x4)<0,则函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,
又f(x)为奇函数,所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,又当x>0时, f(x)>0,当x<0时, f(x)<0,
所以f(x)的最大值为f(1)=,最小值为f(-1)=-,因此C正确,D错误.故选ABC.
4.A　∵f(x)的定义域为R, f(x+2)为偶函数,∴f(2-x)=f(2+x),可得f(-x)=f(4+x)①,
∵f(-2x+1)为奇函数,∴f(1)=0(奇函数的特殊值),且-f(-2x+1)=f(2x+1),
令2x=t,则-f(-t+1)=f(t+1),则-f(-t)=f(t+2),即f(-x)=-f(2+x)②,
由①②得f(2+x)=-f(4+x),∴f(x)=-f(2+x),
∵f(1)=0,∴f(-1)=-f(2+(-1))=-f(1)=0,
∴A正确,B,C,D无法判断.故选A.
5.D　因为f(x)=max{x2+4x,x2-4x}=所以f(x)=
易知f(x)为偶函数,
当x≥0时, f(x)=x2+4x,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当x<0时, f(x)=x2-4x,则f(x)在(-∞,0)上单调递减,
所以由f(2-a)>f(2a)可得|2-a|>|2a|,
则(2-a)2>(2a)2,则(3a-2)(a+2)<0,解得-2故选D.
6.B　由y=f(1+x)为偶函数,得f(1+x)=f(1-x),
所以f(x)的图象关于直线x=1对称,
又y=g(x+1)+1为奇函数,所以g(x+1)+1=-g(-x+1)-1,所以g(x)的图象关于点(1,-1)对称,
又 x∈R,均有f(x)+g(x)=x2+3,
所以f(-2)+g(-2)=4+3=7,
又f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(-2)=f(4),
又g(x)的图象关于点(1,-1)对称,所以g(-2)=-g(4)-2,所以f(4)-g(4)=f(-2)+g(-2)+2=9,
又f(4)+g(4)=42+3=19,所以f(4)=14,g(4)=5,
所以f(4)g(4)=70.
故选B.
7.B　对于①,由f(x)的定义域为R,且f(x)的图象关于直线x=1对称,得f(-x+1)=f(x+1),即f(2+x)=f(-x),
由f(x)为奇函数,得f(-x)=-f(x),
所以f(x+2)=-f(x),可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故①正确;
对于②,由f(x)为定义在R上的奇函数,可知f(0)=0,
在f(x+2)=-f(x)中,令x=0,得f(2)=-f(0)=0,
所以f(22)=f(2)=0,故②错误;
对于③,因为f(-x+1)=f(x+1),
所以f(2-x)=f(x)=-f(x+2),即f(2-x)+f(x+2)=0,
可知函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,
没有足够条件说明f(x)的图象关于直线x=2对称,
故结合周期性可知f(x)的图象不一定关于直线x=6对称,故③错误;
对于④,由f(x+2)=-f(x),可得f(x)+f(x+2)=0,
令x=1,可得f(1)+f(3)=0,
令x=2,可得f(2)+f(4)=0,
即f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,
因此f(1)+f(2)+…+f(23)=5[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=0,故④正确.
故选B.
名师点睛　函数y=f(x)的定义域为D, x∈D,
(1)存在常数a,b,使得f(x)+f(2a-x)=2b f(a+x)+f(a-x)=2b,则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
(2)存在常数a,使得f(x)=f(2a-x) f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
8.ABC　画出f(x)的图象,如图所示:
对于A选项, f(x)=其定义域关于原点对称,且f(-x)=f(x)恒成立,故选项A正确;
对于B选项,当x≥1时, f(x)=|x-2|, f(x-2)的图象由f(x)的图象向右平移两个单位长度得到,所以f(x-2)≤f(x)恒成立,故选项B正确;
对于C选项,由图知,当x∈R时, f(x)≥0,可令t=f(x),由y=f(t)和y=t(t≥0)的图象知,当t≥0时,y=t的图象在y=f(t)的图象的上方,且两图象在点(0,0),(1,1)处重合,所以当t≥0时,t≥f(t),即f(f(x))≤f(x)成立,故选项C正确;
对于D选项,结合B选项知D选项错误.
故选ABC.
9.ABC　对于A,因为f(x)=f(2-x) f(1+x)=f(1-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确;
对于B,因为f(x)是R上的奇函数,
所以f(x)=-f(-x),
即有f(2-x)=-f(-x) f(2+x)=-f(x),
所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
所以f(7)=f(3+4)=f(3)=2-3=-1,故B正确;
对于C,当x∈[-5,-4]时,2+x∈[-3,-2],
因此-(x+2)∈[2,3],所以f(-(x+2))=2-[-(x+2)]=x+4,即-f(x+2)=x+4,
又因为f(2+x)=-f(x),
所以f(x)=x+4,故C正确;
对于D,方程5f(x)=x+2的解的个数即函数y=f(x)的图象与直线y=+的交点个数,
画出函数y=f(x)与y=+的图象,如图,
由图知y=f(x)的图象与直线y=+有5个交点,故方程5f(x)=x+2有5个实数根,故D错误.
故选ABC.
