4.2.2 指数函数的图象和性质
基础过关练
题组一 指数函数的图象特征
1.函数y=ax(a>0且a≠1)与y=-x+a的图象大致是( )
2.函数y=的图象是( )
3.(多选题)若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则下列选项正确的有( )
A.a>1 B.0
0 D.b<0
4.(易错题)(多选题)已知指数函数①f(x)=ax,②g(x)=bx,且满足a>b>0,a≠1,b≠1,则它们的图象可能为( )
5.函数f(x)=ax-2-3(a>0,a≠1)的图象恒过定点 .
6.已知函数f(x)=
(1)求f的值;
(2)画出函数f(x)的图象,根据图象写出函数f(x)的单调区间;
(3)若f(x)≤8,求x的取值范围.
题组二 指数函数的单调性及其应用
7.(教材习题改编)下列关系中,正确的是( )
A.> B.20.1>20.2
C.2-0.1>2-0.2 D.>
8.函数f(x)=-+1在[-1,2]上的最小值是( )
A.1 B. C. D.3
9.若函数f(x)=且满足对任意的实数x1,x2,当x1≠x2时,都有>0成立,则实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8)
10.(教材习题改编)不等式>的解集为 .
11.函数f(x)=的单调递增区间为 .
12.(易错题)若函数y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为,则a的值为 .
13.已知函数f(x)=mx(m>0且m≠1)的图象过点(3,8),g(x)=-k.
(1)求m的值;
(2)记f(x),g(x)在区间[1,2)上的值域分别为集合A,B,若x∈A是x∈B的必要条件,求实数k的取值范围.
题组三 指数函数性质的综合应用
14.若实数a,b满足2 023a+2 024-b<2 023b+2 024-a,则( )
A.>1 B.<1 C.a-b<0 D.a-b>0
15.已知函数F(x)=x3+2x-2-x+5,若F(a)=7,则F(-a)=( )
A.2 B.-7 C.3 D.-3
16.函数F(x)=的值域为 .
17.(教材习题改编)函数f(x)=的单调递增区间为 ;此函数是 (填“奇函数”“偶函数”或“非奇非偶函数”).
18.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=1-2x.
(1)当x<0时,求f(x)的解析式;
(2)求不等式f(x)<1的解集.
19.已知函数f(x)=为奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断f(x)在R上的单调性;
(3)解关于t的不等式: f(t2-2t)+f(2t2-1)<0.
能力提升练
题组一 指数函数的图象及其应用
1.函数f(x)=(2x-2-x)(x4-x2)的图象大致为( )
2.若指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象和函数g(x)=3x+5(x≥-1)的图象相交,则a的取值范围是 .
题组二 指数函数的单调性及其应用
3.设a=90.7,b=270.5,c=,则( )
A.a4.设a=,b=,则下列结论正确的是( )
A.a>b B.2a<2b
C.a2+b2≥2 D.+=2
5.(多选题)对于函数f(x)和f(-x),若两函数在区间[m,n]上的单调性相同,则把区间[m,n]叫做f(x)的“稳定区间”,已知区间[1,2 020]为函数f(x)=的“稳定区间”,则实数a的取值可能是( )
A.- B.- C.0 D.
6.已知函数f(x)=则满足f(x)+f(x-1)>1的x的取值范围是 .
题组三 指数函数性质的综合应用
7.(多选题)已知f(x)=是奇函数,则( )
A.a=1
B. f(x)在(-∞,0)上单调递增
C. f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞)
D. f(3x)>f()的解集为x∈
8.已知函数f(x)=31+|x|-,则使得f(x)9.已知函数f(x)=x-,若不等式t·f(2x)≥2x-1对任意的x∈(0,1]恒成立,则t的取值范围为 .
10.已知函数f(x)=4x-2x+1-3,g(x)=x2-4mx-2m(m≥1),若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数m的取值范围为 .
