第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
基础过关练
题组一 给角求值
1.sin 102°cos 48°+cos 78°·cos 138°=( )
A.- B.- C. D.
2.求值:tan 18°tan 42°+tan 18°-tan 138°=( )
A. B.- C. D.-
3.计算:2sin 14°cos 31°+sin 17°=( )
A. B.- C. D.-
题组二 给值求值
4.已知tan=2,则tan α的值为( )
A.3 B.1 C.-3 D.-1
5.已知sin α=,α∈,则cos= .
6.(2024江苏南通期末)已知α∈,β∈,tan α=,cos(α-β)=.
(1)求sin;
(2)求sin β.
题组三 给值求角
7.已知α,β∈,且tan α=3,tan β=2,则α+β=( )
A. B. C. D.
8.若cos θcos 2θ-sin θ·sin 2θ=-,θ∈,则θ= .
9.已知α,β为锐角,且sin α=,cos β=,求α+β.
题组四 利用两角和与差的三角函数公式进行化简
10.函数f(x)=sin+cos的最大值是( )
A. B.1 C. D.2
11.(多选题)在△ABC中,下列结论正确的为( )
A.cos Acos Bcos C>0
B.sin =cos
C.sin C=sin Acos B+cos Asin B
D.cos C=cos Acos B-sin Asin B
12.(2023重庆十八中期末)化简:= .
能力提升练
题组一 利用两角和与差的三角函数公式解决求值和求角问题
1.已知2tan θ-tanθ-=-7,则tan θ=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.已知0<α<,0<β<,cos(α+β)=,sin(α-β)=,则=( )
A. B. C. D.
3.若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β的值是( )
A. B. C.或 D.或
4.设α,β∈R,且+=7,则tan(α-β)=( )
A.-1 B.1 C. D.-
5.若角α,β满足2(cos2αcos2β-sin2αsin2β)[tan(α+β)+tan(α-β)]=1,则α的值可能为( )
A.- B.- C. D.
6.已知tan α=3,tan β=1,则= .
7.已知cos=,tan(α+β)=,α∈,β∈.
(1)求tan的值;
(2)求β的值.
题组二 两角和与差的三角函数公式的综合应用
8.已知sin(α+2β)=3sin α,则tan α的最大值是( )
A. B. C. D.
9.在△ABC中,tan A=2tan B,AB边上的高等于AB,则tan C= .
10.如图,单位圆被点A1,A2,…,A12分为12等份,其中A1(1,0).角α的始边与x轴的非负半轴重合,若α的终边经过点A5,则cos α= ;若sin α=sin,则角α的终边与单位圆交于点 .(从A1,A2,…,A12中选择,写出所有满足要求的点)
答案与分层梯度式解析
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
基础过关练
1.C 2.A 3.A 4.C 7.C 10.C 11.BC
1.C sin 102°cos 48°+cos 78°cos 138°=sin 78°cos 48°-cos 78°sin 48°=sin(78°-48°)=sin 30°=.故选C.
2.A 由tan 60°=tan(18°+42°)==,得tan 18°+tan 42°=(1-tan 18°tan 42°),
则tan 18°+tan 42°+tan 18°tan 42°=.
所以tan 18°tan 42°+tan 18°-tan 138°
=tan 18°tan 42°+tan 18°+tan 42°=.故选A.
3.A 2sin 14°cos 31°+sin 17°
=2sin 14°cos 31°+sin(31°-14°)
=2sin 14°cos 31°+sin 31°cos 14°-cos 31°sin 14°
=sin 31°cos 14°+cos 31°sin 14°
=sin(31°+14°)=sin 45°=.故选A.
4.C ∵tan=2,
∴tan α=tan===-3.故选C.
5.答案
解析 因为sin α=,α∈,所以cos α=-,则cos=cos αcos-sin αsin =-×-×=.
6.解析 (1)由tan α=,得又α∈,所以
因此sin=sin αcos -sin cos α=-.
(2)因为α∈,β∈,
所以α-β∈(-π,0),又cos(α-β)=,
所以sin(α-β)=-=-,
则sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos α·sin(α-β)=×-×=.
7.C 因为tan α=3,tan β=2,所以tan(α+β)===-1,
因为α,β∈,所以0<α+β<π,因此α+β=.
故选C.
8.答案 -
解析 因为cos θcos 2θ-sin θsin 2θ=-,
所以cos 3θ=-,
又θ∈,所以3θ∈(-π,0),
所以3θ=-,解得θ=-.
9.解析 ∵sin α=,且α是锐角,∴cos α==,∵cos β=,且β是锐角,
∴sin β==,
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=,
∵0°<α<90°,0°<β<90°,∴0°<α+β<180°,
∴α+β=45°.
易错警示 已知三角函数值求角时,角的范围是关键,一方面要利用角的范围对角进行选择,另一方面要由角的范围选择所求值的三角函数名称.
10.C f(x)=sin xcos -cos xsin +cos xcos +sin xsin =sin x-cos x+cos x+sin x=sin x,
∵-1≤sin x≤1,∴-≤f(x)≤,
∴函数f(x)的最大值是.故选C.
11.BC 对于A,若△ABC为钝角三角形,不妨设C为钝角,则A,B为锐角,所以cos A>0,cos B>0,cos C<0,则cos Acos Bcos C<0,因此A错误;对于B,sin =sin =sin=cos ,因此B正确;对于C,sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,因此C正确;对于D,cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-(cos Acos B-sin Asin B)=sin Asin B-cos Acos B,因此D错误.故选BC.
12.答案 -
解析 原式
=
=
=-tan 30°=-.
能力提升练
1.A 2.C 3.B 4.A 5.B 8.B
1.A ∵2tan θ-tan=-7,∴2tan θ-=-7,
整理得tan2θ+4tan θ+4=0,即(tan θ+2)2=0,
∴tan θ=-2.故选A.
2.C ∵0<α<,0<β<,∴α+β∈(0,π),又cos(α+β)=,
∴sin(α+β)==,
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,
又sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,
∴sin αcos β=,cos αsin β=,
则===.故选C.
