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知识点 1 交集
知识 清单破
1.1.3 集合的基本运算
概念 给定两个集合A,B,由既属于A又属于B的所
有元素(即A和B的公共元素)组成的集合,称
为A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”)
图示
运算 性质 (1)A∩B=B∩A;(2)A∩A=A;
(3)A∩ = ;(4)A B A∩B=A
知识点 2 并集
概念 给定两个集合A,B,由这两个集合的所有元素
组成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B(读
作“A并B”)
图示
运算 性质 (1)A∪B=B∪A;
(2)A∪A=A;
(3)A∪ =A;
(4)A B A∪B=B
在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这
个给定的集合为全集.全集通常用U表示.
知识点 3 全集
知识点 4 补集
概念 如果集合A是全集U的一个子集,则由U中不属于A的所有元素组成的集合,称为A在U中的补集,记作 UA
图示
运算性质 UA U, UU= , U =U, U( UA)=A,A∪( UA)=U,A∩( UA)=
1. U(A∩B)=( UA)∪( UB).
2. U(A∪B)=( UA)∩( UB).
知识点 5 德·摩根定律
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.集合A={1,2,3,4},B={0,2,3},则A∪B={1,2,3,4,0,2,3}. ( )
2.若A∩B=C∩B,则A=C. ( )
提示
设A={0,1},B={1},C={1,2},则A∩B=C∩B,但A≠C.
3.两个集合的并集中元素的个数一定大于这两个集合的交集中元素的个数. ( )
提示
如A∪A=A∩A,两者元素个数相同.
4.无理数集就是有理数集的补集. ( )
5.全集是由任何元素组成的集合. ( )
6.不同的集合在同一个全集中的补集也不同. ( )
√
7.研究A在U中的补集时,A中可以有不属于U的元素. ( )
疑难 情境破
疑难 1 利用集合的运算性质求参数的值或取值范围
讲解分析
1.将集合的运算关系转化为两个(或多个)集合之间的关系.若集合中的元素能被一一列举,则
可用观察法得到不同集合之间的关系;若集合与不等式有关,则可利用数轴得到不同集合之
间的关系.
2.将集合之间的关系用方程(组)或不等式(组)表示出来.
3.对于涉及A∪B=A或A∩B=B的问题,可利用集合的运算性质,转化为集合A与B之间的关系
求解,注意空集的特殊性.
典例 (1)设集合M={x|-2
(2)设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},求使A (A∩B)成立的实数a的取值范围.
解析 (1)由M∪N=M得N M.
当N= 时,2t+1≤2-t,解得t≤ ,
此时M∪N=M成立;
当N≠ 时,结合数轴可得
解得
综上所述,实数t的取值范围是{t|t≤2}.
(2)由A (A∩B),得A B.
当A= 时,2a+1>3a-5,解得a<6,符合题意.
当A≠ 时, 解得6≤a≤9.
综上,使A (A∩B)成立的实数a的取值范围为{a|a≤9}.
对于一些比较复杂、比较抽象、难以从正面入手的数学问题,在解题时可以调整思路,
从问题的反面入手,探求已知和未知的关系,这时能起到化难为易、化隐为显的作用,从而将
问题解决,这就是“正难则反”的解题策略.这种“正难则反”的策略运用的是“补集思
想”,即已知全集U,求其子集A时,若直接求A较困难,则可先求 UA,再由 U( UA)=A求A.
(1)运用“补集思想”解题的方法一般适用于正面考虑的情况较多、较复杂的问题,如至
多、至少、存在唯一、不存在等问题.
(2)用“补集思想”解含参问题的步骤:
①否定已知条件,考虑问题的反面;
②求问题的反面对应的参数的集合;
疑难 2 “补集思想”的应用
讲解分析
③求问题的反面对应的参数的集合的补集,注意全集的范围.
典例 已知集合A={x|x2+ax+1=0},B={x|x2+2x-a=0},C={x|x2+2ax+2=0}.若三个集合中至少有一
个集合不是空集,求实数a的取值范围.
思路点拨 假设三个集合均为空集,求得a的取值集合 其补集满足题目要求.
解析 假设三个集合都是空集,即三个方程均无实根,则有 即
解得- 少有一个集合不是空集.
∴a的取值范围为{a|a≤- 或a≥-1}.
1.利用新定义可将问题转化为集合的交集、并集问题.
