第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合
1.1.1 集合及其表示方法
基础过关练
题组一 集合的定义与元素的特点
1.下列各组对象不能构成集合的是( )
A.参加杭州亚运会的全体乒乓球选手
B.小于的正整数
C.2023年高考数学试卷上的难题
D.所有无理数
2.下列说法中正确的是( )
①0与{0}表示同一个集合;
②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};
③单词book的所有字母组成的集合中的元素共有4个;
④10以内的素数组成的集合是{0,2,3,5,7}.
A.①④ B.②③ C.② D.②④
3.若a,b,c,d为集合A中的四个元素,则以a,b,c,d为边长构成的四边形可能是( )
A.矩形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形
4.若有一集合含且仅含三个元素:1,x,x2-x,则实数x的取值范围是 .
题组二 集合的分类与集合相等
5.下列四个集合是空集的是( )
A.{x|x+3=3} B.{x|x2+4=0} C.{x|x2-1=0} D.{x|x<0}
6.下列集合中与集合S={2,3}相等的是( )
A.{(2,3)} B.{(x,y)|x=2,y=3}
C.{x|x2-5x+6=0} D.{x=2,y=3}
7.(多选题)下列说法中错误的是( )
A.{0}是空集
B.若a∈N,则-a N
C.集合{x∈R|x2-2x+1=0}中只有一个元素
D.集合是有限集
题组三 元素与集合的关系
8.下列说法正确的个数为( )
①∈Q;②∈N*;③-1∈N;④2+∈Q;⑤ Z.
A.1 B.2 C.3 D.4
9.若集合M中的元素x满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是( )
A.-1 M B.-11∈M C.3k2-1∈M D.-34 M
10.(多选题)设集合A={-1,1+a,a2-2a+5},若4∈A,则a的值可能为( )
A.-1 B.0 C.1 D.3
11.设P,Q为两个非空实数集,定义集合A={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则A中元素的个数是 .
12.已知集合A中元素满足2x+a>0,a∈R,若1 A,2∈A,则a的取值范围为 .
题组四 集合的表示
13.集合M=中元素的个数为( )
A.4 B.5 C.10 D.12
14.(多选题)下列说法中正确的是( )
A.方程+|y+2|=0的解组成的集合为{2,-2}
B.由(a,b∈R)所确定的实数组成的集合为{-2,0,2}
C.集合{(x,y)|3x+2y=16,x∈N,y∈N}即为{(0,8),(2,5),(4,2)}
D.集合A=中含有三个元素
15.将表示成小数,则构成这个小数的所有数字组成的集合用列举法表示为 .
16.用适当的方法表示下列集合:
(1)不大于8的非负偶数组成的集合;
(2)直线y=2x+1与y轴的交点坐标组成的集合;
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
17.用适当的方法表示下列集合:
(1)所有能被3整除的数组成的集合;
(2)图中阴影部分的点(含边界)的坐标组成的集合;
(3)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值组成的集合B.
题组五 区间及其表示
18.区间(0,1]等于 ( )
A.{0,1} B.{(0,1]} C.{x|0
19.(多选题)下列集合写成区间的形式后含有“∞”的是( )
A. B.{x|1C. D.{x|2≤x≤8}
20.若区间[2,a]的长度不超过5,则实数a的取值范围用区间表示为 .
21.用区间表示下列集合:
(1);
(2){x|x<1};
(3){x|x≥4}.
能力提升练
题组一 集合中元素的特性
1.由实数x,-x,|x|,组成的集合中最多含有 ( )
A.2个元素 B.3个元素 C.4个元素 D.5个元素
2.若集合{a,b,c,d}与{1,2,3,4}相等,且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4中有且只有一个是正确的,则符合条件的所有有序数组(a,b,c,d)的个数是 .
题组二 元素与集合的关系
3.(多选题)已知集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)|y=x2+1},则下列关系正确的是( )
A.(1,2)∈B B.A=B C.0 A D.2∈B
4.(多选题)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},
B={x|x=3k,k∈Z},C={x|x=6k-1,k∈Z}.若a∈A,b∈B,c∈C,则下列结论中一定正确的是( )
A.c-b∈A B.a-c∈B C.a+b∈C D.a+b+c∈B
5.设A为实数集,且满足条件:若a∈A,则∈A(a≠0,1).
