第二章 等式与不等式
2.1 等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
基础过关练
题组一 等式的性质与恒等式
1.根据等式的性质,下列说法错误的是( )
A.若x=y,则x-5=y-5
B.若(m+1)x=m+1,则x=1
C.若(a2+1)x=5,则x=
D.若a=b,则am=bm
2.若等式x2-10x-7=a(x+1)2+b(x+1)+c恒成立,则a+b+c的值为 .
3.(1)化简:(x+1)(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1);
(2)已知a+b+c=4,ab+bc+ac=4,求a2+b2+c2的值.
题组二 因式分解
4.如果要在二次三项式x2+( )x-6的括号中填上一个整数,使它能按恒等式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)分解因式,那么这个整数可以是( )
A.1,-1,-2,3 B.5,-5,3,-2
C.1,-1,5,-5 D.以上都不对
5.已知n是正整数,则下列各数中一定能整除(2n+3)2-25的是( )
A.6 B.3 C.4 D.5
6.分解因式:
(1)x2-2x-15;
(2)(a2+1)2-4a2;
(3)12x2-5xy-2y2;
(4)(x2+x)2-8(x2+x)+12.
题组三 方程的解集
7.方程(x+3)(x-3)=3(x+3)的解集是( )
A.{3} B.{6}
C.{-3,6} D.{-6,3}
8.如果方程2x2+px+q=0的解集为{-1,2},那么2x2+px+q可分解为( )
A.(x+1)(x-2) B.(2x+1)(x-2)
C.2(x-1)(x+2) D.2(x+1)(x-2)
9.(多选题)设集合A={x|x2-8x+12=0},B={x|ax-1=0},若A∪B=A,则实数a的值可以是( )
A.0 B. D.2
10.求下列关于x的方程的解集:
(1)ax=-x+1;
(2)x2-6x+9=0;
(3)x3-x=0;
(4)-4=0;
(5)=x+1.
11.集合A={x|x2-ax+a2-13=0},B={x|x2-7x+12=0},C={x|x2-4x+3=0}.
(1)若A∩B=B∩C,求a的值;
(2)若A∩B= ,A∩C≠ ,求a的值.
题组四 一元二次方程根与系数的关系
12.已知α,β是一元二次方程x2-5x-2=0的两个不相等的实数根,则α+β+αβ的值为( )
A.-1 B.2 C.3 D.7
13.已知一元二次方程x2-nx+5=0的两个实数根分别为x1,x2,且=1,则实数n的值为 .
14.设x1,x2是一元二次方程x2+4x-3=0的两个根,2x1(+5x2-3)+a=2,则a= .
15.已知方程x2-4x+1=0的两根为x1和x2,则= ;|x1-x2|= .
16.已知关于x的方程mx2-(m-1)x-1=0.
(1)求证:对于任意实数m,该方程总有实数根;
(2)若x1,x2是原方程的两根,且=2x1x2+1,求m的值.
能力提升练
题组一 等式的性质与恒等式
1.(已知多项式2x3-x2-13x+k有一个因式2x+1,则 k= .
2.我国古代数学家赵爽在注释《周髀算经》时,用几何的方法讨论一元二次方程x2+px-q=0的解:将四个长为x+p,宽为x的矩形围成如图所示的正方形,则中间小正方形的面积为 ,大正方形的面积为 ,从而由面积关系得到一元二次方程的根.(用p,q表示)
3.已知a,b,c为△ABC的三边长.
(1)当a2+b2+c2=ab+bc+ac时,试判断△ABC的形状,并证明你的结论;
(2)判断a2-b2+c2-2ac的值的正负.
题组二 方程的解集
4.已知集合A={x|x2+px+q=x},B={x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3},当A={2}时,集合B=( )
A.{1} B.{1,2} C.{2,5} D.{1,5}
5.已知三个集合A={x|x2-3x+2=0},B={x∈R|x2-ax+a-1=0},C={x∈R|x2-bx+2=0},同时满足B A,C A的实数a,b是否存在 若存在,求出实数a,b的值或取值范围;若不存在,请说明理由.
题组三 一元二次方程根与系数的关系
6.(多选题)一元二次方程ax2+4x+3=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A.a<0 B.a<-2 C.a<-1 D.a<1
7.关于x的方程x2+ax+b=0,有下列四个命题:
甲:x=2是该方程的根;
乙:x=1是该方程的根;
丙:该方程两根之和为1;
丁:该方程两根异号.
