单元整合练　三角函数图象与性质的应用

单元整合练　三角函数图象与性质的应用
1.已知函数f(x)=sin(x+φ),0<φ<π,若函数f(x)在上存在最大值,但不存在最小值,则φ的取值范围是(　　)
A.　　　　B.　　
C.　　　　D.
2.将函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x-1的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象.若在区间内有g(x1)=g(x2),则f(x1+x2)=(　　)
A.-2　　　　B.-1　　
C.1　　　　D.
3.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,x1,x2是f(x)的两个零点,若x2=4x1,则下列不为定值的量是(　　)
A.φ　　　　B.ω　　
C.ωx1　　　　D.
4.(多选题)如图,函数f(x)=tan(2x+φ)的部分图象与坐标轴分别交于点D,E,F,且△DEF的面积为,则(　　)
A.点D的纵坐标为1
B. f(x)在上单调递增
C.点是f(x)图象的一个对称中心
D. f(x)的图象可由y=tan x的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度得到
5.图1是函数f(x)=cosx的部分图象,经过适当的平移、伸缩变换后,得到g(x)的部分图象(如图2),则(　　)
　　
A.g(x)=f
B.g=-
C.方程g(x)=lox有4个不相等的实数解
D.g(x)>的解集为,k∈Z
6.(多选题)若函数f(cos x)=1-cos nx,n∈Z,则下列说法正确的是(　　)
A.若n=1,则f(sin x)=1-sin x
B.若n=1,则 x∈R, f(cos x)≥0恒成立
C.若n=1,则方程f(sin x)=有8个根
D.若f(sin x)=f(cos x),则n=4k,k∈Z
7.已知f(x)=2sin·cos-2cos2+1(ω>0)满足　　　　　　　　　　　.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同的解,求实数m的取值范围.
从①f(x)的图象与直线y=-2的两个相邻交点之间的距离等于π;②f(x)图象的两个相邻对称中心之间的距离为这两个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答.
8.已知A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ)A>0,ω>0,-<φ<0图象上的任意两点, f(0)=-,且当|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为.
(1)求f的值;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的,再把所得图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间上的值域;
(3)当x∈时,不等式c9.已知函数f(x)=asin2(π-x)-2cos(π+x)-(a∈R),且当x∈时,y=f(x)的最大值为.
(1)求实数a的值;
(2)设函数g(x)=bsin,若对任意的x1∈,总存在x2∈[0,π],使得f(x1)=g(x2),求实数b的取值范围.
答案与分层梯度式解析
单元整合练　三角函数图象与性质的应用
1.D 2.B 3.B 4.AC 5.D 6.ABD
1.D　若0≤x<,则φ≤x+φ<+φ,
因为0<φ<π,函数f(x)在上存在最大值,但不存在最小值,
所以当≤φ<π时,
需满足+φ≤,此时≤φ≤;
当0<φ<时,
需满足-φ<+φ-,此时<φ<.
综上,φ的取值范围是.
故选D.
2.B　f(x)=2cos2x+2sin xcos x-1=sin 2x+cos 2x=2sin,
将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)=2sin=2sin的图象,
当-π≤x≤-时,-≤2x-≤-,
令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),
因此当k=-2时,x=-,且-∈,
所以函数g(x)的图象关于直线x=-对称.
因为在区间内有g(x1)=g(x2),且g(x)的最小正周期T==π,所以x1+x2=-,
故f(x1+x2)=f=2sin
=2sin=2sin=-1.故选B.
3.B　函数f(x)=cos(ωx+φ),ω>0的周期为,
令f(x)=0,可得ωx+φ=kπ+,k∈Z,所以x==,k∈Z,
又ω>0,|φ|<,所以x1=,x2=,
由x2=4x1得=4×,所以φ=,
因此ωx1=·ω=-φ=-=,==2,
∴不为定值的量是ω.故选B.
4.AC　由已知得函数f(x)的周期为,OD=f(0)=tan φ,
因为△DEF的面积为,所以××tan φ=,
所以tan φ=,即点D的纵坐标为tan φ=1,故A正确;
由tan φ=,结合题图可得φ=,故f(x)=tan,当x∈时,2x+∈,而y=tan x在上不具有单调性,故f(x)在上不单调递增,故B错误;
令2x+=,k∈Z,得x=-,k∈Z,
故对任意k∈Z,点都是f(x)图象的对称中心,k=1时,-=,故点是f(x)图象的一个对称中心,故C正确;
将y=tan x图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,可得y=tan 2x的图象,再把得到的图象向左平移个单位长度得到y=tan的图象,故D错误.故选AC.
