(共13张PPT)
1.平方关系:sin2α+cos2α=1.
2.商数关系: =tan α,α≠kπ+ ,k∈Z.
5.2 三角函数的概念
知识点 1 同角三角函数的基本关系
知识 清单破
5.2.2 同角三角函数的基本关系
知识辨析
1.对任意角α,sin2 +cos2 =1都成立吗
2.若已知sin α= ,能确定cos α的值吗
一语破的
1.都成立.
2.能确定,但不唯一.cos α=± .
定点 1 利用同角三角函数的基本关系求值
关键能力 定点破
1.已知一个三角函数值求其余两个三角函数值
(1)已知sin θ(或cos θ)求cos θ(或sin θ)、tan θ的方法:
(2)已知tan θ求sin θ、cos θ的方法:
①将 =tan θ与sin2θ+cos2θ=1联立;
②利用cos2θ= = 求出cos θ的值,再利用sin θ=cos θtan θ求出sin θ的值(也可
用同样的方法先求sin2θ的值).
2.关于sin α,cos α的齐次式的求值问题
(1)已知tan α的值,可以求 或 的值,方法是将分子、分母
同时除以cos α或cos2α,将其化成关于tan α的式子,再代入tan α的值求解.
(2)asin2α+bsin αcos α+ccos2α的分母为1,利用1=sin2α+cos2α化成(1)中的齐次式.
3.利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值
若已知sin α±cos α,sin αcos α中的一个,则可以利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α求出另外两个,
进一步求得sin α,cos α的值,从而解决相关问题.
典例1 (1)已知α∈ ,tan α=2,求cos α,sin α的值;
(2)已知sin α=- ,求cos α,tan α的值.
解析 (1)解法一:由已知得 由①得sin α=2cos α,代入②得4cos2α+cos2α=1,所
以cos2α= ,又α∈ ,所以cos α<0,所以cos α=- ,所以sin α=2cos α=- .
解法二:因为tan α=2,sin2α+cos2α=1,
所以cos2α= = = ,
又α∈ ,所以cos α<0,所以cos α=- ,所以sin α=cos αtan α=- .
(2)因为sin α<0,sin α≠-1,所以α是第三或第四象限角.由sin2α+cos2α=1得cos2α=1-sin2α=1-
= .
如果α是第三象限角,那么cos α<0,
于是cos α=- ,tan α= = ;
如果α是第四象限角,那么cos α>0,
于是cos α= ,tan α= =- .
综上,当α是第三象限角时,cos α=- ,tan α= ;当α是第四象限角时,cos α= ,tan α=- .
典例2 已知sin α+cos α= ,α∈(0,π).
(1)求2sin αcos α的值;
(2)求sin α-cos α的值;
(3)求sin α,cos α,tan α的值.
解析 (1)∵sin α+cos α= ,
∴(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α= ,
∴2sin αcos α=- .
(2)∵2sin αcos α=- <0,且α∈(0,π),∴sin α>0,cos α<0,∴α∈ ,
∴sin α-cos α=
= = .
(3)由 得
∴tan α= =- .
利用同角三角函数的基本关系化简或证明
常用的方法技巧
(1)化切为弦,即把正切函数化成正弦、余弦函数,从而减少式中函数名称.
(2)对于含有根号的三角函数式,常把被开方的式子化成完全平方式,然后去根号.
(3)对于含高次的三角函数式,往往借助因式分解,或构造出sin2α+cos2α=1,以降低次数.
定点 2
典例1 若sin α·tan α<0,化简 + .
解析 ∵sin α·tan α<0,∴cos α<0.
原式= +
= +
= + =- .
典例2 (1)求证:sin θ(1+tan θ)+cos θ· = + ;
(2)已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.
思路点拨 (1)从较烦琐的左侧向右侧证明,左侧式子中有正弦、余弦、正切,所以可以将切
化弦进行整理.(2)将给出的条件切化弦,再将余弦利用平方关系化为正弦,以结论为目标推理
得证.
证明 (1)左边=sin θ +cos θ
=sin θ+ +cos θ+
= +
= + = + =右边,
所以原等式成立.