(1)若3∈A,试求出A中必含有的其他所有元素;
(2)求证:若a∈A,则1-∈A;
(3)集合A是不是单元素集 如果是,给出证明;如果不是,请说明理由.
题组三 集合的综合问题
6.设x1,x2,x3,x4是4个正整数,从中任取3个数求和所构成的集合为{25,26,27},则这4个数中最小的数为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
7.已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}.
(1)若A是空集,求a的取值范围;
(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;
(3)若A中至少有一个元素,求a的取值范围.
题组四 集合的新定义问题
8.用C(A)表示非空集合A中的元素个数,定义A*B=若A={0,1},B={x|x(x+a)(x2+ax+1)=0},且A*B=1,设实数a的所有可能取值组成的集合是S,则C(S)=( )
A.1 B.3 C.5 D.7
9.对于任意两个正整数,定义运算 :当m,n都是正偶数或都是正奇数时,m n=m+n;当m,n一个为正偶数,另一个为正奇数时,m n=m×n.例如4 6=4+6=10,3 7=3+7=10,3 4=3×4=12.在上述定义中,集合M={(a,b)|a b=12,a,b∈N*}中的元素有 个.
答案与分层梯度式解析
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合
1.1.1 集合及其表示方法
基础过关练
1.C 2.C 3.D 5.B 6.C 7.ABD 8.B 9.C
10.CD 13.D 14.BC 18.C 19.AC
1.C
2.C ①中“0”不能表示集合,而“{0}”表示集合,故①错误;根据集合中元素的无序性可知②正确;根据集合中元素的互异性可知③错误;0不是素数,故④错误.故选C.
3.D 因为集合中的元素具有互异性,所以a,b,c,d互不相等.又矩形、平行四边形、菱形均有相等的边,梯形的四条边可以不相等,所以以a,b,c,d为边长构成的四边形可能是梯形.故选D.
4.答案 xx≠0,1,2,
解析 由集合中元素的互异性可得x≠1,x2-x≠1,x2-x≠x,解得x≠0,1,2,.
5.B 集合{x|x+3=3}={0}≠ ;集合{x|x2+4=0}表示方程x2+4=0的实数根组成的集合,而方程x2+4=0无实数根,所以该集合为空集;集合{x|x2-1=0}={-1,1};集合{x|x<0}表示小于0的实数组成的集合.故选B.
6.C 集合S是由数字2和3组成的集合.
对于A,B,集合中的元素都代表点(2,3),与集合S中的元素不同,A,B错误;
对于C,由x2-5x+6=0得x=2或x=3,与集合S中的元素相同,C正确;
对于D,该集合是由两个等式组成的集合,与集合S中的元素不同,D错误.故选C.
7.ABD 对于A,{0}中含有一个元素0,所以{0}不是空集,故A中说法错误;
对于B,当a=0时,a∈N,且-a∈N,故B中说法错误;
对于C,{x∈R|x2-2x+1=0}={x∈R|(x-1)2=0}={1},该集合中只有一个元素,故C中说法正确;
对于D,Q表示有理数,包括整数和分数,当x为正整数的倒数时,都有∈N,此时集合是无限集,故D中说法错误.故选ABD.
8.B 是有理数,故①正确;不是正整数,故②错误;-1不是自然数,故③错误;2+不是有理数,故④错误;不是整数,故⑤正确.综上可知,正确的说法有2个.故选B.
9.C 令3k-1=-1,解得k=0∈Z,∴-1∈M,故A不正确;令3k-1=-11,解得k=- Z,∴-11 M,故B不正确;∵k∈Z,∴k2∈Z,∴3k2-1∈M,故C正确;令3k-1=-34,解得k=-11∈Z,∴-34∈M,故D不正确.故选C.
10.CD ∵4∈A,∴1+a=4或a2-2a+5=4,
∴a=3或a=1.
当a=3时,A={-1,4,8},符合题意;
当a=1时,A={-1,2,4},符合题意.故选CD.
归纳升华 当集合中的元素含有变量时,求得结果后,一般还要检验所求变量的值能否使集合满足元素的互异性.
