(共15张PPT)
知识点 1 充分条件与必要条件
知识 清单破
1.2.3 充分条件、必要条件
如果p q且q p,则称p是q的充分不必要条件.
如果p q且q p,则称p是q的必要不充分条件.
如果p q且q p,则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件),记作p q,此时,也读作“p
与q等价”“p当且仅当q”.
如果p q且q p,则称p是q的既不充分也不必要条件.
知识点 2 充要条件
设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.
(1)如果A B,那么p(x) q(x),因此p(x)是q(x)的充分条件,q(x)是p(x)的必要条件;
(2)如果A=B,那么p(x) q(x),因此p(x)是q(x)的充要条件;
(3)如果A B,那么p(x) q(x)且q(x) / p(x),因此p(x)是q(x)的充分不必要条件;
(4)如果B A,那么p(x) / q(x)且q(x) p(x),因此p(x)是q(x)的必要不充分条件.
知识点 3 用集合知识理解充分条件、必要条件、充要条件
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.x>1是x2>1的充分条件. ( )
√
2.“△ABC是等腰三角形”是 “A=B”的充要条件. ( )
3.a,b∈R,“ab=0”是“a2+b2=0”的必要条件. ( )
√
4.集合A={x|x>1},B={x|x>2},则“x∈A”是“x∈B”的充分条件. ( )
提示
易知B A,所以“x∈B”是“x∈A”的充分条件,“x∈A”是“x∈B”的必要条件.
疑难 情境破
疑难 1 充分条件、必要条件、充要条件的判断
情境探究
观察以下4个电路图.
问题1 ①中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件
提示 充分不必要条件.
问题2 ②中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件
提示 必要不充分条件.
问题3 ③中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件
提示 充要条件.
问题4 ④中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件
提示 既不充分也不必要条件.
问题5 将①中开关A与灯泡B的位置互换,开关C始终是断开状态,问题1中结论变为什么
提示 变为充要条件.
充分条件、必要条件的判断主要有以下几种方法:
(1)定义法:直接利用定义进行判断.
(2)传递法:根据充分、必要关系的传递性来判断的方法叫传递法.充分条件具有传递性,若A1
A2 A3 … An-1 An,则A1 An,即A1是An的充分条件.必要条件也具有传递性,若A1 A2 A3
… An-1 An,则A1 An,即A1是An的必要条件.当然充要条件也具有传递性.因此,对于较复杂
(连锁式)的充要关系的判断可用连锁式的传递图来解答.
(3)利用集合间的包含关系进行判断:已知满足条件p和结论q的元素构成的集合分别为A和B,
若A B,则p是q的充分条件;若B A,则p是q的必要条件;若A=B,则p既是q的充分条件,又是q
讲解分析
的必要条件.若A B,则p是q的充分不必要条件;若A B且B A,则p是q的既不充分也不必要
条件.
典例 在以下各题中,判断p是q的什么条件.
(1)p:x>4且y>5,q:x+y>9;
(2)p:两个三角形全等,q:两个三角形相似;
(3)p:一个四边形的四个角都相等,q:四边形是正方形;
(4)p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0;
(5)p:a是素数,q:a不是偶数.
思路点拨 要判断p与q的关系,主要是看p能否推出q,q能否推出p.
解析 (1)易知p q,q p,故p是q的充分不必要条件.
(2)∵两个三角形全等能推出两个三角形相似,而两个三角形相似不能推出两个三角形全等,
∴p是q的充分不必要条件.
(3)易知p q,q p,故p是q的必要不充分条件.
(4)由(x-2)(x-3)=0,可得x=2或x=3,不能推出x-2=0,但由x-2=0可推出(x-2)(x-3)=0,∴p是q的必要
不充分条件.
(5)p是q的既不充分也不必要条件.
1.充要条件的证明
(1)证明p是q的充要条件时,既要证明命题“p q”为真,又要证明“q p”为真,前者证明的
是充分性,后者证明的是必要性.
(2)证明充要条件也可以利用等价转化法,即把条件和结论进行等价转化,注意转化过程中必
须保证前后是能互相推出的.
2.探求充分条件、必要条件的步骤
(1)分清“条件”和“结论”,明确探求的方向;
(2)分析题目中的已知条件和隐含条件,进行等价转化,即可得到使结论成立的充要条件;
(3)将得出的充要条件对应的范围扩大或缩小,即可得到使结论成立的必要不充分条件或充
疑难 2 充分条件、必要条件的证明与探究
讲解分析
分不必要条件.
