(共12张PPT)
知识点 均值不等式
知识 清单破
2.2.4 均值不等式及其应用
1.均值不等式
均值不等式:如果a,b都是正数,那么 ≥ ,当且仅当a=b时,等号成立.均值不等式也
称为基本不等式(均值不等式中的a,b还可以为零),其实质是:两个正实数的算术平均值不小
于它们的几何平均值.
2.均值不等式与最值
(1)已知x,y均为正实数,如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值,最小值为2 .
(2)已知x,y均为正实数,如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值,最大值为 .
上述结论可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大.
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.当a,b同号时, + ≥2. ( )
√
2.不等式a2+b2≥2ab与 ≤ 有相同的适用范围. ( )
提示
不等式a2+b2≥2ab对任意实数a,b都成立,而 ≤ 只有当a,b都是正实数(特殊时可
取0)时成立.
3.已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n的最小值为18. ( )
√
提示
因为m>0,n>0,所以m+n≥2 =18,当且仅当m=n=9时取等号,故m+n的最小值为18.
4.a+ 的最小值为2. ( )
提示
当a>0时,a+ ≥2 =2,当且仅当a=1时取等号;当a<0时,(-a)+ ≥2,∴a+ ≤-2,当
且仅当a=-1时取等号.
5.x2+ 的最小值为0. ( )
疑难 情境破
疑难 1 应用均值不等式求最大(小)值
讲解分析
利用均值不等式求最值的注意事项
(1)一正:各项必须都是正值.
若各项都是正数,则可以直接用均值不等式求最大(小)值;若各项都是负数,则可以提取
负号,化为正数后用均值不等式求最大(小)值;若有些项是正数,有些项是负数,则不可以用均
值不等式求最大(小)值.
(2)二定:各项之和或各项之积为定值.
利用均值不等式求最大(小)值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值,常见的方
法技巧如下:
①拆(裂项拆项):对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真
分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用均值不等式凑定值创造条件;
②并(分组并项):目的是分组后各组可以单独应用均值不等式,或分组后先对一组应用均值不
等式,再在组与组之间应用均值不等式得出最值;
③配(配式、配系数,凑出定值):有时为了找出“积”或“和”为定值,常常需要根据题设条
件采取合理配式、配系数的方法,构造出“积”或“和”为定值.
(3)三相等:必须验证取等号时条件是否成立,若等号不成立,则不能用均值不等式求最大(小)
值.
典例 (1)当x<0时,求 +4x的最大值;
(2)当x>0时,求x+ 的最小值.
思路点拨 (1)由x<0得 >0,-4x>0,变形后运用均值不等式求出最大值.(2)利用
× =1为定值,将所求式变形后,运用均值不等式求出最小值.
解析 (1)∵x<0,∴-x>0.
则 +(-4x)≥2 =8 ,当且仅当 =-4x,即x=- 时取等号.
∴ +4x≤-8 ,∴ +4x的最大值为-8 .
(2)∵x>0,∴x+ >0,
∴x+ =x+ =x+ + - ≥2× - = ,
当且仅当x+ = ,即x= 时,等号成立.故x+ 的最小值为 .
名师点睛 在利用均值不等式求最值的过程中,常需要把数、式合理地拆成两项(多项)或恒
等变形配凑成适当的数、式,以便于利用均值不等式,平时要积累一些变形的经验.
1.求含有附加条件的最大(小)值问题,常见的方法是分析条件与结论的运算结构,选用不同的
不等式求解:设a>0,b>0,则有 ≤ ≤ ≤ (当且仅当a=b时取等号),即调和平
均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.
2.换(常值代换、变量代换):对条件变形,以便进行“1”的代换,从而构造利用均值不等式求
最值的形式.常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y,m均为正数),求 + 的最小值”和“已知 + =m
(a,b,x,y,m均为正数),求x+y的最小值”两种类型.
疑难 2 利用均值不等式求有附加条件的最大(小)值
典例 (1)设x>0,y>0,且x+y=18,求xy的最大值;
(2)已知x,y>0,且x+y=4,求 + 的最小值.
解析 (1)∵x>0,y>0,∴ ≥ ,即xy≤ =81,
当且仅当x=y=9时,等号成立,因此xy的最大值为81.
