(共11张PPT)
1.角度制与弧度制的定义
5.1 任意角和弧度制
知识点 1 角度制与弧度制
知识 清单破
5.1.2 弧度制
角度制 1度的角等于周角的 ,用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制
弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示,读作弧度.用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制
2.弧度数
在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,那么|α|= .一般地,正角的弧度数是
一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.
角度制与弧度制的换算
角度数× =弧度数;弧度数× °=角度数.
知识点 2
扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,面积为S,圆心角为n°,α为其圆心角的弧度数,0<α<2π,则l=
=αR,S= = αR2= lR.
知识点 3
知识辨析
1.1弧度的角与1度的角相等吗
2.大圆中1弧度的角和小圆中1弧度的角是否一样大
3.若扇形的半径r=1,圆心角α=30°,则该扇形的弧长l=αr=30,是否正确
一语破的
1.不相等.1 rad≈57.30°.
2.一样大.1弧度的角是一个定值,与所在圆的半径的大小无关.
3.不正确.弧长公式l=αr中,α的单位为弧度,应将30°化为 再计算,得l=αr= .
定点 1 用弧度制表示角
关键能力 定点破
1.在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式π rad=180°是关键.
2.用弧度制表示终边相同的角或区域角,有时需进行角度与弧度的换算.
典例 用弧度制表示终边在图中的阴影部分(不包括边界)的角θ的集合.
解析 ∵330°=360°-30°=2π- ,60°= ,∴满足条件的角θ的集合为 θ 2kπ- <θ<2kπ+ ,k∈Z .
求扇形的弧长和面积
涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目中已知哪些量,求
哪些量,然后灵活运用扇形的弧长公式和面积公式,结合已学知识求解.
定点 2
典例 已知扇形的圆心角为α,半径为R.
(1)若α=60°,R=10,求该扇形的弧所在的弓形的面积;
(2)若扇形的周长为20,当扇形的圆心角α等于多少时,这个扇形的面积最大
解析 (1)设弓形面积为S1.
∵α=60°= ,R=10,∴S1= × ×102- ×10× = -25 .
(2)设扇形的弧长为l,面积为S2.
解法一:∵l+2R=20,∴l=20-2R(0∴S2= lR= (20-2R)R=-R2+10R,0∴当R=5时,S2有最大值25,此时l=10,α= =2,
∴当α=2时,扇形的面积最大,为25.
解法二:∵2R+l=20,∴S2= lR= l·2R≤ = ×100=25,当且仅当l=2R=10,即R=5时等号
成立,此时α=2,
∴当α=2时,扇形面积最大,为25.第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.1 任意角
基础过关练
题组一 对任意角概念的理解
1.(多选题)下列说法正确的有( )
A.终边相同的角一定相等B.钝角一定是第二象限角
C.第一象限角可能是负角D.小于90°的角都是锐角
2.已知角α在平面直角坐标系中如图所示,其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°,则α=( )
A.-480° B.-240° C.150° D.480°
3.经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是( )
A.60°,720° B.-60°,-720° C.-30°,-360° D.-60°,720°
4.(教材习题改编)在平面直角坐标系中,以原点为圆心且半径为1的圆的圆周上一点A从点(1,0)出发,按逆时针方向做匀速圆周运动.已知点A在1 min内转过的角度为θ(0°<θ<180°),2 min后到达第三象限,15 min后回到起始位置,则θ= .
题组二 终边相同的角与区域角
5.与-66°角终边相同的角是 ( )
A.34° B.104° C.214° D.294°
6.若角α与角β的终边关于x轴对称,则α可以用β表示为( )
A.k·360°+β(k∈Z) B.k·360°-β(k∈Z)
C.k·180°+β(k∈Z) D.k·180°-β(k∈Z)
7.将90°角的终边按顺时针方向旋转30°得角α,写出与角α终边相同的角的集合: .
8.若角α满足180°<α<360°,角5α与角α有相同的始边与终边,则角α= .
9.集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}中角α的终边对应的区域(阴影部分)为 .(填序号)
10.已知角β的终边在如图所示的阴影部分,试指出角β的取值范围.
