4.5 函数的应用(二)
4.5.1 函数的零点与方程的解
基础过关练
题组一 求函数的零点
1.函数y=2x-4的零点为( )
A.0 B.-4 C.2 D.(2,0)
2.若函数y=x2-ax+b的两个零点为2,3,则函数y=bx2-ax-1的零点是( )
A.-1, B.1,- C., D.-,-
3.设m,n是方程(lg x)2-lg x3+1=0的两个实根,则mn= .
题组二 判断函数的零点所在的区间
4.函数f(x)=ln(x-1)-的零点所在区间为( )
A.(2,3) B.(3,4) C.(4,5) D.(5,6)
5.(多选题)函数f(x)=2x-3x2的零点所在的区间是( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
6.函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是( )
A.(3,4) B.(2,3)
C.(1,2) D.(0,1)
题组三 判断函数的零点个数
7.(教材习题改编)对于函数f(x),若f(-1)f(3)<0,则 ( )
A.方程f(x)=0一定有实数解
B.方程f(x)=0一定无实数解
C.方程f(x)=0一定有两个实数解
D.方程f(x)=0可能无实数解
8.已知函数f(x)=若k>0,则函数y=|f(x)|-1的零点个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
9.函数f(x)=-(k>0)的零点个数为 .
题组四 根据零点情况求参数的值(范围)
10.二次函数f(x)=x2+(m-3)x+2m的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1,x2,且0
A.m<或m>5 B.0C.m<-或m>5 D.-11.已知函数f(x)=lg x+2x-7的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
12.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是 .
13.若关于x的方程x2+ax-1=0在区间[0,1]上有解,则实数a的取值范围是 .
14.若函数f(x)=x2-2ax+1在(0,2)上有两个零点,则a的取值范围是 .
能力提升练
题组一 函数的零点与方程的解
1.已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>a>b
2.(多选题)下列说法正确的是( )
A.若函数y=f(x)的图象在[a,b]上连续不断,且f(a)·f(b)>0,则函数y=f(x)在(a,b)上无零点
B.函数f(x)=2x+log2x有且只有1个零点
C.函数f(x)=2x|log0.5x|-1有2个零点
D.若f(x)=x+,则函数y=[f(x)]2-f(x)-6有3个零点
3.已知函数f(x)=的图象与函数g(x)=(x-1)3的图象有三个交点,分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),则x1+y1+x2+y2+x3+y3=( )
A.1 B.3 C.6 D.9
4.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时, f(x)=x,则函数y=f(x)-log6|x|的零点个数是( )
A.6 B.10 C.14 D.18
5.已知x1,x2是函数f(x)=|ln(x+1)|-的零点,则( )
A.(x1+1)(x2+1)<0
B.0<(x1+1)(x2+1)<1
C.1<(x1+1)(x2+1)D.(x1+1)(x2+1)>e
6.若正实数x0是关于x的方程ex+x=ax+ln ax的根,则-ax0= .
7.已知奇函数f(x)=+a(x≠0),则方程f(x)=的解为x= .
8.已知函数f(x)=x+-10,x∈(0,+∞),则f(x)的所有零点的和为 ;若方程|f(x)|=m(m>0)有四个不相等的实根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= .
题组二 根据零点情况求参数的值(范围)
9.已知函数f(x)=若方程[f(x)]2-(a+1)·f(x)+a=0有五个不同的实数根,则实数a的取值范围为 .
10.已知函数f(x)是定义在[0,+∞)上的单调函数,且对于任意的x∈[0,+∞),都有f(f(x)-)=2,若关于x的方程f(x+2)=x+k恰有两个实数根,则实数k的取值范围为 .
11.已知函数f(x)=(a-1)x2+2ax-(a∈R).
(1)当a>1时,函数f(x)在区间(0,2)内有且只有1个零点,求实数a的取值范围;
(2)当a≤1时,关于x的方程f(x)=0在区间(0,2)内有且只有1个实数根,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
4.5 函数的应用(二)
4.5.1 函数的零点与方程的解
基础过关练
1.C 2.B 4.B 5.BC 6.B 7.D 8.D 10.B
11.C
1.C 令y=2x-4=0,解得x=2.故选C.
2.B ∵y=x2-ax+b的两个零点为2,3,
∴2+3=a,2×3=b,∴a=5,b=6,
因此y=bx2-ax-1=6x2-5x-1,令6x2-5x-1=0,得x=1或x=-,故选B.
3.答案 1 000
解析 ∵m,n是方程(lg x)2-lg x3+1=0,即(lg x)2-3lg x+1=0的两个实根,∴lg m+lg n=3,可得mn=103=1 000.
4.B 易知函数f(x)=ln(x-1)-在其定义域(1,+∞)上单调递增,且图象连续不断,
又f(3)=ln 2-1<0, f(4)=ln 3->0,所以函数的零点所在区间为(3,4).故选B.
5.BC 易知函数f(x)=2x-3x2是连续函数,
∵f(-2)=-12<0, f(-1)=-3=-<0, f(0)=1>0, f(1)=2-3=-1<0, f(2)=4-12<0,
∴f(-1)·f(0)<0, f(0)·f(1)<0,
∴由函数零点存在定理可知函数f(x)在(-1,0),(0,1)上有零点,故选BC.
6.B f(x)的定义域为{x|x>0且x≠1},
当x∈(0,1)时, f(x)=ln x-<0恒成立,不存在零点,排除D;
当x∈(1,+∞)时, f(x)=ln x-,易知f(x)在该区间上单调递增,
又f(2)=ln 2-2<0, f(3)=ln 3-1>0, f(x)在(1,+∞)上的图象连续不断,
∴f(x)的零点所在的区间是(2,3).故选B.
解题模板 判断函数零点所在区间,要根据函数解析式,借助函数的图象,综合运用f(x)的值域、单调性,判断函数零点的个数,再结合函数零点存在定理判断零点所在的区间.