已知只有一个假命题,则该命题是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
8.若实数a≠b,且a,b满足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0,则代数式的值是( )
A.-20 B.2
C.2或-20 D.2或20
9.设x2-px+q=0的两个实数根分别为α,β,而以α2,β2为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0,则满足条件的数对(p,q)的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.0
10.(多选题)已知x1,x2(x1>x2)是关于x的方程x2-(k+1)x+2k-1=0的两个实数根,则( )
A.k∈∪(5,+∞)
B.x1-x2=
C.≥2
D.
11.已知关于x的方程3mx2+3px+4q=0(其中m,p,q均为实数)有两个不相等的实数根x1,x2(x1
(1)若p=q=1,求m的取值范围;
(2)若x1,x2为两个整数根,p为整数,且m=-,求x1,x2;
(3)若x1,x2满足=x1x2+1,且m=1,求p的取值范围.
12.已知x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.
(1)是否存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立 若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由;
(2)若k是整数,求使-2的值为整数的所有k的值.
13.设m是不小于-1的实数,关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)若=10,求m的值;
(2)求的最大值.
答案与分层梯度式解析
第二章 等式与不等式
2.1 等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
基础过关练
1.B 4.C 5.C 7.C 8.D 9.ABC 12.C
1.B 易得A中说法正确;对于B,当m+1=0时,x可取任意值,故B中说法错误;对于C,易知a2+1>0,等式两边同时除以a2+1,得x=,故C中说法正确;对于D,等式两边同时乘m等式成立,故D中说法正确.故选B.
2答案 -7
解析 解法一:因为x2-10x-7=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+(a+b+c),
所以a+b+c=-7.
解法二:令x=0,得-7=a+b+c.
3.解析 (1)原式=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)
=(x3+1)(x3-1)=x6-1.
(2)a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=42-2×4=8.
4.C -6可以分解成-2×3,2×(-3),-1×6,1×(-6),括号中填上的整数应该是-6的两个因数的和,即1,-1,5,-5.故选C.
5.C (2n+3)2-25=[(2n+3)+5][(2n+3)-5]=(2n+8)(2n-2)=4(n+4)(n-1),
∴(2n+3)2-25一定能被4整除.故选C.
6.解析 (1)x2-2x-15=(x-5)(x+3).
(2)(a2+1)2-4a2=(a2+1+2a)(a2+1-2a)=(a+1)2(a-1)2.
(3)12x2-5xy-2y2=(3x-2y)(4x+y).
(4)(x2+x)2-8(x2+x)+12=(x2+x-6)(x2+x-2)
=(x+3)(x-2)(x+2)(x-1).
7.C 原方程可化为(x+3)(x-3)-3(x+3)=0,即(x+3)(x-3-3)=0,所以x+3=0或x-3-3=0,解得x1=-3,x2=6.故选C.
8.D ∵方程2x2+px+q=0的解集为{-1,2},∴2(x+1)·(x-2)=0,∴2x2+px+q可分解为2(x+1)(x-2).故选D.
9.ABC 集合A={x|x2-8x+12=0}={x|(x-2)(x-6)=0}={2,6}.因为A∪B=A,所以B A.当a=0时,B= ,符合题意;当a≠0时,B=,所以=2或=6,解得a=或a=.综上所述,a=0或a=或a=.故选ABC.
10.解析 (1)由ax=-x+1,得(a+1)x=1.
当a≠-1时,x=,方程的解集为;
当a=-1时,方程的解集为 .
(2)由x2-6x+9=0,得(x-3)2=0,故x1=x2=3,方程的解集为{3}.
(3)由x3-x=0,得x(x+1)(x-1)=0,故x1=-1,x2=0,x3=1,方程的解集为{-1,0,1}.
(4)设=y,则原方程变形为y2-3y-4=0,
即(y+1)(y-4)=0,解得y1=4,y2=-1.
当y=-1时,=-1,去分母,得x2=-x+1,即x2+x-1=0,解得x1=.
当y=4时,=4,去分母,得x2=4x-4,即x2-4x+4=0,解得x3=x4=2.
检验,把x=,2分别代入原方程的分母中,分母都不等于零,
所以,2都是原方程的解,
故方程的解集为.