(1) (2)
题组三 象限角的判定
11.若α是第一象限角,则下列各角是第四象限角的是( )
A.90°-α B.90°+α C.360°-α D.180°+α
12.已知角α=2 020°,则角α的终边落在第 象限.
13.若α是第二象限角,则是第 象限角.
答案与分层梯度式解析
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.1 任意角
基础过关练
1.BC 2.D 3.B 5.D 6.B 11.C
1.BC 对于A,终边相同的角不一定相等,比如30°角和390°角的终边相同,但两个角不相等,故A错误;
对于B,钝角α的范围是90°<α<180°,所以钝角一定是第二象限角,故B正确;
对于C,如-330°角是第一象限角,故C正确;
对于D,-45°<90°,但-45°角不是锐角,故D错误.
故选BC.
2.D 由角α是按逆时针方向旋转形成的,可知α为正角.易得旋转量为480°,∴α=480°.
3.B 因为按顺时针方向旋转形成的角为负角,且×360°=60°,2×360°=720°,所以钟表的时针、分针转过的角度分别为-60°,-720°.
4.答案 96°或120°
解析 由题意得
即解得θ=96°或θ=120°.
5.D 与-66°角终边相同的角可以写成-66°+360°·k的形式,其中k∈Z,
令k=1,则-66°+360°=294°,其他选项均不合题意.故选D.
6.B ∵角α与角β的终边关于x轴对称,
∴α+β=k·360°(k∈Z),∴α=k·360°-β(k∈Z).故选B.
7.答案 {β|β=60°+k·360°,k∈Z}
解析 因为按顺时针方向旋转所得的角为负角,所以α=90°+(-30°)
=60°,因此与角α终边相同的角的集合为{β|β=60°+k·360°,k∈Z}.
8.答案 270°
解析 ∵角5α与角α有相同的始边与终边,
∴5α=k·360°+α,k∈Z,得4α=k·360°,k∈Z,∴α=k·90°,k∈Z.
又180°<α<360°,∴k=3,∴α=270°.
9.答案 ③
解析 当k=0时,45°≤α≤90°,当k=1时,225°≤α≤270°,由此可得出角α的终边对应的区域为③.
10.解析 题图(1)中,终边落在射线OA上的角的集合是{β|β=k·360°+210°,k∈Z},终边落在射线OB上的角的集合是{β|β=k·360°+300°,k∈Z},
所以角β的取值范围是{β|k·360°+210°≤β≤k·360°+300°,k∈Z}.
题图(2)中,终边落在x轴上方阴影部分的角的集合为{β|k·360°+60°≤β终边落在x轴下方阴影部分的角的集合为{β|k·360°+240°≤β所以角β的取值范围是M∪N={β|n·180°+60°≤β11.C ∵α是第一象限角,∴-α是第四象限角,
则由任意角的定义知,360°-α是第四象限角.故选C.
考场速决 取α=30°,得90°-α=60°,90°+α=120°,360°-α=330°,180°+α=210°.故选C.
12.答案 三
解析 依题意得α=2 020°=5×360°+220°,
因此角α的终边落在第三象限.
13.答案 一或三
解析 由α为第二象限角,得k·360°+90°<α则k·180°+45°<当k=2n,n∈Z时,n·360°+45°<当k=2n+1,n∈Z时,n·360°+225°<故是第一或第三象限角.
考场速决 将直角坐标系各象限二等分,自x轴非负半轴的上方起,按逆时针方向把8个区域依次标上一、二、三、四,则标有二的区域即为的终边所在区域(图略),即是第一或第三象限角.
75.1.2 弧度制
基础过关练
题组一 弧度制
1.(教材习题改编)780°=( )
A. B. C. D.
2.(教材习题改编)把-化成角度是( )
A.-960° B.-480° C.-120° D.-60°
3.-是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
题组二 用弧度制表示终边相同的角
4.在0~2π范围内,与-角终边相同的角是( )
A. B. C. D.
5.终边落在第一象限的角α的集合用弧度制表示为 .
6.将下列各角转化成2kπ+α(k∈Z,且0≤α<2π)的形式,并指出它们是第几象限角.
(1)-1 725°;(2).
