(共25张PPT)
一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
4.3 对数函数
知识点 1 对数函数的概念
知识 清单破
对数函数的图象与性质
对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质
知识点 2
a的范围 0
1
图象
定义域 (0,+∞) 值域 R
性质 过定点 过定点(1,0),即x=1时,y=0 单调性 减函数 增函数
函数值 的变化 当x>1时,y<0; 当00 当x>1时,y>0;
当0对称性 y=logax与y=lo x的图象关于x轴对称
反函数
一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定
义域与值域正好互换.
知识点 3
知识拓展 (1)互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同.
(2)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
不同函数增长的差异
知识点 4
y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0)
在(0,+∞)上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增
图象 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐变“缓” 直线上升
增长速度 y=ax(a>1)的增长速度远远大于y=kx(k>0)的增长速度,y=kx(k>0)的增长速度大于y=logax(a>1)的增长速度 结果 存在一个x0,当x>x0时,有ax>kx>logax 知识辨析
1.当x每增加一个单位时,y增加或减少的量在一个定值(不为0)附近波动,那么y关于x的拟合函
数是哪一种
2.对于对数函数y=logax(a>0,且a≠1),底数与其图象有什么关系
3.对于任意x∈R,是否恒有ax>2x(a>1)
一语破的
1.一次函数.
2.①当01时,图象“上升”;②由y=logax的图象与直线y=1相交于
点(a,1)可知,在x轴上方,图象从左到右对应函数的底数由小变大.
3.不是.存在x0∈R,当x>x0时,恒有ax>2x(a>1).
定点 1 对数函数的图象及其应用
关键能力 定点破
1.对数型函数图象过定点问题
求函数y=m+loga f(x)(a>0,且a≠1, f(x)>0)的图象所过定点时,只需令f(x)=1,求出x=x0,即得
定点为(x0,m).
2.根据对数函数图象判断底数大小的方法
作直线y=1与所给图象相交,比较交点的横坐标即得各个底数的大小关系.
3.函数图象的变换规律
(1)一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|
个单位长度后,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.
典例 (1)已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( )
(2)设a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且a(0,1)
B
解析 (1)解法一:若0loga(-x)在其定义域上单调递增且图象过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件;若a>1,则函数y=ax
在其定义域上单调递增且图象过点(0,1),而函数y=loga(-x)在其定义域上单调递减且图象过点
(-1,0),只有B满足条件.
解法二:曲线y=ax只可能在x轴上方,y=loga(-x)的图象只可能在y轴左侧,从而排除A,C;y=ax与y=
loga(-x)的增减性正好相反,故排除D.故选B.
(2)由题意知,在x∈(0,10)上,函数y=|lg x|的图象和直线y=c有两个交点,作出函数y=|lg x|的图象
与直线y=c,如图所示,
结合图象可知,0∴-lg a=lg b=c,∴ab=1,∴abc的取值范围是(0,1).
与对数函数有关的函数的定义域、单调性与值域问题
1.对数型函数的定义域
(1)求对数型函数的定义域,要注意真数大于0,即在y=loga f(x)(a>0,且a≠1)中应首先保证f(x)>0;
(2)若底数中也含有变量,则底数应大于0且不等于1.
2.求与对数函数有关的函数的单调性的要点
(1)单调区间是定义域的子集.
(2)若a>1,则y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同;若0f(x)的单调性相反.
定点 2
3.求对数型函数值域的常用方法
(1)直接法:通过对函数定义域的观察,结合解析式、性质,直接得出函数的值域.
(2)配方法:当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠0,a>0,且a
≠1))时,可以用配方法求函数的值域.
(3)单调性法:根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性,求出函数的值域.
(4)换元法:求形如y=loga f(x)(a>0,且a≠1, f(x)>0)的函数的值域的步骤:①换元,令u=f(x),利用
函数的图象和性质求出u的范围;②利用y=logau的单调性、图象求出y的取值范围.
典例1 (1)函数y=lo (-x2+4x-3)的单调递减区间为 ( )
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(1,2) D.(2,3)
(2)若函数y=lo (ax2-4x+12)在区间[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,1] B.[-1,1]
C.(0,1] D.[0,1]
C
A
思路点拨 利用复合函数单调性“同增异减”的规律,结合定义域求解.
解析 (1)由-x2+4x-3>0,得1-3单调递减,又函数y=lo x是减函数,所以y=lo (-x2+4x-3)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调
递增,所以函数y=lo (-x2+4x-3)的单调递减区间是(1,2).故选C.
(2)因为y=lo x是减函数,函数y=lo (ax2-4x+12)在区间[1,2]上单调递增,
所以y=ax2-4x+12在区间[1,2]上单调递减,由已知得y=ax2-4x+12>0在[1,2]上恒成立,所以ymin=4a
-8+12>0恒成立,得a>-1.
