5.3 诱导公式
基础过关练
题组一 利用诱导公式解决给角求值问题
1.cos =( )
A.- B. C.- D.
2.已知函数f(x)=则f(-1)=( )
A.- B.- C. D.
3.在平面直角坐标系中,角α的终边经过点P(1,),则cos=( )
A.- B.- C. D.
4.sin 的值为 .
5.(教材习题改编)sin 510°+cos 660°-tan 585°= .
题组二 利用诱导公式解决条件求值问题
6.已知sin(3π+α)=,则cos=( )
A. B.- C.- D.
7.已知sin 36°=a,则sin 54°=( )
A. B.a
C.- D.-a
8.(教材习题改编)已知sin=,且α∈,则cos=( )
A. B.- C. D.-
9.已知cos=,则sin= .
10.已知cos=,则sin+cos
= .
题组三 利用诱导公式解决恒等变形问题
11.已知角θ的终边经过点(-1,-3),则=( )
A. B.-
C.-1 D.1
12.(教材习题改编)已知角A,B,C为△ABC的三个内角,若sin =sin ,则△ABC一定是( )
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰或直角三角形
13.化简:= .
能力提升练
题组一 利用诱导公式解决给角求值问题
1.已知a=ln 3,b=sin,c=,则( )
A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b
2.在平面直角坐标系中,已知圆C的圆心在原点处,半径等于1,某质点从初始位置P(0,1)开始,在圆C上按逆时针方向,以角速度 rad/s匀速旋转3 s后到达P'点,则P'的坐标为 .
3.已知角α∈,若sin(π+α)=,则α= ;sin= .
题组二 利用诱导公式解决条件求值问题
4.若sin(-110°)=a,则tan 70°等于( )
A. B.- C. D.-
5.平面直角坐标系中,已知点A在单位圆上且位于第三象限,点A的纵坐标为-,现将点A沿单位圆按顺时针方向运动到点B,所经过的弧长为,则点B的纵坐标为( )
A. B.- C. D.-
6.已知α是第四象限角,且3sin2α=8cos α,则cos=( )
A.- B.- C. D.
7.若θ为第四象限角,且sin(θ+π)=,则-的值是( )
A.4 B.-4 C. D.-
8.在平面直角坐标系中,角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在直线y=-x上,则等于( )
A.2+ B.2- C. D.-
题组三 利用诱导公式解决恒等变形问题
9.(多选题)已知下列等式的左右两边都有意义,则能够恒成立的是 ( )
A.sin=sin
B.sin=-cos
C.tan=tan
D.tan2αsin2α=tan2α-sin2α
10.(多选题)已知角α和β的终边关于x轴对称,则( )
A.sin α=-sin β B.tan α=tan β
C.sin=cos β D.cos(π-α)=cos β
11.若sin θ,cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根,则cos+sin= .
答案与分层梯度式解析
5.3 诱导公式
基础过关练
1.A 2.A 3.A 6.D 7.A 8.C 11.C 12.C
1.A cos =cos=cos=-cos =-.故选A.
2.A 由题意可得f(-1)=sin=-sin=-.故选A.
3.A 依题意得sin α==,
所以cos=-sin α=-.故选A.
4.答案 -
解析 sin =sin=-sin =-.
5.答案 0
解析 sin 510°+cos 660°-tan 585°=sin 150°+cos(-60°)-tan 45°=sin 30°+cos 60°-tan 45°=+-1=0.
6.D 由sin(3π+α)=,得-sin α=,则sin α=-.∴cos=-sin α=.故选D.
7.A 因为sin 36°=a,sin236°+cos236°=1,
所以cos 36°=,
所以sin 54°=sin(90°-36°)=cos 36°=,
故选A.
8.C ∵sin=,α∈,
∴+α∈,
∴cos=-=-,
∴cos=cos
=-cos=.故选C.
9.答案
解析 sin=sin=cosθ+=.
10.答案 0
解析 sin=sin=cos=,cos=cos=-cos-α=-,则sin+cos=0.
解题模板 解决条件求值问题的关键是找到已知角与待求角之间的关系,结合诱导公式进行转化求值.
