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正切函数的图象与性质
知识 清单破
5.4.3 正切函数的性质与图象
5.4 三角函数的图象与性质
知识点
正切函数 y=tan x
图象
定义域
值域 R
最小正周期 π
单调性 在每一个区间 (k∈Z)上都单调递增
奇偶性 奇函数
图象的对称性 对称中心的坐标为 (k∈Z)(没有对称轴)
知识辨析
1.正切函数在其定义域内是增函数吗
2.函数y=|tan x|是不是周期函数
3.观察正切曲线,满足tan x<0的x的范围是什么 tan x>0呢
一语破的
1.不是.正切函数在整个定义域内函数值不随自变量的增大而增大,因此不具备单调性.
2.是周期函数.y=|tan x|与y=tan x的最小正周期相等,都是π.
3.tan x<0时,x∈ ,k∈Z;tan x>0时,x∈ ,k∈Z.
定点 1 正切(型)函数的定义域、奇偶性、周期性、图象的对称性
关键能力 定点破
1.定义域、图象的对称性
对于正切型函数f(x)=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域、图象的对称性问题,解题时一般将
“ωx+φ”视为一个整体.
令ωx+φ≠kπ+ ,k∈Z,求解x即可得f(x)的定义域;令ωx+φ= ,k∈Z,求解x即可得f(x)的图象的
对称中心.
2.奇偶性
y=tan x是奇函数,其图象关于点 ,k∈Z对称.若y=tan(ωx+φ)是奇函数,则φ= (k∈Z).
3.周期性
函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0)的最小正周期为T= .常常利用此公式来求与正切函数有关
的函数的周期.解与正切函数有关的三角不等式时,先确定在一个周期 内使不等式成
立的ωx+φ的范围,再根据正切函数的周期性,得出ωx+φ满足的不等式并求解.
典例 设函数f(x)=tan .
(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期以及图象的对称中心;
(2)求不等式-1≤f(x)≤ 的解集.
解析 (1)由 - ≠ +kπ(k∈Z),得x≠ +2kπ(k∈Z),
所以f(x)的定义域是 .
因为ω= ,所以最小正周期T= = =2π.
令 - = (k∈Z),
得x=kπ+ (k∈Z),故f(x)图象的对称中心是 ,k∈Z.
(2)由-1≤tan ≤ ,
得- +kπ≤ - ≤ +kπ(k∈Z),
解得 +2kπ≤x≤ +2kπ(k∈Z).
所以不等式-1≤f(x)≤ 的解集是 .
正切(型)函数的单调性
1.正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω≠0,φ是常数)的单调区间的求法
(1)若ω>0,利用“整体代换”的思想,令kπ- <ωx+φ数y=Atan(ωx+φ)的单调递增区间.
(2)若ω<0,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),再利用
“整体代换”的思想,可得函数y=Atan(ωx+φ)的单调递减区间.
2.利用正切函数的单调性可解决比较大小问题、三角不等式问题、函数的最值问题等.
定点 2
典例 已知函数f(x)=3tan .
(1)求f(x)的单调区间;
(2)试比较f(π)与f 的大小.
解析 (1)由已知得f(x)=3tan =-3tan ,
令kπ- < - 得4kπ- 所以y=3tan 在 4kπ- ,4kπ+ (k∈Z)上单调递增,
所以f(x)=3tan 在 4kπ- ,4kπ+ (k∈Z)上单调递减.
(2)f(π)=3tan =3tan =-3tan ,
f =3tan =3tan =-3tan ,
因为0< < < ,且y=tan x在 上单调递增,所以tan 所以f(π)>f .第2课时 单调性与值域
基础过关练
题组一 正、余弦(型)函数的单调性
1.下列函数中,以为最小正周期且在区间上单调递增的是( )
A. f(x)=sin|x| B. f(x)=cos|x| C. f(x)=|sin 2x| D. f(x)=|cos 2x|
2.若函数f(x)=sin在区间上单调递增,则ω的取值范围是( )
A.(0,1) B. C.(0,1] D.[1,+∞)
3.(易错题)f(x)=的单调递减区间是 .
4.函数y=sin,x∈[-2π,2π]的单调递增区间是 .
题组二 利用正、余弦函数的单调性比较大小
5.下列关系式中正确的是( )
A.sin 11°C.sin 11°6.(教材习题改编)比较下列各组数的大小:
(1)sin 220°与sin 230°;
(2)cos 与cos ;
(3)sin与cos.
题组三 正、余弦(型)函数的值域与最大(小)值
7.函数f(x)=sin在上的值域为( )
A. B.
C. D.[0,1]
8.y=sin x-|sin x|的值域是( )
A.[-1,0] B.[0,1]
C.[-1,1] D.[-2,0]
9.函数y=的最小值是( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
10.(易错题)若|x|≤,则y=cos2x+sin x的最小值是 .
11.已知函数f(x)=3sin是奇函数.
(1)求函数f(x)的最大值与最小值,并分别写出取得最大值、最小值时自变量x的取值集合;
(2)求函数g(x)=f,x∈的单调递增区间.
能力提升练
题组一 正、余弦(型)函数的单调性与最大(小)值
1.已知函数f(x)=2sin(ω>0),则“f(x)在上存在最大值”是“ω=1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知常数ω>0,函数f(x)=sin ωx在区间上单调,则ω不可能等于( )
A. B.2 C. D.
3.已知x,y∈,则“x3+y3>-sin x-sin y”是“x+y>0”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.若关于x的方程cos2x-sin x+a=0在内有解,则实数a的取值范围是 .
5.已知函数f(x)=acos+b-2(a>0,b∈R),且函数f(x)在区间上的值域为[-2,1].
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)令函数g(x)=ln f(x),求函数g(x)的单调递增区间.
题组二 正、余弦(型)函数性质的综合运用
6.(多选题)已知函数f(x)=2cos(ω>0)的最小正周期为π,则( )
A.ω=2
B. f(x)的图象与y轴交于点
C. f(x)的图象关于直线x=对称
D. f(x)在区间上单调递增
7.已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增,且在上有且仅有1个零点,则ω的取值范围为( )
A. B.∪
C.∪ D.∪
8.(多选题)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|,下列选项正确的是( )
A. f(x)的最小正周期是2π
B. f(x)在区间上单调递减
C. f(x)在[-π,π]上有4个零点
D. f(x)的最大值为2
9.已知,t是函数f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<的两个零点,的最小值为,且=2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在上的值域.
