5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
5.6.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
基础过关练
题组一 图象变换
1.要得到函数y=3sinx+的图象,只需将函数y=3sin x的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
2.将函数y=2sin的图象向右平移个单位长度后,所得图象对应的函数为( )
A.y=2sin 3x B.y=2sin
C.y=2sin D.y=2sin
3.要得到函数y=2sin 2x的图象,只要将函数y=2sin(2x+1)的图象( )
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
4.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=2sin的图象,则f(x)= .
题组二 由图象确定函数解析式
5.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则其解析式为( )
A.y=2sin B.y=2sin
C.y=2sin D.y=2sin
6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f=( )
A.1 B.-1 C. D.-
7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象与y轴的交点为(0,1),它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2),则f(x)的解析式为 ,x0的值为 .
题组三 图象变换的应用
8.(多选题)若将函数f(x)=的图象先向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是( )
A.g(x)的最小正周期为
B.g(x)的定义域为
C.g(x)的一个单调区间为
D.g(x)图象的一条对称轴方程为x=-
9.将函数y=3sin的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位长度,得到函数y=f(x)的图象,若方程f(x)=k在x∈上有且仅有两个实数根,则k的取值范围为 .
10.已知函数f(x)=2sin,x∈R.
(1)在用“五点法”作函数f(x)的图象时,列表如下:
2x- 0 π 2π
x
f(x) 0 2 0 0
完成上述表格,并画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)求函数f(x)在区间上的值域.
11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若关于x的方程g(x)-m=0在区间上有两个不同的实数解,求实数m的取值范围.
能力提升练
题组一 图象变换
1.要得到函数f(x)=sin的图象,可将函数g(x)=cos 2x的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
2.将函数y=cos(2x+φ)的图象上所有的点向左平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若g(x)为奇函数,则φ=( )
A. B.- C. D.-
3.将正弦曲线y=sin x向左平移个单位长度后,再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的,纵坐标变为原来的2倍,得到函数f(x)的图象,则f(x)在区间上的值域是( )
A.[-1,1] B.[-1,2] C.[1,2] D.[-2,2]
题组二 三角函数图象与性质的应用
4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)等于( )
A. B.0 C.+2 D.-2
5.将f(x)=sin2的图象向左平移个单位长度后,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0),得到函数g(x)的图象.已知g(x)在[0,π]上单调递增,则ω的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|
φ|<的部分图象如图,则( )
A. f(x)的图象关于直线x=-对称
B. f(x)的图象关于点对称
C. f(x)在区间上单调递减
D. f(x)在区间上的值域为(1,3)
7.(多选题)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<在一个周期内的图象时,列表计算了部分数据,下列有关函数y=f(x)的描述正确的是( )
ωx+φ 0 π 2π
x a b c
f(x) 1 3 1 d 1
A.函数f(x)的最小正周期是π
B.函数f(x)的图象关于点对称
C.函数f(x)的图象关于直线x=对称
D.函数f(x)与g(x)=-2cos+1表示同一个函数
8.将函数f(x)=2sin图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0),纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.若对于任意的x1∈,总存在唯一的x2∈,使得f(x1)=g(x2)+2,则ω的取值范围为 .
9.将函数f(x)=cos 2ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,且使|g(x1)-g(x2)|=2成立的|x1-x2|的最小值为.
(1)求函数g(x)的单调递减区间;
(2)设函数h(x)=,求函数h(x)的最大值.
10.已知函数f(x)=sin 2x-sin.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若将函数f(x)的图象先向左平移个单位长度,再将所得函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象.
(i)求函数g(x)的解析式;
(ii)若g(x0)=,其中x0∈,求sin x0的值.
答案与分层梯度式解析
5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
5.6.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
基础过关练
1.A 2.D 3.D 5.A 6.B 8.ABD
1.A 横向平移时,遵循“左加右减”的原则.故选A.
2.D 所求函数为y=2sin=2sin.故选D.
3.D y=2sin(2x+1)=2sin,故选D.
易错警示 在横向变换中,要注意x的系数ω对平移的影响,解题时要先提取ω.
4.答案 2sin
解析 将函数y=2sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=2sin的图象,再将其向左平移个单位长度,即可得到f(x)=2sin=2sin的图象.
5.A 由题图可得A=2,×=+,∴ω=2.
由五点作图法,可得2×+φ=,∴φ=-,
故y=2sin,故选A.
6.B 设函数f(x)的最小正周期为T.由题图得A=2,
T=-=,则T=π,∴ω==2.
由五点作图法可知当x=时,ωx+φ=π,即2×+φ=π,解得φ=,
∴f(x)=2sin,
∴f=2sin=2sin π=-1.故选B.