(5)=x+1两边平方,得x+7=x2+2x+1,
移项,合并同类项,得x2+x-6=0,即(x+3)(x-2)=0,解得x1=-3,x2=2.
检验,把x=-3代入原方程,左边==2,右边=-2,故x=-3舍去;
把x=2代入原方程,左边==3,右边=3,所以x=2是原方程的解.
故方程的解集为{2}.
11.解析 (1)因为B={x|x2-7x+12=0}={x|(x-3)·(x-4)=0}={3,4},C={x|x2-4x+3=0}={x|(x-1)·(x-3)=0}={1,3},所以B∩C={3}.
又因为A∩B=B∩C,所以3∈A,4 A,
故9-3a+a2-13=0,解得a=4或a=-1.
当a=4时,A={x|x2-4x+3=0}={x|(x-1)(x-3)=0}={1,3},符合题意;
当a=-1时,A={x|x2+x-12=0}={x|(x+4)(x-3)=0}={-4,3},符合题意.
综上所述,a=4或a=-1.
(2)因为A∩B= ,所以3 A,4 A.
又因为A∩C≠ ,所以1∈A,故1-a+a2-13=0,解得a=4或a=-3.
当a=4时,A={1,3},不符合题意;
当a=-3时,A={x|x2+3x-4=0}={x|(x+4)(x-1)=0}={1,-4},符合题意.
综上所述,a=-3.
12.C 因为α,β是一元二次方程x2-5x-2=0的两个不相等的实数根,
所以故α+β+αβ=5-2=3.
故选C.
13.答案 5
解析 ∵一元二次方程x2-nx+5=0的两个实数根分别为x1,x2,
∴x1+x2=n,x1x2=5,Δ=n2-20≥0,
∴=1,解得n=5.
14.答案 8
解析 由题意可得x1x2=-3,+4x2-3=0,则2x1(+4x2-3+x2)+a=2x1x2+a=2×(-3)+a=2,解得a=8.
15.答案 14;2
解析 由根与系数的关系得x1+x2=4,x1x2=1,
所以=(x1+x2)2-2x1x2=42-2×1=14,
|x1-x2|=.
16.解析 (1)证明:当m=0时,原方程为x-1=0,解得x=1,原方程有一个实数根;
当m≠0时,Δ=[-(m-1)]2-4m×(-1)=(m+1)2≥0恒成立,故原方程有两个实数根.
综上,对于任意实数m,该方程总有实数根.
(2)∵x1,x2是方程mx2-(m-1)x-1=0的两根,
∴m≠0,x1+x2=.
又∵=2x1x2+1,
∴=2x1x2+1,
∴+1,
整理,得m2+m-1=0,
解得m=或m=.
能力提升练
4.D 6.BC 7.B 8.A 9.B 10.ABD
1.答案 -6
解析 设2x3-x2-13x+k=(2x+1)(x2+ax+b),则2x3-x2-13x+k=2x3+(2a+1)x2+(a+2b)x+b,
∴
2.答案 p2;p2+4q
解析 由题图可知,小正方形的边长为x+p-x=p,则小正方形的面积为p2.
又四个矩形的面积和为4x(x+p),
所以大正方形的面积为p2+4x(x+p).
又因为x2+px-q=0即x(x+p)=q,所以大正方形的面积为p2+4q.
3.解析 (1)△ABC为等边三角形.
证明:因为a2+b2+c2=ab+bc+ac,
所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0,
所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,
所以a=b,b=c,a=c,所以△ABC为等边三角形.
(2)a2-b2+c2-2ac=(a2-2ac+c2)-b2
=(a-c)2-b2=(a-c+b)(a-c-b)
=[(a+b)-c][a-(b+c)],
由三角形的三边关系可知a+b>c,a所以[(a+b)-c][a-(b+c)]<0,
所以a2-b2+c2-2ac的值为负数.
4.D 由A={x|x2+px+q=x}={2}知,22+2p+q=2,且Δ=(p-1)2-4q=0,所以p=-3,q=4,则(x-1)2+p(x-1)+q=x+3可化为(x-1)2-3(x-1)+4=x+3,即(x-1)2-4(x-1)=0,即(x-1)(x-1-4)=0,解得x=1或x=5,所以集合B={1,5}.
5.解析 对于方程x2-ax+a-1=0,Δ=(-a)2-4(a-1)=(a-2)2≥0,∴B≠ .