11.C 因为角θ的终边经过点(-1,-3),所以tan θ=3,
则====-1.故选C.
12.C 在△ABC中,A+B+C=π.由sin =sin 可得sin =sin ,
所以sin=sin,即cos C=cos B,所以B=C,故该三角形一定为等腰三角形,无法判断是不是直角三角形,故选C.
13.答案 -tan α
解析 ==-tan α.
能力提升练
1.B 4.B 5.C 6.A 7.A 8.B 9.ABD 10.AC
1.B 易知函数y=ln x在(0,+∞)上单调递增,且3>e,所以a=ln 3>ln e=1.
b=sin=sin=-sin=-<0.
因为函数y=3x在R上单调递增,且-<0,所以0<<30=1,即0c>b.故选B.
2.答案
解析 由已知得点P(0,1)为角的终边上一点,因为+×3=,所以点P'落在角的终边上,因为cos =-cos =-,sin =-sin =-,所以P'的坐标为.
3.答案 ;-
解析 因为sin(π+α)=-sin α=,所以sin α=-,又α∈,所以α=,
所以sin=sin=sin
=sin=-sin=-.
4.B 由sin(-110°)=a得sin 110°=-a,
∴sin 70°=sin(180°-110°)=sin 110°=-a,
∴tan 70°==-.故选B.
5.C 设坐标原点为O,以x轴非负半轴为始边,以射线OA,OB为终边的角分别为α,β,则(α-β)×1=,得β=α-,
由题意可得sin α=-,角α的终边位于第三象限,
则cos α=-=-,
所以sin=-cos α=,
则点B的纵坐标为.故选C.
6.A ∵3sin2α=8cos α,∴cos α=,
∴sin2α+=1,
整理可得9sin4α+64sin2α-64=0,
∴sin2α=.
又∵α是第四象限角,∴sin α=-,
∴cos=cos
=-cos=sin α=-.
7.A 因为θ为第四象限角,且sin(θ+π)==-sin θ,所以sin θ=-,
可得cos θ==,
则-=-=-=+2-(-2)=4.故选A.
8.B 由已知得tan θ=-.
因此=====2-.故选B.
9.ABD 对于A,sin=sin=sin,故A正确;对于B,sin=cos=cos=-cosπ+=-cos,故B正确;对于C,tan=-tan=-tan,故C错误;对于D,tan2αsin2α=·sin2α=·sin2α=-sin2α=tan2α-sin2α,故D正确.故选ABD.
10.AC 因为角α和β的终边关于x轴对称,所以α=-β+2kπ,k∈Z.
对于A,由于sin α=sin(-β+2kπ)=-sin β,k∈Z,所以A正确;
对于B,由于tan α=tan(-β+2kπ)=tan(-β)=-tan β,k∈Z,所以B错误;
对于C,由于sin=cos α=cos(-β+2kπ)=cos(-β)=cos β,k∈Z,所以C正确;
对于D,由于cos(π-α)=-cos α=-cos(-β+2kπ)=-cos β,k∈Z,所以D错误.
故选AC.
11.答案 -1
解析 由题意得Δ=a2-4a≥0,则a≤0或a≥4,由根与系数的关系得
又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,所以a2=1+2a,解得a=1-或a=1+(舍去),
则sin θ+cos θ=1-,
所以cos+sin=cos+sin=cos-sin
=-sin θ-cos θ=-(sin θ+cos θ)=-1.
7(共18张PPT)
1.公式一:sin(α+k·2π)=sin α,
cos(α+k·2π)=cos α,
tan(α+k·2π)=tan α,
其中k∈Z.
2.公式二:sin(π+α)=-sin α,
cos(π+α)=-cos α,
tan(π+α)=tan α.
3.公式三:sin(-α)=-sin α,
5.3 诱导公式
知识点 1 诱导公式
知识 清单破
cos(-α)=cos α,
tan(-α)=-tan α.
4.公式四:sin(π-α)=sin α,
cos(π-α)=-cos α,
tan(π-α)=-tan α.
5.公式五:sin =cos α,
cos =sin α.
6.公式六:sin =cos α,
cos =-sin α.
诱导公式的理解
1.本质:将角k· ±α(k∈Z)的三角函数转化为角α的三角函数.