10.已知函数f(x)=2sin,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数g(x)=f(x)-m在区间上有两个零点,求m的取值范围;
(3)若函数h(x)=f(x)-n(n∈R)有且仅有3个零点,求所有零点之和.
答案与分层梯度式解析
第2课时 单调性与值域
基础过关练
1.D 2.C 5.C 7.A 8.D 9.B
1.D f(x)=sin|x|不是周期函数,因此A错误;
f(x)=cos|x|=cos x,它的最小正周期为2π,因此B错误;
f(x)=|sin 2x|的最小正周期为×=,当x∈时,2x∈,易知f(x)=|sin 2x|在该区间上单调递减,因此C错误;
f(x)=|cos 2x|的最小正周期为×=,当x∈时,2x∈,易知f(x)=|cos 2x|在该区间上单调递增,因此D正确.故选D.
2.C 当x∈时,ωx+∈,
由于函数f(x)=sin在区间上单调递增,因此ω>0,且+≤,解得0<ω≤1,则ω的取值范围是(0,1].故选C.
3.答案 ,k∈Z
解析 函数f(x)的定义域满足sin x≥,解得+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的定义域为,k∈Z,
又y=在[0,+∞)上单调递增,故f(x)的单调递减区间即为y=sin x-在,k∈Z上的单调递减区间,易知y=sin x-在,k∈Z上的单调递减区间为,k∈Z,
所以函数f(x)=的单调递减区间为,k∈Z.
4.答案
解析 令-+2kπ≤x+≤+2kπ(k∈Z),
得-+4kπ≤x≤+4kπ(k∈Z),
因为x∈[-2π,2π],所以k=0,则-≤x≤,
所以所求单调递增区间是.
一题多解 由-2π≤x≤2π得-≤x+≤,当-≤x+≤,即-≤x≤时,函数y=sin单调递增,故单调递增区间为.
5.C 易得sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°,∵y=sin x在上单调递增,0°<11°<12°<80°<90°,
∴sin 11°即sin 11°6.解析 (1)因为函数y=sin x在上单调递减,且90°<220°<230°<270°,所以sin 220°>sin 230°.
(2)cos =cos=cos ,cos =cos=cos .
因为函数y=cos x在[0,π]上单调递减,且0<<<π,所以cos >cos ,即cos >cos .
(3)sin=sin =-sin ,cos=cos =-cos =-sin .
因为函数y=sin x在上单调递增,且-<<<,所以sin -sin ,即sin>cos.
7.A 由x∈,可得2x+∈,所以f(x)=sin∈,
即f(x)在上的值域为.故选A.
8.D y=sin x-|sin x|=当-1≤sin x<0时,-2≤2sin x<0,因此函数的值域为[-2,0].
9.B 因为y==2-,所以当sin x=-1时,y=取得最小值,为-2.
10.答案
解析 y=cos2x+sin x=1-sin2x+sin x=+,因为|x|≤,所以-≤sin x≤,所以当sin x=-时,y取得最小值,为.
11.解析 (1)由题意得f(0)=0,即3sin=0,因此-+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ+,k∈Z,
又0<φ<,所以φ=,故f(x)=3sin 2x.
当2x=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值,为3;当2x=2kπ-(k∈Z),即x=kπ-(k∈Z)时,f(x)取得最小值,为-3,
所以f(x)取最大值3时,自变量x的取值集合是, f(x)取最小值-3时,自变量x的取值集合是.
(2)由(1)得g(x)=f=3sin=-3sin,x∈,
令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数g(x)=f,x∈的单调递增区间为.
能力提升练
1.B 2.C 3.A 6.ACD 7.C 8.BD
1.B ∵00,∴<ωx+<ω+,
∴f(x)在上存在最大值,等价于ω+>,等价于ω>,
所以“f(x)在上存在最大值”是“ω=1”的必要不充分条件.故选B.
2.C 因为x∈,ω>0,所以ωx∈,所以当f(x)在区间上单调时,在内不含形如+kπ,k∈Z的值.对于A,当ω=时,区间即,因此A符合条件;对于B,当ω=2时,区间即,因此B符合条件;对于C,当ω=时,区间即,由于∈,因此C不符合条件;对于D,当ω=时,区间即,因此D符合条件.故选C.
3.A 设F(x)=x3+sin x,x∈,定义域关于原点对称,
又F(-x)=(-x)3+sin(-x)=-(x3+sin x)=-F(x),所以函数F(x)为奇函数,
又y=x3与y=sin x在x∈上均单调递增,所以函数F(x)在上单调递增.
若x3+y3>-sin x-sin y,则x3+sin x>-y3-sin y,即F(x)>F(-y),
所以x>-y,即x+y>0,此时“x3+y3>-sin x-sin y”是“x+y>0”的充分条件;
当x+y>0,即x>-y时,有F(x)>F(-y),
即x3+sin x>-y3-sin y,即x3+y3>-sin x-sin y,此时“x3+y3>-sin x-sin y”是“x+y>0”的必要条件.
综上所述,“x3+y3>-sin x-sin y”是“x+y>0”的充要条件.故选A.
4.答案
解析 方程可化为a=sin x-cos2x,设f(x)=sin x-cos2x,x∈,则f(x)=sin x-(1-sin2x)=sin2x+sin x-1=-,x∈.
由x∈知,sin x∈(-1,1],∴当sin x=-时, f(x)取得最小值,为-,当sin x=1时, f(x)取得最大值,为1,∴f(x)的值域为.
原方程在内有解等价于a=f(x)有解,
∴实数a的取值范围是.
5.解析 (1)当x∈时,2x+∈,
所以cos∈,又a>0,所以f(x)的值域是-a+b-2,+b-2,
由题意得解得所以函数f(x)=2cos.