7.D ∵函数f(x)的图象在(-1,3)上未必连续,∴由f(-1)f(3)<0不一定能得出函数f(x)在(-1,3)上有零点,即方程f(x)=0可能无实数解.
8.D 由y=|f(x)|-1=0得|f(x)|=1,即f(x)=1或f(x)=-1.
当x>0时,由ln x=1或ln x=-1,解得x=e或x=.
当x≤0时,由kx+2=1或kx+2=-1,解得x=-或x=-.
所以函数y=|f(x)|-1的零点个数是4,故选D.
9.答案 1
解析 令-=0(x>0),可得k=x=(x>0),因为k>0,所以x=,即该方程只有一个实数根,所以函数f(x)只有一个零点.
10.B 由题意可得即解得011.C 易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)在(0,+∞)上单调递增,其图象连续不断.
∵f(1)=lg 1+2-7=-5<0, f(2)=lg 2+4-7=lg 2-3<0, f(3)=lg 3+6-7=lg 3-1<0, f(4)=lg 4+8-7=lg 4+1>0,∴f(3)·f(4)<0,
∴f(x)在(3,4)上存在唯一零点,∴k=3,故选C.
12.答案 (-∞,1]
解析 关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,等价于函数f(x)的图象与直线y=k有两个不同的交点,作出函数的图象如下:
由图可知实数k的取值范围是(-∞,1].
方法技巧 对于函数零点(方程根)的个数问题,数形结合是解决问题的有效方法,必要时对方程变形,转化为两个函数的图象的交点个数问题.
13.答案 [0,+∞)
解析 令f(x)=x2+ax-1,由函数f(x)的图象开口向上,Δ=a2+4>0,及f(0)=-1<0,知f(x)=0在[0,1]上有解时, f(1)≥0,即a≥0.
一题多解 解决含参函数存在零点的问题,可先采用变量分离,再将问题转化为函数的值域问题加以解决.当x=0时,方程为-1=0,不成立,故x≠0,所以014.答案
解析 根据题意,若函数f(x)=x2-2ax+1在(0,2)上有两个零点,
则有解得1能力提升练
1.B 2.BCD 3.B 4.B 5.B
1.B 函数f(x)=2x+x的零点为函数y=2x与y=-x的图象交点的横坐标,
函数g(x)=log2x+x的零点为函数y=log2x与y=-x的图象交点的横坐标,
函数h(x)=x3+x的零点为函数y=x3与y=-x的图象交点的横坐标.
在同一平面直角坐标系内作出函数y=2x、y=log2x、y=x3与y=-x的图象,如图:
由图可知,a<0,b>0,c=0,∴a2.BCD 对于A,令f(x)=x2,取区间[-1,1],显然f(-1)f(1)=1>0,但f(0)=0,A错误;
对于B,令f(x)=2x+log2x=0,得2x=-log2x,作出y=2x与y=-log2x的图象(如图1),
显然两函数图象只有一个交点,即函数f(x)=2x+log2x有且只有1个零点,B正确;
对于C,原函数的零点个数转化为y=与y=|log0.5x|的图象的交点个数,作出图象(如图2),
可见两函数图象有两个交点,C正确;
对于D,由[f(x)]2-f(x)-6=0得f(x)=-2或f(x)=3,由x+=-2得(x+1)2=0,所以x1=x2=-1,由x+=3得x2-3x+1=0,因为Δ=5>0,所以该方程有两个互异根,所以原函数共有3个零点,D正确.
故选BCD.
3.B 由已知得f(x)==1-,且f(1)=0,
由于f(1+x)+f(1-x)=1-+1-=2-=2-=2-=2-2=0,
因此f(x)=的图象关于点(1,0)中心对称,
又g(x)=(x-1)3的图象关于点(1,0)中心对称,
且g(1)=0,所以不妨设(x2,y2)为(1,0),
则点(x1,y1),(x3,y3)关于点(1,0)中心对称,
即x1+x3=2,y1+y3=0,因此x1+y1+x2+y2+x3+y3=2+1=3.故选B.
4.B 因为当x∈[0,1]时, f(x)=x,且f(x)为偶函数,
所以当x∈[-1,0]时, f(x)=-x.
结合f(x+2)=f(x)可画出f(x)在(0,+∞)上的图象,如图,易知函数y=log6|x|是偶函数,且x≠0,在同一坐标系中画出函数y=log6|x|在(0,+∞)上的图象,
则函数y=f(x)-log6|x|的零点个数等于函数y=f(x)的图象与函数y=log6|x|的图象的交点个数.
显然函数y=f(x)的图象与函数y=log6|x|的图象在(0,+∞)上有5个交点,
因此函数y=f(x)-log6|x|的零点个数是10.故选B.
5.B ∵实数x1,x2是函数f(x)=|ln(x+1)|-的零点,
∴实数x1,x2是函数y=|ln(x+1)|与y=的图象交点的横坐标,设交点分别为A,B,
画出函数y=|ln(x+1)|与y=的图象,如图所示:
过点A作直线y=a,在第一象限内与y=|ln(x+1)|的图象交于点C,设点C的横坐标为x3,
∴|ln(x1+1)|=|ln(x3+1)|,∴-ln(x1+1)=ln(x3+1),∴ln(x3+1)+ln(x1+1)=0,
即ln[(x3+1)(x1+1)]=0,∴(x3+1)(x1+1)=1,
由图象可知,-1∴0∴0<(x1+1)(x2+1)<(x1+1)(x3+1)=1,
即0<(x1+1)(x2+1)<1.故选B.
6.答案 0
解析 由ex+x=ax+ln ax,得ex+x=eln ax+ln ax,令f(x)=ex+x,易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,故f(x)=f(ln ax),故x=ln ax.
∵正实数x0是方程ex+x=ax+ln ax的根,
∴x0=ln ax0,得=ax0,即-ax0=0.
7.答案 log34
解析 由f(x)是奇函数知f(x)+f(-x)=0,
即+a++a=0,化简得2a-1=0,解得a=,因此f(x)=+,
令+=,即3x=4,解得x=log34.
故f(x)=的解为x=log34.