(2)由tan2α=2tan2β+1,
可得 = = ,
即sin2α-sin2αsin2β=cos2α+cos2αsin2β,
所以sin2β= =sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1,所以得证.(共17张PPT)
1.利用单位圆定义任意角的三角函数
5.2 三角函数的概念
知识点 1 三角函数的概念
知识 清单破
5.2.1 三角函数的概念
前提 设α是一个任意角,α∈R,它的始边与x轴的非负半轴重合,终边OP与圆心为坐标原点的单位圆交于点P(x,y)
正弦函数 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sin α,即y=sin α
余弦函数 点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cos α,即x=cos α
正切函数 点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的正切,记作tan α,即 =tan α(x≠0),以此比值为函数值的函数叫做α的正切函数
2.利用角终边上任一点的坐标定义三角函数
如图,α为一个任意角,其始边与x轴的非负半轴重合,在角α的终边上任取一点P(异于原点
O),其坐标为(x,y),且OP=r= ,则sin α= ,cos α= ,tan α= (x≠0).
三角函数 解析式 定义域
正弦函数 y=sin x R
余弦函数 y=cos x R
正切函数 y=tan x
3.三角函数及其定义域
三角函数值在各象限的符号
如图,第一象限各三角函数值均为正,第二象限只有正弦值为正,第三象限只有正切值为
正,第四象限只有余弦值为正.
记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
知识点 2
公式一
其中k∈Z.
知识点 3
特殊角的三角函数值
知识点 4
α 0 π
sin α 0 1 0 -1
cos α 1 0 - - - -1 0
tan α 0 1 — - -1 - 0 —
知识辨析
1.角α的三角函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关
2.两角的同一三角函数值相等时,两角是否一定为终边相同的角
3.已知α是三角形的内角,能否确定sin α、cos α、tan α的符号
一语破的
1.无关.只与角α终边的位置有关.
2.不一定.比如α= ,β= ,sin α=sin β= ,但α与β并不是终边相同的角.
3.能确定sin α>0,但cos α、tan α的符号不能确定.
定点 1 利用三角函数的定义求三角函数值
关键能力 定点破
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况(单位圆的圆心为原点O):
(1)若已知角α的大小,则只需确定出角α的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值.
(2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)是单位圆上一点,则sin α=y,cos α=x,tan α= .
(3)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)不是单位圆上一点,则先求r= ,再求sin α= ,cos α
= ,tan α= .当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进
行分类讨论.
(4)若角的终边在一条经过原点的直线上,则选择适当的参数表示直线上的点,参数取不同的
符号确定两条射线,再利用三角函数的定义求解.
典例 (1)已知O为坐标原点,角θ终边上有一点P(x,3)(x≠0),且cos θ= x,求sin θ,tan θ的值;
(2)已知O为坐标原点,角α的终边落在直线y=-2x上,求2sin α+3cos α的值.
解析 (1)由题意知r=OP= ,由三角函数的定义得cos θ= = .
因为cos θ= x,
所以 = x,
解得x=0或x=±1.
又因为x≠0,所以x=±1.
当x=1时,P(1,3),
此时sin θ= = ,
tan θ= =3.
当x=-1时,P(-1,3),
此时sin θ= = ,
tan θ= =-3.
(2)设P(x,-2x)(x≠0)是直线y=-2x上任意一点,
则r=OP= = |x|,
当x>0时,r= x,
因此sin α= =- ,
cos α= = ,
∴2sin α+3cos α=- + =- .
当x<0时,r=- x,
因此sin α= = ,
cos α= =- ,
∴2sin α+3cos α= - = .
综上,2sin α+3cos α=± .
判断三角函数值在各象限的符号
判断三角函数值在各象限的符号的关键
(1)准确确定三角函数值中各角所在象限;
(2)准确记忆三角函数值在各象限的符号.
定点 2
典例 (1)若α是第四象限角,则点P 在 象限;
(2)若sin θtan θ>0,且cos θtan θ<0,则sin θcos θ的符号为 (填“正”或“负”).