(2)由题意得g(x)=ln f(x)=ln,
令2cos>0,得-+2kπ<2x+<+2kπ,k∈Z,得-+kπ即g(x)的定义域为,k∈Z,因为y=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以求g(x)的单调递增区间,即求f(x)的单调递增区间.令-π+2kπ≤2x+≤2kπ,得-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z,结合g(x)的定义域得函数g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
6.ACD ∵f(x)=2cos(ω>0)的最小正周期为π,∴T==π,∴ω=2,故A正确;
由A知f(x)=2cos,当x=0时,f(0)=2cos=1,故B错误;
f=2cos π=-2,为最小值,∴f(x)的图象关于直线x=对称,故C正确;
∵x∈,∴2x-∈,
又 (-π,0),∴f(x)在区间上单调递增,故D正确.
故选ACD.
7.C 因为x∈,ω>0,所以ωx-∈.
因为f(x)在上单调递增,
因此-ω-≥-,则0<ω≤2.
当x∈时,ωx-∈,
由0<ω≤2得ω-∈,ω-∈.
因为函数f(x)=sin(ω>0)在上有且仅有1个零点,
所以或解得<ω<或<ω≤.
综上,ω的取值范围为∪.故选C.
8.BD 选项A,令x=-,得f=sin+=+=1, f=sin+=-+=0,此时f(x)≠f(x+2π),故A错误;
选项B,当x∈时,sin x>0,所以f(x)=sin|x|+|sin x|=2sin x,则f(x)在区间上单调递减,故B正确;
选项C,f(x)=sin|x|+|sin x|=
若x∈[-π,0),令f(x)=0,得-2sin x=0,解得x=-π,
若x∈[0,π],令f(x)=0,得2sin x=0,解得x=0或x=π,
所以函数f(x)在[-π,π]上有3个零点,故C错误;
选项D,因为sin|x|≤1,|sin x|≤1,所以f(x)=sin|x|+|sin x|≤2,
又f=sin+=2,所以f(x)的最大值为2,故D正确.故选BD.
9.解析 (1)设f(x)的最小正周期为T,
因为,t是函数f(x)的两个零点,的最小值为,所以==,故ω=2.
由f=0得cos=0,所以+φ=+kπ,k∈Z,得φ=+kπ,k∈Z,
因为0<φ<,所以φ=,
由=2,可得===|-A|=2,
又A>0,所以A=2,所以f(x)=2cos.
(2)令t=2x+,由-π≤x≤-,得-≤t≤-,
易知y=cos t在上单调递减,在上单调递增,
且cos=cos=cos =,cos(-π)=-1,cos=-,
所以-2≤2cos t≤,即f(x)在上的值域为[-2,].
10.解析 (1)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)因为函数g(x)=f(x)-m在区间上有两个零点,
所以方程f(x)=m在区间上有两个根,
由(1)知f(x)在上单调递增,在上单调递减,
又f(0)=2sin=-,f=2sin =2,f=2sin =,所以若f(x)=m在上有两个根,则≤m<2,
所以m的取值范围为[,2).
(3)令2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,
所以函数f(x)=2sin的图象的一个对称中心为,
又直线y=n关于点中心对称,
所以函数h(x)的图象关于点中心对称,
且h=0,
故可设函数h(x)=f(x)-n(n∈R)的另两个零点分别为a,b,
易得a+b=,故所有零点之和为+=.
75.4.3 正切函数的性质与图象
基础过关练
题组一 正切(型)函数的定义域、值域
1.与函数y=tan的图象不相交的一条直线的方程是( )
A.x= B.y= C.x= D.y=
2.函数y=tan,x∈的值域为 .
3.函数y=3tan2x+的定义域是 .
题组二 正切(型)函数的图象及其应用
4.函数f(x)=tan ωx(ω>0)图象中的相邻两支截直线y=1所得的线段长为,则f的值是( )
A.0 B.1 C.-1 D.
5.函数f(x)=cos x|tan x|的图象大致为( )
6.(教材习题改编)根据正切函数的图象,写出使不等式3+tan 2x≥0成立的x的取值集合.
题组三 正切(型)函数的性质
7.下列函数中,最小正周期为的是( )
A.y=cos x B.y=tan x
C.y=cos 2x D.y=tan 2x
8.设函数f(x)=2tan(ω>0)的图象的一个对称中心为,则f(x)的一个最小正周期是( )
A. B. C. D.
9.(多选题)已知函数f(x)=tan,则( )
A. f(x)的最小正周期为
B. f(x)的定义域为xx≠+,k∈Z
C. f(x)图象的对称中心为,k∈Z
D. f(x)的单调递增区间为,k∈Z
10.(教材习题改编)tan 1 420° tan 1 415°(填“>”“<”或“=”).
11.已知函数f(x)=tan(2x+φ)的图象关于点对称.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集.
能力提升练
题组一 正切(型)函数的定义域、值域
1.函数f(x)=的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
2.若函数y=tan(x-φ)(φ≥0)的图象与直线x=π没有交点,则φ的最小值为( )
A.0 B. C. D.π
3.已知函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈,则其值域为 .
题组二 正切(型)函数的图象及其应用
4.(多选题)已知函数f(x)=tan x+|tan x|,则下列结论中正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为
B. f(x)图象的一个对称中心是
C. f(x)的值域为[0,+∞)
D.不等式f(x)>2的解集为+kπ,+kπ(k∈Z)
5.(多选题)若函数f(x)=则下列结论正确的是( )
A. f(x)的值域为(-1,+∞)
B. f(x)的单调递增区间为,k∈Z
C.当且仅当kπ-D. f(x)的最小正周期是2π
6.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)的部分图象如图,则f= .
7.函数y=|tan x|,y=tan x,y=tan(-x),y=tan|x|在上的大致图象依次是 .(填序号)
① ②
③ ④
题组三 正切(型)函数性质的综合应用
8.函数f(x)=的图象的对称轴方程为 ( )
A.x=+(k∈Z) B.x=+(k∈Z)
C.x=+(k∈Z) D.x=+(k∈Z)
9.(多选题)已知函数f(x)=tan x,下列命题正确的是( )
A.若f(x)=,则=
B.不等式f(x)≥的解集是
C.函数y=-[f(x)]2+4f(x),x∈的最小值为-5
D.若f=,且010.已知函数f(x)=tan(n∈Z)在区间上单调递减,则n的取值集合为 .(用列举法表示)
11.已知函数f(x)=tan,ω>0.
