4.3 对数
4.3.1 对数的概念 4.3.2 对数的运算
基础过关练
题组一 对数的概念及性质
1.将23=8化为对数式正确的是( )
A.log23=8 B.log28=3 C.log82=3 D.log32=8
2.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的是( )
A.=m与logm=e B.10x=6与lg 6=x
C.2=与lo27=- D.=3与log93=
3.已知log7[log2(lg x)]=0,则x= .
4.已知log32=a,则9a+9-a的值为 .
题组二 对数的运算性质及对数式的恒等变形
5.以下四个结论中正确的是( )
A.log28=4 B.log35+log34=2
C.lg(lg 10)=0 D.=3
6.(教材习题改编)2log6+3log6=( )
A.log6 B.2 C.0 D.1
7.计算:eln 2++log9= .
8.计算:log5= .
9.计算:lg 52+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2= .
10.(易错题)若f(x)=4x,则f(log23)= .
11.(1)已知lg 2=m,lg 3=n,试用m,n表示log512;
(2)计算:-log23×log38+log68+2log6.
题组三 对数运算的应用
12.已知x>0,y>0,lg 4x+lg 2y=lg 8,则+的最小值是( )
A.3 B. C. D.9
13.已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,设N=45×910,则N所在的区间为( )
A.(1010,1011) B.(1011,1012)
C.(1012,1013) D.(1013,1014)
14.(教材习题改编)已知loga3=m,loga2=n(a>0,且a≠1).
(1)求am+2n的值;
(2)若0
能力提升练
题组一 对数的概念及运算
1.已知3x=2,log3=y,则x+y=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若2a=5,则lg 2=( )
A. B. C. D.
3.若lg 2=a,lg 3=b,则log245=( )
A. B. C. D.
4.(多选题)若10a=4,10b=25,5c=4,则下列计算正确的是( )
A.a+b=2 B.b-a=1 C.ab=10 D.-=
5.化简-(log2510)-1++= .
6.若实数a,b,c满足3a=4,4b=5,5c=9,则abc= .
7.已知A=+810.25-×+log53×log325,B=log2(4B+2A),计算:A= ,B= .
8.(1)计算:log25×lo4+(lg 5)2+lg 2×(lg 5+1);
(2)已知a,b均为正实数,且a,b≠1,若logab+logba=,ab=ba,求的值.
题组二 对数运算的综合应用
9.假设在2024年以后,我国每年的GDP(国内生产总值)比上一年平均增长8%,那么最有可能实现GDP翻两番的目标的年份为(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)( )
A.2032 B.2035 C.2038 D.2042
10.(多选题)定义(a,b)为a,b之间的一种运算,若ac=b,则(a,b)=c,则下列正确的是( )
A.(4,6)=2×(2,3) B.(2,2)=1
C.(2,6)-(2,3)=1 D.(4,5)+(4,6)=(4,30)
11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)=-f(x), f(2-x)=f(x),且当x∈时, f(x)=2x,则f(log224)= .
12.定义在R上的奇函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),且f(x)在区间[1,2]上单调递减.若a=f(5),b=f(2-0.),c=f(log5),则a,b,c按照从小到大的顺序排列为 .
13.(1)已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,求lg;
(2)甲、乙两人同时解关于x的方程:log3x-blogx3+c=0,甲看错了常数b,得两根为3和,乙看错了常数c,得两根为和81,求这个方程正确的根.
答案与分层梯度式解析
4.3 对数
4.3.1 对数的概念 4.3.2 对数的运算
基础过关练
1.B 2.BD 5.C 6.D 12.A 13.C
1.B 指对互化时,底数不变.故选B.
2.BD 在选项A中,=m化成对数式应为logem=,即ln m=;在选项C中,2=化成对数式应为log27=-;易知B,D正确.故选BD.
3.答案 100
解析 ∵log7[log2(lg x)]=0,∴log2(lg x)=1,
∴lg x=2,故x=100.
4.答案
解析 ∵log32=a,∴3a=2,∴9a=(3a)2=22=4,
∴9a+9-a=4+=.
5.C log28=log223=3,因此A错误;log35+log34=log320≠2,因此B错误;lg(lg 10)=lg 1=0,因此C正确;===81,因此D错误.故选C.
6.D 2log6+3log6=log6[()2×()3]=log66=1.故选D.