11.已知函数f(x)=(a2-3a+3)ax为指数函数,函数g(x)=为奇函数.
(1)求f(x),g(x)的解析式;
(2)设函数h(x)(x≠0)满足g(x)[h(x)+2]=2x-2-x,若不等式h(2x)≥kh(x)-18恒成立,求实数k的最大值.
答案与分层梯度式解析
4.2.2 指数函数的图象和性质
基础过关练
1.A 2.D 3.AD 4.AD 7.C 8.C 9.D 14.C
15.C
1.A 直线y=-x+a的斜率为-1,故排除C,D;对于选项A,由函数y=ax的图象知a>1,由y=-x+a的图象知a>1;对于选项B,由函数y=ax的图象知a>1,由y=-x+a的图象知02.D y==
因此,当x≥0时,y=的图象与y=的图象相同;当x<0时,y=的图象与y=2x的图象相同.故选D.
3.AD 当x=0时,y=a0+b-1=b,由函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限及指数函数的性质知,该函数单调递增,其图象与y轴的交点(0,b)在x轴的下方,所以b<0,且a>1.故选AD.
4.AD 当x=1时, f(1)=a,g(1)=b,由a>b>0可知A、D中图象满足.故选AD.
5.答案 (2,-2)
解析 由于函数y=ax的图象恒过定点(0,1),故函数f(x)=ax-2-3(a>0,a≠1)的图象恒过定点(2,-2).
6.解析 (1)由函数f(x)=可得f=+1=, f=f==2.
(2)画出f(x)的图象如图所示:
由图可知, f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).
(3)由f(x)≤8可得或得-7≤x≤3,
故满足f(x)≤8的x的取值范围是[-7,3].
7.C ∵>,∴<,∴A错误;
∵0.1<0.2,∴20.1<20.2,∴B错误;
∵-0.1>-0.2,∴2-0.1>2-0.2,∴C正确;
∵->-,∴<,∴D错误.故选C.
8.C 令=t,由x∈[-1,2]得t∈,故f(x)可转化为g(t)=t2-t+1,t∈,易知g(t)min=g=,即f(x)=-+1在[-1,2]上的最小值是,故选C.
9.D ∵对任意的实数x1,x2,当x1≠x2时,都有>0成立,
∴函数f(x)=在R上单调递增,∴解得4≤a<8,故a的取值范围是[4,8),故选D.
10.答案
解析 ∵>,y=在R上是减函数,∴2x2-1<4-3x,解得-故不等式的解集为.
11.答案
解析 令-x2+x+2≥0,即x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2,所以f(x)的定义域为[-1,2],
令t=-x2+x+2,易知其在上单调递增,在上单调递减,
又y=在[0,+∞)上单调递减,所以f(x)=的单调递增区间为.
12.答案 或
解析 当a>1时,函数y=ax在[1,2]上单调递增,y的最大值为a2,最小值为a,
故有a2-a=,解得a=或a=0(舍去);
当0故有a-a2=,解得a=或a=0(舍去).
综上,a=或a=.
易错警示 解决与指数函数单调性、最大(小)值有关的问题时,要注意底数对单调性的影响,当底数含有参数时,要注意对参数分类讨论.
13.解析 (1)∵f(x)=mx(m>0且m≠1)的图象过点(3,8),∴m3=8,解得m=2.
(2)由(1)得f(x)=2x,当x∈[1,2)时, f(x)的值域为[2,4),即A=[2,4),
当x∈[1,2)时,g(x)的值域为,即B=,
∵x∈A是x∈B的必要条件,∴B A,
∴∴-∴k的取值范围是.
14.C 由2 023a+2 024-b<2 023b+2 024-a,得2 023a-2 024-a<2 023b-2 024-b,
令g(x)=2 023x-2 024-x,易知y=2 023x在R上单调递增,y=2 024-x在R上单调递减,
因此g(x)在R上单调递增,所以a15.C 由F(x)=x3+2x-2-x+5,
得F(a)+F(-a)=a3+2a-2-a+5+(-a)3+2-a-2a+5=10,又F(a)=7,
所以F(-a)=10-F(a)=10-7=3.故选C.