10.答案　①②④
解析　根据题意得, f(x)=[x]=依次分析4个说法:
对于①,由已知得f(-3)=[-3]=-3,正确;
对于②,若f(a)=f(b),则[a]=[b],必有|a-b|<1,正确;
对于③,当x=3时, f(3)=[3]=3,此时f(3)-3=0,③错误;
对于④,当x≥1时,
y=xf(x)=x·[x]=
易得y=xf(x)在[1,+∞)上单调递增,④正确.故答案为①②④.
11.答案　
解析　不等式x1 f(x1)+x2 f(x2)即x1[f(x1)-f(x2)]即(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,
故函数f(x)在R上单调递减.
又函数f(x)为奇函数,所以f(0)=0,
由(x+1)f(1-2x)<0,
得或解得-1因此不等式的解集是.
12.答案　3-
解析　由f(x+2)=3-,
可得3-f(x+2)=,
则[3-f(x+2)]2=6f(x)-[f(x)]2,
即[f(x+2)]2-6f(x+2)+[f(x)]2-6f(x)+9=0,
令g(x)=[f(x)]2-6f(x),则g(x+2)+g(x)+9=0,
即g(x+2)=-g(x)-9,
则g(x+4)=-g(x+2)-9=-[-g(x)-9]-9=g(x),
所以g(2 023)=g(4×505+3)=g(3),
由f(x)为偶函数,可得g(x)=[f(x)]2-6f(x)为偶函数,
由g(x+2)=-g(x)-9,可得g(1)=-g(-1)-9,
则g(-1)=g(1)=-g(-1)-9,则g(-1)=-,
又g(x+4)=g(x),所以g(3)=g(-1)=-,
则g(2 023)=g(3)=-,
即g(2 023)=[f(2 023)]2-6f(2 023)=-,
解得f(2 023)=3±,
又f(x+2)=3-≤3,
所以f(2 023)≤3,
因此f(2 023)=3-.
13.解析　(1)因为函数h(x)=x2+bx+c是偶函数,所以b=0.
由h(-1)=1+c=0,可得c=-1,则h(x)=x2-1,
故f(x)==x-,
易知f(x)=x-在[1,2]上单调递增,
所以f(x)min=f(1)=0, f(x)max=f(2)=,
故f(x)的值域为.
(2)由(1)可得F(x)=x2+-2a=-2a+2,x∈[1,2],
令m=x-,x∈[1,2],故m∈,
则F(x)=-2a+2,x∈[1,2]可转化为G(m)=m2-2am+2,m∈,易知y=m2-2am+2的图象开口向上,对称轴方程为m=a.
①当a≤0时,G(m)在上单调递增,
故G(m)min=G(0)=2;
②当a∈时,G(m)在[0,a)上单调递减,在上单调递增,
故G(m)min=G(a)=2-a2;
③当a≥时,G(m)在上单调递减,
故G(m)min=G=-3a.
故函数F(x)的最小值g(a)=
14.解析　(1)∵f(4)=4|m-4|=0,∴m=4.
∴f(x)=x|4-x|=
∴f(x)在[2,4]上单调递减,在(4,5]上单调递增,
∴f(x)的最小值为f(4)=0,
又f(2)=4, f(5)=5,
∴f(x)的最大值为5.
∴当x∈[2,5]时, f(x)的值域为[0,5].
(2)当m=0时, f(x)=x|x|,
f(x)的定义域为R,又f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),∴f(x)是奇函数.
当m≠0时, f(x)=x|m-x|, f(-x)=-x|m+x|,
∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),
故f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
综上,当m=0时, f(x)为奇函数,当m≠0时, f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(3)f(x)=
①若1≤m<3,则f(x)=
∴f(x)在[1,3]上的最小值为f(m)=0,
故m-2≤0,解得m≤2,故1≤m≤2.
②若3≤m≤6,则当x∈[1,3]时, f(x)=-x2+mx=+,
此时∈,故f(x)在上单调递增,在上单调递减,故f(x)在[1,3]上的最小值为f(1)=m-1或f(3)=3m-9,
∴解得m≥,∴≤m≤6.
③若m>6,则>3,此时f(x)在[1,3]上单调递增,故f(x)在x=1处取得最小值,为m-1,∴m-2≤m-1,恒成立,故m>6.
综上,m的取值范围是[1,2]∪.
15.解析　(1)由于f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,
所以f(0)=-=0,则b=0,所以f(x)=,
由f(1)==1,得a=1,
所以f(x)=,经检验,符合题意.
(2)f(x)在[-1,1]上单调递增,证明如下:
x1,x2∈[-1,1],且x1则f(x1)-f(x2)=-=,
又-1≤x10,
所以<0,
则f(x1)(3)存在x1,x2∈,使得g(mx1)+g()-5f(x2)>0成立,
即存在x1,x2∈,使得f(mx1-1)+f(-1)-5f(x2)+4>0成立,
即f(mx1-1)+f(-1)>5f(x2)-4(双变量不等式的解决方法是变量分离),
因为f(x)在上单调递增,所以f(x)min=f=(5f(x)-4所以存在x∈,使得f(mx-1)+f(x2-1)>5×-4=0成立,
即存在x∈,使得f(mx-1)>f(1-x2),
即 x∈,使mx-1>1-x2,且-1≤mx-1≤1,
即m>=-x有解,且0≤m≤,x∈,
因为函数y=-x在x∈上单调递减,当x=1时,函数取得最小值1,所以m>1,
m>有解 m>
又y=在上单调递减,所以当x=时,函数取得最大值4,因此0≤m≤4,
m≤有解 m≤
又m>1,所以17