(1)若ω=2,函数f(x+m)的图象经过原点,求最小正数m的值;
(2)已知函数y=f(x)在[a,b](a①用ω表示M;
②若M不小于2 024,求ω的取值范围.
12.已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z.
(1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值;
(2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的值;
(3)求使y=f(x)在区间[-1,]上单调的θ的取值范围.
答案与分层梯度式解析
5.4.3 正切函数的性质与图象
基础过关练
1.C 4.A 5.B 7.D 8.C 9.ABD
1.C 对于A,x=时,y=tan=1,故直线x=与函数y=tan的图象交于点;对于C,x=时,2x+=2×+=,此时tan无意义,故直线x=与函数y=tan的图象无交点;对于B和D,因为正切函数的值域是R,所以直线y=和y=都与函数y=tan的图象相交.故选C.
2.答案
解析 当x∈时,x-∈,所以y=tan∈.
3.答案
解析 令2x+≠kπ+,k∈Z,
解得x≠+,k∈Z,因此函数的定义域是.
4.A 因为函数f(x)=tan ωx(ω>0)图象中的相邻两支截直线y=1所得的线段长为,所以f(x)的最小正周期为,则=,解得ω=4,即f(x)=tan 4x,
故f=tan π=0.故选A.
5.B f(x)=cos x|tan x|=其定义域为.当x∈时, f(x)=sin x>0;当x∈时, f(x)=-sin x<0;当x∈时, f(x)=sin x<0;当x∈时, f(x)=-sin x>0.结合定义域可知B中图象符合题意.故选B.
6.解析 不等式3+tan 2x≥0,即tan 2x≥-,令t=2x,则tan t≥-.如图所示,在同一平面直角坐标系中画出函数y=tan t,t∈的图象和直线y=-.
由图得,在区间内,不等式tan t≥-的解集是,
∴不等式tan t≥-在R上的解集是tkπ-≤t令kπ-≤2x∴使不等式3+tan 2x≥0成立的x的取值集合是.
7.D 选项A中,y=cos x的最小正周期为2π;选项B中,y=tan x的最小正周期为π;选项C中,y=cos 2x的最小正周期为=π;选项D中,y=tan 2x的最小正周期为.故选D.
8.C 因为函数f(x)=2tan(ω>0)的图象的一个对称中心为,
所以-=(k∈Z),可得ω=3k+2(k∈Z),
因为ω>0,所以k∈N,故函数f(x)的最小正周期T=(k∈N),
当k=1时,可知函数f(x)的一个最小正周期为.故选C.
9.ABD 由已知得f(x)的最小正周期T=,A正确;
令2x-≠kπ+,k∈Z,解得x≠+,k∈Z,
所以f(x)的定义域为xx≠+,k∈Z,B正确;
令2x-=,k∈Z,解得x=+,k∈Z,
所以函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z,C错误;
令-+kπ<2x-<+kπ,k∈Z,解得-+所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z,D正确.故选ABD.
10.答案 >
解析 tan 1 420°=-tan 20°,tan 1 415°=-tan 25°,
易知tan 20°-tan 25°,
故tan 1 420°>tan 1 415°.
11.解析 (1)由题意知, f(x)=tan(2x+φ)的图象关于点对称,
∴2×+φ=,k∈Z,即φ=+,k∈Z.
∵0<φ<,∴φ=,故f(x)=tan,
令-+kπ<2x+<+kπ,k∈Z,
得-+∴函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由(1)知f(x)=tan,
由-1≤tan≤,
得-+kπ≤2x+≤+kπ,k∈Z,
即-+≤x≤+,k∈Z,
∴不等式-1≤f(x)≤的解集为x-+≤x≤+,k∈Z.
能力提升练
1.A 2.C 4.CD 5.AD 8.A 9.ACD
1.A 对于函数f(x)=,应使tan x有意义,且tan x≠0,∴x≠kπ+且x≠kπ,k∈Z,即x≠,k∈Z,故选A.
2.C 若函数y=tan(x-φ)(φ≥0)的图象与直线x=π没有交点,则π-φ=kπ+(k∈Z),整理得φ=-kπ+(k∈Z),又φ≥0,所以φ的最小值为.故选C.
3.答案 [-4,4]
解析 ∵-≤x≤,∴-1≤tan x≤1.
令tan x=t,则t∈[-1,1],
∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5,t∈[-1,1].
易知此函数在[-1,1]上单调递增,
∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4,
当t=1,即x=时,ymax=4.
故所求函数的值域为[-4,4].
4.CD f(x)=tan x+|tan x|
=
作出f(x)的图象,如图所示.
由图可知f(x)的最小正周期为π,A错误;f(x)的图象没有对称中心,B错误; f(x)的值域为[0,+∞),C正确;不等式f(x)>2,即x∈(k∈Z)时,2tan x>2,得tan x>1,解得+kπ2的解集为(k∈Z),D正确.故选CD.
5.AD 当tan x>sin x,即kπ当tan x≤sin x,即kπ-所以f(x)的值域为(-1,+∞),故A正确.
画出y=f(x)的大致图象,如图.
由图可得f(x)的单调递增区间是和(k∈Z),故B错误.
当x∈(k∈Z)时, f(x)≤0,故C错误.
由f(x)的图象可知f(x)的最小正周期是2π,故D正确.故选AD.
6.答案
解析 由题图可知T=2×=,所以ω=2,
所以2×+φ=kπ+(k∈Z),得φ=+kπ(k∈Z),
又|φ|<,所以φ=,故f(x)=Atan.
又f(0)=1,所以Atan =1,得A=1,因此f(x)=tan,故f=tan=tan =.
7.答案 ①②④③
解析 ∵|tan x|≥0,
∴y=|tan x|的图象在x轴及其上方,
∴y=|tan x|的图象是题图①.
易知y=tan x的图象是题图②,y=tan(-x)=-tan x的图象是题图④.