11.答案 8
解析 因为集合A={a+b|a∈P,b∈Q},P={0,2,5},Q={1,2,6},0+1=1,0+2=2,0+6=6,2+1=3,2+2=4,2+6=8,5+1=6,5+2=7,5+6=11,所以集合A中的元素有1,2,3,4,6,7,8,11,共8个.
12.答案 (-4,-2]
解析 ∵1 A,2∈A,∴解得-413.D ∵x∈Z,y∈Z,y=,∴x+3的值可取±1,±2,±3,±4,±6,±12,∴x的值可取-2,-4,-1,-5,0,-6,1,-7,3,-9,9,-15,共12个.故选D.
14.BC 对于A,方程+|y+2|=0的解为其组成的集合为{(2,-2)},故A错误.
对于B,由(a,b∈R)知a≠0,b≠0,
当a,b同为正数时,=2;
当a,b一正一负时,=0;
当a,b同为负数时,=-2.
故由(a,b∈R)所确定的实数组成的集合为{-2,0,2},故B正确.
对于C,由3x+2y=16,得y=,又x∈N,y∈N,所以x的取值为0,2,4,
当x=0时,y=8;当x=2时,y=5;当x=4时,y=2,故集合{(x,y)|3x+2y=16,x∈N,y∈N}即为{(0,8),(2,5),(4,2)},故C正确.
对于D,因为∈N,a∈Z,所以3-a的值可能为1,2,3,6,所以a的值为2,1,0,-3,
故A=={-3,0,1,2},共含有4个元素,故D错误.
故选BC.
15.答案 {1,2,5,6}
解析 因为=1.562 5,所以构成这个小数的所有数字组成的集合为{1,2,5,6}.
16.解析 (1)不大于8的非负偶数组成的集合是{0,2,4,6,8}.
(2)将x=0代入y=2x+1,得y=1,故直线y=2x+1与y轴的交点坐标是(0,1),故直线y=2x+1与y轴的交点坐标组成的集合是{(0,1)}.
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.
17.解析 (1){x|x=3n,n∈Z}.
(2)(x,y)-1≤x≤2,-≤y≤1,且xy≥0.
(3)因为x=|x|,所以x≥0.
又因为x∈Z,所以x∈N,故B={x|x∈N}.
18.C
19.AC ;{x|1;{x|2≤x≤8}=[2,8].
20.答案 (2,7]
解析 由题意可知所以221.解析 (1).
(2){x|x<1}可表示为(-∞,1).
(3){x|x≥4}可表示为[4,+∞).
能力提升练
1.A 3.AC 4.AB 6.C 8.B
1.A ∵=-x,|x|=±x,∴由实数x,-x,|x|,组成的集合中最多含有2个元素.故选A.
2.答案 6
解析 若仅有①正确,则a=1,b=1,c≠2,d=4,此时a=b,不满足集合中元素的互异性,故①不正确;
若仅有②正确,则a≠1,b≠1,c≠2,d=4,此时有(2,3,1,4),(3,2,1,4)两种情况;
若仅有③正确,则a≠1,b=1,c=2,d=4,此时仅有(3,1,2,4)一种情况;
若仅有④正确,则a≠1,b=1,c≠2,d≠4,此时有(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2)三种情况.
综上,符合条件的所有有序数组(a,b,c,d)的个数是6.
方法技巧 先用肯定条件确定参数的值,再用否定条件进行讨论.
3.AC 点(1,2)在函数y=x2+1的图象上,所以(1,2)∈B,故A正确;集合A为数集,集合B为点集,所以A≠B,故B错误;集合A={y|y=x2+1}=[1,+∞),所以0 A,故C正确;集合B为点集,所以2 B,故D错误.故选AC.
4.AB 由题意可设a=3m-1,b=3n,c=6p-1,m,n,p∈Z,
则c-b=3(2p-n)-1∈A,a-c=3(m-2p)∈B,a+b=3(m+n)-1∈A,当m+n不是偶数时,a+b C,a+b+c=3(m+n+2p)-2 B,故选AB.
5.解析 (1)因为3∈A,所以∈A,
所以∈A,所以=3∈A,
所以A中必含有的元素为-,3.
(2)证明:若a∈A,则∈A,
所以∈A.
(3)不是.证明如下:
若A为单元素集,则a=,
即a2-a+1=0,方程无解,
所以a≠,所以集合A不可能是单元素集.