∵A={x|x2-3x+2=0}={1,2},B A,
∴B={1}或B={2}.
若B={1},则解得a=2;
若B={2},则无解.
∵C A,∴C= 或{1}或{2}或{1,2}.
当C= 时,对于方程x2-bx+2=0,Δ=(-b)2-8<0,
解得-2;
当C={1}时,不成立;
当C={2}时,不成立;
当C={1,2}时,解得b=3.
综上,存在满足题意的实数a,b,实数a,b满足a=2,b=3或-2.
6.BC 若一元二次方程ax2+4x+3=0(a≠0)有一个正根和一个负根,
则解得a<0.
求充分不必要条件即求集合{a|a<0}的真子集,结合选项知B,C符合题意.
7.B 若甲为假命题,则乙、丙、丁为真命题,由乙、丙得方程的两根分别为0,1,此时丁为假命题,不满足题意;
若乙为假命题,则甲、丙、丁为真命题,由甲、丙得方程的两根分别为-1,2,此时丁为真命题,满足题意;
若丙为假命题,则甲、乙、丁为真命题,显然不成立;
若丁为假命题,则甲、乙、丙为真命题,显然不成立.
综上,乙为假命题,故选B.
8.A 由题意得,a,b是方程x2-8x+5=0的两个实数根,易知Δ>0,所以a+b=8,ab=5,
∴
==-20.
故选A.
9.B 根据题意得,α+β=p①,αβ=q②,α2+β2=p③,α2β2=q④,
由②④可得α2β2-αβ=0,解得αβ=1或αβ=0,即q=1或q=0.
由①②③可得α2+β2=(α+β)2-2αβ=p2-2q=p,即p2-p-2q=0.
当q=0时,p2-p=0,解得p=0或p=1,
即
把它们分别代入原方程的判别式中可知符合题意;
当q=1时,p2-p-2=0,解得p=-1或p=2,
即不合题意,舍去.
所以满足条件的数对(p,q)的个数是3.故选B.
10.ABD 由已知得,Δ=[-(k+1)]2-4×1×(2k-1)=k2-6k+5>0,解得k>5或k<1,又k≠,∴k∈∪(5,+∞),故A正确.
由根与系数的关系,得
则(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(k+1)2-4(2k-1)=k2-6k+5,∵x1>x2,∴x1-x2=,故B正确.
,
当k=0时,<0,故C错误.
,故D正确.
故选ABD.
11.解析 (1)若p=q=1,则方程为3mx2+3x+4=0,
若方程3mx2+3x+4=0有两个不相等的实数根,则解得m<且m≠0,
∴m的取值范围是(-∞,0)∪ .
(2)由题意得m≠0,且
则由m=-得x1+x2=3,由q=得x1x2=,
∵x1,x2,p均为整数,∴p=-1或p=1,
当p=-1时,x1x2=2,又x1+x2=3且x1当p=1时,x1x2=0,又x1+x2=3且x1综上,x1=1,x2=2或x1=0,x2=3.
(3)若m=1,则方程为3x2+3px+4q=0,Δ=9p2-48q>0,
则=x1x2+1,
∴(-p)2-2×+1,即4q=p2-1,
所以Δ=9p2-48q=9p2-12(p2-1)>0,解得-2∴p的取值范围是(-2,2).
12.解析 (1)不存在.理由如下:
∵一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0有两个实数根,
∴所以k<0,
又x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根,
∴x1+x2=1,x1x2=,
∴(2x1-x2)(x1-2x2)=2(,
令-,解得k=(舍去),
∴不存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立.
(2),
要使-是整数,只需k+1能整除4,又k为整数,
∴k+1=±1,±2,±4,
∵k<0,∴满足条件的整数k为-2,-3,-5.
13.解析 (1)∵关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=4(m-2)2-4(m2-3m+3)=-4m+4>0,解得m<1,
则
∴=(x1+x2)2-2x1x2=4(m-2)2-2(m2-3m+3)=2m2-10m+10=10,解得m=0或m=5,
又-1≤m<1,所以m=0.
(2)
=
=2(m2-3m+1)=2,
因为-1≤m<1,所以当m=-1时,取得最大值,最大值为10.2.1.3 方程组的解集
基础过关练
题组一 方程组的解集
1.已知|x-z+4|+|z-2y+1|+|x+y-z+1|=0,则x+y+z=( )
A.9 B.10 C.5 D.3
2.已知方程组的解也是方程3x+my+2z=0的解,则m的值为 .
