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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
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全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知命题p: x∈(0,+∞),ln x≥1-,则 p为(　　)
A. x0∈(0,+∞),ln x0<1-　　　　B. x∈(0,+∞),ln x<1-
C. x0∈(0,+∞),ln x0≥1-　　　　D. x (0,+∞),ln x≥1-
2.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且为偶函数,则实数m=(　　)
A.2或-1　　　　B.-1　　
C.4　　　　D.2
3.为了得到y=sin的图象,只需将函数y=sin 5x的图象(　　)
A.向右平移个单位长度　　　　B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度　　　　D.向左平移个单位长度
4.下列函数中最小值为4的是(　　)
A.y=x2+2x+4　　　　B.y=|sin x|+　　
C.y=2x+　　　　D.y=ln x+
5.已知a,b,c∈R,则bA.a->b　　B.a+>b　　C.|a|>|b|　　D.a3>b3
6.已知函数f(x)=sin(ω>0),若f(x)在区间内没有零点,则当ω取最大值时, f=(　　)
A.-　　B.0　　C.　　D.1
7.定义域为R的函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x), f(4)=0,且 x1,x2∈[3,+∞),当x1≠x2时,>0,则不等式(x-3)f(x)<0的解集为(　　)
A.(-∞,2)∪(4,+∞)　　　　B.(2,3)∪(4,+∞)
C.(2,3)∪(3,4)　　　　D.(-∞,2)∪(3,4)
8.已知a=,b=,c=log34,d=log45,则a,b,c,d的大小关系为(　　)
A.b>a>d>c　　B.b>c>a>d　　C.b>a>c>d　　D.a>b>d>c
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列函数中,与函数y=x是同一个函数的是(　　)
A.y=　　B.y=　　C.y=lg 10x　　D.y=10lg x
10.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫做潮.一般地,早潮叫做潮,晚潮叫做汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.已知某港口某一天的水深f(t)(单位:m)与时间t(单位:h)的关系可近似地用函数f(t)=Asin(ωt+φ)+b来表示,函数y=f(t)的图象如图所示,则(　　)
A. f(t)=3sin t+5(0≤t≤24)
B.函数f(t)的图象关于点(12,0)对称
C.当t=5时,水深达到6.5 m
D.已知函数g(t)的定义域为[0,6],g(2t)=f(2t)-n有2个零点t1,t2,则tan =
11.设函数f(x)的定义域为I,若存在x0∈I,使得f(f(x0))=x0,则称x0是函数f(x)的二阶不动点.下列各函数中,有且仅有一个二阶不动点的是(　　)
A. f(x)=x2-x+1　　　　B. f(x)=log2(x+1)
C. f(x)=　　　　D. f(x)=
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知函数f(x),给出三个性质:①f(x)的定义域为(-∞,+∞);②f(x)是奇函数;③f(x)在(0,+∞)上是减函数.写出一个同时满足性质①②③的函数解析式: f(x)=　　　　.
13.设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围为　　　　.
14.声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波,每一个音都是由纯音合成的,纯音的数学模型是函数y=Asin ωπt.某技术人员获取了某种声波,其数学模型记为y=H(t),部分图象如图所示,对该声波进行逆向分析,发现它是由两种不同的纯音合成的,满足H(t)=sin 2πt+sin ωπt(0<ω<8),其中H≈-0.866,则ω=　　　　　.(参考数据:≈1.732)
四、解答题(本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)计算下列各式的值:
(1);
(2)sin 40°(tan 10°-tan 60°).
16.(15分)已知函数f(x)=2sin xsin+cos 2x.
(1)求f(x)的单调递增区间和最值;
(2)若函数g(x)=f(x)-a在x∈上有且仅有两个零点,求实数a的取值范围.
17.(15分)经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位:L)、百公里耗油量W(单位:L)与速度v(单位:km/h)(40≤v≤120)的部分数据关系如表:
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
W 13 9.25
为描述Q与v的关系,现有以下三种模型供选择:①Q(v)=0.5v+a,②Q(v)=av+b,③Q(v)=av3+bv2+cv.