3.B 由α∈,得2α∈,又sin 2α=,
所以2α∈,所以cos 2α=-=-,α∈,又β∈,所以β+α∈,β-α∈,
又sin(β-α)=,所以β-α∈,则cos(β-α)=-=-,
所以cos(α+β)=cos(2α+β-α)=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)=-×-×=,
又α+β∈,所以α+β=.故选B.
4.A 因为1≤2+sin α≤3,所以1≤≤3,
因为1≤2+sin 2β≤3,所以≤≤4,
由于+=7,所以sin α=-1,sin 2β=-1,
所以α=2k1π-(k1∈Z),2β=2k2π-(k2∈Z),故β=k2π-(k2∈Z),
因此tan(α-β)=tan
=tan=-1(k1,k2∈Z).故选A.
5.B 由2(cos2αcos2β-sin2αsin2β)[tan(α+β)+tan(α-β)]=1,得2(cos αcos β+sin αsin β)(cos αcos β-sin αsin β)
=2cos(α-β)cos(α+β)×
=2[sin(α+β)cos(α-β)+sin(α-β)cos(α+β)]
=2sin[(α+β)+(α-β)]
=2sin 2α=1,
所以sin 2α=,因此2α=+2kπ或2α=+2kπ(k∈Z),
即α=+kπ或α=+kπ(k∈Z),
逐项检验可得α的值可能为-,故选B.
6.答案 -1
解析 ∵tan α=3,tan β=1,
∴==
==-1.
7.解析 (1)因为0<α<,所以<α+<,
又cos=,所以sin=,
故tan=.
(2)因为cos α=cos=cos·cos +sinsin =×+×=,
所以sin α===,
所以tan α===,
又tan(α+β)=,
所以tan β=tan[(α+β)-α]===,
又β∈,所以β=.
8.B ∵sin(α+2β)=3sin α,∴sin(α+β+β)=3sin(α+β-β),
∴sin(α+β)cos β+sin βcos(α+β)=3sin(α+β)cos β-3sin βcos(α+β),
化简得sin(α+β)cos β=2sin βcos(α+β),
即tan(α+β)=2tan β,
因此tan α=tan(α+β-β)==,
若tan α取得最大值,则tan β>0,
此时=≤=,当且仅当tan β=时取等号.故选B.
9.答案 -3
解析 在△ABC中,由tan A=2tan B,得tan A=2tan B>0,即A,B均为锐角,
过点C作CD⊥AB交AB于点D,如图,则tan A=,tan B=,由tan A=2tan B得BD=2AD,设CD=t,
又AB边上的高等于AB,所以BD=2t,AD=t,
则tan A=1,tan B=,
因此tan C=-tan(A+B)===-3.
10.答案 -;A3,A9
解析 ∵=,角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点A5,∴α=(5-1)×+2kπ=+2kπ,k∈Z,
∴cos α=cos=-,k∈Z.
若sin α=sin,
则sin α=sin αcos+cos αsin=sin α+cos α,
∴sin α=cos α,
∴tan α=,∴α=+2kπ或α=+2kπ,k∈Z.
由=(3-1)×,=(9-1)×,知满足条件的点为A3,A9.
7(共16张PPT)
sin =± ;
cos =± ;
tan =± = = .
5.5 三角恒等变换
知识点 1 半角公式
知识 清单破
5.5.2 简单的三角恒等变换
积化和差、和差化积公式
1.积化和差公式
sin θcos φ= [sin(θ+φ)+sin(θ-φ)];
cos θsin φ= [sin(θ+φ)-sin(θ-φ)];
cos θcos φ= [cos(θ+φ)+cos(θ-φ)];
sin θsin φ=- [cos(θ+φ)-cos(θ-φ)].
2.和差化积公式
sin θ+sin φ=2sin cos ;sin θ-sin φ=2cos sin ;
知识点 2
cos θ+cos φ=2cos cos ;cos θ-cos φ=-2sin sin .
辅助角公式
1.asin x+bcos x= sin(x+φ),其中tan φ= (a≠0).
2.asin x+bcos x= cos(x-φ),其中tan φ= (b≠0).
知识点 3
知识辨析
1.如何根据cos 30°求sin 15°
2.sin 2α,cos 2α能否用tan α(α有意义)来表示
3.公式cos = 是否对任意角α都成立
4.如何由倍角公式推得tan = =
一语破的
1.sin 15°= = .
2.能.sin 2α=2sin αcos α= = ,cos 2α=cos2α-sin2α= = .
3.不是.只有当- +2kπ≤ ≤ +2kπ(k∈Z),即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时,cos ≥0,cos =
才成立.
4.tan = = = ,tan = = = ,
∴tan = = .
定点 1 半角公式的应用
关键能力 定点破
利用半角公式求值的思路
(1)看角:看已知角与待求角的二倍关系.
(2)明范围:求出相应半角的范围,为定符号做准备.
(3)选公式:涉及半角的正切值时,常利用tan = = 计算,涉及半角的正、余弦值
时,常利用sin2 = ,cos2 = 计算.
(4)下结论:结合(2)求值.
典例 已知θ∈ ,且sin θ= ,求sin ,cos ,tan 的值.
解析 解法一:∵θ∈ ,且sin θ= ,
∴cos θ=- , ∈ ,
∴sin =- =- ,
cos =- =- ,从而tan = =2.
解法二:sin 与cos 的求法同解法一.
tan = =2或tan = =2.
辅助角公式及其应用
1.研究三角函数的图象与性质时,通常将解析式通过恰当的三角变换,转化为y=Asin(ωx+φ)或
y=Acos(ωx+φ)的形式,在这个过程中通常利用辅助角公式.
2.运用辅助角公式的前提条件
①同角(均为x);
②齐一次(均为一次的);
③正余全(一个是sin x,一个是cos x).
若角不同,可通过展开等手段化为相同;若不是一次的,可降幂转化为齐一次.
定点 2
典例 已知函数f(x)=2asin ωxcos ωx+2 cos2ωx- (a>0,ω>0)的最大值为2,设x1,x2是函数f(x)的
任意两个零点,|x1-x2|的最小值为 .
(1)求a,ω的值;
(2)若f(α)= ,求sin 的值.