2.口诀:奇变偶不变,符号看象限.
(1) “奇”“偶”是对k· ±α(k∈Z)中 的倍数k来讲的.
(2)“变”与“不变”是针对三角函数名称而言的.当k为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当k
为偶数时,函数名不变.
知识点 2
(3)“象限”是指k· ±α(k∈Z)中,将α看成锐角时,k· ±α(k∈Z)所在的象限,根据“一全正,二
正弦,三正切,四余弦”的符号规律确定角k· ±α对应三角函数值的符号.举例如下:
知识辨析
1.在△ABC中,sin(A+B)与sin C有何关系
2.若sin <0,且cos >0,则θ为第几象限角
3.如何由公式四及公式五推导公式六
一语破的
1.相等.因为A+B=π-C,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.
2.θ为第二象限角.因为sin =cos θ<0,cos =sin θ>0,所以θ为第二象限角.
3.sin =sin =sin =cos α,cos =cos =-cos =-sin α.
定点 1 利用诱导公式解决给角求值问题
关键能力 定点破
1.利用诱导公式解决给角求值问题的一般步骤
(1)负化正:用公式一或三来转化;
(2)大化小:用公式一将角化为0~2π的角;
(3)小化锐:用公式二、四或六将大于 且小于2π的角转化为锐角;
(4)锐求值:求锐角的三角函数值.
可简记为“负角化正角,正角大变小,小角化锐角,锐角去查表”.
2.诱导公式的应用非常灵活,做题时方法不唯一,关键在于熟练运用.
典例 (1)cos 225°+tan 240°+sin(-60°)+tan(-60°)= ;
(2)sin cos tan = .
-
-
解析 (1)cos 225°+tan 240°+sin(-60°)+tan(-60°)
=cos(180°+45°)+tan(180°+60°)+sin(-60°)+tan(-60°)
=-cos 45°+tan 60°-sin 60°-tan 60°
=- - =- .
(2)sin cos tan =-sin 2π+π- cos tan =-sin cos ·tan =- .
利用诱导公式解决条件求值问题
解决条件求值问题时,首先要仔细观察条件中的已知式与所求式的角、函数名称及有关
运算之间的差异及联系,再将已知式向所求式转化或将所求式向已知式转化.
当角比较复杂时,要注意分析两个角之间是否具有互余、互补关系或分析两个角的和、
差是不是特殊角等.常见的互余关系: -α与 +α, +α与 -α 等;常见的互补关系: +α与 -
α, +α与 -α等.
定点 2
典例 (1)已知cos = ,则sin = ;
(2)已知cos = ,则cos -sin2 = .
-
-
思路点拨 思路一:观察已知式与待求式中角的关系,用已知式中的角来表示待求式中的角;
思路二:设已知角为另外一个字母,将结论用新字母表示出来,明确角的关系进而求解.
解析 解法一:(1)∵cos = ,
∴sin =-sin =-sin
=-sin =-cos
=-cos =- .
(2)∵cos = ,
∴cos =cos
=-cos =- ,
sin2 =sin2
=1-cos2
=1- = ,
∴cos -sin2
=- - =- .
解法二:(1)设 -α=θ,则α= -θ,
且cos θ= ,
因此sin =sin
=sin =-sin =-cos θ=- .
(2)设 -α=θ,则α= -θ,cos θ= ,
∴cos -sin2 =cos -sin2 =cos(π-θ)-sin2(-θ)=-cos θ-sin2θ=-cos θ
-1+cos2θ=- -1+ =- .
利用诱导公式化简、证明三角函数式
化简、证明三角函数式的方法和技巧
(1)方法:抓住函数名称之间的关系和角之间的关系,灵活应用相关的公式及变形解决问题.
(2)技巧:①异名化同名;②异角化同角;③切化弦;④化繁为简.
定点 3
典例 (1)若 <α<2π,化简:sin(π-α)· ;
(2)求证: = .
解析 (1)若 <α<2π,则sin α<0,0所以sin(π-α)· +
=sin α·
=sin α·
=sin α·
=sin α· =-2.
(2)证明:左边=
= =
= = ,
右边= = = ,
所以左边=右边,故原等式成立.