易知y=tan|x|是偶函数,
∴y=tan|x|的图象关于y轴对称,
∴y=tan|x|的图象是题图③.
故四个函数对应的图象依次是①②④③.
8.A 易知函数y=|tan x|的图象的对称轴方程为x=(k∈Z),
令2x-=(k∈Z),得x=+(k∈Z),
所以函数f(x)=的图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).故选A.
9.ACD 由已知得tan x=,则===,故A正确;
由f(x)≥得tan x≥,∴kπ+≤x<+kπ(k∈Z),
因此不等式f(x)≥的解集是(k∈Z),故B错误;
由x∈,得tan x∈[-1,1],
y=-[f(x)]2+4f(x)=-tan2x+4tan x=-(tan x-2)2+4,
由二次函数的性质可知,当tan x=-1时,y取得最小值-5,故C正确;
∵f=,即tan====,
∴cos=sin,
∵00,
又cos2+sin2=1,
∴sin=,故D正确.故选ACD.
10.答案 {-3,-2}
解析 ∵函数f(x)=tan=-tan-nx+(n∈Z)在区间上单调递减,
∴n<0,T=≥,解得|n|≤4,因此-4≤n<0.
易知-n×+≥kπ-,-n×+≤kπ+,k∈Z,
∴--≤n≤6-8k,k∈Z.
又-4≤n<0,n∈Z,∴n=-2 或n=-3.
11.解析 (1)当ω=2时, f(x)=tan,
所以f(x+m)=tan,
由于函数f(x+m)的图象经过原点,所以tan=0,
因此2m+=kπ,k∈Z,解得m=-+,k∈Z,又m>0,所以当k=1时,m取得最小值,为,即最小正数m的值为.
(2)①方程f(x)=在[a,b]上至少存在2 024个根,
即当x∈[a,b]时,tan=至少有2 024个根,即ωx+=kπ+(k∈Z)至少有2 024个根,即x=(k∈Z)至少有2 024个根,且在所有满足上述条件的[a,b]中,b-a的最小值为M,
因此b-a至少包含2 023个周期,即b-a≥2 023×,故2 023×=M,即M=.
②若M不小于2 024,即M=≥2 024,又ω>0,所以0<ω≤,
即ω的取值范围为.
12.解析 (1)当θ=-时, f(x)=x2-x-1=-,x∈[-1,],
易知当x=时, f(x)min=-;
当x=-1时, f(x)max=.
(2)由题可得g(x)=x-+2tan θ,
∵g(x)为奇函数,
∴g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ=0,∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.
(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.
∵f(x)在区间[-1,]上单调,
∴-tan θ≥或-tan θ≤-1,即tan θ≤-或tan θ≥1,
∴-+kπ<θ≤-+kπ或+kπ≤θ<+kπ,k∈Z,
故θ的取值范围是∪+kπ,+kπ,k∈Z.
7(共21张PPT)
设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且
f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期.
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的
最小正周期.
注意:(1)如果T是函数f(x)的一个周期,那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期.(2)并非所有的周期函数都有最小正周期,如f(x)=C(C为常数,x∈R),所有的非零实数T都是它的周期,不存在最小正周期.(3)今后本书中涉及的周期,如果不加特殊说明,一般都是指函数的最小正周期.
5.4 三角函数的图象与性质
知识点 1 周期函数
知识 清单破
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
正弦函数、余弦函数的图象与性质
知识点 2
函数 y=sin x(x∈R) y=cos x(x∈R)
图象
五个关键点 (0,0), ,(π,0), ,(2π,0) (0,1), ,(π,-1), ,(2π,1)
定义域 R 值域 [-1,1] 周期 2kπ(k∈Z且k≠0)(最小正周期为2π) 奇偶性 奇函数 偶函数
图象的对称轴 直线x=kπ+ ,k∈Z 直线x=kπ,k∈Z
图象的对称中心 (kπ,0),k∈Z ,k∈Z
单调递增区间 (k∈Z) [2kπ-π,2kπ](k∈Z)
单调递减区间 (k∈Z) [2kπ,(2k+1)π](k∈Z)
最大值与最小值 x= +2kπ,k∈Z时,ymax=1; x=- +2kπ,k∈Z时,ymin=-1 x=2kπ,k∈Z时,ymax=1;
x=π+2kπ,k∈Z时,ymin=-1
知识辨析
1.如果T是y=f(x)的一个周期,那么kT(k∈Z)是否也是它的周期
2.用“五点法”作函数y=1+cos x,x∈R的图象时,首先应描出的五个点是什么
3.由sin =sin ,可得函数y=sin 的一个周期为4π,这种说法对吗
4.若y=sin x和y=cos x在区间(m,n)(其中0别是多少
一语破的
1.不一定.当k≠0时,kT才是y=f(x)的周期.
2.(0,2), ,(π,0), ,(2π,2).
3.不对.因为sin =-sin ≠sin ,所以函数y=sin 的周期不是4π.
4.m的最小值为 ,n的最大值为π.
定点 1 正、余弦(型)函数的图象及其应用
关键能力 定点破
1.用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)“五点法”作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象;
(2)写出不等式在区间[0,2π]上的解集;
(3)根据公式一写出不等式在定义域内的解集.
2.对于含三角函数的方程的解的个数问题,常把它转化为两个函数的图象的交点个数问题.
典例 (1)求函数y= 的定义域;
(2)求方程sin x=lg x的实根的个数.
解析 (1)依题意得2cos x- ≥0,即cos x≥ .作出函数y=cos x,x∈[-π,π]的图象与直线y=
,如图所示.
根据特殊角的余弦值,可知函数y=cos x,x∈[-π,π]的图象与直线y= 的交点的横坐标为- 和
,由图可知函数的定义域为 ,k∈Z.
(2)在同一直角坐标系中作出函数y=sin x与y=lg x的图象,如图所示.
由图结合当x>10时,lg x>1可知两函数图象有三个交点,故方程sin x=lg x的实根的个数为3.
函数的周期性
1.求函数周期的方法
(1)定义法:紧扣周期函数的定义,寻求对定义域内的任意实数x都满足f(x+T)=f(x)的非零常
数T.该方法主要适用于抽象函数.