解析 (1)f(x)=asin 2ωx+ cos 2ωx= sin(2ωx+φ),其中tan φ= ,
由题意知 所以a=1.
因为|x1-x2|的最小值为 ,所以f(x)的最小正周期为π,
则 =π,解得ω=1.
(2)由(1)知f(x)=2sin .
由f(α)= 知,2sin = ,即sin = ,
所以sin =sin =-cos =-1+2sin2 =-1+2× =- .
名师点睛 利用辅助角公式时,选择“正弦”与“余弦”的方法:
(1)当a>0时,取cos φ= ,sin φ= ,φ是锐角,则y=asin x±bcos x= sin(x±φ)(b>
0);
(2)当a<0时,取cos φ= ,sin φ= ,φ∈(0,π),则y=asin x+bcos x=
= ·cos(x+φ)(利用余弦值表示).
三角函数式的恒等变形——化简、求值、证明
1.三角函数式求值
(1)若不确定角的范围,则需要根据条件讨论.一般讨论角的终边所在的象限.
(2)由三角函数值求其他三角函数式的值的关键是选择合适的公式,需要观察已知条件与所
求式子之间的联系(从角和三角函数名入手),必要时进行化简.
2.三角函数式化简
(1)化简的要求
①能求出值的应求出值;
②尽量使三角函数种数最少;
③尽量使项数最少;
④尽量使分母不含三角函数;
定点 3
⑤尽量使被开方数不含三角函数.
(2)化简的思路:对于和式,基本思路是降次、消项和逆用公式;对于分式,基本思路是分子与分
母约分或逆用公式;对于二次根式,注意倍角公式的逆用.
(3)化简的方法:异角化为同角,异名函数化为同名函数,异次化为同次,弦切互化,特殊角的三
角函数与特殊值互化等.
3.三角恒等式的证明
观察、分析等式左右两边的结构,从角、三角函数名称及结构的差异入手,寻求证明途
径,左右归一或消除等式两边的差异,达到证明的目的.
典例1 已知π<α< ,化简: + .
解析 原式= + ,
∵π<α< ,∴ < < ,∴cos <0,sin >0.
∴原式= +
=- + =- cos .
典例2 已知在△ABC中,cos A+cos B=sin C,求证:△ABC是直角三角形.
证明 ∵在△ABC中,A+B+C=π,
∴sin C=sin(A+B)=cos A+cos B.
利用和差化积公式,得cos A+cos B=2cos cos .
又∵sin(A+B)=2sin cos ,
∴2sin cos =2cos cos ,
∵0
∴cos >0,∴sin =cos ,
两边平方,得sin2 =cos2 ,
即 = ,
∴cos(A+B)+cos(A-B)=0,
∴2cos Acos B=0,即cos A=0或cos B=0.
∵A,B是三角形的内角,
∴必有一个为直角,∴△ABC是直角三角形.5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
基础过关练
题组一 给角求值
1.sin 20°cos 40°+sin 70°sin 40°=( )
A. B. C. D.
2.cos(-75°)的值为 .
3.(教材习题改编)计算:sin 75°+cos 75°= .
4.化简:= .
题组二 给值求值
5.(教材习题改编)设α∈,若sin α=,则cos=( )
A. B. C.- D.-
6.已知α,β∈,且cos(α+β)=,sin α=,则cos β=( )
A.- B. C. D.
7.已知α为锐角,cos=,则cos α= .
8.已知2cos α-cos β=,2sin α-sin β=2,则cos(α-β)= .
9.在平面直角坐标系xOy中,角α和角β的顶点均与坐标原点O重合,始边均为x轴的非负半轴,终边分别与单位圆交于P,Q两点,若P,Q两点关于y轴对称,点P位于第一象限,横坐标为.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)求的值.
题组三 给值求角
10.已知α为钝角,β为锐角,满足cos α=-,sin β=,则α-β= .
11.已知α,β均为锐角,且cos α=,cos(α+β)=-,则β= .
12.已知α,β,γ∈,sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,求β-α的值.
答案与分层梯度式解析
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
基础过关练
1.D 5.A 6.C
1.D sin 20°cos 40°+sin 70°sin 40°=cos 70°cos 40°+sin 70°sin 40°=cos(70°-40°)=cos 30°=,故选D.
2.答案
解析 解法一:cos(-75°)=cos(-30°-45°)=cos(-30°)cos 45°+sin(-30°)sin 45°=×-×=.
解法二:cos(-75°)=cos 75°=cos[30°-(-45°)]=cos 30°cos(-45°)+sin 30°sin(-45°)=×-×=.
3.答案
解析 原式=sin 30°sin 75°+cos 30°cos 75°
=cos(75°-30°)=cos 45°=.
4.答案
解析
=
==.
5.A ∵sin α=,α∈,∴cos α=,
∴cos=
=cos α+sin α=+=.故选A.
6.C 因为α,β∈,所以α+β∈(0,π),
所以sin(α+β)==,cos α==,
所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=,故选C.
7.答案
解析 因为α为锐角,所以0<α<,所以<α+<,所以sin>0,
又因为cos=,所以sin===,
所以cos α=cos=coscos +sinsin =×+×=.
8.答案 -
解析 由题意得(2cos α-cos β)2=4cos2α-4cos α·cos β+cos2β=,(2sin α-sin β)2=4sin2α-4sin α·sin β+sin2β=4,两式相加,得5-4(cos αcos β+sin αsin β)=5-4cos(α-β)=,故cos(α-β)=-.
9.解析 (1)由题意得,点P的坐标为,点Q的坐标为,
由三角函数的定义可得cos α=,sin α=,cos β=-,sin β=,
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.
(2)原式===-7.
10.答案
解析 ∵α为钝角,β为锐角,且cos α=-,sin β=,
∴sin α==,cos β==,
则cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-×+×=-.
又α-β∈(0,π),∴α-β=.
11.答案
解析 ∵α,β均为锐角,
∴sin α==,sin(α+β)==,
∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α=-×+×=,∴β=.
12.解析 由已知,得sin γ=sin β-sin α①,
cos γ=cos α-cos β②,
①2+②2得1=(sin β-sin α)2+(cos α-cos β)2,
∴-2cos(β-α)=-1,∴cos(β-α)=,
∵α,β∈,∴β-α∈,∴β-α=±.