8.答案 10;20
解析 令f(x)=x+-10=0,得x2-10x+16=0,
解得x=2或x=8,
故函数f(x)在(0,+∞)内的零点为2和8,
所以f(x)的所有零点的和为10.
方程|f(x)|=m(m>0),即=m,x∈(0,+∞),即|x2-10x+16|=mx,
当f(x)≥0,即x2-10x+16≥0时,方程可转化为x2-10x+16=mx,即x2-(10+m)x+16=0.
当x2-10x+16<0时,方程可转化为x2-10x+16=-mx,即x2-(10-m)x+16=0.
故要有四个实数根,则两种情况都有两个不同的实数根,
不妨设x1,x4为x2-(10+m)x+16=0的两根,则x2,x3为x2-(10-m)x+16=0的两根,则x1+x4=10+m,x2+x3=10-m,
故x1+x2+x3+x4=10+m+10-m=20.
9.答案 (0,1)
解析 由[f(x)]2-(a+1)f(x)+a=0可得f(x)=a或f(x)=1,
当x≤0时, f(x)=|2x-1|=1-2x∈[0,1);
当0作出函数f(x)的图象与直线y=1,如图所示:
由图可知,直线y=1与曲线y=f(x)有2个交点,即方程f(x)=1只有2个解,
所以方程f(x)=a有3个不同的解,即直线y=a与曲线y=f(x)有3个交点,则010.答案
解析 因为函数f(x)是[0,+∞)上的单调函数,且对于任意的x∈[0,+∞),都有f(f(x)-)=2,所以f(x)-是定值,设t=f(x)-,t≥0,可得f(x)=+t,
由f(t)=2,可得+t=2,解得t=1或t=-2(舍去),
所以f(x)=+1,则方程f(x+2)=x+k即+1=x+k,即-x=k-1.
因为关于x的方程f(x+2)=x+k恰有两个实数根,
所以函数y=-x的图象和直线y=k-1有两个交点,设m=,则x=m2-2,且m≥0,
则y=-x可转化为g(m)=-m2+m+2=-+,m≥0,
故当m∈时,函数g(m)单调递增,当m∈时,函数g(m)单调递减,
所以g(m)max=g=,且g(0)=2,当x→+∞时,g(m)→-∞,
故要使方程f(x+2)=x+k恰有两个实数根,只需2≤k-1<,解得3≤k<.
11.解析 (1)当a>1时, f(x)=(a-1)x2+2ax-为二次函数,其图象开口向上,且f(0)=-<0,
要想f(x)在区间(0,2)内有且只有1个零点,只需f(2)>0,即4(a-1)+4a->0,解得a>,
又因为a>1,所以实数a的取值范围是{a|a>1}.
(2)当a=1时, f(x)=2x-,为一次函数,
令2x-=0,解得x=∈(0,2),满足题意.
当a<1时, f(x)=(a-1)x2+2ax-为二次函数,其图象开口向下,且f(0)=-<0,
令Δ=4a2-4(a-1)×=0,解得a=-1或a=.
当a=-1时, f(x)=-2x2-2x-,令-2x2-2x-=0,解得x1=x2=- (0,2),舍去.
当a=时, f(x)=-x2+x-,令-x2+x-=0,解得x1=x2=1∈(0,2),满足要求.
当即a<-1或要想方程f(x)=0在区间(0,2)内有且只有1个实数根,只需f(2)>0,由(1)得a>,所以综上,实数a的取值范围是∪.
74.5.2 用二分法求方程的近似解
基础过关练
题组一 二分法的概念与对二分法求函数零点步骤的理解
1.已知函数f(x)=x2-log2x-6,则用二分法求f(x)的零点时,其中一个零点的初始区间可以为( )
A.[1,2] B.[2,3] C.[3,4] D.[4,5]
2.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0, f(0.5)>0,则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A.(0,0.5), f(0.125) B.(0,0.5), f(0.375)
C.(0.5,1), f(0.75) D.(0,0.5), f(0.25)
3.设f(x)=2x+x-8,用二分法求方程2x+x-8=0在[1,5]上的近似解时,经过两次二分后,可确定近似解所在区间为( )
A.[1,2]或[2,3] B.[2,3]
C.[1,2] D.不能确定
4.若在用二分法寻找函数y=2x-(x>1)零点的过程中,依次确定了零点所在区间为[a,b],,,则实数a和b分别等于( )
A., B.2,3 C.,2 D.,
5.(多选题)下列方程中能用二分法求近似解的为( )
A.ln x+x=0 B.ex-3x=0
C.x3-3x+1=0 D.4x2-4x+5=0
6.若用二分法求方程2x3+3x-3=0在初始区间(0,1)内的近似解,则第二次取区间的中点为 .
题组二 二分法的应用
7.设h(x)=2x+log2(x+1)-2,某同学用二分法求方程h(x)=0的近似解(精确度为0.5),部分数据如下:
x -0.5 0.125 0.437 5 0.75 2
h(x) -2.29 -0.74 -0.12 0.49 3.58
依据此表格中的数据,得到的方程近似解x0可能是( )
A.-0.125 B.0.375 C.0.525 D.1.5
8.一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点,知道电路不通的原因是焊口脱落造成的.要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落,至多需要检测( )
A.4次 B.6次 C.8次 D.30次
9.求方程lg x=-1的近似解(精确度为0.1).
答案与分层梯度式解析
4.5.2 用二分法求方程的近似解
基础过关练
1.B 2.D 3.B 4.A 5.ABC 7.C 8.B
1.B 由函数f(x)=x2-log2x-6得f(2)=4-1-6=-3<0, f(3)=9-log23-6=3-log23>0,∴f(2)·f(3)<0,
又∵函数f(x)=x2-log2x-6的图象在区间[2,3]上连续不断,∴函数f(x)的一个零点的初始区间可以为[2,3].故选B.
2.D 由f(0)<0, f(0.5)>0,得f(0)·f(0.5)<0,
因此其中一个零点所在的区间为(0,0.5),第二次应计算的函数值应该为f(0.25).故选D.