2.利用集合的交集、并集运算时的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合,可直接根据集合的交集、并集的定义求解,但要注意集合中元
素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合,进行交集、并集运算时,可借助数轴求解,但要注意端点值能否
取到.
疑难 3 集合的新定义问题
讲解分析
典例 对任意两个集合M,N,定义运算“-”:M-N的运算结果为维恩图中阴影部分表示的集合,
定义运算“△”:M△N=(M-N)∪(N-M).若M={y|y=x2,x∈R},N={x|-3≤x≤3},则M△N=
.
{x|-3≤x<0或x>3}
思路点拨 明确集合M,N中元素满足的条件,通过分析维恩图,理解“-”的意义,即有M-N=
M(M∩N),N-M= N(N∩M),然后按照“△”的运算规则计算即可.
解析 由题意,得M={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0},
∵N={x|-3≤x≤3},
∴M∩N=N∩M={x|0≤x≤3},
∴M-N= M(M∩N)={x|x>3},
N-M= N(N∩M)={x|-3≤x<0}.
又∵M△N=(M-N)∪(N-M),
∴M△N={x|-3≤x<0或x>3}.
在研究集合时,会遇到有关集合中元素个数的问题.我们把有限集合A中的元素个数记作
card(A).例如,A={a,b,c},则card(A)=3.
一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),如图1.
对于三个有限集合A,B,C,它们的并集中元素的个数公式是card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)
+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C),如图2.
疑难 4 有限集合的并集中元素的个数
典例 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商
品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店这
三天售出的商品最少有 ( )
A.25种 B.27种
C.29种 D.31种
C
解析 因为前两天都售出的商品有3种,所以第一天售出且第二天没有售出的商品有19-3=16(种);
同理,第三天售出的商品中有14种第二天未售出.
当三天售出的商品种数最少时,第一天和第三天售出的商品的种类重合的最多,设第一天、
第二天和第三天售出的商品种类构成的集合分别为A,B,C,则商品种类最少时,如图所示,商品
种类总数是19+13-3=29.
1.1.3 集合的基本运算
第1课时 交集、并集
基础过关练
题组一 集合的交集运算
1.已知集合A={x∈N|x≤3},B={-1,0,1,3,5},则A∩B=( )
A.{1,3} B.{0,1,3} C.{-1,0,1,3} D.{x|x≤3}
2.已知集合A={x|-1A.[0,1) B.(-1,2] C.(1,2] D.(0,1)
3.已知集合A={(x,y)|y=x+2},B={(x,y)|y=x2},则A∩B=( )
A.(-1,1)∪(2,4) B.{(-1,1),(2,4)}
C.{(2,4)} D.
4.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=( )
A. B.S C.T D.Z
题组二 集合的并集运算
5.已知集合A={x∈Q|(x-},则A∪B=( )
A.{-1,1,}
C.{1,} D.{1}
6.若集合M={x|-4≤x<3},N={x|1A.(-3,7) B.[-4,4] C.(-1,5) D.(-1,5]
7.已知集合M={x|-35},则M∪N=( )
A.{x|x<-5或x>-3} B.{x|-5C.{x|-35}
题组三 与交集、并集相关的参数问题
8.(多选题)设集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|ax-1=0},若A∩B=B,则实数a的值可以为( )
A.
9.已知集合A={x|x≤-1或x≥3},B={x|aA.3≤a<4 B.-110.设集合A={x2+1,3x-1,-3},B={x-6,2-x,5},若A∩B={5},则x= .
11.已知集合A={x|-3≤x≤7},B={x|2m-1≤x≤2m+1},若A∪B=A,则实数m的取值范围是 .
12.设A={x|2x2-px+q=0},B={x|6x2+(p+2)x
+5+q=0},若A∩B=,则p+q= ,A∪B= .
13.已知集合A={x|-2(1)若a=4,求A∩B;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
1.1.3 集合的基本运算
第1课时 交集、并集
基础过关练
1.B 2.A 3.B 4.C 5.B 6.B 7.A 8.ABD
9.C
1.B ∵A={x∈N|x≤3}={0,1,2,3},B={-1,0,1,3,5},∴A∩B={0,1,3}.故选B.
2.A 在数轴上表示出集合A与集合B,如图所示.
由图可知,A∩B=[0,1),故选A.