7.答案 f(x)=2sin;
解析 由题意作出f(x)的简图,如图.
由图象知A=2,函数f(x)的最小正周期T=2×2π=4π,∴ω==,∴f(x)=2sin,
又f(0)=2sin φ=1,∴sin φ=,
又∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin.
∵f(x0)=2sin=2,
∴x0+=+2kπ,k∈Z,∴x0=4kπ+,k∈Z,
又(x0,2)是函数图象在y轴右侧的第一个最高点,
∴x0=.
8.ABD 由题得函数g(x)=,
其大致图象如图所示:
因此函数的最小正周期T=,故A正确;由2x-≠+kπ,k∈Z,可得x≠+,k∈Z,故B正确;
结合图象可知,函数g(x)在上不单调,故C错误;当x=-时,2x-=-,因此函数g(x)图象的一条对称轴方程为x=-,故D正确.
故选ABD.
9.答案 (-3,0]∪
解析 根据题意可得f(x)=3sin=3sin,
作出函数f(x)在上的图象,如图所示:
因为方程f(x)=k在x∈上有且仅有两个实数根,所以≤k<3或-3故k的取值范围为(-3,0]∪.
10.解析 (1)
2x- 0 π 2π
x
f(x) 0 2 0 -2 0
易得f(0)=f(π)=-, f(x)在[0,π]上的图象如图所示.
(2)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(3)因为x∈,所以2x-∈.
所以sin∈.
所以函数f(x)在区间上的值域为[-2,].
11.解析 (1)由题图可知=-,得T=π,
∴ω==2,则f(x)=sin(2x+φ),
又f=,∴sin=1,即sin=1,
∴+φ=+2kπ,k∈Z,∴φ=-+2kπ,k∈Z,
又|φ|≤,∴φ=-,故f(x)=sin.
(2)由题意得g(x)=sin,
g(x)-m=0在区间上有两个不同的实数解,
即直线y=m与函数g(x)=sin的图象在区间上有两个不同的交点,
画出y=g(x)在上的图象及直线y=m,如图.
由图可知,若g(x)-m=0在上有两个不同的实数解,则m∈[1,).
能力提升练
1.D 2.D 3.B 4.B 5.A 6.C 7.ACD
1.D f(x)=sin=cos
=cos=cos=cos,
又g(x)=cos 2x,
所以要想得到f(x)的图象,需要将g(x)的图象向右平移个单位长度.故选D.
名师点睛 三角函数的图象变换必须在同名函数间进行,若变换前后的函数名称不同,则要选择合适的诱导公式将其化为同名函数,再分析自变量的变化关系.
2.D 解法一:由题得函数g(x)=cos.
因为g(x)为奇函数,所以+φ=+kπ(k∈Z),解得φ=-+kπ(k∈Z).
因为|φ|<,所以φ=-.故选D.
解法二:依题意得,y=cos(2x+φ)的图象的对称中心为
破题关键,因此2×+φ=+kπ(k∈Z),所以φ=-+kπ,k∈Z,
因为|φ|<,所以φ=-.故选D.
3.B 由题意知f(x)=2sin.
当x∈时,2x+∈,sin∈,2sin∈[-1,2].
因此f(x)在区间上的值域是[-1,2].故选B.
4.B 由题图可知,A=2,最小正周期T=8,则ω==,故f(x)=2sin,
又f(0)=0,|φ|<,所以φ=0,故f(x)=2sin x.
根据函数图象的对称性可知f(1)=f(3)=-f(5)=-f(7)=, f(2)=-f(6)=2, f(4)=f(8)=0,
因此f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)=253×[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)]=0.故选B.
5.A 因为f(x)=sin2=,
所以结合题意得函数g(x)=,
令2kπ≤2ωx+≤2kπ+π,k∈Z易错点,
则-≤x≤+,k∈Z,
因为g(x)在[0,π]上单调递增,
所以≥π且ω>0,解得0<ω≤.故选A.
6.C 由题图得
∴∴f(x)=2sin(ωx+φ)+3,
∵f(x)的图象过点(0,2),∴f(0)=2sin φ+3=2,∴sin φ=-,
∵|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=2sin+3,
∵f(x)的图象过点,
∴f=2sin+3=1,即sin=1,
∴ω+=2kπ+,k∈Z,∴ω=2+12k,k∈Z.
设f(x)的最小正周期为T,
由题图可知>,∴T>,即>,即ω<3,
又ω>0,∴0<ω<3,∴ω=2,
∴f(x)=2sin+3.