16.答案 ∪[,+∞)
解析 设f(x)=+,当x>0时,
+≥2=,当且仅当=,即x=1时,等号成立,因此f(x)的取值范围为,
由指数函数的单调性可知,函数F(x)的取值范围为.
同理可得,当x<0时, f(x)的取值范围为,
由指数函数的单调性可知,函数F(x)的取值范围为[,+∞).
综上所述,函数F(x)的值域为∪[,+∞).
17.答案 [0,+∞);偶函数
解析 设u=-|x|+1,
易知u=-|x|+1的单调递减区间为[0,+∞),
又y=是R上的减函数,
∴f(x)=的单调递增区间为[0,+∞).
易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)===f(x),∴f(x)是偶函数.
18.解析 (1)当x>0时, f(x)=1-2x,
当x<0时,-x>0,∴f(-x)=1-2-x.
又f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
∴当x<0时, f(x)=-f(-x)=-(1-2-x)=2-x-1.
(2)当x>0时,不等式f(x)<1即1-2x<1,
∴2x>0,显然成立;
当x=0时,由f(x)是R上的奇函数,得f(0)=0<1,成立;
当x<0时,不等式f(x)<1即2-x-1<1,∴2-x<2,
∴-1综上可知,不等式f(x)<1的解集为(-1,+∞).
19.解析 (1)∵函数f(x)=为奇函数,∴f(0)==0,解得a=1,经检验,符合题意.
(2)f(x)==1-在R上单调递增,证明如下:
x1,x2∈R,且x1,故f(x1)-f(x2)=-<0,
∴f(x1)(3)∵f(x)是R上的奇函数,且是R上的增函数,
∴由f(t2-2t)+f(2t2-1)<0得, f(t2-2t)∴t2-2t<1-2t2,解得-能力提升练
1.D 3.D 4.A 5.AB 7.ACD
1.D 因为f(x)=(2x-2-x)(x4-x2)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=(2-x-2x)(x4-x2)=-f(x),所以f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除选项A,C;
又f(2)=×(16-4)=45>0,故排除选项B.故选D.
2.答案 ∪(1,+∞)
解析 当a>1时,指数函数f(x)=ax在R上单调递增,由图象知, f(x)的图象和g(x)的图象一定会相交,
当0可得03.D ∵a=90.7=31.4,b=270.5=31.5,∴a又c==<31.4=a,∴c4.A 构造函数f(x)=,
则f(x)==+,
因为函数y=2x+1在R上单调递增,所以y=在R上单调递减,所以f(x)在R上单调递减,
所以f(2 022)>f(2 023)>0,即a>b,所以2a>2b,因此A正确,B错误;因为00,b>0,所以+≥2=2,当且仅当a=b时取等号,由题意可知a≠b,故+>2,因此D错误.故选A.
5.AB 由f(x)=得f(-x)=|2x+a|,由已知得f(x)与f(-x)在区间[1,2 020]上同时单调递增或同时单调递减.
若同时单调递增,则在x∈[1,2 020]上恒成立,可得所以-2≤a≤-.
若同时单调递减,则在x∈[1,2 020]上恒成立,可得该不等式组无解.
综上,-2≤a≤-.故选AB.
6.答案 (-1,+∞)
解析 由题意知,当x>1时,x-1>0,则f(x)+f(x-1)=2x+2x-1>1恒成立;
当01恒成立;
当x≤0时,x-1≤-1,则f(x)+f(x-1)=x+2+x-1+2=2x+3,令2x+3>1,得x>-1,所以-1综上,x的取值范围是(-1,+∞).