题组三 扇形的弧长公式及面积公式的应用
7.若扇形的弧长为8 cm,圆心角为2弧度,则该扇形的面积为( )
A.8π cm2 B.8 cm2
C.16 cm2 D.16π cm2
8.已知扇形的面积为4,圆心角的弧度数为2,则扇形的周长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
9.已知一个扇形的周长为40 cm,面积为100 cm2,则该扇形的圆心角的弧度数为( )
A. B.1 C. D.2
10.若扇形的圆心角为,半径为4,则扇形的面积是 .
11.已知扇形的面积为4 cm2,则该扇形的周长的最小值为 cm.
12.已知一扇形的圆心角α=60°,所在圆的半径R=6 cm,求该扇形的周长及其弧所在的弓形的面积.
能力提升练
题组一 弧度制及其应用
1.若角α的终边在直线y=-x上,则角α的取值集合为( )
A. B.
C. D.
2.军事上通常使用密位制来度量角度,将一个圆周分为6 000等份,每一份的弧所对的圆心角(单位:弧度)叫做1密位的角.已知我方迫击炮连在占领阵地后,测得敌人两地堡之间的距离是54米(近似等于扇形的弧长),两地堡到我方迫击炮阵地的距离均为1 800米,则我方炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后,为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡,需要立即将迫击炮转动的角度α=(注:π=3)( )
A.30密位 B.60密位C.90密位 D.180密位
3.如图,在半径为1 cm的圆周上,一只红蚂蚁和一只黑蚂蚁同时从点A(1,0)出发,按逆时针匀速爬行,设红蚂蚁每秒爬过α弧度,黑蚂蚁每秒爬过β弧度(0<α<β<π),两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限,第15秒时又都回到点A.若两只蚂蚁爬行的速度大小保持不变,红蚂蚁从点A顺时针匀速爬行,黑蚂蚁同时从点A逆时针匀速爬行,求它们从出发后到第二次相遇时,黑蚂蚁爬过的路程.
题组二 扇形的弧长公式及面积公式的应用
4.“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题,现有一个“圆材埋壁”模型,其截面如图所示.若圆柱材料的截面圆的半径为1,圆心为O,墙壁截面ABCD为矩形,且劣弧的长等于半径OA长的2倍,则圆材埋在墙壁内部的截面面积是( )
A.1 B.sin 1cos 1
C.2-sin 1cos 1 D.1-sin 1cos 1
5.如图,扇环ABCD中,的长为16,的长为48,AD=12,则扇环ABCD的面积为( )
A.190 B.192 C.380 D.384
6.如图所示,在平面直角坐标系中,将一个半径为1的圆盘固定在平面上,圆盘的圆心与原点重合,圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线,细线的端头M(开始时与圆盘上的点A(1,0)重合)系着一支铅笔,让细线始终保持与圆相切的状态展开,切点为B,细线的粗细忽略不计,当φ=2 rad时,点M与点O之间的距离为( )
A. B. C.2 D.
7.中国早在八千年前就有了玉器,古人视玉为宝,佩玉不再是简单的装饰,而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩,其形状是扇形的一部分(如图2),经测量知AB=CD=4,BC=3,AD=7,则该玉佩的面积为( )
A.π- B.π-
C.π D.π
8.已知扇形的圆心角α=60°,α所对的弧长l=6π,则该扇形的面积与其内切圆面积的比值为 .
9.《九章算术》是我国古代的数学巨著,其中《方田》章给出了“弧田”“弦”和“矢”的定义,“弧田”(如图中阴影部分所示)是由圆弧和其所对弦围成的,“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
(1)当圆心角为π,矢为2时,求弧田的面积;
(2)已知该扇形的圆心角为α,半径为r,周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时,该扇形的面积最大
10.如图,C为半圆O内一点,AB=2,∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC绕圆心O按逆时针方向旋转至△B'OC',点C'在OA上,求边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积.
答案与分层梯度式解析
5.1.2 弧度制
基础过关练
1.D 2.B 3.D 4.C 7.C 8.D 9.D
1.D 因为1°=,所以780°=780×=.故选D.
2.B -=-×180°=-480°,故选B.
3.D 因为-=-6π-,所以-是第四象限角.故选D.
4.C 与-角终边相同的角是2kπ+,k∈Z,令k=1,可得与-角终边相同的角是,故选C.
