专题强化练4　函数零点的综合应用

专题强化练4　函数零点的综合应用
1.已知函数f(x)=e-x-a(x+1)其中A.　　B.　　C.　　D.
2.(多选题)已知函数f(x)=x-(x-1)·10x(x>1),g(x)=x-(x-1)·lg x(x>1)的零点分别为x1,x2,则(　　)
A.x1·x2<10　　　　B.x1=lg x2　　
C.+=1　　　　D.x1+x2>4
3.设函数f(x)=g(x)=loga(x+1),若方程f(x)=g(x)有3个实数解,则实数a的取值范围为(　　)
A.(5,7)　　B.[5,7]　　C.(3,5)　　D.[3,5]
4.已知函数f(x)=若函数y=[f(x)]2-bf(x)+1有8个不同的零点,则实数b的取值范围是(　　)
A.(2,+∞)　　B.[2,+∞)　　C.　　D.
5.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-a有四个不同的零点x1,x2,x3,x4(x1A.(2,+∞)　　　　B.
C.[2,+∞)　　　　D.
6.若平面直角坐标系内两点P、Q满足条件:①P、Q都在函数f(x)的图象上;②P、Q关于原点对称,则称(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一个“友好点对”).已知函数f(x)=则f(x)的“友好点对”有　　　　个.
7.若关于x的方程-a+=0恰好有四个不同的实数根,则实数a的取值范围是　.
8.若f(x)=则方程xf(x)-6=0在[1,32]内的所有实数根之和为　　　　.
9.已知函数f(x)=x2-2mx+m-1,g(x)=e-x-1.
(1)若m=0,求证:函数h(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上恰有一个零点;
(2)若函数φ(x)=f(|g(x)|)恰有三个零点,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题强化练4　函数零点的综合应用
1.C 2.BCD 3.C 4.D 5.D
1.C　令f(x)=e-x-a(x+1)=0,则有e-x=a(x+1),当a=1时,有e-x=x+1,易得此方程只有一个根,为x=0,
当a=时,有e-x=(x+1),3=x+1,易得此方程只有一个根,为x=2,
如图所示,
又因为x0是f(x)的一个零点,所以x0∈(0,2),
且=a(x0+1),=,
因此x0+a=x0+=x0+1+-1,
令m=x0+1,则m∈(1,3),由对勾函数的性质可知y=m+-1在(1,3)上单调递增,
所以m+-1∈,即x0+a的取值范围是.故选C.
2.BCD　函数f(x)=x-(x-1)·10x(x>1),
令x-(x-1)·10x=0,可得10x=,
函数g(x)=x-(x-1)·lg x(x>1),
令x-(x-1)·lg x=0,可得lg x=,
函数y==1+,图象关于直线y=x对称,
函数y=10x与y=lg x互为反函数,图象关于直线y=x对称,如图所示:
设y=(x>1)与y=10x的图象的交点为A,y=(x>1)与y=lg x的图象的交点为B,
则A(x1,1)与B(x2,lg x2)关于直线y=x对称,所以x1=lg x2,x2=1,因此B正确;
又因为-1=0,所以=1=x2,
所以x1=x1x2-x2,即x1+x2=x1x2,所以+=1,因此C正确;
易得y=(x>1)的图象与直线y=x的交点为(2,2),所以x1+x2>4,因此D正确;
因为x1x2=x1·1,且x1∈(1,2),所以10故选BCD.
3.C　当x≤0时, f(x)=(x+1)2,
当x∈(0,2]时,x-2∈(-2,0],则f(x)=(x-1)2,
同理当x∈(2,4]时,可得f(x)=(x-3)2,依次类推,……
作出函数图象,如图所示,
若方程f(x)=g(x)有3个实数解,则两个函数图象有3个交点,因此a>1,且点(2,1)在g(x)图象的上方,点(4,1)在g(x)图象的下方关键点,
则则34.D　画出f(x)=的图象,如图:
设f(x)=t,则f(x)的图象与直线y=t最多有4个交点,
故要想y=[f(x)]2-bf(x)+1有8个不同的零点,需y=t2-bt+1有2个不同的实根,
故Δ=(-b)2-4>0,即b2>4.
设y=t2-bt+1的两个根为t1,t2,且t1由根与系数的关系得t1+t2=b,t1t2=1,
故t2∈(1,4],t1∈,故b=t1+t2=t1+,
由对勾函数的性质可知,b=t1+在t1∈上单调递减,故b=t1+∈.故选D.
5.D　由题意知y=f(x)的图象和直线y=a有四个交点,它们的横坐标分别为x1,x2,x3,x4(x1画出函数f(x)=的图象和直线y=a,
根据图象可知0x3是y=-log2x的图象和直线y=a的交点的横坐标,x4是y=log2x的图象和直线y=a的交点的横坐标,故有-log2x3=log2x4=a,得到x3x4=1,
由0令h(t)=t+,则h(t)在上单调递减,
又h(1)=2,h=,
所以h(t)∈,即-的取值范围是.故选D.
6.答案　2
解析　根据题意可知,只需作出函数y=2x2+4x+1(x<0)的图象关于原点对称的图象,求其与函数y=(x≥0)的图象的交点个数即可.如图,
观察图象可得,它们的交点个数是2.
即f(x)的“友好点对”有2个.
7.答案　∪
解析　令t=,则t≥0,作出函数t=的图象,如图所示,
若关于x的方程-a+=0恰好有四个不同的实数根,
则由图象可知关于t的方程t2-at+=0恰有两个不同的正实数根t1,t2,且t1≠1,t2≠1,
所以解得a>1且a≠,即实数a的取值范围是∪.
8.答案　
解析　方程xf(x)-6=0在[1,32]内的所有实数根即方程f(x)=在[1,32]内的所有实数根,
即函数y=f(x)与y=的图象在[1,32]内的所有交点的横坐标,
依题意得f(x)=作出函数y=f(x)与y=在[1,32]上的部分图象,如图所示:
由图象可知,函数y=f(x)与y=的图象在[1,32]内的所有交点的横坐标分别为,3,6,12,24,
所以函数y=f(x)与y=的图象在[1,32]内的所有交点的横坐标之和为+3+6+12+24=.
9.解析　(1)证明:若m=0,则h(x)=f(x)-g(x)=x2-e-x.
因为当x>0时,y=x2,y=-e-x都单调递增,
所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,
因为h(x)的图象连续不断,且h(0)=-1<0,h(2)=4-e-2>0,
所以存在唯一的x0∈(0,2),使得h(x0)=0,
所以函数h(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上恰有一个零点.
(2)设t=|g(x)|,作出函数t=|g(x)|的图象,如图所示:
对于方程t2-2mt+m-1=0,Δ=(-2m)2-4(m-1)=4+3>0,所以方程t2-2mt+m-1=0必有两个不相等的实数根t1,t2,不妨设t1当01.
当t1=0时,m=1,此时t2=2 (0,1),不符合题意.
综上所述,实数m的取值范围为(1,+∞).
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