当a=0时,y=-4x+12在[1,2]上单调递减,符合题意;
当a>0时,若y=ax2-4x+12在[1,2]上单调递减,则 ≥2,解得0当-1则 ≤1,解得-1综上,实数a的取值范围是(-1,1].故选A.
典例2 (1)已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3)的最小值是0,求实数a的值;
(2)设函数f(x)=log2(4x)·log2(2x)的定义域为 ,求函数f(x)的最小值和最大值,并求出取最值
时对应的x的值.
思路点拨 确定函数的复合形式,由定义域求出中间变量的范围,由中间变量的范围求解函
数的最大(小)值问题.
解析 (1)因为函数f(x)=log4(ax2+2x+3)的最小值为0,且4>1,
所以函数t=ax2+2x+3有最小值1,
所以 解得a= .
(2)由题意得f(x)=log2(4x)·log2(2x)=(log24+log2x)·(log22+log2x)=(2+log2x)·(1+log2x).
令t=log2x,x∈ , 则t∈[-2,2].令y=(2+t)(1+t)=t2+3t+2,t∈[-2,2],
根据二次函数的性质,可得当t=- 时,y=t2+3t+2取得最小值,最小值为 +3× +2=- ,此
时x= = ;
当t=2时,y=t2+3t+2取得最大值,最大值为22+3×2+2=12,此时x=22=4.
综上,当x= 时, f(x)取得最小值- ;当x=4时, f(x)取得最大值12.
比较对数值的大小
比较对数值大小常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性进行比较.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化进行比较.
(3)底数和真数都不同的,找中间量比较.
(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
定点 3
典例 (1)若a=log23,b=log32,c=log46,则 ( )
A.bC.c(2)(多选)下列各式中正确的是 ( )
A.ln 0.83>ln 0.73 B.lg 1.6>lg 1.4
C.log0.50.4>log0.50.6 D.log23>log0.50.2
D
ABC
解析 (1)因为函数y=log4x在(0,+∞)上是增函数,所以a=log23=log49>log46>1,又log32<1,所以b
(2)因为y=x3是R上的增函数,0.8>0.7,所以0.83>0.73,又y=ln x在(0,+∞)上是增函数,所以ln 0.83>
ln 0.73,故A正确;因为y=lg x是(0,+∞)上的增函数,1.6>1.4,所以lg 1.6>lg 1.4,故B正确;因为y=
log0.5x是(0,+∞)上的减函数,0.4<0.6,所以log0.50.4>log0.50.6,故C正确;因为1
log0.50.25=2,所以log23解对数不等式
对数不等式的常见类型及解题方法
(1)loga f(x)>logab:借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0情况进行讨论.
(2)loga f(x)>b:应将b化成以a为底数的对数式的形式(即b=logaab),再借助函数y=logax的单调性
求解.
(3)logf(x)a>logg(x)a:利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用图象求解.
定点 4
典例 (1)解不等式log2(2x+3)≥log2(5x-6);
(2)若a>0,a≠1,且loga(2a+1)解析 (1)原不等式等价于
解得 (2)由题得loga(2a+1)等价于 或
解得 即a的取值范围为 .
几种常见的函数模型的选择
定点 5
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是增长速度不变,可称为“直线上升”.
(2)指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,形
象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,
可称为“对数增长”.
解决实际问题时,需抓住题中蕴含的数学信息,恰当、准确地建立或选择函数模型.
典例 2009年某市某地段商业用地价格为每亩60万元,由于土地价格持续上涨,到2021年已经
上涨到每亩120万元,现给出两种地价增长方式,P1: f(t)=at+b(a,b∈R)是按直线上升的地价,P2:
g(t)=clog2(d+t)(c,d∈R)是按对数增长的地价,t是2009年以来经过的年数,2009年对应的t的值
为0.
(1)求f(t),g(t)的解析式;
(2)2021年开始,国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策,为此,该市要求2025年的地价相
对于2021年上涨幅度控制在10%以内,请分析比较以上两种增长方式,确定出最合适的一种
模型.(参考数据:log210≈3.32)
解析 (1)由题意可知f(0)=60, f(12)=120,所以
解得
所以f(t)=5t+60.因为g(0)=60,g(12)=120,
所以 解得 所以g(t)=30log2(t+4).
(2)若按照模型P1: f(t)=5t+60,到2025年时,t=16, f(16)=140,上涨幅度为 ×100%≈
16.7%>10%,不符合要求.
若按照模型P2:g(t)=30log2(t+4),到2025年时,t=16,g(16)=30log220=30×(1+log210)≈30×(1+3.32)
=129.6,上涨幅度为 ×100%=8%<10%,符合要求.