3.B 因为f(1)=2+1-8=-5<0, f(5)=32+5-8=29>0, f(3)=8+3-8=3>0,
所以f(1)·f(3)<0,因此函数f(x)的零点落在区间[1,3]内,
又因为f(2)=4+2-8=-2<0,所以f(2)·f(3)<0,
因此函数f(x)的零点落在区间[2,3]内,
即经过两次二分后,可确定近似解所在区间为[2,3].故选B.
4.A ∵依次确定了零点所在区间为[a,b],,,
∴解得故选A.
5.ABC 对于A,设f(x)=ln x+x,则f=ln +=-2+<0, f(1)=1>0,所以f·f(1)<0,且f(x)的图象是一条连续不断的曲线,根据函数零点存在定理知, x1∈,使得f(x1)=0,选项A正确;
对于B,设g(x)=ex-3x,则g(0)=1>0,g(1)=e-3<0,所以g(0)·g(1)<0,且g(x)的图象是一条连续不断的曲线,根据函数零点存在定理可知, x2∈(0,1),使得g(x2)=0,选项B正确;
对于C,设h(x)=x3-3x+1,则h(0)=1>0,h(1)=1-3+1=-1<0,所以h(0)·h(1)<0,且h(x)的图象是一条连续不断的曲线,根据函数零点存在定理知, x3∈(0,1),使得h(x3)=0,选项C正确;
对于D,设k(x)=4x2-4x+5,因为k(x)=(2x-)2≥0恒成立,不存在函数值异号区间,所以不满足二分法的条件,选项D错误.故选ABC.
6.答案 0.75
解析 设f(x)=2x3+3x-3,则f(0)=-3<0, f(1)=2+3-3=2>0,
取区间(0,1)的中点0.5,由f(0.5)=0.25+1.5-3=-1.25<0,知零点在区间(0.5,1)内,再取区间中点为=0.75,即第二次取区间的中点为0.75.
7.C 由题表中数据可知,h(0.437 5)<0,h(0.75)>0,
又因为函数h(x)在[0.437 5,0.75]上连续,且函数h(x)在(-1,+∞)上单调递增,所以函数h(x)在区间[0.437 5,0.75]上存在一个零点,
又因为0.75-0.437 5=0.312 5<0.5,
所以方程h(x)=0的近似解(精确度为0.5)可以是区间[0.437 5,0.75]内的任意一个数,
观察四个选项可知C正确.故选C.
8.B 第一次,可去掉30个结果,从剩余的30个中继续应用二分法;第二次,可去掉15个结果,从剩余的15个中继续应用二分法;第三次可去掉7或8个结果,考虑至多的情况,所以去掉7个结果,从剩余的8个中继续应用二分法;第四次,可去掉4个结果,从剩余的4个中继续应用二分法;第五次,可去掉2个结果,从剩余的2个中继续应用二分法;第六次,可去掉1个结果,得到最终结果,所以至多需要检测六次.故选B.
9.解析 作出y=-1与y=lg x的图象,如图所示.
由函数y=lg x与y=-1的图象可知,方程lg x=-1有唯一实数解,且在区间(0,1)内.
设f(x)=lg x-+1, f(1)=>0,用计算器计算,列表如下:
零点所在区间 中点的值 中点函数 近似值 区间长度
(0,1) 0.5 -0.008 1 1
(0.5,1) 0.75 0.280 5 0.5
(0.5,0.75) 0.625 0.147 5 0.25
(0.5,0.625) 0.562 5 0.073 0 0.125
(0.5,0.562 5) 0.062 5
由于|0.562 5-0.5|=0.062 5<0.1,所以函数f(x)的零点的一个近似值为0.562 5,即方程lg x=-1的近似解为0.562 5.
7(共21张PPT)
1.函数的零点的概念
对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
2.方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
4.5 函数的应用(二)
知识点 1 函数的零点
知识 清单破
4.5.1 函数的零点与方程的解 4.5.2 用二分法求方程的近似解
函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=
f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
知识点 2
用二分法求函数y=f(x)零点的近似值
1.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在
区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
2.给定精确度ε用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下:
(1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0.
(2)求区间(a,b)的中点c.
知识点 3
(3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:
①若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点;
②若f(a)f(c)<0 (此时x0∈(a,c)),则令b=c;
③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c.
(4)判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤2~4.
知识辨析
1.函数的零点是函数图象与x轴的交点吗
2.设f(x)= ,由f(-1)f(1)<0能否得到函数f(x)= 在[-1,1]内有零点
3.若函数f(x)的图象在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,能否确定零点是唯一
的
4.若函数y=f(x)在(a,b)内有零点,能否得到f(a)f(b)<0
一语破的
1.不是.函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数解,因此,函数的零点不是点,而是一个实数,为
函数图象与x轴的交点的横坐标.
2.不能.f(x)= 的图象在[-1,1]上不是一条连续不断的曲线.
3.不能.若f(x)在[a,b]上单调,则零点唯一,否则零点可能不止一个.
4.不能.y=f(x)在x=a或x=b处可能无定义,即使有定义,也可能f(a)f(b)>0,如函数f(x)=(x-1)2在(0,2)
内有零点,但f(0)f(2)>0.
定点 1 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布问题
关键能力 定点破
设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根,令f(x)=ax2+bx+c(a>0),则x1,
x2的分布情况如下表:
根的分布 图象 等价条件
x1k根的分布 图象 等价条件
mx1,x2∈(k1,k2)
根的分布 图象 等价条件
只有一根在(k1,k2)内 或f(k1)f(k2)<0
(f(k1)=0或f(k2)=0时单独验证)
典例 已知函数f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6.
(1)若f(x)有两个零点,一个比2大,一个比2小,求实数m的取值范围;
(2)若f(x)的两个零点都比1大,求实数m的取值范围;
(3)若f(x)的两个零点α,β满足0<α<1<β<4,求实数m的取值范围.
解析 (1)f(x)的图象是开口向上的抛物线.