典例 下列条件中,使不等式组 成立的一个充分不必要条件是 ( )
A.0
C.0A
解析 解不等式组 得0因为使“0一个真子集,
所以结合选项易知A符合.故选A.
利用充分条件、必要条件求解参数问题时,一般把充分条件、必要条件转化为集合之间的关
系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的关系式求解,要注意对解集端点值的检验.
疑难 2 利用充分条件、必要条件确定参数的值或取值范围
讲解分析
典例1 已知集合A={x|2m-1≤x≤m+1},B= .
(1)若m= ,求A∩( RB);
(2)若x∈B是x∈A的必要条件,求实数m的取值范围.
解析 (1)因为B= ,
所以 RB= ,
若m= ,则A= ,
所以A∩( RB)= .
(2)若x∈B是x∈A的必要条件,则A B.
当2m-1>m+1,即m>2时,A= ,符合题意;
当2m-1≤m+1,即m≤2时,A≠ ,要满足A B,只需 解得 ≤m<1.
综上,实数m的取值范围为 ∪(2,+∞).
典例2 设集合A={x|0≤x≤2},B={x|m-1≤x≤2m+1}.
(1)若m=2,求A∩B,( RA)∪B;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
解析 (1)当m=2时,B={x|1≤x≤5},又A={x|0≤x≤2},所以A∩B={x|1≤x≤2},
易得 RA={x|x<0或x>2},
所以( RA)∪B={x|x<0或x≥1}.
(2)因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A B,所以 且等号不能同时
成立,解得 ≤m≤1,
故实数m的取值范围为 .1.2.3 充分条件、必要条件
基础过关练
题组一 充分条件、必要条件与充要条件的判定
1.巴布亚企鹅,属鸟类,是企鹅家族中游泳速度最快的种类,速度可达36千米/时,也是鸟类中当之无愧的游泳冠军,其模样憨态有趣,犹如绅士一般,十分可爱,被称为“绅士企鹅”,若小迪是一只鸟,则“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2.“a>b”是“ac2>bc2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.下列说法错误的是 ( )
A.“A∩B=B”是“B= ”的必要不充分条件
B.“x=3”的一个充分不必要条件是“x2-2x-3=0”
C.“|x|=1”是“x=1”的必要不充分条件
D.“m是实数”的一个充分不必要条件是“m是有理数”
4.(多选题)已知p,q都是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,则( )
A.p是q的充分条件
B.p是s的必要条件
C.r是q的必要不充分条件
D.s是q的充要条件
5.指出下列各题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一个作答).
(1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC;
(2)对于实数x,y,p:x+y=8,q:x=2且y=6;
(3)已知x,y∈R,p:{(x,y)|(x-1)2+(y-2)2=0},q:{(x,y)|(x-1)(y-2)=0}.
题组二 利用充分条件、必要条件求参数的取值范围
6.已知“xa+1”是“x>2或x<-1”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是( )
A.{a|0C.{a|07.已知p:{x|x2+x-6=0},q:{x|mx+1=0},且q是p的充分不必要条件,则m的所有取值构成的集合是( )
A. C.
8.已知集合A={x|x<-1或x>2},B={x|2a≤x≤a+3},若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,则实数a的取值范围是 .
9.已知全集U=R,集合A={x|-3≤x≤7},集合B={x|3-2a≤x≤2a-5},其中a∈R.
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求a的取值范围;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求a的取值范围.
题组三 充分条件、必要条件的探索与证明
10.设x∈R,则使不等式1A.10 C.x<4 D.2≤x≤3
11.设x,y∈R,则“xy+1≠x+y”的充要条件是( )
A.x,y不都为1
B.x,y都不为1
C.x,y都不为0
D.x,y中至多有一个是1
12.(多选题)设全集为R,在下列条件中,是B A的充要条件的有( )
A.A∩B=A B.( RA)∩B=R
C. RA RB D.A∪( RB)=R
13.求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点的充要条件是b=0.
14.已知a+b≠0,证明a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.
能力提升练
题组一 充分条件、必要条件与充要条件的判定
1.“a=-4”是“函数y=ax2+4x-1的图象与x轴只有一个公共点”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知a,b∈N,则“a2-b2为偶数”是“a-b为偶数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.(多选题)下列说法正确的是( )
A.“a<5”是“a<3”的必要条件
B.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件
C.“|x|>|y|”是“x>y”的必要条件
D.“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正根和一负根”的充要条件
4.对于任意实数x,表示不小于x的最小整数,例如<1.1>=2,<-1.1>=-1,则“|x-y|<1”是“=”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知A是B的充分不必要条件,C是B的必要不充分条件,D是C的充分必要条件,则D是A的 条件.