综上,应该选择模型P2.4.4.3 不同函数增长的差异
基础过关练
题组一 不同函数增长的差异
1.在一次数学试验中,某同学得到如下一组数据:
x 1 2 3 4 5 8
y 0.5 1.5 2.08 2.5 2.85 3.15
在以下四个函数模型(a,b为待定参数)中,最能反映x,y之间函数关系的是( )
A.y=a+bx B.y=a+bx C.y=a+logbx D.y=a+bx2
2.设f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论正确的是( )
A. f(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢
B.g(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢
C.g(x)的增长速度最快, f(x)的增长速度最慢
D. f(x)的增长速度最快,g(x)的增长速度最慢
3.甲、乙、丙三个物体同时从同一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1, f2(x)=x2, f3(x)=.给出以下结论:①当x>1时,乙总走在最前面;②当01时,丙走在最后面;③如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲.其中所有正确结论的序号是 .
题组二 函数模型的选择
某公司为了实现年终1 000万元利润的目标,制订了一个销售人员
年终绩效奖励方案:当员工销售利润为x(4≤x≤10)万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(万元)随销售利润x的增加而增加,但奖金总数不超过2万元,同时不超过员工销售利润的50%,则下列函数中,符合该公司奖励方案的函数模型是(lg 2≈0.3,lg 3≈0.48,lg 5≈0.7)( )
A.y=0.4x B.y=lg x+1 C.y= D.y=1.125x
5.某养殖场随着技术的进步和规模的扩大,肉鸡产量在不断增加.现收集到2020年前10个月该养殖场上市的肉鸡数量(单位:万只)如下:
月份m 1 2 3 4 5
数量W 1.020 7 2.000 0 2.578 2 2.997 4 3.313 9
月份m 6 7 8 9 10
数量W 3.578 9 3.804 1 4.000 0 4.173 6 4.329 4
数量W和月份m之间可能存在以下四种函数关系:①W(m)=b·am;
②W(m)=b·ma;③W(m)=b+logam;④W(m)=a+.(a>0,a≠1,b>0)
(1)请你从这四个函数模型中去掉一个与表格中数据不吻合的函数模型,并说明理由;
(2)请你从表格中选择2月份和8月份的数据,再从第(1)问剩下的三个模型中任选两个函数模型进行建模,求出其函数表达式,再分别求出这两个模型下4月份的肉鸡数量,并说明哪个函数模型更好.
(≈2.519 8,≈1.414 2)
答案与分层梯度式解析
4.4.3 不同函数增长的差异
基础过关练
1.C 2.B 4.B
1.C 根据题表中数据可知,当x每增加1时,y的增长速度是不相同的,所以不是线性关系,排除A;当x增加时,y的增长速度越来越慢,所以不符合指数型函数和二次函数的特征,排除B,D.故选C.
2.B 画出函数f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x的图象,如图所示,
结合图象可得,当x∈(4,+∞)时,函数g(x)=2x的增长速度最快,h(x)=log2x的增长速度最慢.
故选B.
3.答案 ②③
解析 对于函数f1(x)=2x-1, f2(x)=x2, f3(x)=,易知f1(x), f2(x), f3(x)在[0,+∞)上都单调递增,结合图象(图略)可知方程f1(x)=f2(x)有三个解:0,1,x1,且4x>1时,f2(x)>f1(x)>f3(x);当x>x1时, f1(x)>f2(x)>f3(x);当0f1(x)>f2(x),故①错误,②③正确.
4.B 选项A中,当x=10时,y=4>2,不符合题意;
选项B中,y=lg x+1在[4,10]上单调递增,所以x=10时,ymax=2,作出y=lg x+1和y=的图象,如图,由图象知,lg x+1<在x∈[4,10]上恒成立,故B符合题意;
选项C中,当x=10时,y=>2,不符合题意;
选项D中,当x=10时,y=,设=a,则lg a=10(lg 9-lg 8)=10(2lg 3-3lg 2)≈0.6,
因此a≈100.6>>2,不符合题意.故选B.
5.解析 (1)去掉函数模型④,理由:根据题表中所给数据,可推断函数W(m)单调递增,而函数模型④是减函数,故函数模型④与表格数据不吻合.
(2)选择函数模型①:
将点(2,2),(8,4)代入函数模型①得解得所以W(m)=·=,
所以W(4)==≈2.519 8,
所以W(4)-2.997 4=2.519 8-2.997 4=-0.477 6.
选择函数模型②:
将点(2,2),(8,4)代入函数模型②得解得所以W(m)=·,
所以W(4)=×=2,
所以W(4)-2.997 4=2-2.997 4≈2.828 4-2.997 4=-0.169.
选择函数模型③:
将点(2,2),(8,4)代入函数模型③得
解得所以W(m)=1+log2m,
所以W(4)=1+log24=3,
所以W(4)-2.997 4=3-2.997 4=0.002 6.(模型①②③中任选两个即可)
从与实际肉鸡数量作差的结果发现,函数模型①与实际差距最大,函数模型③与实际差距最小,
所以如果选①③或②③时,函数模型③更好;如果选①②时,函数模型②更好.
74.4 对数函数
4.4.1 对数函数的概念
基础过关练
题组一 对数函数的概念及其应用
1.若函数f(x)=(a2+a-5)logax为对数函数,则f=( )
A.3 B.-3 C.-log36 D.-log38
2.若函数f(2x)=xln 2,且f(m)=2,则实数m=( )
A.e B.e2 C.ln 2 D.2ln 2
3.已知函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2,1),B(5,2),则f(14)÷f的值是 .