7.ACD 对于选项A,由f(x)=是奇函数,
得f(-x)+f(x)=0,
则有+=+==0,必有a=1,A正确;
对于选项B,由A中的结论知, f(x)==1+,
易知函数y=2x-1在(-∞,0)上单调递增,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,B错误;
对于选项C,由y=可得2x=,则有>0,
解得y<-1或y>1,即函数f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞),C正确;
对于选项D, f(x)==1+,
易知函数y=2x-1在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,
若f(3x)>f(),则有3x<=,解得x<,即不等式的解集为,D正确.故选ACD.
8.答案 (-∞,-1)∪
解析 易知函数f(x)=31+|x|-的定义域为R,且f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.
当x≥0时, f(x)=31+x-,为单调递增函数,
∴f(x)∴|x|<|2x+1|,解得x<-1或x>-,
故x的取值范围为(-∞,-1)∪.
9.答案
解析 易知f(x)=x-在(0,+∞)上单调递增, f(2x)=2x-2-x,由0不等式t·f(2x)≥2x-1对任意x∈(0,1]恒成立,即t≥=对任意x∈(0,1]恒成立,
易知y==在(0,1]上单调递增,故当x=1时,y取得最大值,为,所以t≥.
10.答案
解析 设f(x)=4x-2x+1-3,x∈[0,1]的值域为A,g(x)=x2-4mx-2m(m≥1),x∈[0,1]的值域为B.
因为对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,所以A B,
令t=2x,x∈[0,1],则t∈[1,2],则f(x)可转化为y=t2-2t-3=(t-1)2-4,
易知其在t∈[1,2]上单调递增,
所以ymax=(2-1)2-4=-3,ymin=(1-1)2-4=-4,即A=[-4,-3].
易知函数y=x2-4mx-2m(m≥1)的图象的对称轴方程为x=2m,且2m≥2,
所以g(x)=x2-4mx-2m在[0,1]上单调递减,
所以g(x)max=g(0)=-2m,g(x)min=g(1)=1-6m,即B=[1-6m,-2m].
由A B可得解得1≤m≤.
解题模板 已知函数y=f(x),x∈[a,b],y=g(x),x∈[c,d],记y=f(x),x∈[a,b]的值域为A, y=g(x),x∈[c,d]的值域为B.
(1)若 x1∈[a,b], x2∈[c,d],有f(x1)=g(x2)成立,则A B;
(2)若 x1∈[a,b], x2∈[c,d],有f(x1)=g(x2)成立,则A B;
(3)若 x1∈[a,b], x2∈[c,d],有f(x1)=g(x2)成立,则A∩B≠ .
11.解析 (1)因为f(x)=(a2-3a+3)ax为指数函数,
所以所以a=2,因此f(x)=2x.
所以g(x)==,
又g(x)为奇函数,所以g(-x)=-g(x),
即=-,
得到(1-b)(2x+1)=0,解得b=1,
所以g(x)=.
(2)因为g(x)[h(x)+2]=2x-2-x,
所以h(x)+2====2x+2-x+2,
所以h(x)=2x+2-x(x≠0).
所以h(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2.
不等式h(2x)≥kh(x)-18恒成立,即(2x+2-x)2-2≥k(2x+2-x)-18恒成立,
令t=2x+2-x(x≠0),则t=2x+2-x>2=2,
则原不等式转化为t2-2≥kt-18,t>2恒成立,即k≤t+在(2,+∞)上恒成立,
因为t>2,所以由基本不等式可得t+≥8,当且仅当t=4时,等号成立,
所以k≤8,即实数k的最大值为8.
