单元整合练　幂函数、指数函数、对数函数的综合应用

单元整合练　幂函数、指数函数、对数函数的综合应用
1.设函数f(x)=在区间(0,1)上单调递增,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞,-2]　　　　B.(-2,0]　　
C.(0,2]　　　　D.[2,+∞)
2.下列命题中不正确的是(　　)
A.函数y=的值域为(-∞,2]
B.函数y=的值域为[0,1)
C.函数y=9x+3x+1-1的值域为(-1,+∞)
D.函数y=的值域为(0,1)
3.(多选题)已知函数f(x)=lo,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的值域为R
B.函数f(x)单调递增
C.不等式f(3x-1)+f(3x)<0的解集为
D. f+f+…+f+f(-1)+f(0)+f(1)+f+…+f=0
4.已知函数f(x)=+ln(+x),若不等式f(2x-4x)+f(m·2x-2)<0对任意x∈R恒成立,则实数m的取值范围为　(　　)
A.(-∞,2+1)　　　　B.(-2+1,+∞)
C.(-2+1,2-1)　　　　D.(-∞,2-1)
5.(多选题)通过等式ab=c(a>0,a≠1)我们可以得到很多函数模型,例如将a视为常数,b视为自变量x,那么c就是b(即x)的函数,记为y,则y=ax,也就是我们熟悉的指数函数.若令c=e(e是自然对数的底数),将a视为自变量x(x>0,x≠1),则b为x的函数,记为y=f(x),下列关于函数y=f(x)的叙述中正确的有(　　)
A.f()=2
B. x∈(0,1)∪(1,+∞),ef(x)=
C.y=f(x)在(0,1)上单调递减
D.若 x∈(0,1)∪(1,+∞),不等式(mx2+x+2m-1)f(x)>0恒成立,则实数m的值为0
6.(多选题)如图,对于任意正数u,v(u0)与直线x=u,x=v,y=0所围成的曲边梯形的面积为L(u,v),并约定L(u,u)=0,L(v,u)=-L(u,v).已知L(1,x)=ln x,则以下命题正确的有(　　)
A.L(e-1,2)=1+ln 2
B.L(2,3)>L(4,6)
C.对任意正数k,u,v(1D.对任意正数k,u,v(17.已知函数f(x)=-ln|x|,则满足不等式f(log2x)<的x的取值范围是　　　　.
8.已知f(x)=,若对任意x1,x2,x3∈R,总存在一个三角形且其边长为f(x1), f(x2), f(x3),则实数m的取值范围是　　　　.
9.已知实数x,y满足x+2x=2,2y+log2y=1,则x+2y的值是　　　　.
10.已知函数f(x)=log4(4x+1)-kx为偶函数,g(x)=(x+a).
(1)求实数k的值;
(2)若当x∈[-2,0]时,函数f(x)的图象恒在g(x)图象的上方,求实数a的取值范围;
(3)若函数h(x)=-4f(x)+kx+g(2x+2)在x∈[-1,2]上的最大值与最小值之和为2 020,求实数a的值.
11.已知f(x)=是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值,指出f(x)的单调性(不需要证明);
(2)若函数g(x)=的图象可以由函数f(x)的图象通过平移得到,求函数g(x)的值域;
(3)若存在区间[m,n](m12.已知函数f(x)=ln .
(1)求不等式f(f(x))+f(ln 2)>0的解集;
(2)已知函数g(x)=2-ax(a>0,a≠1),若存在x1,x2∈[0,1),使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围;
(3)已知函数h(x)=ln x-(x-1)在区间(1,+∞)上单调递减,试判断f+f+f+…+f+2n>0(n∈N*)是否恒成立,并说明理由.
答案与分层梯度式解析
单元整合练　幂函数、指数函数、对数函数的综合应用
1.A 2.A 3.ACD 4.D 5.ACD 6.ACD
1.A　设t=x(x+a),则t=x(x+a)是二次函数,其图象的对称轴方程为x=-,
易知y=在R上单调递减,
若函数f(x)=在区间(0,1)上单调递增,则t=x(x+a)在(0,1)上单调递减,
则有-≥1,解得a≤-2,
故a的取值范围为(-∞,-2].故选A.
