第一章 集合与常用逻辑用语 增分测评卷

(
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
(
姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
第一章　集合与常用逻辑用语
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.命题“ x>0,2x+1≥2”的否定为(　　)
A. x>0,2x+1<2　　　　B. x≤0,2x+1<2
C. x≤0,2x+1≥2　　　　D. x>0,2x+1<2
2.下列结论不正确的是(　　)
A.2∈Z　　　　B.{1,2,3} {1,2}　　
C.{1,2}∩ = 　　　　D.N∪R=R
3.已知集合U={x∈N|0A.A∩B={3}　　　　B.A∪B={1,2,3,4,5,6}　　
C. UA={4,5,6,7,8}　　　　D. UB={1,2,7}
4.以下选项中,p是q的充要条件的是(　　)
A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5
B.p:a>2,b<2,q:a>b
C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形
D.p:a≠0,q:关于x的方程ax=1有唯一解
5.下列四个命题是真命题的是(　　)
A. n∈R,n2≥n　　　　B. n∈R, m∈R,m·n=m
C. n∈R, m∈R,m26.对于非空数集M,定义f(M)表示该集合中所有元素的和.给定集合S={1,2,3,4},定义集合T={f(A)|A S,A≠ },则集合T中元素的个数是　(　　)
A.1　　B.10　　C.11　　D.15
7.设S是实数集R的一个非空子集,如果对于任意的a,b∈S(a与b可以相等,也可以不相等),a+b∈S且a-b∈S,则称S是“和谐集”,则下列命题中为假命题的是(　　)
A.存在一个集合S,它既是“和谐集”,又是有限集
B.集合S={x|x=k,k∈Z}是“和谐集”
C.若S1,S2都是“和谐集”,则S1∩S2≠
D.对任意两个不同的“和谐集”S1,S2,总有S1∪S2=R
8.已知A={a1,a2,a3,a4},B={,,},且a1A.8　　B.6　　C.7　　D.4
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知非空集合A,B,C都是R的子集,满足B A,A∩C= ,则(　　)
A.A∪B=A　　　　B.A∩( RC)=A　　
C.B∩C=B　　　　D.B∩( RC)=B
10.已知命题p: x∈[0,],a≥x2,命题q: x∈R,x2+4x+a=0,若命题p与命题q均为真命题,则实数a的取值可能为(　　)
A.　　B.5　　C.　　D.4
11.下列说法正确的有(　　)
A.命题“ x∈R,x2>-1”的否定是“ x∈R,x2≤-1”
B.“|x|>|y|”是“x>y”的必要条件
C.“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负两个根”的充要条件
D.已知集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx-1=0},全集U=R,若A∪( UB)=R,则实数m的取值集合为
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知不等式2x-m≤3成立的一个充分不必要条件是-513.某校有36名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每名学生至多参加两个,已知参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理竞赛的有6人,同时参加物理和化学竞赛的有4人,则同时参加数学和化学竞赛的有　　　　人.
14.设集合M={1,2,3,4,6},S1,S2,…,Sk都是M的含有两个元素的子集,则k=　　　　;若集合A是由S1,S2,…,Sk中的若干个组成的集合,且满足:对任意的Si={ai,bi},Sj={aj,bj}(i≠j,i,j∈{1,2,3,…,k}),都有ai四、解答题(本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)设集合A={x|x2+ax-3=0},B={x|x2-4x+b=0},A∩B={1},C={-3,2}.
(1)求a,b的值及A,B;
(2)求(A∪C)∩(B∪C).
16.(15分)已知集合A={x|-3≤x≤6},B={x|2a-1≤x≤a+1}.
(1)若a=-2,求A∪B;
(2)若A∩B=B,求实数a的取值范围.
17.(15分)已知a,b是实数,求证:a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1.
18.(17分)已知集合A={x|x=m2-n2,m∈Z,n∈Z}.
(1)判断8,9,10是否属于集合A;
(2)若集合B={x|x=2k+1,k∈Z},证明:“x∈A”的充分不必要条件是“x∈B”;
(3)写出所有满足集合A的偶数构成的集合.
19.(17分)非空集合A R+,满足 x∈A,总有 A,记集合T(A)=(x,y)x∈A,y∈A,∈A.
(1)求证: x∈A,(x,x) T(A);
(2)若T(A)中只有1个元素(a,b),求证:a=b2;
(3)若集合A={a,b,c,d,e},且a答案全解全析
1.D　
2.B　A、C、D显然正确;由{1,2} {1,2,3}知B错误.故选B.
3.C　由题意知,U={x∈N|0则A∩B={3},A∪B={1,2,3,4,5,6}, UA={4,5,6,7}, UB={1,2,7}.故选C.