6.C 从4个正整数中任取3个数求和后可得4个和,则这4个和之和为3(x1+x2+x3+x4),必为3的倍数,
又27÷3=9,25÷3=8……1,26÷3=8……2,
所以这4个和为25,26,27,27,
则x1+x2+x3+x4=×(25+26+27+27)=35,
而35-25=10,35-26=9,35-27=8,
所以这4个数分别为8,8,9,10,
所以这4个数中最小的数为8.故选C.
7.解析 (1)若A是空集,则a≠0且Δ=9-8a<0,解得a>,所以a的取值范围为.
(2)当a=0时,集合A={x|-3x+2=0}=,符合题意;
当a≠0时,由A中只有一个元素,得方程ax2-3x+2=0有两个相等的实数根,故Δ=9-8a=0,解得a=,此时集合A=.
综上可知,a的值为0或,当a=0时,元素为,当a=时,元素为.
(3)结合(2)可知,当a=0时,A=,符合题意;
当a≠0时,若A中至少有一个元素,则方程ax2-3x+2=0有实数根,故Δ=9-8a≥0,
解得a≤.
综上可知,若集合A中至少有一个元素,则a的取值范围为.
8.B ∵A={0,1},A*B=1,∴C(B)=3或C(B)=1.当a=0时,B={x|x2(x2+1)=0}={0},C(B)=1,满足题意.当a≠0时,必有C(B)=3,则关于x的方程x2+ax+1=0有两个相等的实数根,故Δ=a2-4×1×1=0,解得a=±2,当a=2时,B={x|x(x+2)(x2+2x+1)=0}={-2,-1,0},满足题意,当a=-2时,B={x|x(x-2)·(x2-2x+1)=0}={0,1,2},满足题意.综上,S={-2,0,2},所以C(S)=3,故选B.
9.答案 15
解析 若a,b都是正偶数或都是正奇数,则由a b=12,得a+b=12,又a,b∈N*所以a可以为1,2,3,…,11,与之相对应的b为11,10,9,…,1,共11种情况;若a,b一个为正偶数,另一个为正奇数,则由a b=12,得ab=12,又a,b∈N*,所以a可以为1,3,4,12,与之相对应的b为12,4,3,1,共4种情况,所以集合M中的元素共有11+4=15个.(共14张PPT)
1.1 集合
知识 清单破
1.1.1 集合及其表示方法
知识点 1 集合
1.集合的定义:把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起,就说由这些对象组成一个集合
(有时简称为集).组成集合的每个对象都是这个集合的元素.
2.元素与集合的关系:a属于集合A,用符号表示为a∈A;a不属于集合A,用符号表示为a A.
3.集合中元素的特点:确定性,互异性和无序性.若两个集合中的元素完全相同,则称它们相等.
4.集合的分类
有限集:含有有限个元素的集合;
无限集:含有无限个元素的集合.
把不含任何元素的集合称为空集,记作 ,所以空集是有限集.
知识点 2 几种常见的数集
常见的 数集 自然 数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集
符号 表示 N N+或N* Z Q R
1.列举法:把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在大括号内,以此来
表示集合的方法称为列举法.
2.描述法:一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都
不具有这个性质,则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.此时,集合A可以用它的特征性质p(x)
表示为{x|p(x)}.这种表示集合的方法称为特征性质描述法,简称为描述法.
知识点 3 集合的表示方法
设a,b是两个实数,且a知识点 4 区间及其表示
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b]
{x|a≤x{x|a{x|a定义 名称 符号 数轴
{x|x≥a} 半开半闭区间 [a,+∞)
{x|x>a} 开区间 (a,+∞)
{x|x≤a} 半开半闭区间 (-∞,a]
{x|x续表
1.某班个子很高的女生可以组成一个集合. ( )
2.集合{x∈N*|x<5}是用描述法表示的一个集合. ( )
3. {x||x|<2}. ( )
4.{x|x2=4}={-2,2}. ( )
5.任何集合都可以用区间来表示. ( )
6.由1,1,2,2,3,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,2,3,3}. ( )
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
√
√
疑难 情境破
讲解分析
疑难 1 集合中元素的特点
1.确定性——集合中的元素必须是确定的,不能确定的对象不能组成集合,即给定一个集合,
任何对象是不是这个集合的元素,应该可以明确地判断出来.