2.A　选项A,因为x2-2x=(x-1)2-1≥-1,且y=在R上单调递减,所以0<≤=2,所以函数y=的值域为(0,2],故A中命题不正确;
选项B,因为2x>0,所以1-2x<1,又1-2x≥0,所以0≤1-2x<1,所以函数y=的值域为[0,1),故B中命题正确;
选项C,令t=3x,则t>0,可得函数y=t2+3t-1,易知其图象开口向上,对称轴方程为t=-<0,所以y=t2+3t-1在(0,+∞)上单调递增,当t=0时,y=-1,所以y=t2+3t-1的值域为(-1,+∞),即函数y=9x+3x+1-1的值域为(-1,+∞),故C中命题正确;
选项D,由题意可得y==的定义域为R,因为>0,所以1+>1,可得∈(0,1),所以函数y=的值域为(0,1),故D中命题正确.故选A.
3.ACD　对于A,令>0,得-2对于B,因为t==-1-在(-2,2)上单调递增,y=lot在(0,+∞)上单调递减,所以由复合函数的单调性可知, f(x)=lo单调递减,故B错误;
对于C,因为f(x)=lo的定义域为(-2,2),且f(x)+f(-x)=lo+lo=lo1=0,所以f(x)为奇函数,且f(x)在(-2,2)上单调递减,
不等式f(3x-1)+f(3x)<0等价于f(3x-1)<-f(3x),即f(3x-1)所以解得对于D,因为f(-x)+f(x)=0,且f(0)=0,所以f+f+…+f+f(-1)+f(0)+f(1)+f+…+f=0,故D正确.
故选ACD.
4.D　由已知得f(x)的定义域为R,∵f(-x)+f(x)=+ln(-x)++ln(+x)=0+ln 1=0,∴f(x)为奇函数,易知f(x)在R上单调递增.
∵f(2x-4x)+f(m·2x-2)<0对任意x∈R恒成立,∴f(2x-4x)<-f(m·2x-2)=f(2-m·2x)对任意x∈R恒成立,
∴2x-4x<2-m·2x对任意x∈R恒成立,
∴m<=2x+-1对任意x∈R恒成立.
∵2x>0,∴2x+-1≥2-1=2-1,当且仅当2x=,即x=时取等号,
∴m<2-1.故选D.
方法技巧　常见的奇函数:y=ex-e-x,y=ln(±x),y=,y=lg .
5.ACD　由xb=e可得b=,即y=f(x)=,
所以f()==2,故A正确.
ef(x)=≠,故B错误.易知y=ln x在x∈(0,1)上单调递增,且y=ln x<0,又y=在(-∞,0)上单调递减,所以f(x)=在(0,1)上单调递减,故C正确.
当x∈(0,1)时,ln x<0,即f(x)<0,
因为(mx2+x+2m-1)f(x)>0恒成立,
所以mx2+x+2m-1<0恒成立,即m<对任意x∈(0,1)恒成立,
令t=x-1,-1由复合函数的单调性知y=在(0,1)上单调递减,
所以y>=0,所以m≤0.
当x∈(1,+∞)时,ln x>0,即f(x)>0,
因为(mx2+x+2m-1)f(x)>0恒成立,
所以mx2+x+2m-1>0恒成立,
当m=0时,显然成立,当m≠0时,即m>恒成立,令u=x-1,u>0,则y=即y=-,u∈(0,+∞),结合函数y=x+的图象知y=在(1,1+)上单调递减,在(1+,+∞)上单调递增,此时y=只有最小值,没有最大值,所以m无解.
综上所述,m=0,故D正确.故选ACD.
6.ACD　L(e-1,2)=L(e-1,1)+L(1,2)=-L(1,e-1)+ln 2=-ln e-1+ln 2=1+ln 2,故A正确;
∵L(2,3)=L(2,1)+L(1,3)=-L(1,2)+L(1,3)=-ln 2+ln 3=ln ,
L(4,6)=L(4,1)+L(1,6)=-L(1,4)+L(1,6)=ln 6-ln 4=ln =ln ,
∴L(2,3)=L(4,6),故B错误;
对任意正数k,u,v(1∵L(u,v)=-L(1,u)+L(1,v)=ln v-ln u=ln ,
L(ku,kv)=-L(1,ku)+L(1,kv)=ln(kv)-ln(ku)=ln ,
L(uk,vk)=-L(1,uk)+L(1,vk)=ln vk-ln uk=k(ln v-ln u)=kL(u,v),
∴L(u,v)=L(ku,kv),kL(u,v)=L(uk,vk),故C,D正确.故选ACD.
7.答案　∪(2,+∞)
解析　易知函数f(x)=-ln|x|的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
又f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,
因为y=在(0,+∞)上单调递减,y=ln|x|在(0,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,
又f(1)=-ln 1=,所以不等式f(log2x)<等价于f(log2x)1,
即log2x>1或log2x<-1,解得x>2或0即满足不等式f(log2x)<的x的取值范围是∪(2,+∞).