∵γ∈,∴sin γ=sin β-sin α>0,
∴β>α,∴β-α=.
易错警示 在解决三角函数求值问题时,既要注意角的范围对求值的影响,也要考虑三角函数值对角的范围的影响,如本题中“sin γ=sin β-sin α>0”是舍去“β-α=-”的依据.
75.5.2 简单的三角恒等变换
基础过关练
题组一 三角函数式的求值问题
1.已知sin 76°=m,则cos 7°=( )
A. B. C. D.
2.已知x为第四象限角,且cos x=,则tan=( )
A.- B. C. D.-
3.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于( )
A.- B.- C. D.
4.已知sin(α+β)·sin(β-α)=m,则cos2α-cos2β= .
5.已知α为钝角,β为锐角,且sin α=,sin β=,求tan的值.
题组二 三角函数式的化简与证明问题
6.若α为第二象限角,则=( )
A.1 B.-1 C.sin α D.cos α
7.已知<α<2π,则+=( )
A.- B. C.- D.
8.(多选题)下列各式的值为的是( )
A.sin B.2sin sin
C. D.
9.(1)已知A,B,C为△ABC的三个内角,sin A·cos2+sin Ccos2=sin B,求证:sin A+sin C=2sin B;
(2)证明:=tan +.
题组三 三角恒等变换的综合应用
10.函数y=的最小正周期为( )
A. B.π C.2π D.3π
11.(教材习题改编)若3sin x-cos x=2sin(x+φ),其中0<φ<2π,则φ=( )
A. B. C. D.
能力提升练
题组一 三角函数式的求值问题
1.=( )
A.- B. C.1 D.2
2.已知tan(2 023π+α)-=,α∈,则sin2α++2cos2α=( )
A.- B.- C.- D.0
3.已知α-β=,tan α-tan β=3,则cos(α+β)的值为( )
A.+ B.- C.+ D.-
4.已知sin=,则=( )
A.- B. C. D.-
5.cos 23°-cos 67°+2sin 4°·cos 26°=( )
A.- B. C.- D.
6.已知cos α-cos β=,sin α-sin β=-,求sin(α+β)的值.
题组二 三角函数式的化简与证明问题
7.(多选题)下列式子化简正确的是( )
A.sin 8°sin 52°-sin 82°cos 52°=
B.cos 15°-sin 15°=
C.=
D.=
8.若<θ<π,则-=( )
A.2sin-cos B.cos-2sin
C.cos D.-cos
9.在△ABC中,求证:sin A+sin B+sin C=4coscoscos.
题组三 三角恒等变换的综合应用
10.八角星纹是一种有八个均等的向外突出的锐角的几何纹样(如图①所示),它具有组合性强、结构稳定等特点.有的八角星纹中间镂空出一个正方形,有的由八个菱形组成,内部呈现米字形线条.在如图②所示的八角星纹中,各个最小的三角形均为全等的等腰直角三角形,中间的四边形是边长为2的正方形,在图②的基础上连接线段,得到角α,β,如图③所示,则α+β=( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
11.我国数学家祖冲之利用割圆术,求出圆周率π约为,是当时世界上最精确的圆周率结果,直到近千年后这一记录才被打破.若已知π的近似值还可以表示成4cos 38°,则的值约为( )
A. B.- C.8 D.-8
12.设函数f(x)=mcos(x+α)+ncos(x+β),x∈R,若f(0)=f=0,则( )
A.对任意实数x, f(x)=0
B.存在实数x, f(x)≠0
C.对任意实数x, f(x)>0
D.存在实数x, f(x)<0
13.已知函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)是偶函数,则= .
14.已知函数f(x)=sin2x·,x∈.
(1)若角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与圆心在原点的单位圆的交点的横坐标为-,求f(α)的值;
(2)若f=-,求cos2的值.
15.在校园美化、改造活动中,某校决定在半径为30 m,圆心角为的扇形空地OPE内修建一个矩形的花坛ABCD,如图所示,请你确定B点的位置,使花坛的面积最大,并求出最大面积.
答案与分层梯度式解析
5.5.2 简单的三角恒等变换
基础过关练
1.B 2.A 3.D 6.B 7.C 8.BD 10.C 11.D
1.B 根据诱导公式得sin 76°=cos 14°=m,
易知cos 7°>0,∴cos 7°==.
2.A 解法一:∵x为第四象限角,且cos x=,
∴sin x=-=-,
则tan==-,故选A.
解法二:因为x为第四象限角,所以是第二或第四象限角,
所以tan=-=-=-,故选A.
3.D 由已知得2sin cos =·=×2sin sin ,
易得0<<π,-<<,∴sin >0,
∴cos =sin ,即tan =,∴=,∴α-β=.
4.答案 m
解析 由已知得sin(α+β)·sin(β-α)=-sin(α+β)·sin(α-β)===cos2α-cos2β=m.
5.解析 因为α为钝角,β为锐角,sin α=,sin β=,所以cos α=-,cos β=.
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-×+×=.
解法一:因为<α<π,0<β<,
所以0<α-β<π,所以0<<,
所以cos==
=,
sin==,
所以tan==.
解法二:因为<α<π,0<β<,所以0<α-β<π,
由cos(α-β)=,得sin(α-β)==.
所以tan===.
6.B ∵α为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0,
∴=
==-=-1.故选B.
7.C 由已知得<<π,
所以tan<0,
所以+=--tan
=-=-=-=-.故选C.
8.BD 对于A,sin =sin=-sin =-,故A错误;
对于B,2sin sin =2sin sin=2sin ·cos =sin =,故B正确;
对于C,原式=cos +sin =sin cos +cos sin =sin=sin =,故C错误;
对于D,=·=tan =,故D正确.故选BD.
9.证明 (1)由sin Acos2+sin Ccos2=sin B,
得sin A·+sin C·=sin B,
即sin A+sin C+sin Acos C+cos Asin C=3sin B,
∴sin A+sin C+sin(A+C)=3sin B,
∴sin A+sin C+sin(π-B)=3sin B,
即sin A+sin C+sin B=3sin B,
∴sin A+sin C=2sin B.