7.答案 10
解析 eln 2+0.12+log9=2++2log332=2++4=2+4+4=10.
8.答案 1
解析 log5=log5(2+3)=log55=1.
9.答案 3
解析 原式=2lg 5+×3lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2×lg 5+(lg 2)2
=2+1-lg 2+lg 2×(1-lg 2)+(lg 2)2=3.
10.答案 9
解析 由f(x)=4x,可得f(log23)==(22===9.
易错警示 运用对数恒等式求值时,要将指数和对数的底化为相同的数,再准确利用公式求值.
11.解析 (1)由换底公式得log512===.
(2)-log23×log38+log68+2log6
=2-2log23×log32+log62+log63
=2-2+log66=1.
12.A ∵lg 4x+lg 2y=lg 8,∴4x·2y=8,∴2x+y=3,又x>0,y>0,
∴+=(2x+y)×=≥=3,
当且仅当=且2x+y=3,即x=,y=2时取等号,故+的最小值为3.故选A.
13.C 由于N=45×910,所以lg N=5lg 4+10lg 9=10lg 2+20lg 3≈12.552,所以N≈1012.552,故N所在的区间为(1012,1013).故选C.
14.解析 (1)由loga3=m,loga2=n得am=3,an=2,
因此am+2n=am·a2n=3×22=12.
(2)∵m+n=log32+1,∴loga3+loga2=loga6=log36,即a=3,因此x+x-1=3.
于是(x-x-1)2=(x+x-1)2-4=5,
由0从而x-x-1=-,
∴x2-x-2=(x-x-1)(x+x-1)=-3.
能力提升练
1.A 2.C 3.D 4.AD 9.D 10.BCD
1.A ∵log3=y,∴3y=,因此=,
∴=3x·=2×=3,∴x+y=1,故选A.
2.C 由2a=5可得a=log25,则有a=,即alg 2=lg 5=1-lg 2,得(a+1)lg 2=1,
因为2a=5>1,所以a>0,即a+1≠0,
所以lg 2=.故选C.
3.D ∵lg 2=a,lg 3=b,∴由换底公式得log245===,故选D.
解题模板 对数式恒等变形的常用策略:一看底,底不同时用换底公式化为同底;二看真数,利用对数的运算性质将真数进行适当变形.解题时还要考虑到对数恒等式及特殊值的应用.
4.AD 若10a=4,10b=25,5c=4,则a=lg 4,b=lg 25,c=log54,所以a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2,选项A正确;b-a=lg 25-lg 4=lg ≠1,选项B错误;由基本不等式得ab≤=1,当且仅当a=b时取等号,又a=lg 4,b=lg 25,所以等号不成立,即ab<1,选项C错误;由-=-=log410-log45=log42=,选项D正确.故选AD.
5.答案 10
解析 -(log2510)-1++
=2-lg 25+9+1-2lg 2=12-lg(25×4)=12-2=10.
6.答案 2
解析 因为3a=4,4b=5,5c=9,
所以a=log34,b=log45,c=log59,
由换底公式得a=,b=,c=,
所以abc=××===2.
7.答案 -6;2
解析 A=+810.25-×+log53×log325=1+3-3×4+log53×=-8+2=-6.
∵B=log2(4B+2A),∴2B=4B-12,
令t=2B(t>0),则t2-t-12=0,
解得t=-3(舍去)或t=4,即2B=4,∴B=2.
8.解析 (1)log25×lo4+(lg 5)2+lg 2×(lg 5+1)
=log25×(-log54)+(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2
=log25×(-2log52)+lg 5×(lg 5+lg 2)+lg 2
=-2+lg 5×lg 10+lg 2=-2+lg 5+lg 2
=-2+lg 10=-2+1=-1.
(2)令t=logab,则t+=,所以2t2-5t+2=0,即(2t-1)(t-2)=0,所以t=或t=2,
因此logab=或logab=2,即a=b2或a2=b.
因为ab=ba,所以2b=a=b2或b=2a=a2,所以b=2,a=4或a=2,b=4,
因此=2或=.
9.D 设2024年我国GDP为a(a>0),则n年以后的GDP为a(1+8%)n,若n年以后GDP实现翻两番的目标,
则a(1+8%)n=4a,所以n=log1.084=====≈≈18,所以到2042年GDP基本实现翻两番的目标.故选D.