由题意,得f(2)<0,即22+2(m-1)×2+2m+6<0,解得m<-1.
所以实数m的取值范围为(-∞,-1).
(2)由题意得
即
解得- 所以实数m的取值范围为 .
(3)由题意得
即
解得- 所以实数m的取值范围为 .
函数零点个数的判断及应用
1.判断函数f(x)的零点个数的主要方法
(1)转化为解相应的方程,根据方程的解进行判断.
(2)画出函数y=f(x)的图象,判断它与x轴的交点个数,从而判断零点的个数.
(3)利用函数零点存在定理进行判断,若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,
且在区间(a,b)上单调,满足f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)上有且仅有一个零点.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
2.有关函数零点个数的应用问题,通常利用转化法和数形结合思想求解.
定点 2
典例 (1)已知函数f(x)= 若方程f(x)=a有4个不同的实数根x1,x2,x3,x4(x1则 +x3+x4的取值范围是 ;
(2)已知函数f(x)= 若方程2[f(x)]2+3mf(x)+1=0有6个不同的根,则实数m的取值范
围是 .
(7,8)
(-∞,-1)
解析 (1)由函数f(x)= 作出f(x)的图象和直线y=a,如图所示:
根据二次函数图象的对称性知x3+x4=6,且2x2=1,
∴ +x3+x4=6+ =6+ =5+ ,∵2取值范围是(7,8).
(2)令t=f(x),则方程2[f(x)]2+3mf(x)+1=0,即2t2+3mt+1=0.
作出直线y=t和函数y=f(x)的图象,如图所示:
由图象可知:
当t<0时,方程t=f(x)有1个根;
当t=0时,方程t=f(x)有3个不同的根;
当0当t=1时,方程t=f(x)有3个不同的根;
当t>1时,方程t=f(x)有2个不同的根.
要使关于x的方程2[f(x)]2+3mf(x)+1=0有6个不同的根,
则方程2t2+3mt+1=0有两个不同的根,不妨设为t1,t2(t11,或t1=0,t2=1.
由根与系数的关系得t1t2= ,故t1=0,t2=1不满足,舍去.
若01,结合函数y=2t2+3mt+1的图象得2+3m+1<0,解得m<-1.
故实数m的取值范围是(-∞,-1).
用二分法求方程的近似解
1.二分法求方程近似解的适用条件
(1)在初始区间内函数图象是连续不断的;
(2)函数在初始区间的两个端点的函数值异号,即是变号零点.
2.利用二分法求方程近似解的步骤
(1)构造函数,选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度尽量小.
(2)用列表法清晰地表达函数零点所在的区间,依次进行计算.
(3)求出满足精确度的方程的解所在的区间M.
(4)区间M内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间M的一个端点.
定点 3
典例 用二分法求方程2x+x=4的近似解(精确度为0.2).
参考数据:
x 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x的近似值 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
解析 令f(x)=2x+x-4,则f(x)在R上是增函数, f(1)=2+1-4=-1<0, f(2)=22+2-4=2>0,因此可取区间
(1,2)作为计算的初始区间.用二分法逐次计算,列表如下:
区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号
(1,2) x1=1.5 f(x1)≈0.33>0
(1,1.5) x2=1.25 f(x2)≈-0.37<0
(1.25,1.5) x3=1.375 f(x3)≈-0.035<0
∵|1.375-1.5|=0.125<0.2,∴方程2x+x=4在(1,2)内的近似解可以为1.375.4.5.3 函数模型的应用
基础过关练
题组一 利用指数函数、对数函数模型解决问题
1.在当今这个5G时代,6G的研究方兴未艾.有消息称,未来6G通讯的速率有望达到1 Tbps,香农公式C=Wlog2是通信理论中的重要公式,它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S和信道内部的高斯噪声功率N的大小.其中叫做信噪比.若不改变带宽W,而将信噪比从3提升到99,则最大信息传递率C大约会提升到原来的(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)( )
A.2.3倍 B.3.3倍 C.4.6倍 D.6.6倍
2.某人拥有一辆价值20万元的轿车,已知轿车以每年8%的幅度贬值,则这个人至多几年后卖出这辆轿车,才不会以低于15万元的价格成交(参考数据:lg 75≈1.875,lg 92≈1.964)( )
A.3年 B.4年 C.5年 D.6年
3.专家对某地区传染病暴发趋势进行研究发现,从确诊第一名患者开始累计时间t(单位:天)与病情暴发系数f(t)之间,满足函数模型: f(t)=,当f(t)=0.1时,标志着疫情将要大面积暴发,则此时t约为(参考数据:e1.1≈3)( )
A.38 B.40 C.45 D.47
4.某工厂产生的废气经过过滤后排放.已知过滤过程中废气的污染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)的关系为P=kat(k>0,a>0且a≠1),其图象如图,则污染物减少60%至少需要的时间约为(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)( )
A.23小时 B.25小时
C.42小时 D.44小时
5.(多选题)某食品的保鲜时间y(单位:h)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(k,b为常数).若该食品在0 ℃时的保鲜时间是192 h,在22 ℃时的保鲜时间是48 h,则下列说法正确的是( )
A.k>0
B.储存的温度越高,该食品的保鲜时间越长
C.该食品在11 ℃时的保鲜时间是96 h
D.该食品在33 ℃时的保鲜时间是24 h
6.在有声世界,声强级是表示声强度相对大小的指标,声强级y(单位:dB)与声强度I(单位:W/m2)之间的关系为y=10lg ,其中,I0=10-12W/m2为基准值.则声强级为60 dB时的声强度I60是声强级为40 dB时的声强度I40的 倍.
7.某种出口产品的关税税率t,市场价格x(单位:千元)与市场供应量p(单位:万件)之间近似满足关系式:p=,其中k,b均为常数.当关税税率为75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量约为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.
(1)试确定k,b的值;
(2)市场需求量q(单位:万件)与市场价格x近似满足关系式:q=2-x.当p=q时,市场价格称为市场平衡价格.当市场平衡价格不超过4千元时,求关税税率的最大值.
