第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.1.1 n次方根与分数指数幂 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
基础过关练
题组一 根式的概念及性质
1.已知x6=6,则x等于( )
A. B. C.- D.±
2.可用分数指数幂表示为( )
A. B. C. D.
3.(易错题)化简:+=( )
A.1 B.-1 C.7-2π D.2π-7
4.下列各式正确的是( )
A.=
B.=3-π
C.=|a|(n>1,n∈N*)
D.()n=a(n>1,n∈N*)
题组二 实数指数幂与根式的运算
5.将×化成分数指数幂的形式是( )
A. B. C. D.
6.计算3π×+(+的值为( )
A.17 B.18 C.6 D.5
7.已知实数a,b>0,则下列选项中正确的是( )
A.= B.·=a
C.=a6b3 D.·=0
8.用有理数指数幂的形式表示= .(其中a>0,b>0)
9.计算:+2+2 0230= .
10.(1)求值:+(0.34)0;
(2)化简:(a>0,b>0).
题组三 指数幂的条件求值问题
11.若+=,则+的值为( )
A. B. C. D.10
12.设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个实数根,则2α·2β= ,(2α)β= .
13.已知-=2,则x2+x-2的值为 .
14.(1)已知10a=2,102b=5,求1的值;
(2)已知a>1,且ax+a-x=3,求的值.
能力提升练
题组一 根式的概念及性质
1.当有意义时,化简-的结果是( )
A.2x-7 B.-2x+1 C.-1 D.7-2x
2.(多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A.-=(-x
B.=(y<0)
C.=(x>0)
D.[=(x>0)
3.(教材习题改编)计算下列各式:
(1);(2)+.
题组二 分数指数幂与根式的运算
4.(易错题)已知a>0,b>0,则=( )
A.ab3 B.b-3 C.ab-3 D.a2b-5
5.计算:-+= .
6.计算下列各式:
(1)(2024吉林省实验中学期中)×+×-;
(2)4·÷.
题组三 指数幂的条件求值问题
7.(多选题)已知a+a-1=4(a>0),则下列选项正确的有( )
A.a2+a-2=14 B.a3+a-3=56
C.+= D.a-a-1=2
8.已知正数x,y满足3x-4=9y,则x+的最小值为 .
9.已知+=3,则的值为 .
10.(1)已知a>0,且a2x=-1,求下列代数式的值:
①(ax+a-x)(ax-a-x);②;③;
(2)已知m>0,n>0,且m≠n,若,是方程x2-5x+3=0的两个根,求的值.
答案与分层梯度式解析
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
基础过关练
1.D 2.D 3.A 4.D 5.A 6.B 7.C 11.B
1.D
2.D 由分数指数幂与根式的互化可知,=.故选D.
3.A +=|π-4|+π-3=4-π+π-3=1.故选A.
4.D =-2,=2,因此A不正确;
=π-3,因此B不正确;
=因此C不正确;
()n=a,n>1,n∈N*,因此D正确.故选D.
5.A ·=×=(22×==.故选A.
6.B 3π×+(+=++1=1+16+1=18.故选B.
7.C 对于选项A,=,A错误;对于选项B,·=,B错误;对于选项C,=a6b3,C正确;对于选项D,·=a0=1,D错误.故选C.
8.答案 a
解析 ∵a>0,b>0,∴===a.
9.答案 12
解析 +2+2 0230=2++1=2+9+1=12.
10.解析 (1)原式=+1=+1=.
(2)原式===·=ab-1.
11.B +=(+)2-2=-2=,故选B.
12.答案 ;
解析 由一元二次方程根与系数的关系,得α+β=-2,αβ=,则2α·2β=2α+β=2-2=,(2α)β=2αβ=.
13.答案 34
解析 ∵-=2,∴(-)2=x+x-1-2=4,∴x+x-1=6,
∴(x+x-1)2=x2+x-2+2=36,∴x2+x-2=34.
14.解析 (1)因为10a=2,102b=5,
所以1=(10a÷102b==.
(2)由题可知(ax+a-x)2=9,故a2x+a-2x=7,
所以==a2x+1+a-2x=8.
能力提升练
1.C 2.CD 4.C 7.AC
1.C 由有意义得x≤1,
则-=-=4-x-(5-x)=-1.
故选C.
2.CD -=-(x≥0),而(-x=(x≤0),因此A错误;=-(y<0),因此B错误;=(x>0),因此C正确;[==(x>0),因此D正确.
故选CD.
3.解析 (1)====3-2.
(2)原式=+y-x=|x-y|+y-x.
当x≥y时,原式=x-y+y-x=0;
当x∴原式=
易错警示 化简时,要考虑n的奇偶性,当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|,此时还要考虑a的符号.
4.C ∵a>0,b>0,∴===ab-3.故选C.
5.答案 -
解析 原式=(2-)-+=2--+=-.
