1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词
基础过关练
题组一 命题及其真假的判断
1.下列语句是命题的是( )
A.2 025是一个大数
B.若两直线平行,则这两条直线没有公共点
C.y=kx+b(k≠0)是一次函数吗
D.a≤15
2.下列命题中不正确的是( )
A.对于任意的实数a,二次函数y=x2+a的图象关于y轴对称
B.存在一个无理数,它的立方是无理数
C.存在整数x,y,使得2x+4y=5
D.每个正方形都是平行四边形
3.有下列语句:①集合{a,b}有2个子集;②x2-4≤0;③今天天气真好啊;④若A∪B=A∩B,则A=B.其中真命题的序号为 .
题组二 全称量词命题与存在量词命题
4.下列命题是全称量词命题的是( )
A.有些平行四边形是菱形
B.至少有一个整数x,使得x2+3x是质数
C.每个三角形的内角和都是180°
D. x∈R,x2+x+2=0
5.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题,下列选项中正确的是( )
A. a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2
B. a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2
C. a>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2
D. a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2
6.下列命题中,是全称量词命题的是 ,是存在量词命题的是 .(填序号)
①正方形的四条边相等;②有两个角相等的三角形是等腰三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.
题组三 全称量词命题与存在量词命题的真假
7.下列命题中,是存在量词命题且是真命题的是( )
A.所有正方形都是矩形
B. x∈R,x2+2x+2=0
C.至少有一个实数x,使x3+1=0
D. x∈R,x2-x+<0
8.设非空集合P,Q满足P∩Q=P,则下列选项正确的是( )
A. x∈Q,有x∈P B. x Q,有x P
C. x Q,使得x∈P D. x∈P,使得x Q
9.下列命题中是全称量词命题且是真命题的是( )
A.所有的素数都是奇数
B.有些梯形是等腰梯形
C.平行四边形的对角线互相平分
D. x∈R,x2<0
10.(多选题)下列命题是真命题的是( )
A.空集是任何一个非空集合的真子集
B. x∈R,4x2>2x-1+3x2
C. x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2
D. a,b∈R,方程ax+b=0恰有一解
11.(多选题)下列命题是真命题的有( )
A. x∈R,|x|-2x≤0
B. x∈Z,x2∈Q
C. x∈R,x2-2x+4>0
D. x∈R,x2+3x+5=0
12.用量词符号“ ”“ ”表述下列命题,并判断其真假.
(1)所有实数x都能使x2+x+>0成立;
(2)一定有整数x,y,使得3x-2y=10成立;
(3)所有的有理数x都能使x+1是有理数;
(4)对任意实数a,b,若a
题组四 全称量词命题与存在量词命题的应用
13.已知 x∈{x|1≤x<3},都有m>x,则m的取值范围为( )
A.m≥3 B.m>3 C.m>1 D.m≥1
14.已知“ x∈R,a>x2-1”为真命题,则实数a的取值范围为( )
A.a>-1 B.a>1 C.a<-1 D.a<1
15.若命题“ x∈{x|0<2x-3<5},一次函数y=3x-a的图象都在x轴下方”为真命题,则实数a的取值范围是 .
16.已知命题p: x∈[0,1],a>x+2;命题q: x∈R,使得x2+4x+a=0.若命题p和q均为真命题,则实数a的取值范围为 .
17.(1)判断是否存在实数m,使不等式m+x2-2x+5>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由;
(2)若存在实数x,使不等式m-(x2-2x+5)>0成立,求实数m的取值范围.
18.已知命题p: x∈R,不等式x2+4x+9-m>0恒成立;命题q: x∈R,使x2-2mx+1<0有解.
(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若命题p,q中恰有一个为真命题,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词
基础过关练
1.B 2.C 4.C 5.D 7.C 8.B 9.C 10.AC
11.ABC 13.A 14.A
1.B A,D不能判断真假,不是命题;B能够判断真假而且是陈述句,是命题;C是疑问句,不是命题.
2.C 易知A,D中命题正确.对于B,(,故B中命题正确.对于C,2x+4y=2(x+2y),为偶数,故不存在整数x,y,使得2x+4y=5,故C中命题不正确.故选C.