4.D　对于选项A,由3x+2>5得x>1,由-2x-3>-5得x<1,所以p /q,q /p,所以p是q的既不充分也不必要条件;对于选项B,由a>2,b<2得a>b,故p q,当a=1,b=0时,满足a>b,但不满足a>2,故q /p,故p是q的充分不必要条件;对于选项C,易知p /q,q p,故p是q的必要不充分条件;对于选项D,若a≠0,则关于x的方程ax=1有唯一解,若关于x的方程ax=1有唯一解,则a≠0,所以p q,故p是q的充要条件.故选D.
5.B　对于选项A,令n=,则=<,故A错误;
对于选项B,令n=1,则 m∈R,m×1=m成立,故B正确;
对于选项C,令n=-1,则m2<-1显然无实数解,故C错误;
对于选项D,令n=-1,则(-1)2<-1显然不成立,故D错误.故选B.
6.B　由题意知A是S的非空子集.
当A中的元素个数为1时, f(A)可取1,2,3,4;
当A中的元素个数为2时, f(A)可取3,4,5,6,7;
当A中的元素个数为3时, f(A)可取6,7,8,9;
当A中的元素个数为4,即A=S时, f(A)=10.
综上所述,T={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.集合T中有10个元素.故选B.
7.D　如S={0}既是和谐集,又是有限集,故A是真命题;
设x1=k1,x2=k2,k1,k2∈Z,
则x1+x2=(k1+k2)∈S,且x1-x2=(k1-k2)∈S,
∴S={x|x=k,k∈Z}是和谐集,故B是真命题;
任意和谐集中一定含有0,∴S1∩S2≠ ,故C是真命题;
取S1={x|x=2k,k∈Z},S2={x|x=3k,k∈Z},
则S1,S2均是和谐集,但5 S1,5 S2,∴S1∪S2不是实数集,故D是假命题.故选D.
8.A　由a1+a3=0得a1=-a3,所以=,
又a10,
因为A∩B={a2,a3} {,,},所以a2≥0.
①若a2>0,由a2∈Z,得a2≥1,则a4>a3>1,
所以a2≤,a3<=,a4<,
所以>a3>a2,即 {a2,a3},从而{a2,a3}={,},
所以所以a3===,
即a3=0或a3=1,与a3>a2≥1矛盾.
②若a2=0,则a4>a3>a2=0,从而>a4,
所以>a3>a2,即 {a2,a3},从而{a2,a3}={,},
所以a2=0=,a3==,
所以a3=0或a3=1,
又a3>a2=0,所以a3=1,a1=-a3=-1,
则A={-1,0,1,a4},B={1,0,},易得A∪B={-1,0,1,a4,},
所以-1+0+1+a4+=56,
所以a4=7或a4=-8(舍),
所以a3+a4=8,故选A.
9.ABD　作出Venn图,如图所示:
由图可知A∪B=A,A∩( RC)=A,B∩C= ,B∩( RC)=B,因此A、B、D正确,C错误.故选ABD.
10.AD　对于命题p,∵ x∈[0,],a≥x2,
∴a≥=3,∴a≥3.
对于命题q,∵ x∈R,x2+4x+a=0,
∴Δ=42-4a≥0,解得a≤4.
若命题p与命题q均为真命题,则3≤a≤4,结合选项知选AD.
11.AC　对于A,命题“ x∈R,x2>-1”的否定是“ x∈R,x2≤-1”,因此A正确.对于B,由x>y不一定得到|x|>|y|,例如x=-2,y=-3,故“|x|>|y|”不是“x>y”的必要条件,因此B错误.对于C,若x2-2x+m=0有一正一负两个根,则需要满足 m<0,因此“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负两个根”的充要条件,因此C正确.对于D,A={x|x2+x-6=0}={-3,2},要使A∪( UB)=R,则( UA) ( UB),进一步可得B A,因此B= 或B={-3}或B={2},当B= 时,显然满足,此时m=0;当B={-3}时,-3m-1=0 m=-,符合题意;当B={2}时,2m-1=0 m=,符合题意.综上,实数m的取值集合为,因此D错误.故选AC.
12.答案　{m|m≥5}
解析　由2x-m≤3得x≤,由题意得{x|-5所以实数m的取值范围是{m|m≥5}.
13.答案　8
解析　由每名学生至多参加两个竞赛,可知不可能出现一名学生同时参加数学、物理、化学竞赛,
设参加数学、物理、化学竞赛的学生构成的集合分别为A,B,C,
则card(A∩B)=6,card(B∩C)=4,card(A∩B∩C)=0.