2.互异性——对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的.集合中的任意两个元素必须
都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素.
3.无序性——集合中的元素可以任意排列.元素相同但排列顺序不同的集合是相等的集合.
典例 已知集合A中仅含有a+1,3a,a2+1三个元素,若1∈A,求实数a的值.
解析 若a+1=1,则a=0,3a=0,a2+1=1,不满足集合中元素的互异性,舍去;
若3a=1,则a= ,a+1= ,a2+1= ,符合题意;
若a2+1=1,则a=0,a+1=1,3a=0,不满足集合中元素的互异性,舍去.
综上所述,实数a的值为 .
1.方法的选择
元素个数少或者元素个数多但是有规律时可考虑用列举法;元素个数多且有公共属性或
者不宜列举时可考虑用描述法.
2.用列举法表示集合时的省略
元素个数多或元素个数无限时,在不发生误解的情况下,可按照规律列出几个元素作为
代表,其他元素用省略号表示.如从1到1 000的所有自然数组成的集合可以表示为{1,2,3,…,1
000},自然数集N可以表示为{0,1,2,3,…}.
3.用描述法表示集合时的注意事项
(1)写清楚集合中的代表元素及其范围,如数或点等;
(2)用于描述共同属性内容的语言要力求简洁、准确;
(3)所有描述的内容都要写在“{}”内,且“{}”内不能出现“所有”“全体”等词语.
讲解分析
疑难 2 集合的表示方法
典例 用适当的方法表示下列集合.
(1)被3除余2的自然数组成的集合;
(2)方程(x+1)(x2-2)=0的解组成的集合;
(3)平面直角坐标系内第二象限的所有点组成的集合;
(4)已知集合A= ,用列举法表示集合A.
思路点拨 (1)类比奇数可表示为2k+1,k∈Z的方法.(2)求出方程的解后用列举法表示.(3)结
合平面直角坐标系中第二象限内点的坐标的符号特征表示.(4)结合集合A中元素满足的共同
特征写出 的可能取值,进而用列举法表示.
解析 (1)被3除余2的自然数可表示为3k+2,k∈N,用集合表示为{x|x=3k+2,k∈N}.
(2)解方程(x+1)(x2-2)=0得x=-1或x=± ,则该方程的解组成的集合为{-1,- , }.
(3)用有序实数对(x,y)作为代表元素,则用描述法表示此集合为{(x,y)|x<0且y>0}.
(4)∵ ∈N,∴8-x可取的值有1,2,4,8,16,∴x的可能取值为7,6,4,0,-8,
又x∈N,∴x可取7,6,4,0,
∴ 可取16,8,4,2,∴A={2,4,8,16}.
求解含参数的集合问题时,若参数的取值对解题有影响,则需对参数进行分类讨论.
(1)对参数进行准确的逻辑划分:如在研究方程ax+b=0或ax2+bx+c=0时,要分a=0和a≠0讨论.
(2)求参数的值或范围:先利用条件列出含参数的等式(或不等式),再求值(或范围),最后检验参
数的值是否符合题意.
讲解分析
疑难 3 集合中含参数问题的解法
典例 已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}.
(1)若A中只有一个元素,求a的值;
(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围;
(3)若A中至少有一个元素,求a的取值范围.
思路点拨 对参数a分类讨论:a=0 一元一次方程 直接求解;a≠0 一元二次方程
运用判别式Δ求解.
解析 (1)当a=0时,方程ax2+2x+1=0即2x+1=0,解得x=- ,符合题意;
当a≠0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,若A中只有一个元素,则该方程有两个相等的实数
解,由Δ=4-4a=0得a=1,此时方程的解为x1=x2=-1,符合题意.
故当a=0或a=1时,A中只有一个元素.
(2)若A中至多有一个元素,则A中只有一个元素或没有元素.
若A中没有元素,则方程ax2+2x+1=0无实数解,
则 解得a>1.
故结合(1)知,当a=0或a≥1时,A中至多有一个元素.
(3)A中至少有一个元素,即A中有一个或两个元素,当A中有两个元素时,方程ax2+2x+1=0有两
个不相等的实数解,则 解得a<1且a≠0,结合(1)可知当a≤1时,A中至少有一个元素.