3.已知方程3ax2-bx-1=0和ax2+2bx-5=0有共同的根-1,则a= ,b= .
4.求下列方程组的解集:
(1)
题组二 方程组在实际问题中的应用
5.桌面上有甲、乙、丙三个杯子,三个杯内均装有一些水.将甲杯的水全部倒入丙杯,此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升;再将乙杯的水全部倒入丙杯,此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升.若过程中水没有溢出,则原本甲、乙两杯内的水量相差( )
A.80毫升 B.110毫升C.140毫升 D.220毫升
6.某商店有方形、圆形两种巧克力,小明如果购买3块方形巧克力和5块圆形巧克力,他带的钱不够,差8元,如果购买5块方形巧克力和3块圆形巧克力,他带的钱会剩下8元.若他只购买8块方形巧克力,则他带的钱会剩下( )
A.8元 B.16元
C.24元 D.32元
7.数学名著《九章算术》中有如下问题:今有甲、乙、丙三人持钱,甲语乙、丙:各将公等所持钱,半以益我,钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分给我一半,我手上就有90钱).乙复语甲、丙:各将公等所持钱,半以益我,钱成七十.丙复语甲、乙:各将公等所持钱,半以益我,钱成五十六.则乙手上原有( )
A.28钱 B.32钱 C.56钱 D.70钱
题组三 方程组的综合应用
8.一个正方体的平面展开图如图所示,若该正方体相对的两个面上的代数式的值均相等,则z+y-x的值为 .
9.对于实数a,b,定义运算“◆”:a◆b=例如4◆3==5.若x,y满足方程组则x◆y= .
10.甲、乙两位同学在求关于x,y的方程组的解时,甲因看错了m,解得乙因看错了n,解得
(1)求m,n的值;
(2)求方程组的解集.
11.若关于x,y的二元一次方程组的解集是{(x,y)|(1,2)},求关于a,b的二元一次方程组的解集.
12.对于任意的有理数a,b,c,d,我们规定:=ad-bc,根据这一规定,解答以下问题:若x,y同时满足=13,=4,求的值.
能力提升练
题组一 方程组的解集
1.“m=2”是“{(x,y)|mx+4y-6=0}∩{(x,y)|x+my-3=0}= ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.(多选题)关于x,y的方程组下列说法正确的是( )
A.一定有解 B.可能有唯一解
C.可能有无穷多解 D.可能无解
3.若方程组的解集是{(x,y)|(3,4)},则方程组的解集是( )
A.{(x,y)|(4,8)} B.{(x,y)|(9,12)}
C.{(x,y)|(15,20)} D.
4.(多选题)给出以下说法,其中正确的为( )
A.关于x的方程x+的解是x=c
B.方程组的正整数解有2组
C.已知关于x,y的方程组其中-3≤a≤1,当a=1时,方程组的解也是方程x+y=4-a的解
D.以方程组的解为坐标的点(x,y)在第二象限
5.求方程组的解集.
题组二 方程组的应用
6.一个三位数,十位、百位上的数字的和等于个位上的数字,十位上的数字的9倍比个位、百位上的数字的和小2,个位、十位、百位上的数字的和为12,则这个三位数是 .
7.若关于x,y的方程组的解集相等,则a= ,b= .
8.已知关于x,y的方程组的解都为正数,则实数a的取值范围为 .
9.已知的值为 .
10.已知x,y均为有理数,且x,y满足2x2+3y+,则x+y的值为 .
11.已知关于x,y的方程组其中k∈R.
(1)当k=1时,求该方程组的解;
(2)证明:无论k为何值,该方程组总有两组不同的解;
(3)记该方程组的两组不同的解分别为判断3(y1+y2)-2y1y2是不是定值.若是定值,请求出该值;若不是定值,请说明理由.
12.某汽车制造厂开发一款新式电动汽车,计划一年生产安装240辆.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装,工厂决定招聘一些新工人,他们经过培训后上岗,能独立进行电动汽车的安装.生产开始后,调研部门发现:1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车;2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车.
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车
(2)如果工厂招聘n(0答案与分层梯度式解析
2.1.3 方程组的解集
基础过关练
1.A 5.B 6.D 7.B
1.A 由题意得
③-①,得y=3,把y=3代入②,得z=5,把z=5代入①,得x=1,所以x+y+z=1+3+5=9.