4.如图,对数函数f(x)=logax(a>1)图象上的点A与x轴上的点B(1,0)和点C构成以BC为斜边的等腰直角三角形,若△ECD与△ABC相似,点E在函数f(x)的图象上,点D位于点C的右侧,且两个三角形的相似比为2∶1,则a= .
5.如图,对数函数f(x)的图象与一次函数h(x)=x-的图象有A、B两个公共点.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若关于x的不等式4f(x)题组二 与对数函数有关的函数的定义域问题
6.函数f(x)=的定义域为( )
A. B.(1,+∞)
C.∪(1,+∞) D.∪(1,+∞)
7.已知函数f(x)=ln(ax-b)的定义域是(1,+∞),则函数g(x)=(ax+b)(x-1)在区间(-1,1)上( )
A.有最小值,无最大值B.有最大值,无最小值
C.有最小值,也有最大值D.没有最小值,也没有最大值
8.函数f(x)=的定义域是 .
9.已知函数f(x)=loga(kx2-4kx+1-k)(a>0且a≠1)的定义域为R,则实数k的取值范围是 .
10.设函数f(x)=lg ,a∈R,若 x∈(-∞,1), f(x)都有意义,则a的取值范围是 .
11.已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0,且a≠1).当x∈时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
4.4 对数函数
4.4.1 对数函数的概念
基础过关练
1.B 2.B 6.D 7.A
1.B ∵函数f(x)=(a2+a-5)logax为对数函数,
∴解得a=2,∴f(x)=log2x,
∴f=log2=-3.故选B.
2.B 因为f(2x)=xln 2,所以令2x=t,则x=log2t,所以f(t)=ln 2·log2t=ln 2·=ln t,所以f(x)=ln x,所以f(m)=ln m=2,所以m=e2,故选B.
3.答案 6
解析 因为函数f(x)=log3(ax+b)的图象过点A(2,1)和B(5,2),
所以则解得
则f(x)=log3(2x-1),
因此f(14)=log3(2×14-1)=log327=3,
f=log3=log3=,
则f(14)÷f=3÷=6.
4.答案
解析 设A(x1,y1),E(x2,y2),y1,y2>0,则C(2x1-1,0).
因为△ABC与△ECD的相似比为1∶2,
所以=2,所以4x1-x2=3.
又y2=2y1,所以logax2=2logax1=loga,即x2=.
所以-4x1+3=0,解得x1=1(舍去)或x1=3.
又△ABC为等腰直角三角形,所以y1=x1-1=2.
由y1=logax1可得,2=loga3,即a2=3,
解得a=(负值舍去).
5.解析 (1)易知h(4)=-=1,所以B(4,1).
设f(x)=logax(a>0且a≠1),则f(4)=loga4=1,解得a=4,所以f(x)=log4x.
(2)不等式4f(x)因为f(x)的定义域为(0,+∞),
所以关于x的不等式4f(x)6.D 由题意得所以x>且x≠1,
因此f(x)的定义域为∪(1,+∞),故选D.
7.A 因为函数f(x)=ln(ax-b)的定义域是(1,+∞),所以不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),所以a>0且a-b=0,即a=b>0,所以g(x)=(ax+b)(x-1)=a(x+1)·(x-1),其图象开口向上,对称轴为直线x=0,所以g(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,所以g(x)在(-1,1)上有最小值,为g(0)=-a,没有最大值.故选A.
8.答案 (2,3]
解析 要使函数f(x)=有意义,
需lo(x-2)≥0,即0因此函数f(x)的定义域是(2,3].
9.答案
解析 由函数f(x)的定义域为R得不等式kx2-4kx+1-k>0在R上恒成立.
当k=0时,不等式为1>0,显然成立;
当k≠0时,有
解得0综上所述,实数k的取值范围是.
10.答案 [0,+∞)
解析 f(x)=lg =lg(4x+2x+a),
依题意得4x+2x+a>0在x∈(-∞,1)上恒成立,
即a>-(4x+2x)对任意x∈(-∞,1)都成立,
令t=2x,x∈(-∞,1),则t∈(0,2),
易知y=-t2-t=-+在(0,2)上单调递减,
∴-t2-t∈(-6,0),∴a≥0.
11.解析 设t=3-ax,∵a>0,∴t=3-ax为R上的减函数,∴当x∈时,t=3-ax的最小值为3-a.当x∈时, f(x)恒有意义,即t>0在x∈上恒成立,∴3-a>0,∴a<2,又a>0,且a≠1,∴实数a的取值范围为(0,1)∪(1,2).