(1)请填写表格空白处的数据,选出你认为最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式;
(2)已知某高速公路共有三条车道,分别是外侧车道、中间车道和内侧车道,车速范围分别是[60,90),[90,110),[110,120](单位:km/h),根据(1)中模型说明该型号汽车在哪条车道以什么速度行驶时W最小.
18.(17分)已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x-1(a∈R).
(1) x∈R, f(x)≤-,求a的取值范围;
(2)若a≤0, x>0,xf(x)≤1,求a的取值范围.
19.(17分)已知定义在R上的函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0≤φ≤,若当x∈(0,7π)时, f(x)只取到一个最大值和一个最小值,且当x=π时,函数取得最大值3;当x=6π时,函数取得最小值-3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)是否存在实数m,满足不等式f()>f() 若存在,求出实数m的取值范围(或值);若不存在,请说明理由;
(3)若将函数f(x)的图象上的所有点保持横坐标不变,纵坐标变为原来的,得到函数g(x)的图象,再将函数g(x)的图象向左平移φ0(φ0>0)个单位长度得到函数h(x)的图象.已知函数F(x)=eg(x)+lg h(x)的最大值为e,求满足条件的φ0的最小值.
答案全解全析
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1.A　
2.D　由幂函数的定义知m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.
因为f(x)为偶函数,所以m2-2m-2为偶数,故m=2.故选D.
3.A　y=sin=sin,所以为了得到y=sin的图象,只需将函数y=sin 5x的图象向右平移个单位长度.故选A.
4.C　对于A,y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以函数的最小值为3,故A不符合题意;
对于B,因为0<|sin x|≤1,所以y=|sin x|+≥2=4,
当且仅当|sin x|=,即|sin x|=2时取等号,因为|sin x|≤1,所以等号取不到,因此y=|sin x|+>4,故B不符合题意;
对于C,因为2x>0,所以y=2x+=2x+≥2=4,
当且仅当2x=2,即x=1时取等号,所以函数的最小值为4,故C符合题意;
对于D,当x=时,y=ln +=-1-4=-5<4,所以函数的最小值不是4,故D不符合题意.
故选C.
5.B　根据题意知,所选条件应满足b对于A,∵a->b,∴a-b>>0,即b对于B,∵a+>b,∴a-b>-,推不出b对于C,由|a|>|b|推不出b对于D,由a3>b3可得b6.C　∵x∈,ω>0,∴ωx-∈.
∵f(x)在区间内没有零点,∴π≥kπ且-≤(k+1)π,k∈Z,解得4k+1≤ω≤2k+,k∈Z.
∵ω>0,∴取k=0,则1≤ω≤,∴ωmax=,此时f(x)=sin,∴f=sin =.故选C.
7.D　因为f(3+x)=f(3-x),所以直线x=3是函数f(x)图象的对称轴.
又因为 x1,x2∈[3,+∞),当x1≠x2时,>0,
所以f(x)在[3,+∞)上单调递增,在(-∞,3]上单调递减.
由f(4)=0得f(2)=0,
所以当x∈(-∞,2)时,x-3<0, f(x)>0,满足(x-3)f(x)<0,
当x∈[2,3]时,x-3≤0, f(x)≤0,不满足(x-3)f(x)<0,
当x∈(3,4)时,x-3>0, f(x)<0,满足(x-3)f(x)<0,
当x∈[4,+∞)时,x-3>0, f(x)≥0,不满足(x-3)f(x)<0,
所以不等式(x-3)f(x)<0的解集为(-∞,2)∪(3,4).故选D.
8.C　a==(2.
函数y=在[0,+∞)上单调递增,<2<3,所以<(2<,即b>a>.
函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,log43>0,log45>0,所以2=log416>log415=log43+log45=+2·>2·,所以log43×log45<1,即log45<=log34,即c>d.
函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增,且4<3,所以log34综上,b>a>>c>d.故选C.
9.AC　y==x,y==|x|,y=lg 10x=x,y=10lg x=x(x>0).故选AC.
10.ACD　由题图知,∴ω=,A=3,b=5.
由“五点作图法”知,×3+φ=,解得φ=0.