解析 (1)因为α是第四象限角,
所以2kπ- <α<2kπ,k∈Z,
则kπ- < 当k=2n+1,n∈Z时,
2nπ+ π< <2nπ+π,n∈Z,
所以 是第二象限角,
第三或第四
负
则cos <0,tan <0,所以点P在第三象限;
当k=2n,n∈Z时,2nπ- < <2nπ,n∈Z,
所以 是第四象限角,则cos >0,tan <0,所以点P在第四象限.
综上可得,点P在第三或第四象限.
(2)由sin θtan θ>0,知sin θ与tan θ同号,故θ是第一或第四象限角,由cos θtan θ<0,知cos θ与tan θ
异号,故θ是第三或第四象限角.
综上可知,θ是第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,所以sin θcos θ<0.
公式一的应用
利用公式一化简求值的步骤
(1)定形:将已知的任意角写成2kπ+α的形式,其中α∈[0,2π),k∈Z.
(2)转化:根据公式一,转化为求角α的某个三角函数值.
(3)求值:若角α为特殊角,则可直接求出该角的三角函数值,需熟记特殊角的三角函数值,见知
识点4.
定点 3
典例 计算:(1)sin(-1 740°)cos 1 470°+cos(-660°)sin 750°+tan(-315°);
(2)a2sin(-1 350°)+b2tan 405°-(a-b)2·tan 765°-2abcos(-1 080°).
解析 (1)原式=sin(60°-5×360°)cos(30°+4×360°)+cos(60°-2×360°)sin(30°+2×360°)+tan(45°-360°)
=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°+tan 45°
= × + × +1=2.
(2)原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tan(360°+45°)-(a-b)2tan(2×360°+45°)-2abcos(-3×360°)=a2sin 90°+
b2tan 45°-(a-b)2tan 45°-2abcos 0°=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.5.2 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念
基础过关练
题组一 三角函数的定义及其应用
1.已知角α的终边经过点(3,-4),则cos α的值为( )
A.- B. C.- D.-
2.已知角α的终边上一点P的坐标为,则tan α=( )
A.- B.1 C. D.-1
3.已知角α的终边在直线y=3x上,则sin α=( )
A.± B. C. D.±
4.已知角α的终边过点M(x,-1),x<0,且cos α=x,则x=( )
A.- B.- C.- D.-
5.已知函数f(x)=loga(x+2)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过点P,若P是角θ终边上的一点,则sin θ= .
题组二 三角函数值的符号
6.已知sin θcos θ>0,且|cos θ|=cos θ,则角θ是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
7.已知sin θcos θ<0,那么角θ是 ( )
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第二或第四象限角 D.第一或第四象限角
8.在平面直角坐标系中,点P(tan 2 023°,sin 2 023°)位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9.(多选题)下列三角函数值为负数的是( )
A.tan B.tan 505°C.sin 7.6π D.sin 186°
10.若sin α<0且tan α>0,则α是第 象限角.
题组三 公式一及特殊三角函数值的应用
11.(教材习题改编)sin(-300°)cos 420°=( )
A.- B. C.- D.
12.设x∈R,则“x=+2kπ,k∈Z”是“sin x=”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
13.(教材习题改编)化简下列各式:
(1)sin+cos+cos(-5π)+tan;
(2)a2sin 810°-b2cos 900°+2abtan 1 125°.
能力提升练
题组一 三角函数的定义及其应用
1.已知角α的终边经过点P(3,4-tan α),则cos α=( )
A. B.- C.± D.±
2.已知P(x,-3)为角α的终边上一点,且cos α=,则tan α的值为 ( )
A.- B. C.± D.±
3.已知角α(0≤α<2π)的终边经过点P,则α=( )
A. B. C. D.
题组二 三角函数值的符号
4.若点P(sin θ,cos θ)位于第四象限,则角θ的终边位于( )
A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
5.“sin αA.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.已知集合M=yy=,N={a,b,lg a}(a>0),若M=N,则ab=( )
A.-4 B.-1 C.1 D.4
7.(多选题)给出下列四个命题,其中是真命题的为( )
A.如果α≠β,那么sin α≠sin β
B.如果sin α≠sin β,那么α≠β
C.如果θ是第一或第二象限角,那么sin θ>0
D.如果sin θ>0,那么θ是第一或第二象限角
8.已知=-,且lg(cos α)有意义.