(2)公式法:对形如y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω≠0)的函数,可利
用T= 来求周期.特别注意:y=|Asin(ωx+φ)|(A≠0,ω≠0)的最小正周期T= .
(3)图象法:可画出函数的图象,借助图象判断函数的周期.求含绝对值的函数的周期时一般采
用此法.
2.周期的运用:利用函数的周期性可以解决周期函数的求值、化简问题.
定点 2
典例 设f(n)=cos ,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)= ( )
A.- B.- C.0 D.
B
解析 由题知, f(n)=cos 的最小正周期T=4,且f(1)=cos =cos =- , f(2)=cos
=-cos =- , f(3)=cos =sin = , f(4)=cos 2π+ =cos = ,
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)=505×0+ =- .
故选B.
与正、余弦函数有关的函数的奇偶性、对称性
1.含有正、余弦函数的奇偶性的判断
判断与正、余弦函数有关的函数的奇偶性时,先判断其定义域是否关于原点对称,然后验证
f(-x)是否等于-f(x)或f(x).
2.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的对称轴过其最高点或最低点,对称中
心为图象与x轴的交点,记住函数y=sin t和y=cos t的图象的对称轴方程与对称中心的横坐标,
运用换元t=ωx+φ求得y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的对称轴方程与对称中
心的横坐标.
定点 3
与正、余弦函数有关的函数的单调性
1.研究与正、余弦函数有关的函数的单调性的策略及注意点
(1)结合正、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.
(2)求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间,应采用“换元法”整体代换,
将“ωx+φ”看作一个整体“z”,即通过求y=Asin z或y=Acos z的增(减)区间得到原函数的增
(减)区间.
注意:当x的系数ω<0时,一般用诱导公式将x的系数转化为正数后求解;若A<0,则单调性
与A>0时相反.
2.利用正、余弦函数的单调性可比较三角函数值的大小,注意三角函数名称及自变量是否在
同一单调区间内;由单调性确定参数的取值范围时,要明确已知的单调区间应为函数的单调
区间的子区间.
定点 4
典例 (1)求函数y=1+sin ,x∈[-4π,4π]的单调递减区间;
(2)已知ω>0,函数f(x)=sin 在 上单调递减,求ω的取值范围.
解析 (1)y=1+sin =1+sin =1+sin .
令2kπ+ ≤ + x≤2kπ+ (k∈Z),解得4kπ- ≤x≤4kπ+ (k∈Z).
又因为x∈[-4π,4π],
所以函数y=1+sin 的单调递减区间为 , , .
(2)由 0,得 + <ωx+ < +ωπ.
由题意知, +2kπ, +2kπ (k∈Z),
所以 (k∈Z),
解得4k+ ≤ω≤2k+ (k∈Z).
由于ω>0,所以
解得- 因此, ≤ω≤ .
与正、余弦函数有关的函数的值域或最大(小)值
常见的求与正、余弦函数有关的函数的值域(最值)的类型及解法
(1)形如y=asin x(或y=acos x)的函数的值域(最值),可利用正弦函数、余弦函数的有界性求解,
要注意对a 的正负的讨论.
(2)形如y=Asin(ωx+φ)+B(或y=Acos(ωx+φ)+B)的函数,可先由定义域求得ωx+φ 的范围,然后求
得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ)) 的范围,最后求得值域(最值).
(3)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的函数,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c
求值域(最值).注意t的范围需要根据定义域来确定.
(4)形如y= (ac≠0)的函数的值域(最值),可以用分离常量法求解,也可以利用正弦函数
的有界性建立关于y的不等式反解出y.
定点 5
典例 (1)求函数y=cos2x+2sin x-2的值域;
(2)已知函数f(x)=acos +b(a≠0),当x∈ 时, f(x)的最大值为3,最小值为0,求a和b的
值.
解析 (1)y=cos2x+2sin x-2=-sin2x+2sin x-1=-(sin x-1)2.
令sin x=t,则y=-(t-1)2,t∈[-1,1],
∴y∈[-4,0],
∴函数y=cos2x+2sin x-2,x∈R的值域为[-4,0].
(2)∵0≤x≤ ,
∴- ≤2x- ≤ ,
∴- ≤cos ≤1.
当a>0时,可得 解得
当a<0时,可得 解得
故a=2,b=1或a=-2,b=2.5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性、奇偶性与对称性
基础过关练
题组一 正、余弦(型)函数的周期性
1.(教材习题改编)函数f(x)=cos的最小正周期是( )
A.2π B. C.π D.
2.(易错题)设ω为实数,函数f(x)=3sinωx+的最小正周期为,则ω的值为( )
A.2 B.±4 C.4π D.±4π
3.(多选题)下列函数中,最小正周期为π且为偶函数的是( )
A. f(x)=|cos x| B. f(x)=sin 2x
C. f(x)=sin D. f(x)=cos x
4.函数y=2sin的最小正周期是 .
5.已知函数y=sin x+|sin x|.
(1)画出该函数的简图;
(2)这个函数是周期函数吗 如果是,求出它的最小正周期.
题组二 正、余弦(型)函数的奇偶性
6.下列函数中,图象关于原点对称的是( )
A. f(x)=2x- B. f(x)=2cos x+1
C. f(x)=x2+2x D. f(x)=x3sin x
7.设函数f(x)=sin(x+θ),则“cos θ=0”是“f(x)为偶函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.已知函数f(x)=asin x+bx+1,若f(-1)=2,则f(1)= .
题组三 正、余弦(型)函数图象的对称性
9.函数f(x)=sin的图象的一条对称轴方程为( )
A.x= B.x= C.x= D.x=
10.若函数f(x)=cos的图象关于直线x=t对称,则t的值可以是( )
A. B. C. D.
11.设函数f(x)=sin,若点是函数f(x)图象的对称中心,则实数m的值可以为 ( )
A. B. C. D.-
12.已知函数f(x)=cos(ω>0)图象的一条对称轴为直线x=,一个对称中心为点,则ω有( )
A.最小值2 B.最大值2
C.最小值1 D.最大值1
能力提升练
题组一 正、余弦(型)函数的周期性、奇偶性与图象的对称性
1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的最小正周期为4π,且f(x)≤f恒成立,则f(x)图象的一个对称中心是( )
A. B.
C. D.
2.(多选题)已知函数y=2sin+3,则下列结论正确的有 ( )
A.函数的最小正周期为π
B.将函数图象向左平移个单位长度后,所得图象对应的函数为奇函数
C.函数图象的一个对称中心是
D.函数图象的一条对称轴是直线x=
3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<的相邻两个零点之间的距离是,且直线x=是f(x)图象的一条对称轴,则f= .