∴f(t)=3sin t+5(0≤t≤24),故A正确.
f(12)=5≠0,∴函数f(t)的图象不关于点(12,0)对称,故B错误.
f(5)=3sin +5=+5=6.5,即当t=5时,水深达到6.5 m,故C正确.
∵g(t)的定义域为[0,6],∴0≤2t≤6,解得0≤t≤3.
令g(2t)=f(2t)-n=0,得n=f(2t)=3sin t+5,
∴=sin t(0≤t≤3).
∵t∈[0,π],t1,t2为g(2t)=f(2t)-n的2个零点,
∴t1+t2=×2=π,∴t1+t2=3,∴tan =tan =,故D正确.
故选ACD.
11.AC　若f(x0)=x0,则f(f(x0))=x0,此时二阶不动点x0为y=f(x)的图象与直线y=x交点的横坐标,
若f(x0)=y0,则f(y0)=x0,即(x0,y0),(y0,x0)都在函数y=f(x)的图象上,即y=f(x)的图象上存在两点关于直线y=x对称,此时这两点的横坐标均为二阶不动点.
由题意得,只需y=f(x)的图象与直线y=x的交点个数为1,且y=f(x)的图象上不存在两点关于直线y=x对称.
对于A,令x2-x+1=x,所以x=1,
画出y=x2-x+1与y=x的图象,如图1:
显然,y=x2-x+1的图象上不存在两点关于直线y=x对称,所以f(x)=x2-x+1满足要求,故A正确.
对于B,令h(x)=log2(x+1)-x,其定义域为(-1,+∞),显然h(0)=0,h(1)=0,则0,1均为f(x)=log2(x+1)的二阶不动点,不满足要求,故B错误.
对于C, f(x)==1-的定义域为R,且f(x)单调递增,
由2x>0得2x+1>1,因此0<<1,0在同一平面直角坐标系中画出两函数y=x与y=的图象,如图2:
两函数图象只有1个交点,且f(x)=的图象上不存在两点关于直线y=x对称,所以f(x)=满足要求,故C正确.
对于D,作出函数y=,y=x的图象,如图3:
由图可知,点(0,1)与点(1,0)关于直线y=x对称,函数有两个不同的二阶不动点,不满足要求,故D错误.
故选AC.
12.答案　-x3(答案不唯一)
13.答案　{a|a≤2}
解析　当a>1时,A={x|(x-1)(x-a)≥0}={x|x≤1或x≥a},
∵B={x|x≥a-1},A∪B=R,∴a-1≤1,解得a≤2,∴1当a=1时,A={x|(x-1)2≥0}=R,B={x|x≥0},A∪B=R,符合题意;
当a<1时,A={x|(x-1)(x-a)≥0}={x|x≤a或x≥1},
∵B={x|x≥a-1},A∪B=R,∴a-1≤a,恒成立,∴a<1.
综上,a的取值范围为{a|a≤2}.
14.答案　3
解析　由H(t)=sin 2πt+sin ωπt(0<ω<8)且H≈-0.866,得H=sin+sin=sin +sin ω=-+sin ω≈-0.866,因为≈1.732,所以≈0.866,所以sin ω=0.
由题图知,H(1)=sin 2π+sin ωπ=sin ωπ=0,
故ωπ=kπ,k∈Z,即ω=k,k∈Z.
因为0<ω<8,且sin ω=0,
所以ω=3或ω=6.
由题图知,1不是H(t)的周期.
当ω=6时,H(t)=sin 2πt+sin 6πt,此时H(t+1)=sin[2π(t+1)]+sin[6π(t+1)]=sin 2πt+sin 6πt=H(t),周期为1,不符合题意.
当ω=3时,H(t)=sin 2πt+sin 3πt,此时H(t+1)=H(t)不恒成立,满足题意.
综上,ω=3.