(1)试判断角α的终边所在的象限;
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M,求m及sin α的值.
题组三 公式一及特殊三角函数值的应用
9.sin +cos -tan= .
10.已知O为坐标原点,点P,线段OP绕点O顺时针转动75°后到达OP',则点P'的坐标为 .
11.已知角α的终边经过点P(3,4),则
(1)tan(-6π+α)的值为 ;
(2)·sin(α-2π)·cos(2π+α)的值为 .
答案与分层梯度式解析
5.2 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念
基础过关练
1.B 2.D 3.A 4.C 6.A 7.C 8.D 9.BCD
11.B 12.A
1.B ∵角α的终边经过点(3,-4),∴x=3,y=-4,r=5,则cos α==,故选B.
2.D ∵-cos =-,sin =,∴P,
则tan α==-1.故选D.
3.A 因为角α的终边在直线y=3x上,所以角α为第一或第三象限角,
由三角函数的定义,分别取点(1,3),(-1,-3),可得sin α=±.故选A.
4.C 由角α的终边过点M(x,-1)得cos α==,又x<0,所以x=-.故选C.
5.答案
解析 令x+2=1,得x=-1,则f(-1)=1,
∴P(-1,1),∴sin θ==.
6.A ∵|cos θ|=cos θ,∴cos θ≥0,
又sin θcos θ>0,∴sin θ>0,且cos θ>0,
因此角θ是第一象限角.故选A.
7.C 由sin θcos θ<0可得或所以角θ是第二或第四象限角,故选C.
8.D ∵2 023°=5×360°+223°,∴2 023°是第三象限角,
因此tan 2 023°>0,sin 2 023°<0,∴P(tan 2 023°,sin 2 023°)位于第四象限.故选D.
9.BCD 对于A,由-是第三象限角得tan>0,因此A不满足题意;对于B,由505°=360°+145°,得505°角是第二象限角,所以tan 505°<0,因此B满足题意;对于C,由7.6π=8π-0.4π,得7.6π是第四象限角,所以sin 7.6π<0,因此C满足题意;对于D,由186°是第三象限角得sin 186°<0,因此D满足题意.故选BCD.
10.答案 三
解析 由sin α<0,可知α是第三或第四象限角或α的终边在y轴非正半轴上,
由tan α>0,可知α是第一或第三象限角,
所以当sin α<0且tan α>0时,α是第三象限角.
11.B sin(-300°)cos 420°=sin(-360°+60°)cos(360°+60°)=sin 60°cos 60°=×=.故选B.
12.A 若x=+2kπ,k∈Z,则sin x=sin=sin =,k∈Z,充分性成立;
若sin x=,则x=+2kπ或x=+2kπ,k∈Z,必要性不成立.
所以“x=+2kπ,k∈Z”是“sin x=”的充分不必要条件.
故选A.
易错警示 已知角,可求出唯一确定的三角函数值(没有意义除外),但已知三角函数值,不能唯一确定角,解题时往往结合角的范围求角.
13.解析 (1)原式=sin+cos+cos π+1=-1+0-1+1=-1.
(2)原式=a2sin 90°-b2cos 180°+2abtan 45°=a2+b2+2ab=(a+b)2.
能力提升练
1.A 2.A 3.D 4.B 5.B 6.B 7.BC
1.A ∵角α的终边经过点P(3,4-tan α),
∴tan α=,解得tan α=1.
则点P的坐标为(3,3),则cos α=.故选A.
2.A ∵P(x,-3)为角α的终边上一点,且cos α==>0,∴x=4,∴tan α=-.故选A.
3.D 由sin =>0,cos =>0,得角α是第一象限角,又0≤α<2π,因此角α是锐角.
由P得,tan α==,因此α=.故选D.