8.答案　
解析　由题意可得, x1,x2,x3∈R,总有f(x1)+f(x2)>f(x3)成立,只需2f(x)min>f(x)max,
f(x)==1+.
①当m=1时, f(x)=1,满足题意;
②当m>1时, f(x)在R上单调递减,故1③当m<1时, f(x)在R上单调递增,故m综上所述,m的取值范围是.
9.答案　2
解析　∵2y+log2y=1,∴2=2y+log2y+1=2y+log2(2y)=+log2(2y),
∴x+2x=+log2(2y),
令f(x)=x+2x,易知f(x)在R上单调递增,
∴x=log2(2y),∴x=log2y+1,
∴log2y=x-1,∴1=2y+log2y=2y+x-1,∴x+2y=2.
10.解析　(1)∵函数f(x)=log4(4x+1)-kx为偶函数,
∴f(-x)=f(x),
∴log4(4-x+1)+kx=log4(4x+1)-kx,
得2kx=log4(4x+1)-log4=log44x=x,
所以2k=1,即k=.
(2)若当x∈[-2,0]时,函数f(x)的图象恒在g(x)图象的上方,则f(x)>g(x)恒成立,
即log4(4x+1)-x>(x+a),即log4(4x+1)-x>a.
所以a因为x∈[-2,0],所以4x∈,所以1+∈[2,17],所以log4≥log42=,
所以a<,得a<1,
综上,a∈(-∞,1).
(3)h(x)=-+(2x+2+a)=-(4x+1)+2x+1+a=-+a,
当x∈[-1,2]时,2x∈,
所以当2x=1时,h(x)取得最大值,为a,当2x=4时,h(x)取得最小值,为-9+a,
所以a-9+a=2 020,解得a=2 029.
11.解析　(1)因为f(x)=是定义在R上的奇函数,
所以f(-x)+f(x)=0,即+=0,
所以+=0,即+=0,
所以1+2x·a+2x+a=0,整理得(a+1)(2x+1)=0,得a=-1,(或直接利用f(0)=0求得a的值)
所以f(x)===1-,
所以f(x)在R上单调递增.
(2)由(1)得f(x)=1-,
g(x)====b-,
因为函数g(x)的图象可以由函数f(x)的图象通过平移得到,
所以b=2,所以g(x)=2-,
因为2x-1>0,所以2x-1+1>1,
所以-2<-<0,所以0<2-<2,
所以函数g(x)的值域为(0,2).
(3)由(1)得y=f(x)+t=t+1-,
令h(x)=t+1-,则h(x)在R上单调递增,
因为函数h(x)在[m,n]上的值域为[2m,2n],
所以
所以
因为0<2m<2n,
所以关于x的方程x2-tx-t+1=0有两个不相等的正实数根,
所以解得2-2即t的取值范围为(2-2,1).
12.解析　(1)易得f(x)=ln 的定义域为(-1,1), f(-x)=ln =-ln =-f(x),
所以f(x)为奇函数,
当-1不等式f(f(x))+f(ln 2)>0可化为f(f(x))>-f(ln 2)=f(-ln 2),
所以即-1因此-1(2)若存在x1,x2∈[0,1),使得f(x1)=g(x2)成立,
则f(x)和g(x)在x∈[0,1)上的值域的交集不为空集.
由(1)可知,当0≤x<1时, f(x)=ln =ln单调递减,
所以f(x)的值域为(-∞,0].
若a>1,则g(x)=2-ax在[0,1)上单调递减,
所以g(x)的值域为(2-a,1],
此时只需2-a<0,即a>2,所以a>2;
若0可得g(x)的值域为[1,2-a),
此时[1,2-a)与(-∞,0]的交集显然为空集,不满足题意.
综上,实数a的取值范围是(2,+∞).
(3)f+f+f+…+f+2n>0(n∈N*)恒成立,理由如下:
因为f=ln =ln ,
所以f+f+f+…+f
=ln +ln +ln +…+ln
=ln=ln =-ln(2n+1),
因为h(x)=ln x-(x-1)在区间(1,+∞)上单调递减,
所以当x>1时,h(x)即ln(2n+1)-[(2n+1)-1]<0,即ln(2n+1)-2n<0,
所以-ln(2n+1)+2n>0,即f+f+f+…+f+2n>0(n∈N*).
7