5.答案
6.解析 (1)-1 725°=-5×360°+75°=-10π+,
∴-1 725°角与角的终边相同,
又是第一象限角,∴-1 725°角是第一象限角.
(2)=20π+,∴角与角的终边相同,
又是第三象限角,∴是第三象限角.
7.C 设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,圆心角为α,依题意得l=8,α=2,
∵l=|α|r,∴r=4,
∴该扇形的面积S=l·r=×8×4=16(cm2).故选C.
8.D 设扇形的面积为S,半径为R,弧长为l,圆心角为θ,则S=4,θ=2,
∵S=θR2,∴4=×2×R2,∴R=2,
∴l=θR=2×2=4,∴扇形的周长为l+2R=4+2×2=8.故选D.
9.D 设扇形的圆心角为α,半径为r cm,周长为C cm,面积为S cm2,
则所以α=2,
所以扇形的圆心角的弧度数为2.故选D.
10.答案 π
解析 扇形的面积为××42=.
11.答案 8
解析 设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,则lr=4,∴lr=8,∴扇形的周长为l+2r≥2=8(cm),
当且仅当l=2r,即l=4,r=2时,等号成立,此时扇形的周长有最小值,为8 cm.
12.解析 设弧长为l,弓形的面积为S,
∵α=60°=,∴l=αR=×6=2π(cm),
∴扇形的周长为l+2R=(2π+12)cm,S=×2π×6-×6×=(6π-9)cm2.
能力提升练
1.D 2.A 4.D 5.D 6.D 7.A
1.D 直线y=-x过原点,且平分第二、四象限,故在0~2π范围内,终边在直线y=-x上的角有两个:,.
因此,终边在直线y=-x上的角的集合为∪=∪αα=(2n+2)π-,n∈Z=αα=kπ-,k∈Z.
故选D.
2.A 由题意得,1密位==弧度,由已知得扇形的弧长近似等于54米,所以圆心角为= 弧度,所以α=÷=30(密位),所以迫击炮转动的角度为30密位.故选A.
3.信息提取 ①红蚂蚁每秒爬过α弧度,黑蚂蚁每秒爬过β弧度(0<α<β<π);②两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限;③第15秒时都回到点A.
数学建模 利用条件“两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限”列出不等式,确定α,β的范围,利用条件“第15秒时又都回到点A”列出等式.联立等式与不等式求出α,β;利用第二次相遇时两只蚂蚁距离之和为2倍周角求出时间,再利用黑蚂蚁的速度求出它爬过的路程.
解析 由已知得即得解得k=2,n=3,所以α=π,β=π,
设它们从点A出发后到第二次相遇时,用的时间为t秒,
则(α+β)t=2×2π,即t=4π,解得t=6,
则黑蚂蚁爬过的路程l=π×6×1=π(cm).
4.D 由题意得劣弧的长为2,扇形AOB的半径r=1,设∠AOB=α,则αr=2,即α=2,
则扇形AOB的面积为αr2=1,
过点O作OH⊥AB,则∠AOH=∠BOH=1,则sin 1==AH,cos 1==OH,则AB=2AH=2sin 1,
则S△AOB=×2sin 1cos 1=sin 1cos 1,
所以圆材埋在墙壁内部的截面面积为1-sin 1cos 1.故选D.
5.D 如图,延长DA,CB,交于O,设∠AOB=θ,OA=r,由的长为16,的长为48,AD=12,
得解得r=6,则OD=12+6=18,
扇环ABCD的面积S=×48×18-×16×6=384.故选D.
6.D 设圆O的半径为R,由已知得R=1,当φ=2 rad时,BM==φ·R=2,
又BO=1,所以MO==.故选D.
7.A 如图所示,延长AB,DC交于点O,过点O作OF⊥AD于F,交BC于E,则点E,F分别为BC,AD的中点,且OB=OC,
因为BC∥AD,所以=,即==,解得OB=3,
所以△OBC是边长为3的等边三角形,
所以∠BOC=,
所以玉佩的面积S=S扇形-S△OBC=·∠BOC·OA2-BC·OE=××72-×3×=-.
故选A.
8.答案
解析 扇形的圆心角α=60°=,
设扇形的半径为R,因为α所对的弧长l=6π,
所以有R·=6π R=18,扇形的面积为×6π×18=54π.