2.答案 -5
解析 已知方程组
由①得x=y+2,④
将④代入③,得z+y=-1,⑤
由②⑤,得y=1,z=-2,则x=3,
所以3x+my+2z=3×3+m+2×(-2)=5+m=0,
解得m=-5.
3.答案 1;-2
解析 把x=-1代入两方程,得
解得
4.解析 (1)已知方程组
由①+②,得5x+3z=-1,④
由②×3-③,得5x+11z=-17,⑤
联立代入①,得y=2,
所以方程组的解集为{(x,y,z)|(1,2,-2)}.
(2)由方程组整理得9x2-8x-1=0,解得x=1或x=-,
当x=1时,y=1;当x=-时,y=-.
所以方程组的解集为.
5.B 设甲杯中原有a毫升水,乙杯中原有b毫升水,丙杯中原有c毫升水,依题意有
②-①,得b-a=110.
6.D 设方形巧克力每块x元,圆形巧克力每块y元,小明带了a元钱,则②×5-①×3,得16x=2a-64,∴8x=a-32,即小明只购买8块方形巧克力会剩下32元.
7.B 设甲、乙、丙手上原来分别有x钱,y钱,z钱,
则故选B.
8.答案 -3
解析 由题意得x+y=4x-3①,z-1=7x+2y②,3x+2=5-6x③,
由①得y=3x-3,由③得x=,则y=-2,
把x,y的值代入②得z=-,则z+y-x=-=-3.
9.答案 60
解析 由
∵x10.解析 (1)依题意可得满足方程nx+y=3,满足方程x2+my=5,
则
(2)由(1)可得方程组为
由②得x=3-y,③
将③代入①,得(3-y)2+2y=5,解得y1=y2=2,所以x=1.
故方程组的解集为{(x,y)|(1,2)}.
11.解析 观察两个方程组的结构特点可得,a+b相当于x,a-b相当于y,
故由题意可得
所以二元一次方程组.
12.解析 根据题意可知
当x=2,y=-时,.
能力提升练
1.D 2.ABC 3.D 4.BC
1.D 联立消元,得(4-m2)y=6-3m.
当m=2时,y∈R;当m=-2时,无解,当m≠±2时,y=.因为{(x,y)|mx+4y-6=0}∩{(x,y)|x+my-3=0}= ,所以m=-2.故“m=2”是“{(x,y)|mx+4y-6=0}∩{(x,y)|x+my-3=0}= ”的既不充分也不必要条件.
2.ABC 已知
②×a-①得(a2-2a+1)y=a2-2a+1,
当a=1时,(a2-2a+1)y=a2-2a+1恒成立,有无穷多解;
当a≠1时,y=1,x=a,有唯一解.
3.D 由题意得
等式两边都除以5得
对照方程组.故选D.
4.BC 对于A,关于x的方程x+的解是x=c或x=,故A中说法不正确;对于B,方程组因为x,y,z是正整数,所以x+y≥2,
又因为23只能分解为23×1,方程②为(x+y)z=23,所以只能是z=1,x+y=23,将z=1代入原方程组可得所以原方程组的正整数解是(2,21,1),(20,3,1),故B中说法正确;对于C,由则x+y=2+a,当a=1时,x+y=3,故方程组的解也是方程x+y=4-a=3的解,故C中说法正确;对于D,解方程组在第一象限,故D中说法不正确.故选BC.
5.解析 设=b,
则有
所以
两式相减,得x2-x-2=0,解得x=-1或x=2.
当x=-1时,y=1-(-1)=2;
当x=2时,y=1-2=-1.
经检验,均符合题意.
故原方程组的解集为{(x,y)|(2,-1),(-1,2)}.
6.答案 516
解析 设这个三位数个位上的数字为x,十位上的数字为y,百位上的数字为z,根据题意得
将①代入③,得x=6,
将x=6代入①,得y+z=6,④
将x=6代入②,得9y=6+z-2,即9y-z=4,⑤
由④⑤可得y=1,z=5,则这个三位数为516.
7.答案 4;-
解析 因为方程组的解集相等,
所以的解集也是它们的解集,
由
所以
8.答案 (1,+∞)
解析 已知方程组
①×2+②,得x=a-1,③
将③代入②,得a-1+2y=3a+3,则y=a+2,
由题意得解得a>1,
所以实数a的取值范围为(1,+∞).