题组二 利用充分条件、必要条件求参数的取值范围
6.已知p:-17.已知非空集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|-2≤x≤5}.
(1)若a=3,求( RP)∩Q;
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
题组三 充分条件、必要条件的探索与证明
8.设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么(2,3)∈A∩( UB)的充要条件是( )
A.m>-1,n<5 B.m<-1,n<5
C.m>-1,n>5 D.m<-1,n>5
9.不等式x2-x-m>0在x∈R上恒成立的一个必要不充分条件是( )
A.m≤- C.m<-
答案与分层梯度式解析
1.2.3 充分条件、必要条件
基础过关练
1.B 2.B 3.B 4.AD 6.B 7.C 10.D 11.B
12.CD
1.B 会游泳的鸟类有很多种,巴布亚企鹅是其中的一种,则由“小迪是巴布亚企鹅”可以推出“小迪会游泳”,但由“小迪会游泳”并不能推出“小迪是巴布亚企鹅”,所以“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的充分不必要条件.故选B.
2.B 若a>b,当c=0时,ac2=bc2=0;当c≠0时,ac2>bc2,所以a>b /ac2>bc2.
若ac2>bc2,则c≠0,所以a>b,所以ac2>bc2 a>b.
故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件.故选B.
3.B “A∩B=B”是“B= ”的必要不充分条件,因此A中说法正确;由x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1,故“x=3”是“x2-2x-3=0”的充分不必要条件,因此B中说法错误;“|x|=1”是“x=1”的必要不充分条件,因此C中说法正确;“m是实数”的一个充分不必要条件是“m是有理数”,因此D中说法正确.故选B.
4.AD 由题意得,p r,q r,r s,s q.
对于A,因为p r s q,所以p是q的充分条件,故A正确;
对于B,因为p r s,所以p是s的充分条件,故B不正确;
对于C,因为r s q,q r,所以r是q的充要条件,故C不正确;
对于D,因为s q,q r s,所以s是q的充要条件,故D正确.故选AD.
5.解析 (1)在△ABC中,显然有∠A>∠B BC>AC,所以p是q的充要条件.
(2)因为x=2且y=6 x+y=8,但x+y=8 /x=2且y=6,所以p是q的必要不充分条件.
(3)因为p对应集合A={(1,2)},q对应集合B={(x,y)|x=1或y=2},A是B的真子集,
所以p是q的充分不必要条件.
6.B 设集合A={x|xa+1},B={x|x>2或x<-1},根据题意得B A,作出数轴如下,
则且等号不同时成立,解得0≤a≤1.
7.C 设p,q对应的集合分别为A,B,则A={x|x2+x-6=0}={-3,2},B={x|mx+1=0},
由q是p的充分不必要条件,可得B A,则B为 或{-3}或{2},
①若B= ,则m=0;
②若B={-3},则-3m+1=0,解得m=;
③若B={2},则2m+1=0,解得m=-.
所以m的所有取值构成的集合是.
故选C.
8.答案 (-∞,-4)∪(1,+∞)
解析 因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,所以B A.
当B= 时,满足B A,此时2a>a+3,解得a>3;
当B≠ 时,要想满足B A,则解得a<-4或1综上,实数a的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞).
9.解析 (1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A B,作出数轴如下:
则解得a≥6,所以a的取值范围为[6,+∞).
(2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,所以B A.
①当B= 时,3-2a>2a-5,即a<2,符合题意;
②当B≠ 时,作出数轴如下:
则解得2≤a≤3,
综上所述,a的取值范围为(-∞,3].
10.D 设集合A={x|111.B xy+1≠x+y即xy+1-x-y≠0,即(x-1)(y-1)≠0,等价于x≠1且y≠1,所以“xy+1≠x+y”的充要条件是x,y都不为1.
12.CD 若A∩B=A,则A B,不满足题意,故A错误;
若( RA)∩B=R,则A= ,B=R,则A B,不满足题意,故B错误;
若 RA RB,则B A,反之,若B A,则 RA RB,满足题意,故C正确;
若A∪( RB)=R,则B A,反之,若B A,则A∪( RB)=R,满足题意,故D正确.故选CD.