对于A,f=2sin+3=2,不是最值,∴f(x)的图象不关于直线x=-对称,故A错误;
对于B,f=2sin +3=4≠3,故B错误;
对于C,令2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
∴f(x)的单调递减区间为,k∈Z,
当k=0时, f(x)在上单调递减,
又 ,故C正确;
对于D,∵x∈,∴2x-∈(-π,0),
可得sin∈[-1,0),
∴f(x)∈[1,3),故D错误.故选C.
7.ACD 由题意得解得
由题表可知,最小正周期T=2×=π,故A正确;
又T=,即π=,所以ω=2,
因为2×+φ=,所以φ=-,
所以f(x)=2sin+1,
当x=时,2x-=,故f=-1,为最小值,故不是函数f(x)图象的对称中心,故B错误;
当x=时,2x-=,故f=3,为最大值,故直线x=为函数f(x)图象的一条对称轴,故C正确;
因为f(x)=2sin+1=2sin+1=-2cos+1,故D正确.
故选ACD.
8.答案
解析 由题意得g(x)=2sin,
因为对于任意的x1∈,总存在唯一的x2∈,使得f(x1)=g(x2)+2,所以g(x2)=f(x1)-2在x2∈上有唯一解.
设t=ωx2+,当x2∈时,t∈,
所以sin t=在上有唯一解,由x1∈得x1+∈,所以f(x1)∈[1,2],故∈.如图:
结合图象可得≤+<,解得2≤ω<,
故ω的取值范围为.
9.解析 (1)由题意可知g(x)=cos=cos,
易知函数g(x)的最大值为1,最小值为-1,
根据使|g(x1)-g(x2)|=2成立的|x1-x2|的最小值为知函数g(x)的最小正周期T满足=,
解得T=π,又=π,所以ω=1,
所以g(x)=cos,
令2kπ≤2x-≤2kπ+π,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
因此函数g(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(2)由(1)知h(x)==,
令t=2+sin x,则t∈[1,3],
所以h(x)=可转化为H(t)===-+8,1≤t≤3,
由基本不等式得-+8≤-2+8=8-2,当且仅当2t=,即t=时取等号,故H(t)max=8-2.又∈[1,3],所以函数h(x)的最大值为8-2.
10.解析 (1)f(x)=sin 2x-sin=sin 2x-sin 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin,
令2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
(2)(i)先将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,可得y=sin=sin的图象;
再将所得函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin的图象.
故g(x)=sin.
(ii)g(x0)=,即sin=,
因为x0∈,所以x0-∈,
故cos==.
故sin x0=sin=sincos +cossin =×+×=.
7(共21张PPT)
1.先平移后伸缩
y=sin x的图象 y=sin(x+φ)的图象 y=sin(ωx+φ)
的图象 y=Asin(ωx+φ)的图象.
2.先伸缩后平移
y=sin x的图象 y=sin ωx的图象 y=sin(ωx+φ)的
图象 y=Asin(ωx+φ)的图象.
5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
知识点 通过图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的过程
知识 清单破
图象变换的注意点:①横向伸缩中的倍数变化.②先平移后伸缩与先伸缩后平移中平移
长度的区别.
知识辨析
1.把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sin 2x的图象,
对吗
2.将y=sin x+1图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,横坐标不变,得到y=2sin x+1的图象,对吗
3.把函数y=sin 2x的图象向左平移 个单位长度,得到函数y=sin 的图象,对吗
一语破的
1.不对.应得到y=sin x的图象.
2.不对.应得到y=2sin x+2的图象.
3.不对.应得到y=sin =sin =cos 2x的图象.
定点 1 三角函数的图象变换问题
关键能力 定点破
1.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图象可以由y=sin x的图象经过平移变换和伸缩
变换得到.在图象变换中要注意变换的次序:可以先平移后伸缩,也可以先伸缩后平移,但是两
种变换次序中,平移的量是不同的.
2.不同名三角函数的图象变换
用诱导公式将不同名三角函数化为同名三角函数,再进行图象的平移、伸缩变换.
典例 要得到函数y= cos x的图象,只需将函数y= sin 的图象上所有点的( )
A.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移 个单位长度
B.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移 个单位长度
C.横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),再向左平移 个单位长度
D.横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),再向右平移 个单位长度
A
解析 y= sin = cos - + = cos ,因此将y= sin 的图
象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移 个单位长度,就得到了y=
cos x的图象.
解后反思 函数化为同名时,一般化解析式复杂的.图象变换时,由“复杂”变换到“简单”
可反向思考,先研究由“简单”函数的图象变换到“复杂”函数的图象,再将变换倒过来表
述.