4.已知函数f(x)=2cos x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)= .
题组二 函数周期性、奇偶性与图象的对称性的综合运用
5.函数f(x)=的图象大致为( )
6.函数f(x)=1-(x-π)·sin x在区间上的所有零点之和为( )
A.0 B.2π C.4π D.6π
7.若函数f(x)=有4个零点,则正实数ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)已知f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,1]时, f(x)=2,则( )
A. f(-3)=-2
B.函数f(x)是周期函数
C.不等式f(x)>0的解集是{x|4kD.当关于x的方程f(x)=mx恰有两个不同的解时,m=2
9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足: x∈R,都有f(3+x)=-f(x),且f(10)≤-2, f(-4)=,则实数m的取值范围为 .
答案与分层梯度式解析
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性、奇偶性与对称性
基础过关练
1.C 2.B 3.AC 6.A 7.C 9.D 10.A 11.A
12.A
1.C T===π,故选C.
2.B 由题意可得=,则ω=±4.故选B.
易错警示 研究三角函数的性质时,若x的系数含有参数ω,需对ω的正负进行分类讨论.
3.AC 对于A,定义域为R,因为f(-x)=|cos(-x)|=|cos x|=f(x),
所以函数f(x)为偶函数,因为y=|cos x|的图象是把y=cos x的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,并保留原x轴及其上方的图象得到的,
所以y=|cos x|的最小正周期为π,所以A正确;
对于B,定义域为R,因为f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,所以B错误;
对于C,定义域为R, f(x)=sin=cos 2x,最小正周期为π,因为f(-x)=cos(-2x)=cos 2x=f(x),所以函数f(x)为偶函数,所以C正确;
对于D,易知f(x)的最小正周期为=4π,所以D错误.故选AC.
4.答案 4π
解析 T==4π.
5.解析 (1)y=sin x+|sin x|
=k∈Z,画出函数图象,如图所示.
(2)由图象知该函数是周期函数,函数的最小正周期是2π.
6.A 图象关于原点对称的函数是奇函数.
对于A,易知f(x)=2x-=2x-2-x的定义域为R,
∵f(-x)=2-x-2x=-f(x),∴f(x)=2x-为奇函数,A正确;
对于B, f(x)=2cos x+1的定义域为R,∵f(-x)=2cos(-x)+1=2cos x+1=f(x),∴f(x)=2cos x+1为偶函数,B错误;
对于C,∵f(-x)=x2-2x,∴f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),故f(x)=x2+2x既不是奇函数也不是偶函数,C错误;
对于D,f(x)=x3sin x的定义域为R,∵f(-x)=(-x)3sin(-x)=f(x),∴f(x)=x3sin x为偶函数,D错误.故选A.
7.C 若f(x)=sin(x+θ)为偶函数,则θ=kπ+(k∈Z),因此cos θ=0,反之亦然,所以“cos θ=0”是“f(x)为偶函数”的充要条件.故选C.
8.答案 0
解析 设F(x)=f(x)-1=asin x+bx,
则F(x)的定义域为R,F(-x)=-asin x-bx=-F(x),故F(x)是奇函数,
∵f(-1)=2,∴F(-1)=f(-1)-1=2-1=1,
∴F(1)=-F(-1)=-1,
∴f(1)=F(1)+1=-1+1=0.
一题多解 由函数f(x)=asin x+bx+1得f(-x)+f(x)=asin(-x)+b(-x)+1+asin x+bx+1=(-asin x+asin x)+(-bx+bx)+2=2,所以f(1)+f(-1)=f(1)+2=2,解得f(1)=0.
9.D 令x-=+kπ,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z,故f(x)的图象的对称轴方程为x=+kπ,k∈Z.结合选项可知D正确.故选D.
10.A 因为函数f(x)=cos的图象关于直线x=t对称,所以2t-=kπ,k∈Z,解得t=+,k∈Z,
结合选项知选A.
考场速决 把各选项中t的值代入cos,结果为±1的符合题意.
11.A ∵点是函数f(x)图象的对称中心,
∴m-=kπ,k∈Z,则m=k+,k∈Z,
分别令k=-1,0,1,2,得m=-,,,,故选A.
12.A ∵函数图象的对称中心到对称轴的最短距离是,∴-≥,∴T≤π,
又T=,∴≤π,∴ω≥2,∴ω有最小值2.
能力提升练
1.A 2.AD 5.B 6.C 7.B 8.BC
1.A 依题意得
解得
又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin,
令x+=kπ,k∈Z,解得x=-+2kπ,k∈Z,
令k=0,可得x=-,
所以函数f(x)=sin的图象的一个对称中心为.故选A.
2.AD 对于A,y=2sin+3的最小正周期T==π,因此A正确;
对于B,将函数图象向左平移个单位长度后,所得图象对应的函数为y=2sin+3=2sin+3,易知该函数既不是奇函数也不是偶函数,因此B错误;
对于C,函数y=2sin+3的图象的对称中心的纵坐标应为3,因此C错误;
对于D,当x=时,y=2sin+3=2sin +3=1,为最小值,所以直线x=是y=2sin+3的图象的一条对称轴,因此D正确.
故选AD.
3.答案
解析 由函数f(x)的相邻两个零点之间的距离是,
可得f(x)的最小正周期为×2=,则ω==6.
由直线x=是f(x)图象的一条对称轴,可得6×+φ=kπ+,k∈Z,则φ=kπ+,k∈Z,
又0<φ<,所以φ=,则f(x)=sin,则f=sin=.