74.4.2 对数函数的图象和性质
基础过关练
题组一 对数(型)函数的图象
1.函数y=f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是f(x)=( )
A.2-,x>0 B.-,x>0
C.ln x D.-x2+8x-7,x>0
2.(多选题)若logab<0(a>0且a≠1,b>0),则函数f(x)=ax+b的大致图象是 ( )
3.如图所示,①②③④中不对应函数y=lox,y=lox,y=log2x中的一个的是 .
4.函数y=loga(x-1)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过点A,则点A的坐标为 ;若点A在函数y=mx+n-1(m,n>0)的图象上,则mn的最大值为 .
5.(1)函数y=log2(x-1)的图象是由函数y=log2x的图象如何变化得到的
(2)在直角坐标系中作出y=|log2(x-1)|的图象;
(3)设函数y=与y=|log2(x-1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1,x2,M=(x1-2)·(x2-2),请判断M的符号.
题组二 对数函数的性质及其应用
6.已知A={x|y=},B=x≥,则A∩B=( )
A.{x|0≤x≤2} B.{x|0C.{x|1≤x≤2} D.
7.设函数f(x)=|lg x|,则下列说法正确的是( )
A. f(x)在(0,+∞)上单调递增
B. f(x)在(0,+∞)上单调递减
C. f(x)在[1,+∞)上单调递增
D. f(x)在(0,1]上单调递增
8.已知a=20.3,b=log32,c=log52,则( )
A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>c>a
9.(易错题)函数f(x)=log2(x2-4x+3)的单调递增区间是 .
10.若对数函数f(x)=log(3a-1)x和函数g(x)=在区间(0,+∞)上均单调递增,则实数a的取值范围是 .
11.已知a>2,函数f(x)=log4(x-2)-log4(a-x).
(1)求f(x)的定义域;
(2)当a=4时,求不等式f(2x-5)≤f(3)的解集.
题组三 对数函数的最大(小)值与值域问题
12.函数f(x)=log2(x2-2x+3)的值域为( )
A.[0,+∞) B.[1,+∞)
C.R D.[2,+∞)
13.已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-4] B.(-4,1)
C.[-4,1) D.(0,1)
14.已知函数f(x)=logax(015.已知x满足≤x≤8.
(1)求log2x的取值范围;
(2)求函数f(x)=log2(2x)·log2的最小值.
16.已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).
(1)若f(1)=1,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)的最小值是0,求实数a的值;
(3)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.
题组四 反函数
17.若对数函数f(x)的图象经过点(4,2),则它的反函数g(x)的解析式为 ( )
A.g(x)=2x B.g(x)=
C.g(x)=4x D.g(x)=x2
18.若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,且f(x+2)=xa+3,则g(x)的图象必过定点( )
A.(4,0) B.(4,1) C.(4,2) D.(4,3)
19.(多选题)已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的反函数为g(x),则( )
A.g(x)=logax(a>0,且a≠1),且定义域是(0,+∞)
B.函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称
C.若f(2)=,则g=-
D.当a>1时,函数f(x)与g(x)的图象的交点个数可能是0,1,2
能力提升练
题组一 对数函数的图象
1.函数f(x)=x3·ln|x|的图象大致是( )
2.已知实数a,b,c满足:=log2a,=log3b,=log2c,则a,b,c的大小关系是( )
A.a3.(多选题)已知f(x)=|lg x|,若a>b>c,且f(c)>f(a)>f(b),则( )
A.a>1 B.b>1
C.04.如图,曲线C1,C2,C3依次为y=2log2x,y=log2x,y=klog2x的图象,其中k为常数,0题组二 对数函数单调性的应用
5.已知a=log32,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a6.函数f(x)=lg(x2-ax-1)在(1,+∞)上单调递增的一个充分不必要条件是( )
A.a≤0 B.a<2
C.-1≤a<2 D.-1≤a≤0
7.已知正数a,b满足2a-4b=log2,则( )
A.a≥2b B.a≤2b C.a>2b D.a<2b
8.若函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上单调递减,则a的取值范围是 .
9.已知函数f(x)=log2(b≠-1)是定义在(-1,1)上的奇函数.
(1)求实数b的值;
(2)写出函数f(x)的单调区间;
(3)若f(a)-f(1-a)≤2a-1,求实数a的取值范围.
题组三 对数函数的最大(小)值与值域问题
10.函数f(x)=loga(x+1)+loga(1-x)a>0,且a≠1,x∈,若f(x)max-f(x)min=1,则a的值为( )
A.4 B.4或 C.2或 D.2
11.已知f(x)=loga(x2-ax+a),a>0且a≠1,若 x0∈R,使得f(x)≥f(x0)恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.1C.012.已知函数f(x)=(lg x)2+alg x+(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)在区间上的最小值;
(2)若存在x0∈(1,+∞),使得f(x0)=a成立,求a的取值范围.
13.已知函数f(x)=ln(ax2+2ax+1)的定义域为R.
(1)求a的取值范围;
(2)若a≠0,函数f(x)在[-2,1]上的最大值与最小值的和为0,求实数a的值.