6.解析 (1)原式=×1+×-=+2-=2.
(2)4·÷=4×××=-6a.
7.AC ∵a+a-1=4,∴a2+a-2=(a+a-1)2-2=14,A正确;
a3+a-3=(a+a-1)·(a2+a-2-1)=4×(14-1)=52,B错误;
+===,C正确;
(a-a-1)2=(a+a-1)2-4=12,故a-a-1=±2,D错误.故选AC.
8.答案 12
解析 由3x-4=9y=32y,可得x=2y+4,
又x>0,y>0,∴x+=2y++4≥2+4=12,当且仅当2y=,即y=2时取等号,故x+的最小值为12.
9.答案 65
解析 因为+=3,所以a+a-1=(+)2-2=7,所以a2+a-2=(a+a-1)2-2=47,
因此=
==65.
10.解析 (1)①∵a2x=-1,∴(ax+a-x)(ax-a-x)=a2x-a-2x=-1-=-1-(+1)=-2.
②====
=--1.
③==a2x+a-2x-1=-1+-1=-1++1-1=2-1.
(2)由根与系数的关系得+=5,=3,
所以====m++n=(+)2-=52-3=22.
解题模板 在条件求值中,将结论根据条件进行适当变形,利用整体代入求值.
7(共14张PPT)
1.n次方根
若xn=a(n>1,n∈N*),则x叫做a的n次方根,x=
2.根式
(1)定义:式子 叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
(2)性质(其中n>1,且n∈N*)
4.1 指数
知识点 1 根式
知识 清单破
n为奇数 n为偶数
( )n=a(a∈R) ( )n=a(a≥0)
=a(a∈R) =|a|=
分数指数幂
= , = = (a>0,m,n∈N*,且n>1).
规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
知识点 2
实数指数幂
1.概念:一般地,无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个确定的实数.
2.实数指数幂的运算性质
(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R);
(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R);
(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).
知识点 3
知识拓展 =ar-s(a>0,r,s∈R).
知识辨析
1.( )n= 一定成立吗
2.正数的分数指数幂可能是负数吗
3.实数a的n次方根可能有几个
一语破的
1.不一定成立.( )n与 的意义不同,比如 =( )3=-3, =3,而( )4没有意义,故
( )n= 不一定成立.
2.不可能.正数的分数指数幂总是正数,不可能是负数.
3.当n为大于1的奇数时,实数a的n次方根有1个;当n为大于1的偶数时,正数a的n次方根有2个,0
的n次方根有1个,负数没有偶次方根.
定点 1 根式与分数指数幂的化简、求值
关键能力 定点破
1.运用根式的性质解题时的注意点
(1)分清根式是奇次根式还是偶次根式:
①n>1,且n为奇数时,( )n= =a,a为任意实数;
②n>1,且n为偶数,a≥0时,( )n才有意义,且( )n=a;
③n>1,且n为偶数,a为任意实数时, 均有意义,且 =|a|.
(2)注意变式、整体代换,以及平方差公式、立方差(和)公式、完全平方公式、完全立方公式
的运用,必要时要进行分类讨论.
2.根式与分数指数幂化简、求值的技巧
(1)将根式化为幂的形式,小数指数幂化为分数指数幂,负指数幂化为正指数幂的倒数.
(2)底数是小数的,要先化成分数,底数是带分数的,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式
表示,便于利用指数幂的运算性质.
注意:化简的结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既含有分母又含有负指数.
典例 计算:
(1) + + ;
(2)(2a-3 )(-3a-1b)÷(4a-4 )(a>0,b>0);
(3)0.02 - + -( - )0;
(4) ÷ × (a>0,b>0).
解析 (1)原式=-6+(4- )+ -4=-6.
(2)原式=- a-3-1+4 =- b2.
(3)原式= -(-1)-2× + -1= -49+ -1=-45.
(4)原式= · · = =a.
指数幂的条件求值问题
解决指数幂的条件求值问题的一般方法——整体代换法
(1)将已知条件或所求代数式进行恰当变形,从而通过“整体代换法”求出代数式的值.
(2)常用的变形公式如下:
①a±2 +b=( ± )2;
②( + )( - )=a-b;
③ + =( + )(a- +b);
④ - =( - )(a+ +b).
定点 2
典例 (1)已知 + =4,求值:
①a+a-1;②a2+a-2;③ ;
(2)已知x+y=12,xy=9,求 的值.
思路点拨 分析条件与所求代数式的关系,利用平方关系,结合因式分解求解.
解析 (1)①将 + =4两边平方,得a+a-1+2=16,所以a+a-1=14.
②将a+a-1=14两边平方,
得a2+ +2=196,
所以a2+a-2=194.
③因为 - =( )3-( )3,
所以 =
=a+a-1+1=14+1=15.
(2) = = .
因为x+y=12,xy=9,
所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108,
所以x-y=±6 ,
所以 = =± .