设扇形内切圆的半径为r,如图所示:
显然∠APO=,OA=OB=r,PB=R=18,
由sin∠APO=得=,所以r=6,
所以扇形内切圆的面积为π·62=36π,
因此该扇形的面积与其内切圆面积的比值为=.
9.解析 (1)如图所示,
由已知得∠AOB=,CD=2,设扇形的半径为R,
则AB=2Rsin=R,OD=Rcos =,∴CD=OC-OD=R-=2,解得R=4,
∴弧田的面积为S扇形AOB-S△AOB=πR2-·OD·AB=R2-R2=-4.
(2)设扇形的弧长为l,则l=αr,故该扇形的周长为αr+2r=c,∴r=,
∴扇形的面积S=αr2==≤=,当且仅当α=,即α=2时,等号成立,
故α为2弧度时,该扇形的面积最大.
10.解析 由题意可得OB=OA=1,OC=OC'=,BC=B'C'=,∠B'OC=∠B'OC'=,则扇形AOB'的面积为××12=,Rt△B'OC'的面积为××=,故题图中B'C'左边空白图形的面积S1=-,而B'C'右边三块空白图形的面积之和S2=××+=+,由此可得空白图形的总面积S=S1+S2=,而半圆的面积为,所以边BC扫过区域的面积为-=.
7(共18张PPT)
1.角的概念:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
2.角的分类
5.1 任意角和弧度制
知识点 1 角的相关概念
知识 清单破
5.1.1 任意角
类型 定义
正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有做任何旋转,就称它形成了一个零角
3.相等角与相反角
(1)相等角:如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称α=β.
(2)相反角:把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角,角α
的相反角记为-α.
4.角的加法与减法
(1)设α,β是任意两个角,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α+β.
(2)角的减法可以转化为角的加法,即减去一个角等于加上这个角的相反角,也就是α-β=α+(-β).
终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一
与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
知识点 2
象限角和轴线角
1.象限角、轴线角的概念
在平面直角坐标系内,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角
的终边在第几象限,这个角就是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,那么这个角称为轴线角.
知识点 3
象限角 角的集合
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°+90°<α第三象限角 {α|k·360°+180°<α第四象限角 {α|k·360°-90°<α2.象限角的集合表示
3.轴线角的集合表示
终边位置 角的集合
在x轴的非负半轴上 {α|α=k·360°,k∈Z}
在x轴的非正半轴上 {α|α=180°+k·360°,k∈Z}
在y轴的非负半轴上 {α|α=90°+k·360°,k∈Z}
在y轴的非正半轴上 {α|α=270°+k·360°,k∈Z}
在x轴上 {α|α=k·180°,k∈Z}
在y轴上 {α|α=90°+k·180°,k∈Z}
在坐标轴上 {α|α=k·90°,k∈Z}
知识辨析
1.当一个角的始边和终边确定后,这个角是不是确定的
2.锐角一定是第一象限角吗 第一象限角一定是锐角吗
3.三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角,这种说法对吗
一语破的
1.不是.角的旋转方向和旋转量不确定.
2.一定;不一定.如390°角是第一象限角,但390°不是锐角.
3.不对.三角形的内角可能是90°.
定点 1 终边相同的角的表示
关键能力 定点破
1.在运用与角α终边相同的角的集合{β|β=k·360°+α,k∈Z}时需注意以下三点:
(1)k是整数,这个条件不能漏掉;
(2)β是与角α终边相同的任意角;
(3)终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍.
2.求在某个范围内与已知角终边相同的角的步骤
(1)将已知角表示成α+k·360°(k∈Z)的形式,其中0°≤α<360°;
(2)用赋值法或不等式法求解,确定k的值;
(3)写出适合条件的角.
3.求终边在某条射线或直线上的角的集合的策略
(1)找出终边在某射线或直线上的一个角;
(2)若所求角的终边在某条射线上,则角之间相差360°的整数倍,若所求角的终边在某条直线
上,则角之间相差180°的整数倍.
典例1 已知角α=2 024°.
(1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-360°≤θ<360°;
(3)求与α终边相同的最大负角与最小正角.