13.证明 ①充分性:如果b=0,那么y=kx(k≠0),当x=0时,y=0,
所以一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点.
②必要性:若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点,
则当x=0时,y=0,即0·k+b=0,所以b=0.
综上所述,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点的充要条件是b=0.
14.证明 充分性:若a+b=1,则a2+b2-a-b+2ab=(a+b)2-(a+b)=1-1=0,即充分性成立.
必要性:若a2+b2-a-b+2ab=0,则(a+b)2-(a+b)=(a+b)(a+b-1)=0,
∵a+b≠0,∴a+b-1=0,即a+b=1,即必要性成立.
综上所述,a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.
思维拓展 对于充要条件的证明问题,可分别证明充分性与必要性,此时应注意分清楚谁是条件,谁是结论,充分性是由条件成立来证明结论成立,而必要性则是由结论成立证明条件成立;也可进行等价转化,此时应注意每一步得出的结论均能反推出得到这个结论的条件.
能力提升练
1.B 2.C 3.ABD 4.B 8.A 9.A
1.B 当a=0时,函数y=ax2+4x-1的图象与x轴只有一个公共点;当a≠0时,若函数y=ax2+4x-1的图象与x轴只有一个公共点,则Δ=16+4a=0,解得a=-4.故“a=-4”是“函数y=ax2+4x-1的图象与x轴只有一个公共点”的充分不必要条件.
2.C 已知a,b∈N,若a2-b2为偶数,则a2-b2=(a+b)·(a-b)为偶数,所以a+b与a-b都为偶数;若a-b为偶数,则a+b为偶数,所以a2-b2=(a+b)·(a-b)为偶数.
综上可知,“a2-b2为偶数”是“a-b为偶数”的充要条件.故选C.
3.ABD a<3时一定满足a<5,所以“a<5”是“a<3”的必要条件,故A正确.
当a>1,b>1时,有ab>1,所以“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件,故B正确.
由绝对值的几何意义可知,x>y不能得到|x|>|y|,所以“|x|>|y|”不是“x>y”的必要条件,故C错误.
当m<0时,对于方程x2-2x+m=0,Δ=4-4m>0,方程有两个不相等的实数根,且两根之积为m,又m<0,所以方程有一正根和一负根;
若关于x的方程x2-2x+m=0有一正根和一负根,设为x1,x2,则有解得m<0.
所以“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正根和一负根”的充要条件,故D正确.
故选ABD.
4.B 令x=1.8,y=0.9,满足|x-y|<1,但<1.8>=2,<0.9>=1,≠,故充分性不成立;当=时,必有|x-y|<1,故必要性成立.所以“|x-y|<1”是“=”的必要不充分条件.故选B.
5.答案 必要不充分
解析 ∵A是B的充分不必要条件,C是B的必要不充分条件,∴A B,B /A,B C,C /B,∴A C,C /A,∵D是C的充分必要条件,∴D C,∴A D,D /A,
∴D是A的必要不充分条件.
6.答案 [-2,1]
解析 因为 q是 p的充分不必要条件,所以p是q的充分不必要条件,则且等号不同时成立,解得-2≤m≤1.
7.解析 (1)当a=3时,P={x|4≤x≤7}, RP={x|x<4,或x>7}.又Q={x|-2≤x≤5},
所以( RP)∩Q={x|-2≤x<4}.
(2)因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,所以P是Q的真子集,
又Q={x|-2≤x≤5},P≠ ,
所以解得0≤a≤2.
故a的取值范围是{a|0≤a≤2}.
解题模板 研究充分性、必要性时,可转化为集合间的关系,若p,q对应的集合分别为P,Q,则p是q的充分条件 P Q,p是q的必要条件 Q P.
8.A 易知 UB={(x,y)|x+y-n>0},
故A∩( UB)={(x,y)|x+y-n>0,且2x-y+m>0}.
(2,3)∈A∩( UB)等价于即m>-1,n<5.
所以(2,3)∈A∩( UB)的充要条件为m>-1,n<5.
9.A 不等式x2-x-m>0在x∈R上恒成立即一元二次方程x2-x-m=0在x∈R上无实数根,
∴Δ=(-1)2-4×(-m)<0,解得m<-.
易知B选项是充要条件,不满足题意;
A选项中,m<-可推出m≤-,但m≤-不能推出m<-,故m≤-是m<-的必要不充分条件,A正确;
C选项中,m<-不能推出m<-,C错误;
D选项中,m<-不能推出-1故选A.