8.为实施大气污染防治行动,市环保局规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放.已知在过滤过程中,废气中的污染物含量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系式为P(t)=P0ekt(e为自然对数的底数,P0为污染物的初始含量).过滤1小时后检测,发现污染物的含量为原来的.
(1)求函数P(t)的关系式;
(2)要使污染物的含量不超过初始值的,至少需过滤几小时 (参考数据:lg 2≈0.3)
题组二 拟合函数模型解决问题
9.人类已进入大数据时代,数据量已从 EB(1 EB=1 0242 TB)级别跃升到ZB(1 ZB=1 024 EB)级别,据研究结果表明:某地区的数据量y(单位:EB)与时间x(单位:年)的关系符合函数y=k·ax-2 021,其中a>0,a≠1.已知2022年该地区产生的数据量为0.5 EB,2023年该地区产生的数据量为1 EB,则2024年该地区产生的数据量为( )
A.1.5 EB B.1.75 EB
C.2 EB D.2.25 EB
10.某纪念章从2021年10月1日起开始上市,通过市场调查,得到该纪念章每枚的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的部分数据,如下表:
上市时间x(天) 4 10 36
每枚的市场价y(元) 90 51 90
根据上表数据,从下列四个函数:①y=ax+b,②y=ax2+bx+c,
③y=a·logbx,④y=k·ax中选取一个恰当的函数描述该纪念章每枚的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由;
(2)利用你选取的函数,求该纪念章每枚的市场价最低时的上市天数及最低价格.
能力提升练
题组 利用函数模型解决问题
1.我们知道二氧化碳是温室性气体,是全球变暖的主要元凶.在室内二氧化碳含量的多少也会给人体健康带来影响.下表是室内二氧化碳浓度与人体生理反应的关系:
室内二氧化碳浓度 (单位:ppm) 人体生理反应
不大于1 000 空气清新,呼吸顺畅
1 000~2 000 空气浑浊,觉得昏昏欲睡
2 000~5 000 感觉头痛,嗜睡,呆滞,注意力无法集中
大于5 000 可能导致缺氧,造成永久性脑损伤,昏迷甚至死亡
《室内空气质量标准》和《公共场所卫生指标及限值要求》给出的室内二氧化碳浓度的国家标准为:室内二氧化碳浓度不大于0.1%(0.1%即为1 000 ppm),所以室内要经常通风换气,保持二氧化碳浓度水平不高于标准值.经测定,某中学刚下课时,一个教室内的二氧化碳浓度为2 000 ppm,若开窗通风后二氧化碳浓度y%与时间t(单位:分钟)的关系式为y=0.05+λ(λ∈R),要使该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准,则需要开窗通风的时间至少约为(参考数据:ln 3≈1.099,ln 5≈1.609)( )
A.10分钟 B.11分钟
C.12分钟 D.20分钟
2.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型及水的温度有关.经验表明,有一种茶用90 ℃的水泡制,再等到茶水温度降至60 ℃时饮用,可以产生最佳口感.某研究人员在室温下,每隔1 min测一次茶水温度,得到数据如下表:
放置时间/min 0 1 2 3 4
茶水温度/℃ 90.00 84.00 78.62 73.75 69.39
为了描述茶水温度y ℃与放置时间x min的关系,现有以下两种函数模型供选择:
①y=kax+30(k∈R,0②y=mx+b(m,b∈R,x≥0).
选择最符合实际的函数模型,可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置的时间大约为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( )
A.5.5 min B.6.5 min C.7.5 min D.8.5 min
3.2023年10月26日神舟十七号载人飞船在长征二号F遥十七运载火箭的托举下点火升空,成功进入预定轨道.我国在航天领域取得的巨大成就,得益于我国先进的运载火箭技术.根据火箭理想速度公式v=v0·ln 可以计算理想状态下火箭的最大速度v(m/s),其中v0(m/s)是喷流相对速度,m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(kg)是推进剂与火箭质量的总和,称为总质比.已知甲型火箭喷流相对速度为2 000 m/s.
(1)当总质比为9时,甲型火箭的最大速度为 m/s;
(2)若经过材料更新和技术改进后,甲型火箭的喷流相对速度提高到原来的倍,总质比变为原来的.若要使火箭的最大速度至少增加1 000 m/s,则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为 .
(所有结果保留整数,参考数据:ln 3≈1.1,e≈2.72)
4.物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度为T0(单位:℃),经过一段时间t(单位:分钟)后的温度为T(单位:℃),则T-Tc=(T0-Tc)·at,其中Tc为环境温度(单位:℃),a为参数.某日室温为20 ℃,上午8时小王使用电热养生壶烧水(假设加热时水温随时间的变化为一次函数,且初始温度与室温一致),8分钟后水温达到100 ℃,8时18分时,壶中热水自然冷却到60 ℃.
(1)求8时起壶中水温T(单位:℃)关于时间t(单位:分钟)的函数T=f(t);
(2)若当日小王在水沸腾(水温达到100 ℃)时,恰好有事出门,于是将养生壶设定为保温状态,已知保温时养生壶会自动检测壶内水温,当壶内水温高于临界值50 ℃时,设备不加热,当壶内水温不高于临界值50 ℃时,开始加热至80 ℃后停止,加热速度与正常烧水一致,问养生壶(在保温状态下)多长时间后开始第二次加热 (结果保留整数)
(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
5.某校数学建模小组的同学想研究:假如没有杂交水稻的推广,没有合理的人口、土地政策,仅以新中国成立时的自然条件为前提,我国年人均粮食占有量会如何变化 根据马尔萨斯的理论,自然状态下人口增长模型为y=y0ert①,其中t表示经过的时间,y0表示t=0时的人口数,r表示人口的年平均增长率,y(单位:万)表示t年后的人口数.根据国家统计局网站公布的数据,我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67 207万.该小组同学根据这两个数据,以1950年末的数据作为t=0时的人口数,求得①式人口增长模型.经检验,1950~1959年的实际人口数与此模型基本吻合,如图.