4.B ∵点P(sin θ,cos θ)位于第四象限,∴
∴角θ的终边位于第二象限.故选B.
5.B 依题意得角α的终边不在坐标轴上,∴cos α<1.
∵sin α-tan α=tan α(cos α-1),∴sin α0.
若tan α>0,则α为第一或第三象限角,充分性不成立,
若α为第一象限角,则tan α>0,即sin α因此“sin α6.B 由题意得θ≠,k∈Z,
当θ是第一象限角时,y=×(1+1)=1;当θ是第二象限角时,y=×(1-1)=0;当θ是第三象限角时,y=×(-1-1)=-1;当θ是第四象限角时,y=×(-1+1)=0,因此M={1,0,-1}.
由M=N,且a>0,得a=1,故lg a=0,所以b=-1,所以ab=-1.故选B.
7.BC 对于A,取α=,β=,则≠,但sin α=sin β,故A是假命题;
对于B,如果sin α≠sin β,那么α≠β,故B是真命题;
对于C,若θ是第一或第二象限角,则由正弦函数的性质可知,sin θ>0,故C是真命题;
对于D,如果sin θ>0,那么θ是第一或第二象限角或θ的终边在y轴非负半轴上,故D是假命题.故选BC.
8.解析 (1)∵=-,∴sin α<0.①
∵lg(cos α)有意义,∴cos α>0.②
由①②得角α的终边位于第四象限.
(2)∵点M在单位圆上,
∴+m2=1,解得m=±.
由(1)知α是第四象限角,∴m<0,∴m=-.
由三角函数的定义知,sin α=-.
9.答案 0
解析 sin +cos -tan
=sin+cos-tan
=sin +cos -tan =+-1=0.
10.答案
解析 因为点P在第一象限内,且+=1,所以点P在单位圆上,
设以x轴非负半轴为始边,以射线OP为终边的角为α,则0°<α<90°,则tan α==,故α=30°,
设以x轴非负半轴为始边,以射线OP'为终边的角为β,则β=30°-75°=-45°,所以点P'的坐标为(cos(-45°),sin(-45°)),易知P'在直线y=-x上,且位于第四象限,
故取直线y=-x上一点(1,-1),则sin(-45°)=-,cos(-45°)=,
所以点P'的坐标为.
11.答案 (1) (2)
解析 由题意可得sin α==,cos α==,tan α=.
(1)tan(-6π+α)=tan α=.
(2)原式=·sin α·cos α=sin2α=.
75.2.2 同角三角函数的基本关系
基础过关练
题组一 同角三角函数的基本关系的简单应用
1.(教材习题改编)已知cos α=,且α为第四象限角,则sin α=( )
A. B.- C. D.-
2.(教材习题改编)已知α∈,tan α=-3,则cos α=( )
A.- B. C.- D.
3.设x∈R,则“sin x=”是“cos x=”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.设角θ满足条件则θ的终边位于( )
A.第一或第二象限 B.第一或第三象限
C.第二或第四象限 D.不能确定
5.已知sin α=,求cos α,tan α的值.
题组二 正、余弦齐次式的求值问题
6.已知=2,则tan α=( )
A.5 B.4 C.3 D.2
7.若角θ的终边经过点P(1,3),则sin θcos θ+cos2θ=( )
A.- B.- C. D.
8.若tan θ=,则= .
9.已知sin α=2cos α,则sin2α+2sin αcos α= .
10.已知tan α=,求下列各式的值.
(1);
(2)sin αcos α+2.
题组三 利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值
11.(多选题)在平面直角坐标系中,已知sin θ+cos θ=,则角θ的终边可能位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
12.已知sin α-cos α=,则=( )
A.- B. C.- D.
13.(多选题)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是( )
A.θ∈ B.cos θ=
C.tan θ=- D.sin θ·cos θ=-
14.已知-(1)求sin x-cos x的值;
(2)求的值.