74.2 指数函数
4.2.1 指数函数的概念
基础过关练
题组一 指数函数的概念及应用
1.下列函数是指数函数的是( )
A.y=(-4)x B.y=2x+1
C.y=ax D.y=3x
2.若函数y=(a2-5a+7)ax+6-2a是指数函数,则( )
A.a=2或a=3 B.a=3
C.a=2 D.a>2或a≠3
3.指数函数y=f(x)的图象过点(2,4),则f(3)的值为( )
A.4 B.8 C.16 D.1
题组二 指数型函数模型
4.为了做好校园防流感工作,某学校决定每天对教室进行消毒.已知消毒药物在释放过程中,室内空气中的含药量y(单位:mg/m3)与时间t(单位:h)成正比,药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=.按照规定,当空气中的含药量降低到0.5 mg/m3以下时,学生方可进入教室.因此,工作人员每天对教室进行消毒的时间至少应在课前( )
A.30分钟 B.60分钟 C.90分钟 D.120分钟
5.已知生物死亡t年后,其组织内碳14所剩质量C(t)=C0,其中C0为活体生物组织内碳14的质量.2023年科学家在我国发现某生物遗体中碳14的质量约为原始质量的0.92倍,已知≈0.23,则可推断该生物死亡的朝代为( )
A.金(公元1115—1234年)
B.元(公元1271—1368年)
C.明(公元1368—1644年)
D.清(公元1636—1912年)
6.(多选题)如图,某池塘里浮萍的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系式为y=kat(k∈R),其中k≠0,a>0且a≠1.则下列说法正确的是( )
A.浮萍每月增加的面积都相等
B.第6个月时,浮萍的面积会超过30 m2
C.浮萍面积从2 m2蔓延到64 m2只需经过5个月
D.若浮萍面积蔓延到4 m2,6 m2,9 m2所经过的时间分别为t1,t2,t3,则t1+t3=2t2
7.近年来,某县持续关注民生,推进民房屋顶平改坡工程,对全县a m2的老房子进行平改坡,且每年平改坡面积的百分比相等.已知改造到面积的一半时,所用时间为10年,且到2024年为止,平改坡剩余面积为最开始的.则每年平改坡面积的百分比约为 ,到2024年为止,该平改坡工程已经进行了 年.注:≈0.926,≈0.933,≈0.939.
答案与分层梯度式解析
4.2 指数函数
4.2.1 指数函数的概念
基础过关练
1.D 2.B 3.B 4.B 5.B 6.BCD
1.D
2.B 由题意可知解得a=3.故选B.
3.B 设指数函数的解析式为f(x)=ax(a>0,且a≠1),
由函数y=f(x)的图象过点(2,4),得a2=4,
所以a=2或a=-2(舍去),即f(x)=2x,
所以f(3)=23=8,故选B.
4.B 当t∈时,由题可设y=kt,∵函数图象过点,∴解得
故y=当t≥时,令≤,结合图象可得t≥1,
因此工作人员每天对教室进行消毒的时间至少应在课前60分钟.故选B.
5.B 由题意知=0.92,∵0.92=0.23×4≈×=,
∴t≈5 730×0.12=687.6,
2 023-687.6=1 335.4≈1 335,因此该生物死亡的朝代为元.
6.BCD 将(1,1)和(3,4)代入函数关系式y=kat(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1),
得∴∴函数关系式为y=×2t=2t-1,
∵函数图象呈曲线形,所以浮萍每月增加的面积不相等,因此A错误.
当t=6时,y=25=32,浮萍的面积超过了30 m2,因此B正确.
令y=2,得t=2,令y=64,得t=7,
所以浮萍面积从2 m2蔓延到64 m2需要5个月,因此C正确.
依题意得=4,=6,=9,
∴4×9=×=,62=()2=,因此=,∴t1+t3=2t2,因此D正确.故选BCD.
7.答案 6.7%;5
解析 设每年平改坡面积的百分比为x(0则a(1-x)10=a,即1-x=,解得x=1-≈0.067=6.7%,故每年平改坡面积的百分比约为6.7%.
设到2024年为止,该平改坡工程已经进行了n年,
则a(1-6.7%)n=a,即=,解得n=5,
所以到2024年为止,该平改坡工程已经进行了5年.