由图象求三角函数的解析式
根据三角函数的图象求y=Asin(ωx+φ)的解析式的方法
(1)A的确定:一般可由图象上的最高点、最低点的纵坐标来确定|A|.
(2)ω的确定:因为T= ,所以常通过周期T来确定ω.图象上相邻的两个对称中心、相邻的两
条对称轴之间的距离均为 ,相邻的对称轴与对称中心之间的距离为 .
(3)φ的确定:
①以“五点法”中的第一个点 (也叫初始点)作为突破口来确定φ,注意要根据图象的
升降情况找准第一个点的位置.
②依据“五点法”作图,点的序号与式子的对应关系如下:
“第一点”(图象上升时与x轴的交点):ωx+φ=0;
定点 2
“第二点”(图象的“峰点”):ωx+φ= ;
“第三点”(图象下降时与x轴的交点):ωx+φ=π;
“第四点”(图象的“谷点”):ωx+φ= ;
“第五点”(图象第二次上升时与x轴的交点):ωx+φ=2π.
在用以上方法确定φ的值时,还要注意题目中给出的φ的范围,不在要求范围内的要通过周期
进行转化.
典例 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是
( )
A.f(x)=2sin B.f(x)=2sin
C.f(x)=2sin D.f(x)=2sin
D
解析 (1)由题图知A=2, = - = ,即T=π,即 =π,得ω=2,则f(x)=2sin(2x+φ).由“五点
法”中“第一点”得2× +φ=0,可得φ= ,符合0≤φ≤π,所以f(x)=2sin ,故选D.
三角函数图象与性质的综合应用
1.三角函数的图象及其应用
(1)用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
列表:
定点 3
ωx+φ 0 π 2π
x - - - - -
y 0 A 0 -A 0
描点、连线得函数在一个周期内的图象,通过左右平移得到y=Asin(ωx+φ),x∈R的图象.
(2)三角函数的图象的应用:变换作图及其应用、利用图象求函数的解析式、利用图象解决
与三角函数有关的其他问题.
2.三角函数的性质及其应用
(1)利用函数y=Asin(ωx+φ)的性质解决问题的基本策略:首先将所给函数的解析式转化为y=
Asin(ωx+φ)的形式,熟记正弦函数y=sin x的图象与性质,再充分利用整体代换的思想解决问
题.
(2)熟记有关y=Asin(ωx+φ)的奇偶性、单调性及其图象的对称性等重要结论.
典例1 已知函数f(x)=2sin (0<φ<π).
(1)当φ= 时,用“五点法”画出函数f(x)在一个周期内的图象;
(2)若函数f(x)为偶函数,求φ的值;
(3)在(2)的条件下,求函数f(x)在[-π,π]上的单调递减区间.
解析 (1)当φ= 时, f(x)=2sin ,
列表如下:
+ 0 π 2π
x -
f(x)=2sin 0 2 0 -2 0
描点,连线,得到函数f(x)=2sin 在一个周期内的图象,如图所示.
(2)∵函数f(x)为偶函数,
∴φ= +kπ(k∈Z),
∵0<φ<π,∴φ= .
(3)由(2)得, f(x)=2cos .
当x∈[-π,π]时, ∈ ,
易知当 ∈ ,即x∈[0,π]时, f(x)单调递减,∴函数f(x)在[-π,π]上的单调递减区间为[0,π].
典例2 将函数g(x)=2 sin xcos x-2sin2x的图象向左平移φ 个单位长度后得到f(x)的
图象.
(1)若f(x)≤f(0)恒成立,求φ;
(2)若f(x)在 上是单调函数,求φ的取值范围.
解析 ∵g(x)=2 sin xcos x-2sin2x= sin 2x-(1-cos 2x)= sin 2x+cos 2x-1=2sin -1,
∴f(x)=2sin -1.
(1)∵f(x)≤f(0)恒成立,
∴f(0)是函数f(x)的最大值,
故 +2φ= +2kπ,k∈Z,
得φ= +kπ,k∈Z,
∵0<φ≤ ,∴φ= .
(2)∵x∈ ,
∴2x+ +2φ∈ .
令t=2x+ +2φ,
则f(x)在 上是单调函数可转化成h(t)=2sin t-1在 上是单调函数,
∵h(t)=2sin t-1的最小正周期为2π,
∴h(t)=2sin t-1在 上是单调函数.
∵0<φ≤ ,
∴ +2φ∈ , +2φ∈ ,
∵h(t)=2sin t-1在 上是单调函数,
∴
解得 ≤φ≤ ,
∴φ的取值范围为 .