3.答案 ④
解析 ①是命题,但不是真命题,集合{a,b}有4个子集;易知②③不是命题;④是命题,且是真命题.
4.C
5.D A、B不是全称量词命题,故排除;因为等式a2+b2+2ab=(a+b)2对全体实数都成立,所以D正确.
6.答案 ①②③;④
解析 ①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”,是全称量词命题;
②可表述为“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”,是全称量词命题;
③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”,是全称量词命题;
④是存在量词命题.
7.C A.所有正方形都是矩形为全称量词命题,故A错误;
B. x∈R,x2+2x+2=0为存在量词命题,因为x2+2x+2=(x+1)2+1≥1,所以该命题为假命题,故B错误;
C.至少有一个实数x,使x3+1=0为存在量词命题,当x=-1时,(-1)3+1=0,所以该命题为真命题,故C正确;
D. x∈R,x2-x+<0为存在量词命题,因为x2-x+≥0,所以该命题为假命题,故D错误.
故选C.
8.B 因为P∩Q=P,所以P Q,所以A,C,D错误,B正确.
9.C 对于A,该命题是全称量词命题,因为2是素数,但不是奇数,所以该命题是假命题;对于B,该命题是存在量词命题且是真命题;对于C,该命题是全称量词命题,根据平行四边形的性质,可得该命题是真命题;对于D,该命题是存在量词命题且是假命题.故选C.
10.AC 易知A中命题是真命题;对于B,将4x2>2x-1+3x2整理,得x2-2x+1>0,即(x-1)2>0,当x=1时,(x-1)2=0,故B中命题是假命题;对于C,当x=1时,|x-2|=|1-2|<2,故C中命题是真命题;对于D,当a=0,b=0时,方程ax+b=0有无数个解,故D中命题是假命题.故选AC.
11.ABC 对于A,当x=1时,满足|x|-2x≤0,故A正确;对于B, x∈Z,x2∈Z,又Z Q,所以x2∈Q,故B正确;对于C, x∈R,x2-2x+4=(x-1)2+3≥3>0,故C正确;对于D,因为x2+3x+5=,所以不存在x∈R,x2+3x+5=0,故D错误.故选ABC.
12.解析 (1) x∈R,x2+x+>0,真命题.
(2) x,y∈Z,3x-2y=10,真命题.
(3) x∈Q,x+1是有理数,真命题.
(4) a,b∈R, 若a13.A ∵ x∈{x|1≤x<3},都有x<3,
∴要使m>x成立,只需m≥3.故选A.
14.A 由题意得a>,因为(x2-1)min=-1,此时x=0,所以a>-1.故选A.
15.答案 a≥12
解析 集合{x|0<2x-3<5}=,若“ x∈{x|0<2x-3<5},一次函数y=3x-a的图象都在x轴下方”为真命题,则当∴实数a的取值范围是a≥12.
16.答案 (3,4]
解析 由 x∈[0,1],a>x+2,得a>3.
因为 x∈R,使得x2+4x+a=0,所以Δ=16-4a≥0,解得a≤4.
故实数a的取值范围为(3,4].
17.解析 (1)存在.理由如下:
不等式m+x2-2x+5>0可化为m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4,要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可.
故存在实数m使不等式m+x2-2x+5>0对于任意x∈R恒成立,此时m>-4.
(2)不等式m-(x2-2x+5)>0可化为m>x2-2x+5.
令t=x2-2x+5,若存在实数x使不等式m>x2-2x+5成立,只需m>tmin.
∵t=x2-2x+5=(x-1)2+4,∴tmin=4,∴m>4.
∴实数m的取值范围是{m|m>4}.
18.解析 (1)若命题p: x∈R,不等式x2+4x+9-m>0恒成立为真命题,则m<(x2+4x+9)min,因为x2+4x+9=(x+2)2+5≥5,所以m<5.
故实数m的取值范围为(-∞,5).
(2)x2-2mx+1<0可化为(x-m)20,解得m>1或m<-1.
若命题p,q中恰有一个为真命题,则命题p,q一真一假,
①当p真q假时,解得-1≤m≤1;
②当p假q真时,解得m≥5.