7(共23张PPT)
一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
4.2 指数函数
知识点 1 指数函数的概念
知识 清单破
指数函数的图象和性质
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质
知识点 2
a的范围 a>1 0图象
性质 定义域 R 值域 (0,+∞) 定点 (0,1) 单调性 增函数 减函数
函数值 特征 当x>0时,y>1;当x<0时,00时,01
对称性 y=ax与y= 的图象关于y轴对称 知识拓展 在同一平面直角坐标系中,画出不同底数的指数函数的图象,如图所示.
直线x=1与四个指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象的交点依次为(1,a),(1,b),(1,c),(1,d),所以有0
知识辨析
1.函数y=(-5)x,y=2x+1是不是指数函数
2.函数y=-2x,y=2x+1的图象可由y=2x的图象经怎样的变换得到
3.指数函数的图象在坐标平面内分布在什么位置
一语破的
1.都不是.指数函数解析式的结构特点:①底数a是满足a>0,且a≠1的常数;②指数位置只能是
x;③ax的系数为1.y=(-5)x中a=-5<0,y=2x+1中指数位置不是x.
2.函数y=-2x的图象可由y=2x的图象关于x轴对称得到,函数y=2x+1的图象可由y=2x的图象向左平
移1个单位长度得到.
3.x轴上方.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的底数a满足a>0且a≠1,所以ax>0,因此,指数函数的图象
一定在x轴的上方.
定点 1 与指数函数有关的函数的定义域、值域问题
关键能力 定点破
与指数函数有关的函数的定义域、值域的求法(其中a>0且a≠1)
(1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同;
(2)求函数y=af(x)的值域,需先确定f(x)的值域,再根据指数函数y=ax的单调性确定函数y=af(x)的值
域;
(3)求函数y=f(ax)的定义域,需先确定y=f(u)的定义域,即u的取值范围,亦即ax的取值范围,由此
构造关于x的不等式(组),确定x的取值范围,即y=f(ax)的定义域;
(4)求函数y=f(ax)的值域,需先利用函数u=ax的单调性确定其值域,即u的取值范围,再确定函数
y=f(u)的值域,即y=f(ax)的值域.
典例 求下列函数的定义域和值域:
(1)y= ;
(2)y=4x-2x+1;
(3)y= (a>0,且a≠1).
解析 (1)∵1- ≥0,∴ ≤1= ,
∴x≥0,∴函数的定义域为[0,+∞).
∵0< ≤1,∴0≤1- <1,
∴0≤y<1,∴函数的值域为[0,1).
(2)易知函数的定义域为R.令2x=t,则t>0,
y=(2x)2-2x+1=t2-t+1= + ,
∵t>0,∴当t= ,即x=-1时,y取得最小值,为 ,∴函数的值域为 .
(3)由ax+1>0恒成立,得函数y= (a>0,且a≠1)的定义域为R.
解法一(换元法):设ax=t,则t∈(0,+∞),
y= = =1- .∵t>0,∴t+1>1,∴0< <1,∴-2<- <0,∴-1<1- <1,即函数y=
(a>0,且a≠1)的值域为(-1,1).
解法二(反表示法):由y= ,得ax=- .∵ax>0,∴- >0,∴-10,且a
≠1)的值域为(-1,1).
与指数函数有关的函数的单调性问题
1.形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调性的判断方法
当a>1时,函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间;当0函数u=f(x)的单调递减(增)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间.
2.形如y=f(ax)(a>0,且a≠1)的函数的单调性的判断方法
通过内层函数u=ax的值域确定外层函数y=f(u)的定义域,在此定义域内讨论外层函数的
单调区间,再根据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调性.
定点 2
典例 求下列函数的单调区间:
(1)y= ;
(2)y= -8 +17.
思路点拨 先换元,再利用复合函数“同增异减”的规律求解.
解析 (1)令u=x2-2x,y= .
易知u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
又y= 是R上的减函数,
∴y= 的单调递增区间为(-∞,1],单调递减区间为[1,+∞).