3.B 由消去y,得x2-x-2=0,解得x=-1或x=2,故方程组
所以A∩B={(-1,1),(2,4)}.
4.C 当n是偶数时,设n=2k,k∈Z,则s=2n+1=4k+1,k∈Z;
当n是奇数时,设n=2k+1,k∈Z,则s=2n+1=4k+3,k∈Z.因此T S,所以S∩T=T.故选C.
5.B 因为A={x∈Q|(x-},所以A∪B={-1,1,}.故选B.
6.B 在数轴上表示出集合M,N,如图,可得M∪N={x|-4≤x≤4}.故选B.
7.A 因为M={x|-35},所以M∪N={x|x<-5或x>-3}.故选A.
8.ABD 集合A={x|x2-5x+6=0}={2,3},因为A∩B=B,所以B A,当a=0时,B= ,满足题意;当a≠0时,B=,要满足题意,只需=2或=3,解得a=或a=.综上所述,a∈.
9.C 画出数轴,若A∪B=R,则a≤-1.
10.答案 -2
解析 因为A∩B={5},所以5∈A,故x2+1=5或3x-1=5.
当x2+1=5时,解得x=±2,
若x=2,则3x-1=5,集合A中元素不满足互异性,故舍去;
若x=-2,则集合A={-7,-3,5},集合B={-8,4,5},满足题意.
当3x-1=5时,解得x=2,舍去.
综上,x的值为-2.
11.答案 [-1,3]
解析 ∵A∪B=A,∴B A,如图,
∴∴-1≤m≤3.
12.答案 -11;
解析 由题意可得∈A,∈B,
∴
∴p+q=-11,集合A={x|2x2+7x-4=0}=,
故A∪B=.
13.解析 (1)当a=4时,B={x|4≤x≤10},
又A={x|-2(2)因为A∪B=A,所以B A,
当B= 时,a>3a-2,解得a<1,满足B A;
当B≠ 时,由B A,得解得1≤a<3.
综上,实数a的取值范围是(-∞,3).第2课时 补集及集合运算的综合应用
基础过关练
题组一 集合的补集运算
1.已知全集U=R,集合M={x|-1≤x≤3},则 UM=( )
A.{x|-1B.{x|-1≤x≤3}
C.{x|x<-1或x>3}
D.{x|x≤-1或x≥3}
2.若集合A={1,3,5,7},B={x∈Z|1≤x≤9},则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.全集U={x|-3A.(1,2)
B.[1,2]
C.(-3,1]∪[2,3)
D.(-3,1)∪(2,3)
4.若全集为U,集合A={0,2,4,6}, UA={-3,-1,1,3}, UB={-1,0,2},则集合B= .
题组二 集合的并集、交集、补集的综合运算
5.已知A,B均为集合U={1,2,3,4,5}的子集,A∪B={1,2,3},A∩B={1}, UB={3,4,5},则A=( )
A.{1} B.{1,3}
C.{2,3} D.{1,2,3}
6.已知全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={-1,1,2,4},那么图中阴影部分表示的集合为( )
A.{-1,4} B.{1,2,4} C.{1,4} D.{-1,2,4}
7.已知集合A=,B={x|x≤-4},
C=xx≥,则集合C=( )
A.A∩B B.A∪B
C. R(A∩B) D. R(A∪B)
8.(多选题)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤3或4A. UB=(-∞,2)∪[5,+∞)
B.A∩( UB)=[1,2)∪[5,6)
C.( UA)∩B=(-∞,1)∪(2,5)∪[6,+∞)
D. U(A∪B)=(-∞,1)∪[6,+∞)
9.某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座,其中有75人听了数学讲座,68人听了历史讲座,61人听了音乐讲座,记A={x|x是听了数学讲座的学生},B={x|x是听了历史讲座的学生},C={x|x是听了音乐讲座的学生}.用card(M)来表示有限集合M中元素的个数,若card(A∩B)=17,card(A∩C)=12,card(B∩C)=9,A∩B∩C= ,则( )
A.card(A∪B)=143
B.card(A∪B∪C)=166
C.card(B∪C)=129
D.card(A∩B∩C)=38
10.设全集U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∪( UB)= .
11.当U为全集时,下列说法正确的是 (填序号).
①若A∩B= ,则( UA)∪( UB)=U;
②若A∩B= ,则A= 或B= ;
③若A∪B=U,则( UA)∩( UB)= ;
④若A∪B= ,则A=B= .