综上,实数m的取值范围为[-1,1]∪[5,+∞).(共10张PPT)
1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
知识点 1 命题
知识 清单破
知识点 2 全称量词和全称量词命题
全称量词 “任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号“ ”表示
全称量词命题 含有全称量词的命题称为全称量词命题.全称量词命题“对集合M中的所有元素x,r(x)”可简记为 x∈M,r(x)
知识点 3 存在量词和存在量词命题
存在量词 “存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词,用符号“ ”表示
存在量词命题 含有存在量词的命题称为存在量词命题,存在量词命题“存在集合M中的元素x,s(x)”可简记为 x∈M,s(x)
1.定义:一般地,对命题p加以否定,就得到一个新的命题,记作“ p”,读作“非p”或“p的否
定”.
2.命题p与 p的真假判断
知识点 4 命题的否定
p p
真 假
假 真
1.全称量词命题的否定
知识点 5 全称量词命题与存在量词命题的否定
原命题 全称量词命题 x∈M,q(x)
原命题的否定 存在量词命题 x∈M, q(x)
2.存在量词命题的否定
原命题 存在量词命题 x∈M,p(x)
原命题的否定 全称量词命题 x∈M, p(x)
1.“0∈N”是真命题. ( )
2.“正方形是菱形”是全称量词命题. ( )
3.命题“ x∈[0,+∞),x2≥1”是真命题. ( )
4.命题“等边三角形的三条边相等”的否定是“等边三角形的三条边不相等”. ( )
5.命题p和 p只能是一真一假. ( )
6.命题“ x∈[1,+∞),x2≥1”的否定是“ x∈[1,+∞),x2<1”. ( )
7.命题“存在四边形没有外接圆”的否定是“任意四边形都有外接圆”. ( )
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
√
√
√
√
疑难 情境破
疑难 1 全称量词命题、存在量词命题及其否定的真假判断
讲解分析
1.判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,关键是看命题中含有的量词.需要注意的
是有些全称量词命题的全称量词可以省略不写.
2.要判定全称量词命题“对任意x∈M,p(x)成立”是真命题,需要对集合M中的每个元素x验
证p(x)成立;但要判定该命题是假命题,只需举出集合M中的一个元素x0,使p(x0)不成立即可.要
判定存在量词命题“存在x∈M,使p(x)成立”是真命题,只要在集合M中能找到一个元素x0,使
p(x0)成立即可;否则,这一命题就是假命题.
3.全称(存在)量词命题的否定是将其全称量词(存在量词)改为存在量词(全称量词),并把结论
否定.
典例 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)对任意实数x,都有x3>x2;
(2)至少有一个二次函数的图象与x轴没有交点;
(3)所有的矩形都是正方形;
(4)存在x∈R,使x2+2x+5≤0.
解析 (1)该命题的否定:存在一个实数x,使x3≤x2.真命题.
(2)该命题的否定:所有的二次函数的图象都与x轴有交点.假命题.
(3)该命题的否定:至少存在一个矩形不是正方形.真命题.
(4)该命题的否定:对任意x∈R,都有x2+2x+5>0.真命题.
在含量词的命题的综合问题中,经常遇到这样两类问题:
(1)由“恒成立”求参数的取值范围;
(2)求“是否存在”的探究题.
以上问题究其实质,就是全称量词命题和存在量词命题问题,应按全称量词命题和存在
量词命题的真假进行讨论.
常见结论:
(1) x∈R,y=0,等价于方程y=0有实数根;
(2) x∈R,y>0,就是不等式y>0恒成立,等价于ymin>0;
(3) x∈R,y>0,就是不等式y>0有解,等价于ymax>0;
疑难 2 含量词的命题及其否定的应用
讲解分析
(4) x∈R,y<0,就是不等式y<0恒成立,等价于ymax<0;
(5) x∈R,y<0,就是不等式y<0有解,等价于ymin<0.
典例1 已知函数y=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m,使不等式m+y>0对于任意x∈R恒成立 并说明理由;
(2)若存在实数x,使不等式m-y>0成立,求实数m的取值范围.