(2)∵sin α==,
cos α==,
∴等式左边=
==
=tan +=等式右边.
名师点睛 万能公式:sin 2α=,cos 2α=.
10.C y===tan ,其最小正周期T==2π.
11.D 因为3sin x-cos x=2
=2sin=2sin(x+φ),
所以φ=-+2kπ,k∈Z,
又0<φ<2π,所以φ=-+2π=.故选D.
能力提升练
1.A 2.D 3.D 4.B 5.B 7.BD 8.D 10.B
11.C 12.A
1.A
=
=
=
=
=
===-,故选A.
2.D 因为α∈,所以tan α>1,
又tan(2 023π+α)-=tan α+=,所以tan α=3或tan α=(舍去),
因此sin+2cos2α=×sin 2α+·cos 2α+2cos2α=sin 2α+cos 2α+2cos2α
====0.故选D.
3.D ∵tan α-tan β=3,且α-β=,
∴-====3,∴cos αcos β=,
又α-β=,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,∴sin αsin β=-,
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-+=-,故选D.
4.B =
==①,
由sin=,得sin=,
所以cos=,
cos=cos=cos
=1-2sin2=1-2×=,
因此①式==.故选B.
5.B 解法一:∵cos 23°=cos(45°-22°)
=cos 45°cos 22°+sin 45°sin 22°,
cos 67°=cos(45°+22°)
=cos 45°cos 22°-sin 45°sin 22°,
sin(4°-26°)=sin 4°cos 26°-cos 4°sin 26°=-sin 22°,
sin(4°+26°)=sin 4°cos 26°+cos 4°sin 26°=sin 30°,
∴原式=2sin 45°sin 22°+(sin 30°-sin 22°)
=sin 22°+-sin 22°=.
解法二:cos 23°-cos 67°+2sin 4°cos 26°
=-2sin sin +[sin(4°+26°)+sin(4°-26°)]=2sin 45°sin 22°+(sin 30°-sin 22°)=sin 22°+-sin 22°=.
6.解析 因为cos α-cos β=,
所以-2sin sin =①.
因为sin α-sin β=-,所以2cos sin =-②.
易知sin ≠0,由①②可得-tan =-,所以tan =,所以sin(α+β)====.
7.BD sin 8°sin 52°-sin 82°cos 52°=sin 8°sin 52°-cos 8°cos 52°=-cos(8°+52°)=-cos 60°=-,故A错误;cos 15°-sin 15°=2×cos 15°-sin 15°=2(sin 60°cos 15°-cos 60°sin 15°)=2sin 45°=,故B正确;==tan 30°=,故C错误;====,故D正确.故选BD.
8.D ∵<θ<π,∴<<,∴sin>cos>0.
∵1-sin θ=sin2+cos2-2sincos=,(1-cos θ)=sin2,
∴-
=-
=sin-cos-sin=-cos.
9.证明 由题意得A+B+C=π,故C=π-(A+B),
则=-,
∴cos=cos=sin.
证法一:sin A+sin B+sin C=sin A+sin B+sin(A+B)
=sin A+sin B+sin Acos B+cos Asin B
=sin A(1+cos B)+sin B(1+cos A)
=2sincos·2cos2+2sincos·2cos2
=4coscos·sin
=4coscoscos.
证法二:sin A+sin B+sin C
=2sin·cos+sin(A+B)
=2sin·cos+2sin·cos
=2sin
=2cos·2cos·cos
=4coscoscos.
10.B 如图所示,连接BC.
在Rt△ABC中,BC=2,AC=6,则tan α==.
在Rt△DEF中,EF=2,DE=4,则tan β==,
所以tan(α+β)===1,
又α,β∈,所以α+β∈,所以α+β==45°,故选B.
11.C ∵π≈4cos 38°,
∴≈
====8,故选C.
12.A ∵f(0)=f=0,∴mcos α+ncos β=-msin α-nsin β=0,∴mcos α=-ncos β,msin α=-nsin β,∴m2cos2α+m2sin2α=n2cos2β+n2sin2β,∴m2=n2,∴m=n或m=-n.
若m=n≠0,则cos α=-cos β,sin α=-sin β,故α=β+π+2kπ,k∈Z,则f(x)=mcos(x+β+π+2kπ)+mcos(x+β)=0,k∈Z;
若m=-n≠0,则cos α=cos β,sin α=sin β,故α=β+2kπ,k∈Z,则f(x)=mcos(x+β+2kπ)-mcos(x+β)=0,k∈Z;
若m=n=0,则f(x)=0.
综上所述,对任意实数x, f(x)=0.故选A.
13.答案
解析 因为f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)=×sin是偶函数,
所以+φ=+kπ,k∈Z,
所以φ=+kπ,k∈Z,因此tan φ=1,
则==.
14.解析 (1)由f(x)=sin2x
=sin2x
=sin2x,
因为x∈,所以sin x>0,且1-cos x>0,1+cos x>0,
所以f(x)=sin2x=2sin x,
因为cos α=-,所以f(α)=2sin α=±2=±.
(2)因为f=2sin=2cos+β=-,所以cos=-,
所以cos2=cos2
=cos2=sin2
=1-cos2=1-=.
15.解析 如图所示,设CD的中点为M,连接OM,交AB于N,连接OC,记∠COM=α,
则α∈,且OM=30cos α(m),CM=30sin α(m),BN=CM=30sin α(m),ON===10sin α(m).
所以=2·BN·BC=2×30sin α×(30cos α-10sin α)=1 800sin αcos α-600sin2α=900sin 2α-300(1-cos 2α)=600sin 2α+cos 2α-300=600sin-300m2,0<α<,
由0<α<,得<2α+<,故当2α+=,即α=时,(S矩形ABCD)max=600-300=300(m2),此时OB=2ON=20sin =10(m).
故当OB=10 m时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为300 m2.
7第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
基础过关练
题组一 利用二倍角的三角函数公式解决给角求值问题
1.化简:=( )
A.sin 2-cos 2 B.cos 2-sin 2
C.cos 2 D.-cos 2
2.若a=,b=cos2-sin2,c=,则( )
A.a3.(多选题)下列各式中,值为的有( )
A.sinsin
B.sin 173°cos 23°+sin 83°cos 67°
C.