12.已知全集U=R,集合A={x|-5(1)A∩B;(2)A∪B;(3)A∪( UB);(4)B∩( UA).
题组三 由集合的基本运算求参数
13.若全集U={2,3,5},集合M={2,|a-5|}, UM={5},则a的值为( )
A.2 B.8
C.2或8 D.-2或8
14.设全集U=R,集合A={x|23}.
(1)求A∩B;
(2)设集合C={x|mx>1},若C UA,求实数m的取值范围.
15.已知全集为R,集合A={x|-3(1)当a=1时,求A∩( RB);
(2)若B A,求实数a的取值范围.
能力提升练
题组一 集合的基本运算
1.(多选题)设A,B,I均为非空集合,且满足A B I,则( )
A.( IA)∪B=I
B.( IA)∪( IB)=I
C.A∩( IB)=
D.( IA)∩( IB)= IB
2.用图形直观表示集合的运算关系,最早是由瑞士数学家欧拉所创,故将表示集合运算关系的图形称为“欧拉图”.后来,英国数学家约翰·维恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“维恩图”.则图中阴影部分表示的集合为( )
A.A∩B∩C B.( UA)∩B∩C
C.A∩( UB)∩C D.A∩B∩( UC)
3.(多选题)已知Z(A)表示集合A的整数元素的个数,若集合U=R,M={x|x2-9x<10},N={x|1A.Z(M)=9
B.M∪N={x|-1C.Z(N)=9
D.( UM)∩N={x|104.我们已经学过了集合的并集、交集、补集等基本运算,但集合还有很多其他的基本运算.设A,B为两个集合,称所有属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合为集合A与集合B的差集,记为A-B,即A-B={x∈A|x B}.下列关系式中错误的是( )
A.(A-B)∩(B-A)= B.(A-B)∪(B-A)=A∪B
C.A-(A-B)=B-(B-A) D.(A-B)∪B=A∪(B-A)
5.某学校举办运动会,比赛项目包括田径、游泳、球类,经统计,高一年级有57人参加田径比赛,有11人参加游泳比赛,有62人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛,有4人参加游泳比赛;同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人;同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的同学有( )
A.98人 B.104人 C.106人 D.110人
题组二 由集合的基本运算求参数
6.设全集U=R,集合A={x|x≤1或x≥3},集合B={x|kA.k<0或k>3 B.27.已知集合A={x|m-2≤x≤2m+1},B={x|-3≤x≤5}.
(1)若A B,求实数m的取值范围;
(2)若存在x∈A,使得x∈B成立,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第2课时 补集及集合运算的综合应用
基础过关练
1.C 2.C 3.C 5.B 6.A 7.D 8.ABD 9.B
13.C
1.C
2.C 由题图得,阴影部分表示的集合为 BA,因为A={1,3,5,7},B={x∈Z|1≤x≤9}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},所以 BA={2,4,6,8,9},共有5个元素.故选C.
3.C 由题知,全集U={x|-3所以 UA={x|-34.答案 {-3,1,3,4,6}
解析 ∵A={0,2,4,6}, UA={-3,-1,1,3},
∴U={-3,-1,0,1,2,3,4,6}.
又∵ UB={-1,0,2},∴B={-3,1,3,4,6}.
5.B 因为B为集合U={1,2,3,4,5}的子集, UB={3,4,5},所以B={1,2},又A∪B={1,2,3},A∩B={1},所以A={1,3}.故选B.
6.A 题图中阴影部分表示的集合为( UA)∩B,
因为U=R,A={x|0≤x≤2},所以 UA={x|x<0或x>2},又B={-1,1,2,4},所以( UA)∩B={-1,4}.故选A.
7.D ∵A=,B={x|x≤-4},
∴A∪B=,A∩B= .
又C=,
∴ R(A∪B)==C, R(A∩B)=R.
8.ABD 易知A正确;
A∩( UB)={x|1≤x≤3或4( UA)∩B={x|x<1或3A∪B={x|1≤x≤3或49.B 将已知条件用维恩图表示出来,如图所示,
则card(A∪B)=46+42+17+12+9=126,故A错误;
card(A∪B∪C)=46+42+40+17+12+9=166,故B正确;
card(B∪C)=42+40+17+12+9=120,故C错误;
card(A∩B∩C)=0,故D错误.故选B.