题组四 利用同角三角函数的基本关系化简或证明
15.化简:=( )
A.tan B.- C.1 D.-1
16.已知cos α-sin α=2sin αtan α,其中α为第一象限角,则tan α=( )
A. B. C.1 D.2
17.(多选题)若α是第二象限角,则下列各式中成立的是( )
A.tan α=-
B.=sin α-cos α
C.cos α=-
D.=sin α+cos α
18.已知角θ的终边经过点P(3a,-4a),其中a≠0.
(1)求cos θ的值;
(2)若θ为第二象限角,求cos θ+sin θ的值.
19.求证:=.
能力提升练
题组一 利用同角三角函数的基本关系求值
1.已知tan θ=2,则(sin θ-3cos θ)2-1=( )
A.- B. C.- D.
2.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形,如图,已知直角三角形中较小的锐角为α(0°<α<45°),且小正方形与大正方形的面积之比为1∶25,则tan α=( )
A. B. C. D.
3.若sin α=,cos α=,则tan α= .
4.已知sin θ,cos θ是方程5x2-x+5m=0的两个实数根.
(1)求m的值;
(2)若θ为第二象限角,求sin θ-cos θ的值.
题组二 利用同角三角函数的基本关系化简或证明
5.已知tan2α-sin2α=2,则tan2αsin2α的值为( )
A.3 B. C.2 D.
6.若α,β都是第一象限角,则“sin α>sin β”是“tan α>tan β”成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.若tan θ-=0,则sin θcos θ= .
8.求证:=.
9.(教材习题改编)(1)分别计算cos4-sin4,cos2-sin2,cos 的值,你有什么发现
(2)分别计算cos4-sin4,cos2-sin2,cos 的值,你有什么发现
(3)证明: x∈R,cos4x-sin4x=cos2x-sin2x;
(4)推测 x∈R,cos2x-sin2x与cos 2x的关系,不需证明.
答案与分层梯度式解析
5.2.2 同角三角函数的基本关系
基础过关练
1.D 2.A 3.D 4.C 6.A 7.C 11.BD 12.A
13.AD 15.D 16.B 17.BC
1.D ∵α为第四象限角,∴sin α<0,
∵cos α=,∴sin α=-=-.故选D.
2.A 解法一:由解得cos α=±.
又α∈,因此cos α=-.故选A.
解法二:由α∈可知cos α<0.
又cos2α===,
因此cos α=-.故选A.
3.D 当sin x=时,cos x=±=±,
当cos x=时,sin x=±=±,
因此“sin x=”是“cos x=”的既不充分也不必要条件.故选D.
4.C 因为sin θ=,cos θ=,且sin2θ+cos2θ=1,
所以+=1,解得k=0或k=8.
若k=0,则sin θ=-,cos θ=,此时θ的终边位于第四象限;
若k=8,则sin θ=,cos θ=-,此时θ的终边位于第二象限.
所以θ的终边位于第二或第四象限.故选C.
5.解析 ∵sin α=,sin2α+cos2α=1,
∴cos α=±=±.
当cos α=时,tan α=;
当cos α=-时,tan α=-.
6.A 因为=2,所以=2,
解得tan α=5.故选A.
7.C 若角θ的终边经过点P(1,3),则tan θ=3,
因此有sin θcos θ+cos2θ====.故选C.
8.答案
解析 ∵tan θ=,∴====.
9.答案
解析 ∵sin α=2cos α,∴tan α=2,
∴sin2α+2sin αcos α=
==.
10.解析 (1)===5.
(2)sin αcos α+2=+2=+2=+2=.
11.BD 由sin θ+cos θ=,两边平方得1+2sin θcos θ=,
从而可得2sin θcos θ=-<0,即sin θcos θ<0.故选BD.
12.A 由sin α-cos α=,得1-2sin αcos α=,
∴sin αcos α=,
因此===-.故选A.
13.AD 由sin θ+cos θ=,两边平方得1+2sin θcos θ=,所以sin θcos θ=-<0,
故sin θ,cos θ异号,因为θ∈(0,π),所以θ∈,故sin θ>0,cos θ<0,
由解得故tan θ=-.故选AD.
14.解析 (1)将sin x+cos x=,两边平方得(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=,
∴2sin xcos x=-,
则(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=,
∵-0,∴sin x-cos x<0,
因此sin x-cos x=-.