10.BCD 对于A,设(4,6)=x1,(2,3)=x2,则=6,=3,得x1=log46=log26=log2,x2=log23,
而2×(2,3)=2x2=2log23=log29,
故(4,6)=2×(2,3)不成立,因此A错误;
对于B,设(2,2)=x3,则=2,得x3=log22=1,因此B正确;
对于C,设(2,6)=x4,则=6,得x4=log26,由A选项得x2=log23,
则(2,6)-(2,3)=x4-x2=log26-log23=log22=1,因此C正确;
对于D,设(4,5)=x5,则=5,得x5=log45,由A选项得x1=log46,
设(4,30)=x6,则=30,得x6=log430,
则x5+x1=log45+log46=log430=x6,即有(4,5)+(4,6)=(4,30),因此D正确.故选BCD.
11.答案 -
解析 由f(x)满足f(1-x)=-f(x), f(2-x)=f(x),
可得f(2-x)=-f(1-x),所以f(x+1)=-f(x),
因此f(x+2)=f(x), f(x+4)=f(x),所以f(log224)=f(log224-4)=f=-f=-f,
因为0=log2112.答案 c,b,a
解析 由f(1-x)=f(1+x)知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以c=f(log5)=f=f,
由f(1-x)=f(1+x)知f(2-x)=f(x),
由f(x)是R上的奇函数知f(x)=-f(-x),
所以f(2-x)=-f(-x),所以f(2+x)=-f(x),
所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),则a=f(5)=f(1),
又<0.<1,所以1<2-<,
因为f(x)在区间[1,2]上单调递减,
所以f13.解析 (1)lg=lg 3=lg 3+lg =lg 3+lg 5=lg 3+(1-lg 2)≈0.477 1+×(1-0.301 0)=0.826 6.
(2)原方程可化为(log3x)2+clog3x-b=0,由题意得log33+log3=-1=-c,log381×log3=-12=-b,
故c=1,b=12,
则原方程为(log3x)2+log3x-12=0,
∴log3x=-4或log3x=3,∴x=或x=27,
即这个方程正确的根为27和.
7(共20张PPT)
1.对数的概念
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对
数的底数,N叫做真数.
2.常用对数与自然对数
将以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lg N;
将以e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数,并把logeN记为ln N.
4.3 对数
知识点 1 对数的概念
知识 清单破
3.对数与指数的关系
(1)当a>0,a≠1时,ax=N x=logaN,这是指数式与对数式互化的依据.
(2)相关结论:
①负数和0没有对数;
②loga1=0,logaa=1(a>0,且a≠1);
③ =N,logaaN=N(a>0,且a≠1,N>0).
对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(MN)=logaM+logaN;
(2)loga =logaM-logaN;
(3)logaMn=nlogaM(n∈R).
知识点 2
对数换底公式
1.对数换底公式
logab= (a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).
2.相关结论
logab= ,lo bm= logab(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;n≠0).
知识点 3
知识辨析
1.使对数loga(-2a+1)有意义的a的取值范围是什么
2.指数式ax=N是否都能化为对数式
3.在loga(MN)=logaM+logaN(a>0,且a≠1)中,公式成立的条件是什么
一语破的
1.由 得02.不是.需满足a>0且a≠1,N>0,否则不能转化.如:(-2)2=4不能化为2=log(-2)4.
3.M>0,N>0.
定点 1 对数的运算
关键能力 定点破
1.利用对数的运算性质求值的关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数间的关系.
2.对于复杂的算式,可先化简再计算.化简的常用方法:①“拆”,将积(商)的对数拆成两对数
之和(差);②“收”,将同底对数的和(差)收成积(商)的对数.
3.在利用换底公式进行化简、求值时,一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰
当的底数进行换底,一般可以选择以10为对数式的底数进行换底.
典例1 计算下列各式:
(1) lg - lg +lg ;
(2)log279+2lg 5+lg 4- ;
(3)log535-2log5 +log57-log51.8;
(4)(log43+log83)(log32+log92).
解析 (1)原式=lg -lg 4+lg 7 =lg = .
(2)log279+2lg 5+lg 4- =lo 32+2(lg 5+lg 2)- = +2- =2.
(3)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5 =log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2.
(4)原式= = log23× = .
典例2 (1)已知 = ,log74=b,用a,b表示log4948;
(2)已知3x=6y=M,且 =1,求M的值.
思路点拨 将指数等式化为对数等式,再利用对数的运算性质、换底公式求解.