(1)若你是该小组成员,请求出①式的人口增长模型,并利用该模型计算从1950年末开始,大约多少年后我国人口总数达到13亿;
(2)根据马尔萨斯的理论,该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看成直线型模型,通过查阅我国1950年末至1959年末的粮食产量,得到粮食增长模型近似为y=600t+13 600(其中t表示经过的时间,y表示第t年的粮食年产量,单位:万吨). f(t)=(t∈N)表示从1950年末开始第t年的年人均粮食占有量,单位:吨.
(i)求满足<1的正整数k的最小值;
(ii)按此模型,我国年人均粮食占有量能达到400千克吗 试说明理由.
参考数据:ln 67 207-ln 55 196≈9×0.021 88,ln 130 000-ln 55 196≈39.15×0.021 88,e0.021 88≈1.022,55 196×1.02223≈91 050.
答案与分层梯度式解析
4.5.3 函数模型的应用
基础过关练
1.B 2.A 3.B 4.D 5.CD 9.C
1.B 依题意得C1=Wlog2(1+3)=2W,C2=Wlog2(1+99)=2Wlog210,因此==log210=≈≈3.3.故选B.
2.A 由题意知,轿车价格y(万元)与年份x(年)之间的函数关系式为y=20(1-8%)x,
令20(1-8%)x≥15,得0.92x≥0.75,
故x≤=≈=≈3.5,
因此这个人至多3年后卖出这辆轿车,才不会以低于15万元的价格成交.故选A.
3.B 由题意得=0.1,即1+e-0.22(t-50)=10,因此e-0.22(t-50)=9,
而e-0.22(t-50)=e1.1×(-0.2)(t-50)=(e1.1)-0.2(t-50),
又e1.1≈3,∴3-0.2(t-50)=9,∴-0.2(t-50)=2,
得t-50=-10,即t=40.故选B.
4.D 依题意得解得t≈43.4,
所以污染物减少60%至少需要的时间约为44小时.故选D.
5.CD 根据题意,将(0,192),(22,48)分别代入y=ekx+b,得所以e22k==,所以k<0,
故储存的温度越高,该食品的保鲜时间越短.
易得e11k==,故该食品在11 ℃时的保鲜时间是e11k+b=e11k×eb=×192=96(h),该食品在33 ℃时的保鲜时间为e33k+b=(e11k)3×eb=×192=24(h).故选CD.
6.答案 100
解析 由题意可得60=10lg ,40=10lg ,
因此60-40=10lg -10lg ,化简得lg =2,
故=100.
7.解析 (1)由已知可得
∴∴
(2)由(1)得p=.当p=q时,=2-x,
∴(1-t)(x-5)2=-x,∴t=1+=1+,x∈(0,4],
易知y=x+在(0,4]上单调递减,∴当x=4时,x+有最小值,为,
此时t=1+取得最大值5,
故当x=4时,关税税率取得最大值,为500%.
8.解析 (1)根据题意,得P0=P0ek,解得ek=,
∴P(t)=P0.
(2)由P(t)=P0≤P0,得≤,
两边取以10为底的对数,并整理,
得t(2lg 2-lg 5)≤-3,
又lg 5=1-lg 2,
∴t(3lg 2-1)≤-3,即t(1-3lg 2)≥3,
∴t≥30.
因此,至少需过滤30小时.
9.C 由题意可得解得
∴y=×2x-2 021,
∴当x=2 024时,y=×22 024-2 021=2,
即2024年该地区产生的数据量为2 EB.故选C.
10.解析 (1)选取②y=ax2+bx+c.理由如下:
由题表数据知随着x的增加,y的值先减后增,
而函数y=ax+b,y=a·logbx及y=k·ax都是单调函数,不满足题意,
∴选取函数y=ax2+bx+c.
(2)把点(4,90),(10,51),(36,90)代入y=ax2+bx+c中,
得解得
∴y=x2-10x+126=(x-20)2+26,
∴当x=20时,y有最小值,为26.
故该纪念章每枚的市场价最低时的上市天数为20,最低价格为26元.
能力提升练
1.A 由题意知2 000 ppm=0.2%,当t=0时,y=0.2,
则0.2=0.05+λe0,解得λ=0.15,
要使教室内的二氧化碳浓度达到国家标准,则0.05+0.15≤0.1,得≤,
∴t≥9ln 3≈9.891,∴至少需要开窗通风的时间约为10分钟,故选A.
2.B 由题表中数据可得,每分钟茶水温度的减少值呈现越来越小的变化趋势,
故选用模型①,
由x=0时,y=90,代入y=kax+30,得90=k+30,解得k=60,
所以y=60ax+30,由x=1时,y=84,可得84=60a+30,解得a=,
即y=60+30,令60+30=60,
所以=,lg=xlg =lg ,
解得x===≈≈6.5,
即刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置的时间约为6.5 min.故选B.
3.答案 (1)4 400 (2)22
解析 (1)由题得甲型火箭的最大速度v=2 000×ln 9=4 000ln 3≈4 400(m/s).
(2)由题意得,v0=2 000×=3 000(m/s),原甲型火箭的最大速度v=2 000ln (m/s),
材料更新和技术改进后,甲型火箭的最大速度v'=3 000ln (m/s),
所以3 000ln ≥2 000ln +1 000,
即ln ≥1+3ln 2,可得≥e1+3ln 2=8e≈22.
4.解析 (1)当0≤t≤8时,设T=kt+20,
代入t=8,T=100,解得k=10,则T=10t+20,
将T=60,Tc=20,T0=100,t=10代入T-Tc=(T0-Tc)·at,得a=,
所以T=f(t)=
(2)从100 ℃降温至50 ℃,由题意有50-20=(100-20)·,
得t=10lo=10log2=10×(3-log23)=10×≈14,
故经过14分钟后养生壶(在保温状态下)开始第一次加热;
从50 ℃加热至80 ℃需要=3分钟,
从80 ℃降温至50 ℃,则50-20=(80-20)×,得t=10,则共需要14+3+10=27分钟,
故27分钟后养生壶(在保温状态下)开始第二次加热.