4.答案 0
解析 易得f(x)的最小正周期为=6, f(1)=1, f(2)=-1, f(3)=-2, f(4)=-1, f(5)=1, f(6)=2,
∴f(1)+f(2)+…+f(6)=0,
∵2 022=6×337,
∴f(1)+f(2)+…+f(2 022)=0×337=0.
5.B 由题可得f(x)==,
且其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), f(-x)===f(x),
所以函数f(x)为偶函数,故排除C,D选项;
又当x∈(0,1)时,1-x2>0,sin x>0,所以f(x)>0,故排除A选项.故选B.
6.C 当x=π时, f(π)=1;
当x≠π时,令f(x)=0,则sin x=,
易知y=sin x的图象关于点(π,0)对称,y=的图象也关于点(π,0)对称,作出两函数的图象,如图所示,
由图象可知,y=sin x(x≠π)与y=的图象在区间上共有四个交点,且两两关于点(π,0)对称,
∴函数f(x)在区间上的所有零点之和为2×2π=4π.故选C.
7.B 当x>0时,令log2x+2x=0,易得x=,
又因为f(x)有4个零点,所以当-π≤x≤0时, f(x)有3个零点,
因为-π≤x≤0,所以-πω+≤ωx+≤,
因此有-3π<-πω+≤-2π,解得≤ω<.故选B.
8.BC 因为f(x+2)=-f(x),
所以f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),
即f(x+4)=f(x),
所以函数f(x)是周期为4的周期函数,故B正确.
f(-3)=f(1)=2,故A错误.
当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],则f(-x)=2,
又f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-2,x∈[-1,0].
因为f(x+2)=-f(x), f(-x)=-f(x),所以f(-x)=f(x+2),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以当x∈(1,2]时,2-x∈[0,1),则f(x)=f(-x+2)=2,当x∈(2,3]时,2-x∈[-1,0),
则f(x)=f(-x+2)=-2=-2.
作出函数f(x)的图象,如图所示.
由图知在一个周期[-1,3]上, f(x)>0的解集是(0,2),
所以在整个定义域上, f(x)>0的解集是{x|4k当m=2时,方程f(x)=mx即f(x)=2x,结合图象可知方程f(x)=2x有三个解,为0,1,-1,故D错误.故选BC.
9.答案 [-1,0)∪[3,+∞)
解析 ∵f(3+x)=-f(x),
∴f(6+x)=f(3+(3+x))=-f(3+x)=f(x),
∴f(x)是周期函数,且周期T=6,
∴f(10)=f(-2+2×6)=f(-2)=-f(2)≤-2,
∴f(2)≥2,又f(-4)=f(-4+6)=f(2)=,
∴≥2,即m(m+1)(m-3)≥0且m≠0,
解得-1≤m<0或m≥3,
∴实数m的取值范围为[-1,0)∪[3,+∞).
75.4 三角函数的图象与性质
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
基础过关练
题组一 正弦(型)函数、余弦(型)函数的图象
1.已知函数f(x)=sin,g(x)=cos,则f(x)的图象( )
A.与g(x)的图象相同
B.与g(x)的图象关于y轴对称
C.向左平移个单位长度,得到g(x)的图象
D.向右平移个单位长度,得到g(x)的图象
2.函数y=(|cos x|-cos x),x∈[0,2π]的大致图象为( )
3.已知函数y=2sin x的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形,那么此封闭图形的面积为 .
题组二 利用正、余弦函数的图象解不等式
4.(教材习题改编)不等式sin x≥,x∈(0,2π)的解集为( )
A. B. C. D.
5.函数f(x)=ln(2sin2x-5sin x+2)的定义域是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
6.已知函数f(x)=解不等式f(x)>.
题组三 利用正、余弦函数的图象求解与交点有关的问题
7.函数f(x)=sin +ln x的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.当x∈(0,2π)时,函数f(x)=sin x与g(x)=|cos x|的图象的所有交点的横坐标之和为( )
A.π B.2π C.3π D.4π
9.函数f(x)=|x-1|与g(x)=2cos的图象的所有交点的横坐标之和为 .
答案与分层梯度式解析
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
基础过关练
1.D 2.A 4.B 5.C 7.B 8.A
1.D 由题意得 f(x)=sin=cos x,
因为g(x)=cosx-,所以将f(x)的图象向右平移个单位长度,即可得到g(x)的图象.故选D.
2.A 设f(x)=cos x,x∈[0,2π],令f(x)≥0,得x∈∪,令f(x)<0,得x∈.
因此y=(|cos x|-cos x)
=故选A.
3.答案 4π
解析 作出函数y=2sin x的图象与直线y=2(图略),由图可知函数y=2sin x的图象与直线y=2围成的封闭平面图形的面积相当于由直线x=,直线x=,直线y=0,直线y=2围成的矩形面积(割补),故此封闭图形的面积为2×=4π.
4.B 作出函数y=sin x,x∈(0,2π)的图象与直线y=,如图所示.
根据特殊角的正弦值可知,函数y=sin x,x∈(0,2π)的图象与直线y=的交点的横坐标为和,由图可知,不等式的解集为.故选B.
5.C 令2sin2x-5sin x+2>0,整理得(2sin x-1)(sin x-2)>0,解得sin x<或sin x>2,
又-1≤sin x≤1,因此-1≤sin x<.
由正弦函数的图象知2kπ-因此f(x)的定义域为(k∈Z).故选C.
6.解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象和直线y=,如图所示.
若f(x)>,则由图易得-7.B 函数f(x)=sin +ln x的零点个数,即y=-sin (x>0)与y=ln x的图象的交点个数,在同一直角坐标系中作出这两个函数的图象,如图:
结合图象可知,两个函数图象的交点有1个,因此函数f(x)=sin +ln x的零点有1个.故选B.
8.A 由f(x)=g(x),可得sin x=|cos x|,结合函数的图象知,交点的横坐标在(0,π)内,
当09.答案 10
解析 因为f(2-x)=|2-x-1|=|1-x|=f(x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)的最小值为f(1)=0.
g(x)=2cos=2cos=2sin x,
作出函数f(x)与g(x)的大致图象,如图所示,
由图可知两函数图象共有10个交点,且两两关于直线x=1对称,
因此所有交点的横坐标之和为2×5=10.
7