解析 (1)存在.不等式m+y>0可化为m>-y,即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈
R恒成立,只需m>-4即可.故存在实数m使不等式m+y>0对于任意x∈R恒成立,此时m>-4.
(2)不等式m-y>0可化为m>y.
若存在实数x使不等式m>y成立,只需m>ymin.∵y=(x-1)2+4,∴ymin=4,∴m>4.
故实数m的取值范围是{m|m>4}.
典例2 若方程ax2+3x+2=0至多有一个根,求实数a的取值范围.
解析 假设方程ax2+3x+2=0有两个实数根,则
解得a≤ 且a≠0.
在全集R中, 的补集是 ,
∴满足题意的实数a的取值范围是 .1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
基础过关练
题组一 全称量词命题与存在量词命题的否定
1.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p: x∈A,2x∈B,则 ( )
A. p: x∈A,2x∈B
B. p: x A,2x B
C. p: x A,2x∈B
D. p: x∈A,2x B
2.已知命题p:“ x∈R,x2-x-1≤0”,则 p为( )
A. x∈R,x2-x-1≥0
B. x∈R,x2-x-1>0
C. x∈R,x2-x-1>0
D. x∈R,x2-x-1≥0
3.命题“能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A.所有不能被2整除的整数都是偶数
B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整数是偶数
D.存在一个能被2整除的整数不是偶数
4.命题“ a,b>0,a+≥2和b+≥2至少有一个成立”的否定为( )
A. a,b>0,a+<2和b+<2至少有一个成立
B. a,b>0,a+≥2和b+≥2都不成立
C. a,b>0,a+<2和b+<2至少有一个成立
D. a,b>0,a+≥2和b+≥2都不成立
5.命题“ x∈R, n∈N*,使得n≥x2”的否定是( )
A. x∈R, n∈N*,使得nB. x∈R, n∈N*,使得nC. x∈R, n∈N*,使得nD. x∈R, n∈N*,使得n6.命题“对任意的x>0,x3-x2+1≤0”的否定是 .
7.命题“全等三角形的面积相等”的否定是 .
题组二 全称量词命题与存在量词命题的否定的真假
8.下列命题的否定是真命题的为( )
A.任意两个等边三角形都相似
B. x∈R,x+|x|≥0
C. x∈R,x2-x+1=0
D.存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直
9.(多选题)下列说法正确的是( )
A.命题“ x∈R,x2>x”的否定是假命题
B.命题“ m∈N,∈N”的否定是假命题
C.命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的否定是真命题
D.命题“至少有一个整数n,使n2+n为奇数”的否定是真命题
10.写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)p: x∈R,4x2-4x+1≥0;
(2)q:所有的正方形都是矩形;
(3)r: x∈R,4x-3>x;
(4)s:至少有一个实数x,使得x3+1=0.
题组三 全称量词命题与存在量词命题的否定的应用
11.已知命题“ x∈R,4x2+(a-2)x+=0”是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.{a|a<0} B.{a|0≤a≤4}
C.{a|a≥4} D.{a|012.(多选题)若“ x∈M,|x|>x”为真命题,“ x∈M,x>3”为假命题,则集合M可以是( )
A.{x|x<-5} B.{x|-3C.{x|x>3} D.{x|0≤x≤3}
13.若“ x∈[-4,1],|x|-a>0”为假命题,则a的值可以是( )
A.5 B.3 C.1 D.-1
14.写出一个使得命题“ x∈R,ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题的实数a的值: .
15.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-1≤x≤2m-3}.
(1)若命题p: x∈B,x∈A是真命题,求实数m的取值范围;
(2)若命题q: x∈A,x∈B是真命题,求实数m的取值范围.
16.已知命题p: x∈{x|00},mx2+4x-1≠0.若p是真命题,q是假命题,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
基础过关练
1.D 2.C 3.D 4.D 5.D 8.C 9.BD 11.D
12.AB 13.A
1.D
2.C 命题p是存在量词命题,其否定是全称量词命题,所以 p为“ x∈R,x2-x-1>0”.故选C.