解析 (1)α=5×360°+224°.因为β=224°是第三象限角,所以α为第三象限角.
(2)与2 024°角的终边相同的角为k·360°+2 024°,k∈Z.令-360°≤k·360°+2 024°<360°,k∈Z,则k
的值为-6,-5,
将k=-6,-5分别代入k·360°+2 024°中,得角θ为-136°,224°.
(3)由(2)知,与α终边相同的最大负角是-136°,最小正角是224°.
典例2 求终边落在直线y= x上的角的集合.
解析 在0°~360°范围内,终边落在y= x上的角为60°和240°,
所以终边落在直线y= x上的角的集合为{α|α=60°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=240°+k·360°,k∈Z}=
{α|α=60°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|α=60°+n·180°,n∈Z}.
区域角的表示
区域角是指终边在坐标系的某个区域内的角.表示时可分为三步:
(1)按逆时针方向找到区域的边界;
(2)由小到大分别标出边界对应的在-360°到360°范围内的角α和β,并将该范围内的区域角表
示为{x|α(3)角α、β再加上360°的整数倍,即得区域角的范围.
注:当角的终边落在两条直线所夹的两个区域时,表示区域角时按照步骤(1)(2)表示其中一个
区域,再把步骤(3)中“360°”改为“180°”即可.
定点 2
典例 已知角α的终边落在如图所示的阴影区域内(包括边界),求角α的集合.
图(1) 图(2)
解析 题图(1)中,取终边落在射线OA上的角为-150°,终边落在射线OB上的角为120°,故角α的
取值集合为{α|-150°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.
题图(2)中,当终边落在x轴上方阴影区域内(包括边界)时,角α的集合为{α|90°+k·360°≤α≤135°
+k·360°,k∈Z}={α|90°+2k·180°≤α≤135°+2k·180°,k∈Z},记为集合A;
当终边落在x轴下方阴影区域内(包括边界)时,角α的集合为{α|270°+k·360°≤α≤315°+k·360°,
k∈Z}={α|90°+(2k+1)·180°≤α≤135°+(2k+1)·180°,k∈Z},记为集合B.
所以终边落在阴影区域内(包括边界)的角α的集合为A∪B={α|90°+n·180°≤α≤135°+n·180°,n
∈Z}.
解后反思 题图(2)的结果也可为{α|-90°+n·180°≤α≤-45°+n·180°,n∈Z}.
象限角的判断
1.角α所在象限的判断方法
在0°~360°范围内,找出与角α的终边相同的角β,则角β的终边落在第几象限,角α就是第几
象限角.
2.角nα所在象限的判断方法
由角α的范围求出角nα 的范围,结合终边相同角的概念判断即可.
注意:不要忽略nα为轴线角的情况.
3.角 (n≠0)所在象限的判断方法
(1)分类讨论法:根据角α所在象限写出角α的范围(用含有k(k∈Z)的式子表示),由此求出角
的范围,然后对k(k∈Z)进行分类讨论,从而判断角 的终边所在象限.
定点 3
(2)几何法:先把各象限分为n(n∈N*)等份,再从x 轴非负半轴的上方起,按逆时针方向把这4n个
区域依次循环标上一、二、三、四.角α是第几象限角,则标号为几的区域即为角 的终边所
在区域.
典例 若α是第一象限角,则(1)-α;(2)2α;(3) 分别是第几象限角
解析 ∵α是第一象限角,
∴k·360°<α(1)-k·360°-90°<-α<-k·360°(k∈Z),∴-α是第四象限角.
(2)2k·360°<2α<2k·360°+180°(k∈Z),
∴2α是第一或第二象限角,或终边在y轴非负半轴上的角.
(3)k·120°< 解法一(分类讨论法):当k=3n(n∈Z)时,n·360°< 当k=3n+1(n∈Z)时,n·360°+120°< 当k=3n+2(n∈Z)时,n·360°+240°< 综上可知, 是第一或第二或第三象限角.
解法二(几何法):如图,将各象限分成3等份,再从x轴非负半轴的上方起,按逆时针方向依次将
各区域标上一、二、三、四,则标有一的区域(阴影部分,不含边界)即 的终边所在的区域,故
是第一或第二或第三象限角.