题组四 对数函数的综合运用
14.设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)( )
A.是偶函数,且在上单调递增
B.是奇函数,且在上单调递减
C.是偶函数,且在上单调递增
D.是奇函数,且在上单调递减
15.(多选题)关于函数f(x)=ln(e2x+1)-x,下列说法正确的有( )
A. f(x)在R上是增函数
B. f(x)为偶函数
C. f(x)的最小值为ln 2,无最大值
D. x1,x2∈(0,+∞),都有f≤
16.已知函数f(x)=|log5x|,若f(x)17.已知函数f(x)=log2(-x)是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值;
(2)求使不等式f(x)≥1成立的x的取值范围.
答案与分层梯度式解析
4.4.2 对数函数的图象和性质
基础过关练
1.C 2.BC 6.C 7.C 8.A 12.B 13.C 17.A
18.D 19.ABD
1.C 对于A,当x∈(0,+∞)时,y=2-<2,A错误;对于B,当x∈(0,+∞)时,y=-<,B错误;对于C,y=ln x的图象经过点(1,0),且在(0,+∞)上单调递增,符合题意,C正确;对于D,y=-x2+8x-7的图象开口向下,显然不符合题意,D错误.故选C.
2.BC 由logab<0得,当01,此时f(x)=ax+b>1,且f(x)单调递减,B满足;
当a>1时,0b,且f(x)单调递增,C满足.故选BC.
3.答案 ③
解析 函数y=lox,y=lox在(0,+∞)上均单调递减,只有函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,因此排除①②;易知函数y=lox与y=log2x的图象关于x轴对称,
当x=时,y=lox=1,当x=时,y=lox=1,所以函数y=lox的图象为①,
因此函数y=log2x的图象为④,从而③无对应函数.故答案为③.
解题模板 函数图象的辨识可从以下几个方面入手:根据函数的定义域判断图象的左右位置,根据函数的值域判断图象的上下位置;根据函数的单调性,判断图象的变化趋势;根据函数的奇偶性,判断图象的对称性;根据函数的特征点,排除不符合要求的图象.
4.答案 (2,1);
解析 函数y=loga(x-1)+1(a>0,且a≠1)中,令x-1=1,得x=2,则y=1,即点A(2,1).
依题意得2m+n=2,又m>0,n>0,所以2=2m+n≥2,当且仅当2m=n=1时取“=”,即mn≤,所以mn的最大值为.
解题模板 解决函数图象过定点问题,应从定值入手,如a0=1(a≠0),logb1=0(b>0且b≠1),由此确定定点坐标.
5.解析 (1)函数y=log2(x-1)的图象是由函数y=log2x的图象向右平移1个单位长度得到的.
(2)y=|log2(x-1)|的图象如图①所示.
图① 图②
(3)不妨设x16.C ∵A={x|y=}={x|lg x≥0}={x|x≥1},B=x≥={x|0∴A∩B={x|1≤x≤2}.故选C.
7.C f(x)=|lg x|=因为y=lg x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.故选C.
8.A a=20.3>20=1,b=log32>log3=,且b=log32b>c,故选A.
9.答案 (3,+∞)
解析 对于f(x)=log2(x2-4x+3),令x2-4x+3>0,得x<1或x>3.设t=x2-4x+3,则t=(x-2)2-1,易知其在(-∞,1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,又y=log2t在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=log2(x2-4x+3)的单调递增区间是(3,+∞).
易错警示 求解由对数函数复合而成的函数的单调区间时,首先要考虑函数的定义域,由单调性与定义域结合求解单调区间.
10.答案
解析 由题意可得解得11.解析 (1)由题意得解得2故函数f(x)的定义域为(2,a).
(2)∵a=4,∴f(x)=log4(x-2)-log4(4-x),∴f(2x-5)=log4(2x-7)-log4(9-2x), f(3)=log41-log41=0,
则f(2x-5)≤f(3)即log4(2x-7)-log4(9-2x)≤0,即log4(2x-7)≤log4(9-2x),
因此解得12.B ∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,
∴f(x)=log2(x2-2x+3)≥log22=1,
因此,函数f(x)的值域是[1,+∞),故选B.
13.C 当x≥1时, f(x)=ln x-2a≥-2a,∵f(x)的值域为R,∴当x<1时, f(x)=(1-a)x+3的取值范围需包含(-∞,-2a),∴解得-4≤a<1,故选C.
14.答案
解析 ∵015.解析 (1)由≤x≤8,得-1≤log2x≤3,因此log2x的取值范围是[-1,3].
(2)f(x)=log2(2x)·log2=(log2x+1)(log2x-2)=-,由(1)知log2x∈[-1,3],
∴当log2x=时, f(x)取得最小值,为-.
16.解析 (1)∵f(1)=1,∴log4(a+5)=1,解得a=-1,∴f(x)=log4(-x2+2x+3).
由-x2+2x+3>0,解得-1∴f(x)的定义域为(-1,3).令t=-x2+2x+3,易知函数t=-x2+2x+3在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,而y=log4t是定义域上的增函数,
∴函数f(x)的单调递增区间为(-1,1).