15.解析　(1)因为tan 60°=tan(20°+40°)==,(2分)
所以tan 20°+tan 40°=-tan 20°tan 40°,
即tan 20°+tan 40°-=-tan 20°tan 40°,(4分)
所以===-.(6分)
(2)sin 40°(tan 10°-tan 60°)=sin 40°×
=sin 40°×(9分)
=-=-=-=-1.(13分)
16.解析　(1)f(x)=2sin xsin+cos 2x=2sin x+cos 2x=sin2x+sin 2x+cos 2x=+sin 2x+cos 2x=sin 2x+cos 2x+=sin+.(4分)
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(6分)
易得f(x)的最大值为,最小值为-.(8分)
(2)若函数g(x)=f(x)-a在x∈上有且仅有两个零点,
则函数y=f(x),x∈与y=a的图象有2个交点.(11分)
由(1)可得,当x∈时, f(x)在上单调递增,在上单调递减,(13分)
又f(0)=1, f =, f =0,
所以实数a的取值范围为.(15分)
17.解题要点　每小时耗油量Q(单位:L)、百公里耗油量W(单位:L)与速度v(单位:km/h)(40≤v≤120)三者的关系是W=×Q.
解析　(1)由题意得W=×Q,填表如下:
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
W 13 10 9.25 10 13
(3分)
由表可得,符合的函数模型应为增函数,所以模型①不符合.(5分)
若选择模型②,将(40,5.2),(60,6)代入,得解得所以Q(v)=0.04v+3.6,此时Q(90)=7.2,Q(100)=7.6,Q(120)=8.4,与实际数据相差较大,所以模型②不符合.(8分)
经观察,函数模型③最符合实际.
将(40,5.2),(60,6),(100,10)代入,得解得所以Q(v)=0.000 025v3-0.004v2+0.25v.(11分)
(2)由(1)得W=×Q=0.002 5v2-0.4v+25=0.002 5(v-80)2+9,(13分)
所以当v=80时,W取得最小值9,
所以该型号汽车在外侧车道以80 km/h的速度行驶时W最小.(15分)
18.解析　(1)由题意知, x∈R,f(x)≤-,即 x∈R,ax2-(2a+1)x-≤0.(2分)
当a=0时,-x-≤0不恒成立,不符合题意.(4分)
当a≠0时,需满足(7分)
解得-1≤a≤-.
综上,a的取值范围为.(8分)
(2)由题意知, x>0,xf(x)≤1,即x[ax2-(2a+1)x-1]≤1,
即ax2-2ax-1≤x+.(10分)
当a=0时,-1≤x+,显然成立.(12分)
当a<0时,设h(x)=ax2-2ax-1,
其图象开口向下,对称轴为直线x=1,所以h(x)≤h(1)=-1-a.
因为x>0,所以x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立,所以x+的最小值为2.
所以-1-a≤2,解得a≥-3,所以-3≤a<0.(15分)
综上,a的取值范围为[-3,0].(17分)
19.解析　(1)根据题意,得f(x)max=f(π)=3, f(x)min=f(6π)=-3,因为当x∈(0,7π)时, f(x)只取到一个最大值和一个最小值,所以最小正周期T==2×(6π-π)=10π,所以A=3,ω=.(3分)
由“五点作图法”知×π+φ=,所以φ=,(4分)
所以f(x)=3sin.(5分)
(2)根据题意得解得-1≤m≤2.(7分)
因为-m2+2m+3=-(m-1)2+4≤4,所以0≤≤2.
同理,0≤≤2.
所以≤+≤+<π,≤+≤+<π,
易知函数f(x)在区间[-4π,π]上单调递增,
所以f()>f()等价于>,解得m>.(10分)
综上,存在m∈,使不等式f()>f()成立.(11分)
(3)根据题意,得g(x)=sin,h(x)=sin.(13分)
因为函数y=ex与函数y=lg x均为增函数,且-1≤g(x)≤1,0所以当g(x)=sin=1与h(x)=sin=1同时成立时,函数F(x)取得最大值e.(15分)
由g(x)=sin=1,得x+=+2kπ,k∈Z,
又h(x)=sin=sin=1,k∈Z,
所以cos φ0=1,
所以φ0=2kπ,k∈Z,所以φ0=10kπ,k∈Z.
又因为φ0>0,所以φ0的最小值为10π.(17分)