D.
4.计算:sin 140°(tan 10°-)=( )
A.- B.- C.-1 D.-
5.求下列各式的值:
(1)cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°;
(2)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
题组二 利用二倍角的三角函数公式解决条件求值问题
6.已知tan θ=,则cos 2θ= ( )
A. B. C. D.
7.已知sin=-,则cos 2α+sin 2α=( )
A. B.- C.- D.
8.已知tan=,tan=,则tan(α-2β)=( )
A.- B.- C. D.
9.已知tan=-2.
(1)求的值;
(2)求的值.
10.已知sin α=,α∈.
(1)求cos α,tan α的值;
(2)求sin的值.
题组三 二倍角的三角函数公式的综合运用
11.(多选题)若下列各式左右两边均有意义,则其中恒成立的有( )
A.=
B.·=tan α
C.(sin 2α-cos 2α)2=1-sin 4α
D.=tan2θ
12.若等腰三角形的一个底角的正弦值为,则这个三角形的顶角的正切值为 .
13.求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B.
14.求值:sin2α+sin2+sin2.
15.在①sin α>0,②cos α<0,③tan α>0这三个条件中任选两个,补充在下面的问题中并解答.
已知 ,且|sin α|=.
(1)求cos α和tan α的值;
(2)求sin 2α-cos 2α的值.
能力提升练
题组一 利用二倍角的三角函数公式解决给角求值问题
1.(多选题)下列计算结果正确的是( )
A.cos(-15°)=
B.sin 15°sin 30°sin 75°=
C.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)·sin(25°+α)=-
D.=2
2.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用,0.618就是黄金分割比m=的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18°,则=( )
A.4 B.+1 C.2 D.-1
3.(多选题)下列等式成立的是( )
A.sin 40°+cos 40°=sin 70°
B.=-1
C.coscoscos=-
D.tan 255°=2+
4.计算:2cos 70°+= .
5.计算-的结果是 .
题组二 利用二倍角的三角函数公式解决条件求值问题
6.已知sin(π-x)=2sin,则3sin 2x+4cos 2x=( )
A. B.- C.0 D.
7.对于锐角α,若sin=,则cos=( )
A. B.
C. D.-
8.已知tan=,则cos 2α+sin 2α+2=( )
A. B. C. D.2
9.已知α∈(0,π),且3cos 2α+14cos α+7=0,则tan 2α=( )
A.- B.- C. D.
10.已知θ∈,且cos θ-sin θ=-,则等于( )
A.- B.- C. D.
11.已知α,β∈(0,π),且cos α=,sin(α+β)=-,则cos(3α+β)=( )
A.- B.- C. D.
12.已知<α<π,-π<β<0,tan α=-,tan β=-,则2α+β= .
13.已知sin+=,且x∈(π,2π),则cos= .
14.在平面直角坐标系中,已知锐角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边与圆心为原点的单位圆交于点.
(1)求tan α,cos 2α;
(2)在①tan β=,②sin 2β=sin β,③cos =这三个条件中任选一个条件补充在下面的横线上,并解答问题.
问题:已知β∈, ,求2α-β.
题组三 二倍角的三角函数公式的综合运用
15.在锐角△ABC中,已知sin Acos A=cos2A-,则A=( )
A. B. C. D.
16.若方程sin2x-=在(0,π)上的解为x1,x2(x117.已知f(sin α+cos α)=sin 2α,则f= .
18.已知锐角α,β满足tan(α-β)=sin 2β,求证:tan α+tan β=2tan 2β.
19.已知函数f(x)=4cos xsin2+cos 2x-2cos x.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)已知B为△ABC的内角.
(i)若f(B)=2,求B的大小;
(ii)若f(B)-m>2恒成立,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
基础过关练
1.A 2.B 3.BCD 4.C 6.D 7.A 8.B 11.ACD
1.A ==|cos 2-sin 2|,
∵2弧度角的终边位于第二象限,∴sin 2>0,cos 2<0,
∴=sin 2-cos 2,故选A.
2.B b=cos2-sin2=cos =,
c===sin=sin =,a=<<<,所以a故选B.
3.BCD sinsin=cossin=sin=;
sin 173°cos 23°+sin 83°cos 67°=sin 7°cos 23°+cos 7°·sin 23°=sin(7°+23°)=sin 30°=;
=tan 45°=;
由tan(22°+23°)==1得tan 22°+tan 23°+tan 22°tan 23°=1,
所以(1+tan 22°)(1+tan 23°)=1+tan 23°+tan 22°+tan 22°tan 23°=2,
所以=.故选BCD.
4.C sin 140°(tan 10°-)=sin 40°
=
=
=-=-=-1.
故选C.
5.解析 (1)原式=sin215°+cos215°+sin 15°cos 15°=1+sin(2×15°)=1+sin 30°=1+=.
(2)原式=sin 10°sin 50°sin 70°=cos 80°cos 40°·cos 20°=···
=·=·=.
6.D 因为tan θ=,所以cos 2θ=cos2θ-sin2θ====.故选D.
7.A ∵sin=-,
∴cos 2α+sin 2α=2sin=2cos
=2=2×=,故选A.
8.B 由tan=,得tan===,
因此tan(α-2β)=tan===-.故选B.
9.解析 由tan=-2,可得=-2,
解得tan α=-3.
(1)tan 2α===,故==-.
(2)=
===.
10.解析 (1)∵sin α=,α∈,
∴cos α=-=-,tan α==-.
(2)由(1)可得,sin 2α=2sin αcos α=-,cos 2α=1-2sin2α=1-=-,
∴sin=sin 2αcos+cos 2αsin=-×-×=-.
11.ACD =
==,故A正确;
·=·=tan 2α,故B错误;
(sin 2α-cos 2α)2=sin22α+cos22α-2sin 2αcos 2α=1-sin 4α,故C正确;
==tan2θ,故D正确.
故选ACD.