5.D　A选项,若g(x)=f,则g(0)=f>0,与图2不符合,所以A选项错误.
B选项, f(x)=cos x的图象向右平移1个单位长度得到y=cos=cos=sin x的图象,
再将横坐标缩小为原来的一半,纵坐标不变,得到g(x)=sin πx的图象,
所以g=sin π=sin=sin =,所以B选项错误.
C选项,由g(x)=lox,得sin πx=lox,设h(x)=lox,
则h(1)=0,h(4)=lo4=-1,画出y=g(x)和y=h(x)的图象,如图所示,
由图可知,两个图象有5个交点,所以方程g(x)=lox有5个不相等的实数解,所以C选项错误.
D选项,由g(x)=sin πx>,得2kπ+<πx<2kπ+,k∈Z,得2k+的解集为,k∈Z,所以D选项正确.故选D.
6.ABD　对于A,当n=1时, f(cos x)=1-cos nx=1-cos x,令t=cos x,则f(t)=1-t,t∈[-1,1],所以f(sin x)=1-sin x,故A正确;
对于B,当n=1时, f(cos x)=1-cos x,因为 x∈R,cos x∈[-1,1],所以f(cos x)=1-cos x≥0,故B正确;
对于C,n=1时,由f(sin x)=得1-sin x=,
画出y=1-sin x,y=的图象,如图所示:
由图可得两函数图象有7个交点,
故方程f(sin x)=有7个实数根,故C错误;
对于D,因为sin x=cos,所以 f(sin x)=f=1-cos=1-cos,由于f(cos x)=1-cos nx, f(sin x)=f(cos x),所以cos=cos nx,所以=kπ(k∈Z),所以n=4k,k∈Z,故D正确.故选ABD.
7.解析　(1)f(x)=sin-cos
=sin-cos
=sin+sin=2sin.
若选择①:
由f(x)的图象与直线y=-2的两个相邻交点之间的距离等于π,得函数f(x)的最小正周期T=π,
即=π,所以ω=1,故f(x)=2sin.
若选择②:
由f(x)图象的两个相邻对称中心之间的距离为,得函数f(x)的最小正周期T=π,即=π,
所以ω=1,所以f(x)=2sin.
(2)关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同的解,即sin=在区间[0,m]上有两个不同的解.
当x∈[0,m]时,2x-∈,
结合正弦曲线知≤2m-<,解得≤m<,
即实数m的取值范围为.
8.解析　(1)由可得φ=-,
∵当|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为,∴f(x)的最小正周期T满足T==,即ω=2,
∴f(x)=2sin,∴f=2sin =.
(2)根据已知得g(x)=2sin,
∵x∈,∴4x+∈[-π,π],∴y=g(x)在区间上的值域是[-2,2].
(3)x∈时,2x-∈,
此时f(x)min=-, f(x)max=1,
∵不等式c∴即解得-39.解析　(1)f(x)=asin2(π-x)-2cos(π+x)-=asin2x+2cos x-=a(1-cos2x)+2cos x-=-acos2x+2cos x-a,
x∈时,cos x∈[0,1],令t=cos x,则y=-at2+2t-a,t∈[0,1].
当a=0时,y=2t,因此当t=1时,ymax=2,与题意不符;
当a>0时,若0<<1,即a>1,则当t=时,
ymax=-a+2×-a=-a=,解得a=2或a=-6(舍去);
若≥1,即0当a<0时,<0,因此当t=1时,ymax=-a+2-a=2-a=,解得a=,不符合a<0.
综上,实数a的值为2.
(2)由(1)可知f(x)=-2cos2x+2cos x-,
当t=cos x=时, f(x)max=,
当t=cos x=0或t=cos x=1时, f(x)min=-,所以f(x)在上的值域为,设为A.
当x∈[0,π]时,-≤x-≤,
所以sin∈,
设g(x)在[0,π]上的值域为B,
若对任意的x1∈,总存在x2∈[0,π],使得f(x1)=g(x2),则A B,
当b=0时,B={0},显然不合题意;
当b>0时,B=,则得b≥;
当b<0时,B=,则得b≤-.
综上,实数b的取值范围为∪.
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