3.D “能被2整除的整数都是偶数”是一个全称量词命题,其否定是存在量词命题,排除选项A,B;结合全称量词命题的否定方法,可知其否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”,故选D.
4.D
5.D
6.答案 x>0,x3-x2+1>0
7.答案 存在两个三角形全等,但其面积不相等
8.C 对于A,原命题为真命题,其否定为假命题.对于B,当x≥0时,x+|x|=2x≥0;当x<0时,x+|x|=0,所以 x∈R,x+|x|≥0,故原命题为真命题,其否定为假命题.对于C,因为x2-x+1=>0恒成立,所以原命题为假命题,其否定为真命题.对于D,菱形的对角线互相垂直,故原命题为真命题,其否定为假命题.故选C.
9.BD 对于A,命题的否定为“ x∈R,x2≤x”,显然为真命题(取x=0验证即可),故A中说法错误;
对于B,命题的否定为“ m∈N, N”,当m=
0时,=1∈N,所以命题的否定是假命题,故B中说法正确;
对于C,因为命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”为真命题,所以此命题的否定为假命题,故C中说法错误;
对于D,命题的否定为“ n∈Z,n2+n为偶数”,由于n2+n=n(n+1)是偶数,所以命题的否定是真命题,故D中说法正确.故选BD.
10.解析 (1) p: x∈R,4x2-4x+1<0.因为对任意x∈R,4x2-4x+1=(2x-1)2≥0,所以 p是假命题.
(2) q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题.
(3) r: x∈R,4x-3≤x.当x=2时,4×2-3=5>2,所以 r是假命题.
(4) s: x∈R,x3+1≠0.因为当x=-1时,x3+1=0,所以 s是假命题.
11.D ∵命题“ x∈R,4x2+(a-2)x+=0”是假命题,∴命题“ x∈R,4x2+(a-2)x+≠0”是真命题,故Δ=(a-2)2-4×4×<0,解得012.AB 由“ x∈M,|x|>x”为真命题,得x<0,由“ x∈M,x>3”为假命题,得“ x∈M,x≤3”为真命题,故x<0,所以M是{x|x<0}的子集即可,结合选项可知A,B满足条件.
13.A 因为“ x∈[-4,1],|x|-a>0”为假命题,
所以其否定“ x∈[-4,1],|x|-a≤0”为真命题,
所以|x|≤a在[-4,1]上恒成立,即|x|max≤a在[-4,1]上恒成立,所以a≥4.故选A.
14.答案 -1(答案不唯一)
解析 依题意,“ x∈R,ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题,
当a=0时,3>0恒成立,不符合题意;
当a<0时,ax2-2ax+3可以为负数,符合题意;
当a>0时,Δ=4a2-12a=4a(a-3)≥0,解得a≥3.
综上所述,a的取值范围为(-∞,0)∪[3,+∞).
所以a的值可以为-1.答案不唯一.
15.解析 (1)因为命题p: x∈B,x∈A是真命题,所以B A.
当B= 时,m-1>2m-3,解得m<2,满足题意;
当B≠ 时,由B A,得解得2≤m≤4.
综上,实数m的取值范围为(-∞,4].
(2)因为q: x∈A,x∈B是真命题,所以A∩B≠ ,
所以B≠ ,即m≥2,所以m-1≥1,
要使A∩B≠ ,仍需满足m-1≤5,即m≤6.
综上,实数m的取值范围为[2,6].
16.解析 若p是真命题,则x+m-1<0在x∈(0,1)上恒成立,即m-1<-x在x∈(0,1)上恒成立.
当0若命题q是假命题,则 q: x∈{x|x>0},使得mx2+4x-1=0为真命题,即关于x的方程mx2+4x-1=0有正实数根.
当m=0时,方程为4x-1=0,有正实数根.
当m≠0时,依题意得Δ=16+4m≥0,即m≥-4,
设两根分别为x1,x2,
①当方程有两个正实数根时,x1+x2=->0,且x1x2=->0,解得m<0,此时-4≤m<0;
②当方程有一正、一负两个实数根时,x1x2=-<0,解得m>0,满足题意.所以m≥-4.
综上所述,实数m的取值范围是{m|-4≤m≤0}.