(2)由已知条件及(1)可知
则===.
15.D 原式===-1.
16.B 由α为第一象限角得,cos α>0,tan α>0,
因为cos α-sin α=2sin αtan α,所以1-tan α=2tan2α,即2tan2α+tan α-1=0,
解得tan α=或tan α=-1(舍去).故选B.
17.BC 由同角三角函数的基本关系,知tan α=,所以A错误;
因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,
所以sin α-cos α>0,sin α+cos α的符号不确定,
因此==sin α-cos α,所以B正确,D错误;
由sin2α+cos2α=1及cos α<0得cos α=-,所以C正确.故选BC.
18.解析 (1)由已知得=5|a|,
当a>0时,cos θ==,
当a<0时,cos θ=-=-.
(2)若θ为第二象限角,则cos θ=-,sin θ=,
则cos θ+sin θ
=cos θ+sin θ
=cos θ+sin θ=cos θ-sin θ
=--=-.
19.证明 证法一:左边==
=====右边,
∴原等式成立.
证法二:∵右边==,
左边====,
∴左边=右边,故原等式成立.
能力提升练
1.A 2.B 5.C 6.C
1.A ∵tan θ=2,
∴(sin θ-3cos θ)2-1=sin2θ-6sin θcos θ+9cos2θ-1
=8cos2θ-6sin θcos θ==
==-.故选A.
2.B 设大正方形的边长为a,
由于0°<α<45°,所以cos α>sin α>0,
因此直角三角形较短的直角边的长为asin α,较长的直角边的长为acos α,
从而小正方形的边长为a(cos α-sin α),
因为小正方形与大正方形的面积之比为1∶25,
所以=(cos α-sin α)2=,即cos α-sin α=.
由解得
因此,tan α==.故选B.
3.答案 0或
解析 因为sin2α+cos2α=1,
所以+==1,
整理可得m2-2m-3=0,解得m=-1或m=3.
当m=-1时,sin α=0,cos α=-1,tan α==0;
当m=3时,sin α=,cos α=,tan α==.
综上所述,tan α=0或tan α=.
4.解析 (1)因为sin θ,cos θ是方程5x2-x+5m=0的两个实数根,
所以sin θ+cos θ=,且sin θcos θ=m,
由(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,可得=1+2m,则m=-,
经检验,符合题意,故m=-.
(2)因为θ为第二象限角,
所以sin θ>0,cos θ<0,又sin θcos θ=-,
所以sin θ-cos θ====.
5.C 因为tan2α-sin2α=2,所以-sin2α=2,
所以=·sin2α=2,
所以tan2αsin2α=2.
6.C 充分性:根据α,β都是第一象限角,
可知sin α>0且sin β>0,
若sin α>sin β,则>,
整理得cos α结合cos α,cos β都是正数,得>>0,
而sin α>sin β>0,同向不等式相乘,得>,即tan α>tan β成立.
必要性:根据α,β都是第一象限角,可知tan α>0且tan β>0,
若tan α>tan β,则1+tan2α>1+tan2β,即1+>1+,即>,可得>,
所以cos2αsin2β,故sin α>sin β成立.
综上所述,“sin α>sin β”是“tan α>tan β”成立的充要条件.故选C.
7.答案
解析 ∵tan θ-=0,
∴tan θ==
=
=
=
==,
∴sin θcos θ===.
8.证明 左边=
=
=
=
===右边,
所以原等式成立.
9.解析 (1)因为cos4-sin4=cos2+sin2·cos2-sin2=cos2-sin2=-=,cos2-sin2=-=,cos =,
所以cos4-sin4,cos2-sin2,cos 的值相等.
(2)因为cos4-sin4=cos2+sin2·cos2-sin2=cos2-sin2=-=0,cos2-sin2=-=0,cos =0,
所以cos4-sin4,cos2-sin2,cos 的值相等.
(3)证明: x∈R,cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x-sin2x.
(4)推测 x∈R,cos2x-sin2x=cos 2x.
7