解析 (1)解法一:∵ = ,∴a=log73.
因此log4948= = = = .
解法二:∵ = ,∴a=log73= .
∵log74=b,∴b= ,
则log4948= = = + =b+ = .
(2)∵3x=6y=M,∴x=log3M,y=log6M,
∴ = + =logM6+2logM3=logM54=1,
∴M=54.
对数运算性质的综合应用
1.在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义和运算性质,尤其要注意条件和待求
式之间的关系.
2.解决对数应用问题时,首先要理解题意,弄清关键词及字母的含义,然后恰当设未知数,建立
数学模型,最后转化为对数问题求解.
定点 2
典例 (1)已知a,b,c是不等于1的正数,且ax=by=cz, + + =0,求abc的值;
(2)设a,b,c∈R,且1解析 (1)解法一:设ax=by=cz=t,
则t>0,且t≠1,x=logat,y=logbt,z=logct,
∴ + + = + + =logta+logtb+logtc=logt(abc)=0,
∴abc=1.
解法二:设ax=by=cz=t,
则t>0,且t≠1,x= ,y= ,z= ,
∴ + + = + + = .
∵ + + =0,
∴lg a+lg b+lg c=lg(abc)=0,
∴abc=1.
(2)证明:设logab=x,logbc=y,则x≥1,y≥1,由对数的换底公式得logba= ,logcb= ,logac=xy,logca=
.
于是,所要证明的不等式即为x+y+ ≤ + +xy,
两边同乘xy,则不等式为xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2.
y+x+(xy)2-[xy(x+y)+1]
=(xy)2-1-[xy(x+y)-(x+y)]
=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)
=(xy-1)(xy-x-y+1)
=(xy-1)(x-1)(y-1).
因为x≥1,y≥1,
所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,从而所要证明的不等式成立.
素养解读
数学运算是数学的六大核心素养之一,是学生学习数学的一种必备品格和关键能力.数
学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括:理解运
算对象,掌握运算法则,探究运算思路,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等.
学科素养 情境破
素养 通过指数、对数运算发展数学运算的素养
例题 对数的运算性质是数学发展史上的伟大的成就.
(1)对数运算性质的推导有很多方法,请同学们推导如下的对数运算性质:logaMn=nlogaM(n
∈R,a>0,且a≠1,M>0);
(2)因为210=1 024∈(103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,叫做位数),试判断
219220的位数;(注:lg 219≈2.34)
(3)围棋和魔方都是能锻炼思维的益智游戏,围棋复杂度的上限约为M=3361,二阶魔方复杂度的
上限约为N=560×38,甲、乙两个同学都估算了 的近似值,甲认为是10160,乙认为是10165.现有
一种定义:若实数x,y满足|x-m|<|y-m|,则称x比y接近m,试判断哪个同学的近似值更接近 ,并说
明理由.(注:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,lg 7≈0.85)
典例呈现
解题思路 (1)通过指对互化、指数幂的运算性质,推导幂的对数运算性质.
解法一:设x=logaM(a>0,且a≠1,M>0),则M=ax,
所以Mn=(ax)n=anx,因此logaMn=logaanx=nx=nlogaM.
解法二:∵ =amn,
设am=M,则Mn=amn,∴mn=logaMn.
∵m=logaM,∴nlogaM=logaMn,
即logaMn=nlogaM.
(2)对幂值取对数,利用对数值进行近似计算,解决大数字的运算问题.
解法一:lg219220=220lg 219≈220×2.34=514.8,
∴219220≈10514.8,∴10514<219220<10515,∴219220的位数为515.
解法二:设10k<219220<10k+1,k∈N*,则k∴k<220lg 219又k∈N*,
∴k=514,k+1=515,∴219220的位数为515.
(3)M=3361,N=560×38, = = ,
lg =lg 3353-lg 560=353lg 3-lg 7-3lg 2-1≈353×0.48-0.85-0.9-1=166.69,
∴ ≈10166.69,
又|10165-10166.69|<|10160-10166.69|,
∴乙同学的近似值更接近 .
思维升华
指数运算和对数运算是互逆运算,在解题过程中,进行互相转化是解决相关问题的关键.
特别在求解较大或者较复杂的指数幂问题时,常利用取对数的方法,将指数运算转化为对数
运算.在对数运算中经常利用换底公式,将一般对数转化为自然对数或常用对数来运算.