(2)∵函数f(x)=log4(ax2+2x+3)的最小值为0,
∴函数y=ax2+2x+3有最小值1,
∴解得a=.
(3)∵函数f(x)=log4(ax2+2x+3)的值域为R,
∴函数y=ax2+2x+3能够取到(0,+∞)上的所有实数,
则a=0或∴0≤a≤.
17.A 设f(x)=logax(a>0且a≠1),∵函数f(x)的图象过点(4,2),∴f(4)=loga4=2,∴a=2,∴f(x)=log2x,
故f(x)的反函数g(x)的解析式为g(x)=2x.故选A.
18.D 由f(x+2)=xa+3可得f(x)=(x-2)a+3,当x=3时,无论a为何值,都有f(3)=4,即f(x)的图象恒过点(3,4),因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,所以f(x)与g(x)互为反函数,所以g(x)的图象恒过点(4,3),故选D.
19.ABD 对于A,根据同底数的指数函数与对数函数互为反函数可得g(x)=logax(a>0,且a≠1),且定义域是(0,+∞),故A正确.对于B,根据反函数的特点知函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,故B正确.对于C,若f(2)=,则a2=,解得a=或a=-(舍去),则g(x)=lox,则g=lo=,故C错误.对于D,在同一坐标系中作出a>1时两函数的图象,如图1,2,3,可知f(x)与g(x)的图象的交点个数可能为0,1,2,故D正确.故选ABD.
能力提升练
1.D 2.B 3.ACD 5.B 6.D 7.D 10.C 11.A
14.D 15.BCD
1.D 函数f(x)=x3·ln|x|的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,又f(-x)=-x3·ln|x|=-f(x),∴f(x)为奇函数,则f(x)的图象关于原点对称,故排除选项A、C;当x>1时, f(x)>0,故排除选项B.故选D.
2.B 在同一直角坐标系中画出y=,y=,y=log2x,y=log3x的图象,如图,
设y=与y=log2x的图象相交于点A,则其横坐标为a,设y=与y=log3x的图象相交于点B,则其横坐标为b,由图可知a综上,c3.ACD 由已知得f(x)=定义域为(0,+∞),且f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,由a>b>c,且f(c)>f(a)>f(b),结合函数图象可知,01,b≥1或0f(a)得-lg c>lg a,即lg c+lg a=lg(ac)<0,故04.答案
解析 设A(t,2log2t),则D(t,log2t),其中t>1,
设B(x,log2x),则2log2t=log2x,得x=t2,
所以B(t2,2log2t),则点C的坐标为(t2,log2t),
将点C的坐标代入函数y=klog2x的解析式,得log2t=klog2t2,∴2k=1,k=.
5.B ∵c==log3=log3>log3=log32=a,∴c>a,
又c==log4=log46.D 设t=x2-ax-1,该函数的图象开口向上,且对称轴方程为x=,
所以t=x2-ax-1在上单调递增,
又y=lg t在定义域上单调递增,
所以要使f(x)在(1,+∞)上单调递增,只需(1,+∞) ,所以≤1,a≤2,
又12-a-1≥0,所以a≤0.
故a≤0是函数f(x)在(1,+∞)上单调递增的充要条件,
根据充分不必要条件的定义可得D满足.故选D.
7.D 因为正数a,b满足2a-4b=log2=log2b-log2a,
所以2a+log2a=22b+log2b,(变量分离)
因此2a+log2a=22b+log2(2b)-1<22b+log2(2b),(通过放缩将两边化为相同的结构)
令f(x)=2x+log2x,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,(构造函数,利用单调性解决问题)
所以a<2b.故选D.
8.答案 (1,3)
解析 令u=6-ax,x∈[0,2],
则y=logau,a>0且a≠1,
因为函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上单调递减且u=6-ax在[0,2]上单调递减,
所以y=logau单调递增且u>0在x∈[0,2]时恒成立,
所以解得1易错警示 求含对数函数的复合函数的单调性时,既要考虑内、外两层函数的单调性,还要考虑函数的定义域(单调区间是函数定义域的子集).
9.解析 (1)因为f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x),即log2=-log2,
因此=,即1-b2x2=1-x2,故b2=1,又b≠-1,故b=1,
经检验b=1符合题意.
(2)由(1)得f(x)=log2,
任取x1,x2∈(-1,1),且x1则f(x1)-f(x2)=log2-log2
=log2=log2,
由于(x2-x1+1-x1x2)-(x1-x2+1-x1x2)=2(x2-x1)>0,
∴x2-x1+1-x1x2>x1-x2+1-x1x2,
又x1-x2+1-x1x2=(x1+1)(1-x2)>0,
∴>1,∴log2>0,即f(x1)>f(x2),
故函数f(x)的单调递减区间为(-1,1),无单调递增区间.