5.解析 (1)由题意可知,y0=55 196,当t=9时,y=67 207,所以67 207=55 196e9r,
即ln 67 207-ln 55 196=9r,解得r≈0.021 88,
所以y=55 196e0.021 88t,
令y=130 000,可得55 196e0.021 88t=130 000,
即ln 130 000-ln 55 196=0.021 88t,解得t≈39.15,所以从1950年末开始,大约40年后我国人口总数达到13亿.
(2)(i)f(k)=≈,
则=
=,
令<1,解得k>≈23.79,
所以满足要求的正整数k的最小值为24.
(ii)不能达到400千克,理由如下:
由(i)可知,当t≤23时,年人均粮食占有量逐年增加,从第24年起,年人均粮食占有量逐年减少,
所以当t=23时,年人均粮食占有量最大,
最大为×1 000≈×1 000≈301(千克),因为301<400,所以按此模型我国年人均粮食占有量不能达到400千克.
7(共12张PPT)
4.5 函数的应用(二)
知识点 1 常见的函数模型
知识 清单破
4.5.3 函数模型的应用
常见的函数模型 一次函数模型 y=kx+b(k,b为常数,k≠0)
二次函数模型 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数模型 y=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
对数函数模型 y=mlogax+n(m,a,n为常数,m≠0,a>0且a≠1)
常见的函数模型 幂函数模型 y=axn+b(a,n,b为常数,a≠0)
利用函数模型解决实际问题的基本过程
知识点 2
知识辨析
1.银行利率、细胞分裂等增长率问题可以选用何种函数模型来模拟
2.在不同的范围内,变量的对应关系不同时,可以选择何种函数模型
3.用函数模型预测的结果和实际结果是否必须相等
一语破的
1.可以选用指数函数模型来模拟.
2.可以选择分段函数模型.
3.不是.用函数模型预测的结果和实际结果可以有误差,好的函数模型预测的结果与实际结果
误差较小.
定点 1 利用函数模型解决实际问题
关键能力 定点破
利用函数模型解决实际问题的步骤
(1)审题——弄清题意,理顺数量关系;
(2)建模——将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相
应的函数模型;
(3)求模——推理并求解函数模型;
(4)还原——用得到的函数模型描述实际问题.
典例 环保生活,低碳出行,电动汽车正成为人们购车的热门选择.在一段平坦的国道上对某型
号电动汽车进行测试,国道限速80 km/h(不含80 km/h).经多次测试,得到该电动汽车每小时耗
电量M(W·h)与平均速度v(km/h)的数据如下:
v 0 10 40 60
M 0 1 325 4 400 7 200
为了描述国道上该电动汽车每小时耗电量与平均速度的关系,现有以下三种函数模型供选择
(a,b,c均为常数):M= v3+bv2+cv,M=1 000 +a,M=300logav+b(a>0,且a≠1).
(1)当0≤v<80时,请选出你认为最符合表格中数据的函数模型,并求出相应的函数解析式;
(2)现有一辆同型号的电动汽车从A地驶到B地,前一段是200 km的国道,后一段是50 km的高
速路,若已知高速路上该汽车每小时耗电量N(W·h)与平均速度v(km/h)的关系是N=2v2-10v+200(80≤v≤120),则如何行驶才能使得总耗电量最少 最少为多少
解析 (1)对于M=300logav+b,当v=0时,此函数模型无意义,所以不符合题意;
对于M=1 000 +a,它显然是一个减函数,根据题表中的数据可知,当v=40时,M=4 400,当v=60时,M=7 200,4 400<7 200,所以不符合题意,故选择M= v3+bv2+cv.
根据题表中的数据,
有
解得
故M= v3-2v2+150v,
经检验,当v=0和v=60时,该函数解析式同样适用.
(2)设国道上的平均速度为v1,由国道路段长为200 km,可知所用时间为 h,设所耗电量(W
·h)为f(v1),则f(v1)= · -2 +150v1 =5( -80v1+6 000)=5(v1-40)2+22 000(0所以f(v1)min=f(40)=22 000;
高速路段长为50 km,所用时间为 h,设所耗电量(W·h)为g(v),则g(v)= ·(2v2-10v+200)=100×
=100× -500(80≤v≤120),
由对勾函数的性质可知,g(v)在[80,120]上单调递增, 所以g(v)min=g(80)=100× -500=
7 625.
故当这辆汽车在国道上的平均速度为40 km/h,在高速路上的平均速度为80 km/h时,总耗电量
最少,最少为22 000+7 625=29 625(W·h).
建立拟合函数模型解决实际问题
函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格绘制散点图;
(2)通过观察散点图,画出拟合直线或拟合曲线;
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式;
(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测,为决策和管理提供依据.
定点 2
典例 某企业常年生产一种出口产品,自2018年以来,每年在正常情况下,该产品产量平稳增长.
已知2018年为第1年,前4年年产量f(x)(万件)如下表所示:
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
(1)画出2018—2021年该产品年产量的散点图;
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该产品年产量变化的函数模型,并求出函数
解析式;
(3)2022年(即x=5)因受到某种影响,年产量减少30%,试根据所建立的函数模型,估计2022年的
年产量.
解析 (1)画出散点图,如图所示.
(2)由(1)中散点图知,可选用一次函数模型.
设f(x)=ax+b(a≠0),
将(1,4),(3,7)代入,得 解得
所以f(x)=1.5x+2.5.
检验: f(2)=5.5,且|5.58-5.5|=0.08<0.1,
f(4)=8.5,且|8.44-8.5|=0.06<0.1.
所以一次函数模型f(x)=1.5x+2.5能基本反映该产品年产量的变化.
(3)根据所建的函数模型,预计2022年的年产量为f(5)=1.5×5+2.5=10(万件),
又年产量减少30%,
所以估计2022年的年产量为10×70%=7(万件).