9.答案
解析 由得3x-y=2x+y,即x=2y,
将x=2y代入3x-y-z=0,得z=5y,
所以.
10.答案 1或-7
解析 ∵x,y均为有理数,
∴
∴x+y=1或x+y=-7.
11.解析 (1)当k=1时,方程组为
消去y得3x2+2x-1=0,解得x=-1或x=,
所以方程组的解为
(2)证明:消去y并整理,得(k2+2)x2+2kx-1=0,
显然k2+2≠0,Δ=8k2+8>0,
所以该方程有两个不同的解,该方程组也对应有两组不同的解.
(3)由根与系数的关系,得x1+x2=-,
所以y1+y2=k(x1+x2)+2=,
y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=,
所以3(y1+y2)-2y1y2==4.
所以3(y1+y2)-2y1y2是定值,且定值为4.
12.解析 (1)设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车,每名新工人每月可以安装y辆电动汽车,
根据题意得
故每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车,每名新工人每月可以安装2辆电动汽车.
(2)设抽调熟练工m人,m∈N*,
由题意得12(4m+2n)=240,整理,得m=.
∵0∴
综上所述,所有可能的招聘方案如下:①抽调熟练工1人,招聘新工人8人;②抽调熟练工2人,招聘新工人6人;③抽调熟练工3人,招聘新工人4人;④抽调熟练工4人,招聘新工人2人.(共16张PPT)
2.1 等式
知识点 1 等式的性质
知识 清单破
1.等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式,等式仍成立.
如果a=b,那么a±c=b±c.
2.等式的两边同时乘(或除以)同一个不为零的数或代数式,等式仍成立.
如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,c≠0,那么 = .
1.含有字母的等式,如果其中的字母取任意实数时等式都成立,则称其为恒等式,也称等式两
边恒等.常见的恒等式:
①平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.
②两数和(或差)的平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.
③立方和(或差)公式:(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b3.
2.十字相乘法
对任意的x,a,b,都有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
如图,十字左边相乘等于1,是二次项系数;十字右边相乘等于ab,是常数项;交叉相乘为b
和a,再相加就是a+b,是一次项系数.助记法则:竖分常数交叉验,横写因式不能乱.
知识点 2 恒等式
1.方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.一般地,把一个方程所有解组成
的集合称为这个方程的解集.
2.一般地,将多个方程联立,就能得到方程组.方程组中,由每个方程的解集得到的交集称为这
个方程组的解集.
知识点 3 方程与方程组的解集
1.公式法
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),Δ=b2-4ac,当Δ>0时,方程的解集为
;当Δ=0时,方程的解集为 ;当Δ<0时,方程的解集为 .
2.因式分解法
如果能将ax2+bx+c=0(a≠0)通过因式分解化为a(x-x1)(x-x2)=0(x1≠x2)的形式,那么方程ax2+bx+c
=0的解集为{x1,x2}.
知识点 4 一元二次方程的解集
当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,设这个方程的两根为x1,x2,则x1+x2=
- ,x1x2= .
知识点 5 一元二次方程根与系数的关系
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.将方程2(x-1)=3(x-1)的两边同除以(x-1),得2=3,其错误的原因是不能确定x-1的值是不是0.
( )
√
2.利用平方差公式计算(2x-5)(-2x-5)的结果是4x2-25. ( )
提示
(2x-5)(-2x-5)=-(2x-5)(2x+5)=-(4x2-25)=25-4x2.
3.若方程25x2-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式,则k的值为11.( )
提示
根据题意知-(k-1)=±2×5×1,
∴1-k=±10,∴k=-9或k=11.
4.若k>1,则关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0有两个正根. ( )
√
提示
Δ=[-(4k+1)]2-4×2(2k2-1)=8k+9,∵k>1,∴Δ>17,∴方程有两个不相等的实数根,设为x1,x2,
则x1+x2= > >0,x1x2= > >0,
∴x1>0,x2>0,∴方程有两个正根.
5.二元一次方程组的解 构成的集合可表示为{(1,1)}. ( )
√
6.当方程组中未知数的个数大于方程的个数时,方程组的解集可能含有无穷多个元素. ( )
√
疑难 情境破
疑难 1 因式分解与解方程
讲解分析
1.十字相乘法分解因式的基本模型为ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)(a≠0).其实质是二项式乘法的
逆运算,关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积,
并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b,即“十字”左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于
常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.务必注意各项系数的符号.