10.答案 R
解析 ∵U=R,B={x|x>1},∴ UB={x|x≤1}.
又∵A={x|x>0},∴A∪( UB)=R.
11.答案 ①③④
解析 当A∩B= 时,( UA)∪( UB)= U(A∩B)=U,①正确;当A∩B= 时,集合A,B不一定为空集,只需两个集合无公共元素即可,②不正确;当A∪B=U时,( UA)∩( UB)= U(A∪B)= ,③正确;当A∪B= 时,集合A,B均无元素,④正确.
综上,①③④正确.
12.解析 (1)用数轴表示出集合A,B,如图①,则A∩B={x|0≤x<5}.
(2)由图①可知A∪B={x|-5(3)易知 UB={x|x<0或x≥7},用数轴表示出集合A和 UB,如图②,
则A∪( UB)={x|x<5或x≥7}.
(4)易知 UA={x|x≤-5或x≥5},用数轴表示出集合B和 UA,如图③,
则B∩( UA)={x|5≤x<7}.
13.C ∵全集U={2,3,5}, UM={5},∴M={2,3},
∴|a-5|=3,∴a=2或a=8.故选C.
14.解析 (1)因为A={x|23},
所以A∩B={x|3(2)由已知得 UA={x|x≤2或x≥5},
当m>0时,C=,因为C UA,所以≥5,解得0当m=0时,C= ,满足C UA;
当m<0时,C=,因为C UA,所以≤2,解得m<0.
综上,实数m的取值范围是.
15.解析 (1)当a=1时,B={x|1(2)当B= 时,2-a≥1+2a,解得a≤,满足B A;
当B≠ 时,若B A,则综上,实数a的取值范围是.
能力提升练
1.ACD 2.D 3.BC 4.B 5.C 6.C
1.ACD 根据题意画出维恩图(如图),由维恩图可得A,C,D正确,B错误.
2.D 由题图可知,阴影部分是集合A,B的公共部分的一部分,且不在集合C 中,故题图中阴影部分表示的集合为A∩B∩( UC).故选D.
3.BC 因为M={x|x2-9x<10}={x|-1所以Z(M)=10,M∪N={x|-1因为N={x|1因为 UM={x|x≤-1或x≥10},所以( UM)∩N={x|10≤x<11},D不正确.故选BC.
4.B 对于A,(A-B)∩(B-A)={x∈A|x B}∩{x∈B|x A}= ,故A中关系式正确;
对于B,(A-B)∪(B-A)={x∈A|x B}∪{x∈B|x A}=(A∪B)-(A∩B),故B中关系式错误;
对于C,因为A-(A-B)=A∩B,B-(B-A)=B∩A,
所以A-(A-B)=B-(B-A),故C中关系式正确;
对于D,因为(A-B)∪B=A∪B,A∪(B-A)=A∪B,所以(A-B)∪B=A∪(B-A),故D中关系式正确.
故选B.
5.C 解法一:设集合A,B,C分别是参加田径、游泳、球类比赛的学生构成的集合,根据题意作出维恩图,如图,
则高一年级参加比赛的同学人数为46+37+1+12+2+6+2=106.故选C.
解法二:设集合A,B,C分别是参加田径、游泳、球类比赛的学生构成的集合,
则card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)=57+11+62-8-14-4+2=106,故选C.
6.C ∵全集U=R,集合A={x|x≤1或x≥3},∴ UA={x|17.解析 (1)若A= ,满足A B,此时m-2>2m+1,解得m<-3;
若A≠ ,要使A B,则解得-1≤m≤2.
综上,实数m的取值范围为-1≤m≤2或m<-3.
(2)若存在x∈A,使得x∈B成立,则A∩B≠ .
当A∩B= 时,若A= ,满足A∩B= ,此时m-2>2m+1,解得m<-3;
若A≠ ,要使A∩B= ,则解得-3≤m<-2或m>7.
综上可知,若A∩B= ,则m<-2或m>7,
故当A∩B≠ 时,-2≤m≤7,即实数m的取值范围是-2≤m≤7.
方法技巧 本题用到了补集思想,第(2)问A∩B≠ 包含的情况较多,转化为求A∩B= 时实数m的取值范围,再求其补集.当题目从正面入手难以解决或正面情况较多时,可考虑用这种方法.