12.答案 -
解析 设等腰三角形的一个底角为α,则α必为锐角,顶角为π-2α.由题意可知,sin α=,∴cos α=,∴tan α=,则tan(π-2α)=-tan 2α=-=-=-.
13.证明 左边=-
=
=(cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B+sin 2Asin 2B)=cos 2Acos 2B=右边,
∴原等式成立.
14.解析 原式=++
=-cos 2α-
=-cos 2α-coscos 2α
=-cos 2α+cos 2α=.
15.解析 方案一:选择①②.
(1)由已知可得,α为第二象限角,sin α=,所以cos α=-,tan α==-.
(2)sin 2α=2sin αcos α=-,cos 2α=cos2α-sin2α=-=-,
则sin 2α-cos 2α=--=-.
方案二:选择①③.
(1)由已知可得,α为第一象限角,sin α=,所以cos α=,tan α==.
(2)sin 2α=2sin αcos α=,cos 2α=cos2α-sin2α=-=-,
则sin 2α-cos 2α=-=.
方案三:选择②③.
(1)由已知可得,α为第三象限角,sin α=-,所以cos α=-,tan α==.
(2)sin 2α=2sin αcos α=,cos 2α=cos2α-sin2α=-=-,
则sin 2α-cos 2α=-=.
能力提升练
1.BD 2.A 3.CD 6.B 7.D 8.C 9.D 10.A
11.C 15.B
1.BD 对于A,cos(-15°)=cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=,所以A错误;
对于B,sin 15°sin 30°sin 75°=sin 15°sin 30°cos 15°=sin 15°cos 15°=sin 30°=,所以B正确;
对于C,cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos 60°=,所以C错误;
对于D,==2×=2×=2,所以D正确.
故选BD.
2.A 由已知得m=2sin 18°,
∴====4.故选A.
3.CD 选项A,sin 40°+cos 40°=sin(40°+60°)=sin 100°=sin 80°,故A错误;
选项B,===1,故B错误;
选项C,coscoscos=·sincos·coscos=··sincoscos=··sincos=··sin=··=-,故C正确;
选项D,tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(45°+30°)===2+,故D正确.故选CD.
4.答案
解析 2cos 70°+=2sin 20°+==
==.
5.答案 -4
解析 -=-
=-=
==
===-4.
6.B 因为sin(π-x)=2sin,所以sin x=-2cos x,即tan x=-2,所以3sin 2x+4cos 2x====-.故选B.
7.D 由α为锐角,得-<α-<,
因为sin=,所以cos=,
所以cos=cos
=-sin2=-2sincos
=-2××=-.故选D.
一题多解 设α-=β,则α=β+,sin β=,且-<β<,因此cos β=,所以cos= cos=cos=-sin 2β=-2sin β·cos β=-2××=-.故选D.
8.C 由tan==,解得tan α=3,
所以cos 2α+sin 2α+2=2cos2α+2sin αcos α+1====.
故选C.
9.D 因为3cos 2α+14cos α+7=0,所以3(2cos2α-1)+14cos α+7=0,即3cos2α+7cos α+2=0,
解得cos α=-或cos α=-2(舍去),
又α∈(0,π),所以sin α===,
从而tan α==-2,
因此tan 2α===.故选D.
10.A ∵cos θ-sin θ=-,∴1-sin 2θ=,
∴sin 2θ=-.∵θ∈,∴cos θ+sin θ<0,
∴sin θ+cos θ=-=-=-=-,∴==(cos θ+sin θ)=-.故选A.
11.C ∵α∈(0,π),cos α=>0,∴α∈,且sin α==,∴cos 2α=cos2α-sin2α=-,sin 2α=2sin αcos α=,
由α∈得2α∈(0,π),又cos 2α=-<0,∴2α∈,∴α∈,
又β∈(0,π),∴α+β∈,
∵sin(α+β)=-<0,∴α+β∈,
∴cos(α+β)=-=-,
∴cos(3α+β)=cos(α+β+2α)=cos(α+β)cos 2α-sin(α+β)sin 2α=×+×=.
故选C.
12.答案
解析 ∵tan α=-,∴tan 2α==-,
又tan β=-,
∴tan(2α+β)===-1,
由<α<π,且tan 2α<0得<2α<2π,
由-π<β<0,且tan β<0得-<β<0,
因此2α+β∈(π,2π),∴2α+β=.
13.答案
解析 因为x∈(π,2π),sin=>0,所以+∈,则cos<0,
所以cos=-=-,
因此cos=2cos2-1=-1=,
sin=2sincos=-,
所以cos=cos=cos·cos -sinsin =×-×=.
14.解析 (1)由题知sin α=,α为锐角,
∴cos α===,
∴tan α===2,
cos 2α=1-2sin2α=1-2×=-.
(2)∵α∈,∴2α∈(0,π),
∵cos 2α=-,∴sin 2α==,且2α∈.
若选①:∵tan β=,∴
∵β∈,∴
∴cos(2α-β)=cos 2αcos β+sin 2αsin β=×+×=0,
∵0<β<,∴-<-β<0,∴0<2α-β<π,
∴2α-β=.
若选②:∵β∈,∴sin β>0,
∵sin 2β=2sin βcos β=sin β,
∴cos β=,∴sin β==,
∴cos(2α-β)=cos 2αcos β+sin 2αsin β=0,
下同①.
若选③:∵cos =,∴cos β=2cos2-1=,
∵β∈,∴sin β>0,∴sin β==,
∴cos(2α-β)=cos 2αcos β+sin 2αsin β=0,
下同①.
15.B 在锐角△ABC中,若sin Acos A=cos2A-,
则sin 2A=cos 2A,即sin 2A=cos 2A,∴tan 2A=1,∵0∴A=.故选B.
16.答案 -
解析 由00,所以0<2x-<π,
根据正弦函数的性质可知=x1+x2-=,所以x1+x2=,且0<2x1-<<2x2-<π,所以cos==,
所以sin(2x1-2x2)=2sin(x1-x2)cos(x1-x2)
=2sincos
=2sincos
=2sincos
=-2cossin=-2××=-.
17.答案 -
解析 设t=sin α+cos α,
因为(sin α+cos α)2=1+sin 2α,所以sin 2α=t2-1,所以f(t)=t2-1,
因此f=f=-1=-.