由card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)知36=26+15+13-6-card(A∩C)-4+0,
因此card(A∩C)=8,即同时参加数学和化学竞赛的有8人.
14.答案　10;6
解析　集合M的含有两个元素的子集为{1,2},{1,3},{1,4},{1,6},{2,3},{2,4},{2,6},{3,4},{3,6},{4,6},共10个,则k=10.
因为≠,所以{1,2},{2,4},{3,6}中只能取一个,{1,3},{2,6}中只能取一个,{2,3},{4,6}中只能取一个,
故A中元素个数的最大值为6.
15.解析　(1)因为A={x|x2+ax-3=0},B={x|x2-4x+b=0},A∩B={1},
所以(2分)
解得a=2,b=3,(4分)
因此A={x|x2+2x-3=0}={1,-3},B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.(8分)
(2)由(1)得A={1,-3},B={1,3},
又C={-3,2},所以A∪C={1,2,-3},B∪C={1,2,3,-3},(11分)
因此(A∪C)∩(B∪C)={-3,1,2}.(13分)
16.解析　(1)当a=-2时,集合B={x|-5≤x≤-1},(2分)
又A={x|-3≤x≤6},∴A∪B={x|-5≤x≤6}.(5分)
(2)∵A∩B=B,∴B A,(7分)
当B= 时,满足题意,此时2a-1>a+1,解得a>2.(10分)
当B≠ 时,要使B A,则解得-1≤a≤2.(14分)
综上所述,实数a的取值范围是{a|a≥-1}.(15分)
17.证明　充分性:
若a2-b2=1,则a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1,
充分性成立.(7分)
必要性:
若a4-b4-2b2=1,则a4-b4-2b2-1=0,
即a4-(b4+2b2+1)=0,∴a4-(b2+1)2=0,
∴(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0,(10分)
∵a2+b2+1≠0,
∴a2-b2-1=0,(12分)
即a2-b2=1,必要性成立.(14分)
综上,a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1.(15分)
18.解析　(1)∵8=32-1,9=52-42,∴8∈A,9∈A,(2分)
若10=m2-n2,m,n∈Z,则(|m|+|n|)(|m|-|n|)=10,且|m|+|n|>|m|-|n|>0,(4分)
由10=1×10=2×5,得或显然均无整数解,
因此10 A.(6分)
(2)证明:∵2k+1=(k+1)2-k2,k∈Z,
∴2k+1∈A,即一切奇数都属于A,(9分)
又∵8∈A,但8 B,∴“x∈A”的充分不必要条件是“x∈B”.(11分)
(3)由m2-n2=(m+n)(m-n)可得,(13分)
①当m,n同奇或同偶时,m+n,m-n均为偶数,(m+n)(m-n)为4的倍数;　(15分)
②当m,n一奇,一偶时,m+n,m-n均为奇数,(m+n)(m-n)为奇数.
综上,所有满足集合A的偶数构成的集合为{x|x=4k,k∈Z}.(17分)
19.证明　(1)假设 x0∈A,使得(x0,x0)∈T(A),
由题意得x0>0,=1∈A,(2分)
由 x∈A, A,不妨取x=1∈A,得1= A,得出矛盾,
所以假设不成立,故 x∈A,(x,x) T(A).(5分)
(2)由(a,b)∈T(A),得a,b>0,a,b∈A,∈A,(7分)
显然=b,由定义知∈T(A),(9分)
又T(A)中只有一个元素,所以必有(a,b)=,即b=,
所以a=b2.(11分)
(3)易得A的二元子集有{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c},{b,d},{b,e},{c,d},{c,e},{d,e},共10个.由于 x∈A, A,因此1 A,
同时,若(p,q)∈T(A),则∈A,从而 A,所以必有(q,p) T(A),(12分)
因为T(A)中恰有10个元素,所以A的每个二元子集中的元素组成的数对都是T(A)中的一个元素,(14分)
即 p,q∈A,若p≠q,则(p,q)∈T(A)或(q,p)∈T(A),即∈A或∈A,
若a<1所以0当0于是 p,q∈A,若p>q>0,则1<,故 A,所以必有∈A,
此时a<<<<,故a,,,,是A中五个不同的元素,
所以=b,=c,=d,=e,
解得e2=d,e3=c,e4=b,e5=a,因此c2=e6=ae.(16分)
当1于是 p,q∈A,若p>q>0,则1>,故 A,所以必有∈A,
此时<<<所以=a,=b,=c,=d,
解得a2=b,a3=c,a4=d,a5=e,因此c2=a6=ae.
综上所述,c2=ae.(17分)