2.方程的解法
(1)一元一次方程转化为ax=b(a≠0)的形式求解.
(2)一元二次方程用因式分解法或公式法求解.
(3)高次方程通过因式分解转化为(x-x1)·(x-x2)…(x-xn)=0的形式求解.
(4)分式方程通过通分或换元转化为多项式方程求解.
(5)含根式的无理方程通过乘方或换元转化为多项式方程求解.
典例 求下列方程的解集:
(1)x2+4x-5=0;
(2)(x2-4x)2-2(x2-4x)-15=0;
(3)x+ = ;
(4)x+ =3.
解析 (1)由x2+4x-5=0,得(x+5)(x-1)=0,解得x1=-5,x2=1.因此所求解集为{-5,1}.
(2)(x2-4x)2-2(x2-4x)-15=0,
即[(x2-4x)-5][(x2-4x)+3]=0,
即(x2-4x-5)(x2-4x+3)=0,
即(x+1)(x-5)(x-1)(x-3)=0,
解得x1=-1,x2=5,x3=1,x4=3.
因此所求解集为{-1,1,3,5}.
(3)因为x+ = ,
所以x-1+ = .
设t=x-1(t≠0),则t+ = ,
所以2t2-5t+2=0,
所以(t-2)(2t-1)=0,
所以t1=2,t2= ,即x1-1=2,x2-1= ,
解得x1=3,x2= .
因此所求解集为 .
(4)设t= ,则t≥0,x=t2+1.
故方程可化为t2+1+t=3,即(t+2)(t-1)=0,
解得t1=1,t2=-2(舍去).
所以 =1,解得x=2.
因此所求解集为{2}.
1.如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,那么x1+x2=- ,x1x2= .
2.常见的涉及一元二次方程的两根x1,x2的代数式的重要变形:
(1) + =(x1+x2)2-2x1x2;
(2) + = ;
(3) + = = ;
(4) + = = ;
(5)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;
(6)(x1+k)(x2+k)=x1x2+k(x1+x2)+k2;
疑难 2 一元二次方程根与系数的关系的应用
(7)|x1-x2|= = .
典例1 已知关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2.若x1,x2满足 + =16+x1x2,则实
数k的值为 ( )
A.-2或6 B.6 C.-2 D.
解析 ∵关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2,
∴Δ=(2k-1)2-4(k2-1)=-4k+5≥0,
解得k≤ .
由根与系数的关系可得x1+x2=1-2k,x1x2=k2-1,
∵ + =(x1+x2)2-2x1x2=16+x1x2,
∴(1-2k)2-2(k2-1)=16+(k2-1),即k2-4k-12=0,
解得k=-2或k=6(舍去),
∴实数k的值为-2.故选C.
C
典例2 已知方程x2-3x+1=0的两根分别为x1,x2,求下列各式的值:
(1) + ;(2) + ;(3) + .
解析 因为方程x2-3x+1=0的两根分别为x1,x2,所以由根与系数的关系可得x1+x2=3,x1x2=1.
(1) + =(x1+x2)2-2x1x2=32-2×1=7.
(2) + =(x1+x2)( -x1x2+ )=3×(7-1)=18.
(3) + = = =7.
列一次方程组解应用题的一般步骤
(1)找等量关系:认真阅读题目,弄清楚题意,明确问题中的已知量和未知量,找出等量关系;
(2)设未知数:用字母表示未知数,并用代数式表示其他相关量;
(3)列方程组:根据题目中的相等关系,列出方程组;
(4)解方程组:求出未知数的值;
(5)检验:检验所得的未知数是否合理;
(6)写出答案.
疑难 3 一次方程组在实际问题中的应用
讲解分析
典例 某服装厂专门安排210名工人进行衬衣的手工缝制,每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1
个衣领组成.如果每人每天能够缝制衣袖10个,或衣身15个,或衣领12个,那么应该安排多少名
工人缝制衣袖,才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套
解析 设应该安排x名工人缝制衣袖,y名工人缝制衣身,z名工人缝制衣领,才能使每天缝制出
的衣袖、衣身、衣领正好配套,
依题意有
解得x=120,y=40,z=50.
故应该安排120名工人缝制衣袖,才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套.