18.证明 因为tan(α-β)=,
sin 2β=2sin βcos β==,
所以=,整理得tan α=,
所以tan α+tan β===2tan 2β.
19.解析 (1)f(x)=4cos xsin2+cos 2x-2cos x=4cos x+cos 2x-2cos x
=2cos x+cos 2x-2cos x
=2cos x(1+sin x)+cos 2x-2cos x
=2cos x+2sin xcos x+cos 2x-2cos x
=sin 2x+cos 2x=2sin,
∴函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)由题及(1)得f(B)=2sin,0(i)由f(B)=2,得sin=1,
∴2B+=+2kπ,k∈Z,∴B=+kπ,k∈Z.
又0(ii)f(B)-m>2恒成立,即f(B)>m+2恒成立,
∴f(B)min>m+2,
∵0因此-1≤sin≤1,即-2≤2sin≤2,
∴f(B)min=-2,∴-2>m+2,∴m<-4,
∴实数m的取值范围为(-∞,-4).
7(共20张PPT)
tan(α+β)= ,
tan(α-β)= .
5.5 三角恒等变换
知识点 1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
知识 清单破
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin 2α=2sin αcos α.
cos 2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1.
tan 2α= .
知识点 2
知识辨析
1.和(差)角公式与诱导公式有何联系
2.能否用两角和的余弦公式计算cos 75°
3.二倍角公式中“倍角”仅指2α与α的关系吗
一语破的
1.和(差)角公式是诱导公式的推广,诱导公式是和(差)角公式的特例.如sin(2π-α)=sin 2πcos α-
cos 2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α.当α或β中有一个角是 的整数倍时,通常使用诱导公式较
为方便.
2.能.cos 75°=cos(30°+45°)=cos 30°·cos 45°-sin 30°sin 45°= × - × = .
3.不是.2α与α,4α与2α,α+β与 等均是二倍角关系.
定点 1 两角和与差的正弦、余弦公式的应用
关键能力 定点破
1.给角求值
此类题目涉及两角和与差公式的正用和逆用:sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β即为正用,可利用
特殊角的三角函数求非特殊角的三角函数;sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β)即为逆用,公式的逆
用是三角函数式变形的重要手段,有时还需把三角函数式中的系数 , , 等视为某个特
殊角的三角函数值,从而将常数换为三角函数使用.
2.给值求值
解决给值求值的问题时,应先分析已知角与所求角间的关系,再考虑三角函数名称的联
系,最后选择合适的公式求值.
解题关键是将所求角用已知角表示出来,即角的代换.常见的角的代换的形式:α=(α+β)-β,
α=β-(β-α),α= [(α+β)+(α-β)]= [(α+β)-(β-α)], = - ,α+β=(2α+β)-α,2α=(α+β)+
(α-β),2β=(α+β)-(α-β)等.
3.给值求角
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值,而三角函数的选取一般要根据所
求角的范围来确定,最好是角的取值范围在该函数的单调区间内.当所求角的范围是(0,π)或
(π,2π)时,一般求余弦值;当所求角的范围是 或 时,一般求正弦值.
典例 (1)计算 ;
(2)已知cos(2α-β)=- ,sin(α-2β)= ,且 <α< ,0<β< ,求cos(α+β)的值;
(3)已知sin α= ,sin β= ,且α和β均为钝角,求α+β的值.
解析 (1)原式=
=
=
= = .
(2)∵cos(2α-β)=- ,sin(α-2β)= ,且 <α< ,0<β< ,
∴2α-β∈ ,α-2β∈ ,
∴sin(2α-β)= ,cos(α-2β)= ,
∴cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)
=- × + × =0.
(3)∵α和β均为钝角,sin α= ,sin β= ,
∴cos α=- =- ,
cos β=- =- .
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= × - × = .
由α和β均为钝角,得π<α+β<2π,
∴α+β= .
两角和与差的正切公式的应用
1.常值代换
在应用两角和与差的正切公式时,若出现1, 等常值,则常利用1=tan , =tan 等来代
换,以达到化简求值的目的.
2.整体意识
若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体,则利用两角和与差的
正切公式的变形公式:①tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β),②1 tan α·tan β= 求解.
定点 2
典例 (1)已知θ是第二象限角,sin = ,则tan θ= ( )
A.- B.- C.- D.-7
(2)计算:tan 23°+tan 37°+ tan 23°tan 37°= .
D
解析 (1)解法一:因为θ是第二象限角,sin = ,所以θ+ ∈ +2kπ,π+2kπ ,k∈Z,
所以cos =- =- ,
所以tan = =- ,
所以 =- ,
即 =- ,
解得tan θ=-7,故选D.
解法二:同解法一得tan =- ,
所以tan θ=tan = =-7,故选D.
(2)因为tan(23°+37°)= = ,
所以tan 23°+tan 37°= - tan 23°·tan 37°,
所以tan 23°+tan 37°+ tan 23°·tan 37°= .
利用二倍角公式进行化简、求值
1.二倍角公式的逆用
2sin αcos α=sin 2α,cos2α-sin2α=cos 2α,1-2sin2α=cos 2α,2cos2α-1=cos 2α, =tan 2α.
2.二倍角公式的有关变形
(1)1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(2)升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.
(3)降幂公式:cos2α= (1+cos 2α);sin2α= (1-cos 2α).
(4)sin 2α= = ,
cos 2α= = .
定点 3
典例1 若cos = , ≤α< ,求cos 的值.
思路点拨 根据2α+ =2 - ,运用两角差的余弦公式、二倍角公式求值.
解析 ∵ ≤α< ,∴ ≤α+ < .
∵cos = >0,∴ <α+ < ,
∴sin =-
=- =- ,
因此,cos =cos
= cos + sin
= + ×2sin α+ ·cos
= × + ×2× ×
=- .
典例2 化简下列各式:
(1) ;
(2) ,其中α∈ ;
(3) - .
解析 (1)原式=
=
=
= = =1.
(2)∵α∈ ,∴cos α>0, ∈ ,∴cos <0,
因此,原式= = = = =-cos .
(3) -
=
=
=
= =4.