(3)f(a)-f(1-a)≤2a-1可化为f(a)-a≤f(1-a)-(1-a),
令g(x)=f(x)-x,则g(x)=log2-x,x∈(-1,1),
则g(a)≤g(1-a),
由(2)知, f(x)=log2在(-1,1)上单调递减,
因此g(x)=f(x)-x在(-1,1)上单调递减,
所以解得≤a<1,故实数a的取值范围为.
10.C 由题意可得f(x)=loga(1-x2),x∈.
当0由f(x)max-f(x)min=1,可得f-f(0)=1,
即loga-loga(1-0)=1,解得a=.
当a>1时,由复合函数的单调性可得f(x)=loga(1-x2)在区间上单调递减,
由f(x)max-f(x)min=1,可得f(0)-f=1,
即loga(1-0)-loga=1,解得a=2.
综上所述,a=2或a=.故选C.
11.A 由题知,函数f(x)存在最小值,
所以u=x2-ax+a大于0恒成立,且函数y=logau在(0,+∞)上单调递增,
所以解得1故选A.
12.解析 (1)当a=1时, f(x)=(lg x)2+lg x+,
设u=lg x,由x∈,得u∈[-1,2],
则f(x)可转化为g(u)=u2+u+=+1,所以当u=-,即x=时,g(u)min=1,
因此函数f(x)在区间上的最小值为1.
(2)设t=lg x0,由x0∈(1,+∞),得t∈(0,+∞),
则f(x0)=a可化为t2+at+=a,
即方程t2+at+-a=0存在大于零的解,
所以或
解得a≤-5或a>,
故a的取值范围为(-∞,-5]∪.
13.解析 (1)∵函数f(x)=ln(ax2+2ax+1)的定义域为R,∴ax2+2ax+1>0对任意x∈R恒成立,
当a=0时,可得1>0,恒成立,满足题意;
当a≠0时,要使ax2+2ax+1>0对任意x∈R恒成立,
只需解得0综上可得,a的取值范围是[0,1).
(2)由(1)及题意知0令u=ax2+2ax+1,
易知y=ln u是定义域内的增函数,
函数u=ax2+2ax+1(00,∴f(x)max=f(1)=ln(3a+1), f(x)min=f(-1)=ln(1-a),
∵f(x)在[-2,1]上的最大值与最小值的和为0,
∴ln(3a+1)+ln(1-a)=0,即ln[(3a+1)(1-a)]=0,可得(3a+1)(1-a)=1,
解得a=0(舍去)或a=,
故实数a的值为.
14.D 由得x≠±,故f(x)的定义域为xx∈R,且x≠±,关于原点对称,
又f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=-(ln|2x+1|-ln|2x-1|)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|=ln =ln,设t=,
则t====,
画出函数t=的图象,如图:
由图可知t=在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.
又对数函数y=ln x是定义域内的增函数,
所以由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.故选D.
15.BCD f(x)=ln(e2x+1)-x=ln =ln(ex+e-x),对于B选项,易知f(x)的定义域为R,又f(-x)=ln(e-x+ex)=f(x),所以f(x)为偶函数,B正确;
对于C选项,因为ex+e-x≥2=2,当且仅当ex=e-x,即x=0时,等号成立,所以f(x)≥ln 2,故f(x)的最小值为ln 2,无最大值,C正确;
对于A选项,当x>0时,令ex=t,则t>1,则f(x)=ln(ex+e-x)可转化为g(t)=ln,t>1,
由对勾函数的性质可知y=t+在(1,+∞)上单调递增,又y=ln x在(2,+∞)上单调递增,
所以g(t)=ln在t∈(1,+∞)上单调递增,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
又f(x)为R上的偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,A错误;
对于D选项, f=ln(+),
=
=
=ln ,
=++2·=++2,
()2=+++
≥++2=++2,
当且仅当=,即x1=x2时,等号成立,
又y=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f≤,D正确.故选BCD.
16.答案 (1,2)
解析 易知f(x)=|log5x|的定义域为(0,+∞),
所以即0当x=1时, f(x)=f(2-x),不合题意;
当01,则f(x)因此log5(2-x)+log5x>0,即log5[(2-x)x]>0,
所以(2-x)x>1,因此x2-2x+1<0,不等式无解;
当10,即x≠1,则1所以x的取值范围是(1,2).
17.解析 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(0)=log2=0,解得a=1,
检验:当a=1时, f(x)=log2(-x),定义域为R, f(-x)=log2(+x),且 x∈R,都有f(-x)+f(x)=log2[(+x)·(-x)]=log21=0,
所以f(x)是定义在R上的奇函数,故a=1.
(2)由(1)知f(x)=log2(-x).
f(x)≥1即log2(-x)≥log22,
得-x≥2,即≥x+2,
①当x+2<0,即x<-2时,≥x+2恒成立;
②当x+2≥0,即x≥-2时,
原不等式等价于x2+1≥x2+4x+4,解得-2≤x≤-.
综上,使不等式f(x)≥1成立的x的取值范围是.
7