(2)设u= ,u>0,则y=u2-8u+17(u>0),根据二次函数的性质知,该函数在(0,4]上单调递减,在[4,
+∞)上单调递增.
令 ≤4,得x≥-2,
∴y= -8 +17的单调递增区间是[-2,+∞).
令 ≥4,得x≤-2,
∴y= -8 +17的单调递减区间是(-∞,-2].
指数幂的大小比较
比较指数幂大小的方法
定点 3
典例 (1)已知 < < <1,比较aa,ab,ba的大小;
(2)比较下列各数的大小: , , , , .
解析 (1)∵ < < <1= ,y= 在R上是减函数,
∴0aa,
又 = >1,
∴aa>ba,∴ab>aa>ba.
(2)∵ = > >1, <0,0< <1, =1,
∴ < < < < .
指数方程与不等式的解法
1.指数方程的解法
(1)对于af(x)=b(a>0,且a≠1)型的指数方程,通常将方程两边化为同底数幂的形式,用指数相等
进行求解.
(2)解复杂的指数方程时,常用换元法转化为解一元二次方程.用换元法时要特别注意“元”
的范围,用一元二次方程求解时,要注意对二次方程根的取舍.
2.简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式,可借助y=ax(a>0,且a≠1)的单调性求解;
(2)形如af(x)>b的不等式,可将b化成以a为底数的幂的形式,再借助y=ax(a>0,且a≠1)的单调性求
解;
(3)形如ax>bx的不等式,可借助函数y=ax与y=bx(a,b>0,且a,b≠1)的图象求解.
定点 4
典例 解下列关于x的方程或不等式:
(1)22x+2+3×2x-1=0;
(2) > (a>0,且a≠1).
解析 (1)∵22x+2+3×2x-1=0,
∴4×(2x)2+3×2x-1=0.令t=2x,则t>0,
原方程可化为4t2+3t-1=0,
解得t= 或t=-1(舍去),∴2x= ,解得x=-2.
(2)当0 ,
所以2x2-3x+7解得1当a>1时,指数函数y=ax是增函数,
因为 > ,
所以2x2-3x+7>x2+2x+3,
解得x<1或x>4.
综上所述,当0当a>1时,不等式的解集是{x|x<1或x>4}.
变换作图及其应用
1.函数图象的变换规律
(1)平移变换:左加右减,上加下减.
(2)对称变换:
(3)翻折变换:函数解析式中含有绝对值.
定点 5
函数y=f(|x|)的图象:将y=f(x)的图象在y轴右侧的部分沿y轴翻折到y轴左侧,替换原y轴左侧的
图象,并保留y=f(x)的图象在y轴右侧的部分,因此y=f(|x|)的图象关于y轴对称.
函数y=|f(x)|的图象:将y=f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,并保留y=f(x)的图
象在x轴上方的部分.如:y=|ax-b|(b>0)的图象就是y=ax-b的图象在x轴上方的部分不动,把x轴下
方的图象翻折到x轴上方.
2.函数图象变换的应用
从基本初等函数的图象出发,利用变换作图,可以作出一些较为复杂的函数图象,利用数形结
合解决函数的单调性、最大(小)值问题,特别是判断函数图象的交点个数、求解参数的取值
范围问题.
典例 已知f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的值;
(2)若f(x)的图象如图②所示,求a,b的取值范围;
(3)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数根,求m的取值范围.
解析 (1)因为f(x)的图象过点(2,0),(0,-2),
所以
又因为a>0,且a≠1,所以a= ,b=-3.
(2)因为f(x)单调递减,所以0又f(0)<0,即a0+b<0,所以b<-1.
故a的取值范围为(0,1),b的取值范围为(-∞,-1).
(3)由(1)得f(x)=( )x-3,画出|f(x)|= -3|的图象,如图,
要使|f(x)|=m有且仅有一个实数根,
则m=0或m≥3.
故m的取值范围为[3,+∞)∪{0}.