(2)∵x+y=4,∴ (x+y)=1,∴ + = (x+y) = ,
∵x,y>0,∴ >0, >0,
∴ + ≥2 =2 ,
当且仅当 = ,且x+y=4时取等号,即x=2 -2,y=6-2 时取等号,
∴ + ≥ ×(4+2 )=1+ ,
即 + 的最小值为1+ .
1.利用均值不等式证明不等式的关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将
“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果.证明不等式常用
的变形技巧有:
(1)拆分、配凑:将所要证明的不等式先拆分成几部分,再利用均值不等式证明.
(2)常值代换:利用已知条件或将已知条件变形得到含“常值”的式子,将“常值”代入后再
利用均值不等式证明.
2.多次运用均值不等式时,需要注意两点:一是不等号方向要一致,二是等号要能同时取到.
疑难 3 利用均值不等式证明不等式
典例 (1)已知a,b,c>0,求证: + + ≥a+b+c;
(2)已知x,y为正实数,且满足x+y=1.证明: + ≥ .
思路点拨 (1)由均值不等式得 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c,再利用不等式的性质证明不
等式.(2)先利用“乘1法”转化,使用均值不等式证得 + ≥4,再利用a2+b2≥ 证得
+ ≥ .
证明 (1)∵a,b,c>0,
∴利用均值不等式可得 +b≥2a(当且仅当a=b时等号成立), +c≥2b(当且仅当b=c时等号
成立), +a≥2c(当且仅当a=c时等号成立),∴ + + +a+b+c≥2a+2b+2c,
∴ + + ≥a+b+c,当且仅当a=b=c时,等号成立.
(2)因为x,y为正实数,x+y=1,
所以 + =(x+y) =2+ + ≥4,
所以 + ≥ = ≥ = ,当且仅当x=y= 时取等号.2.2.4 均值不等式及其应用
基础过关练
题组一 对均值不等式的理解
1.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0,其中能使≥2成立的条件个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知正数a,b满足a+2b=1,则( )
A.ab≥ C.0
4.下列不等式正确的是( )
A.x2+≥2 B.a2+b2≥4ab C.≥4
5.数学里有一种证明方法叫做无字证明,一般是指仅用图形而无须用文字解释就能不证自明的数学命题.如图所示,在等腰直角三角形ABC中,O为斜边AB的中点,D为线段AB上异于端点的一个动点,设AD=a(a>0),BD=b(b>0),则该图形可以完成的无字证明为( )
A.
C. D.a2+b2≥2
题组二 利用均值不等式比较大小
6.已知a,b为互不相等的正实数,则下列四个数中最大的是( )
A.
7.已知a,b是互不相等的正实数,x=,则x,y的大小关系是 .
8.某市一外贸公司第一年的产值增长率为a,第二年的产值增长率为b,这两年的平均产值增长率为x,则x与的大小关系是 .
题组三 利用均值不等式求最值
9.已知实数x>1,则2-x-的( )
A.最小值为1 B.最大值为1 C.最小值为-1 D.最大值为-1
10.已知x>0,y>0,且4x+y=1,则的最小值为( )
A.5 B.4
11.若正实数a,b满足2a+b=6,则的最小值为( )
A. C.2 D.4
12.已知a>0,b>0,a+2b=1,则的最小值为( )
A.
13.(多选题)已知正数x,y满足x+y=4,则下列说法不正确的是( )
A.的最小值是4
B.xy的最大值是4
C.x2+y2的最小值是8
D.x(y+1)的最大值是
14.已知x>1,y>0,且x+=2,则+y的最小值是 .
题组四 利用均值不等式进行证明
15.已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>.
16.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)≥8;
(2)≥9.
题组五 利用均值不等式解决实际问题
17.某社区要在办公楼外墙建一个面积为8 m2的矩形展示区,并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏(如图所示).要求上、下各空0.25 m,左、右各空0.25 m,相邻宣传栏之间也空0.25 m.设三个宣传栏的面积之和为S m2,则S的最大值为 .
18.通过技术创新,某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场.2023年,该种玻璃售价为 25欧元/平方米,销售量为80万平方米.
(1)据市场调查,售价每提高1欧元/平方米,销售量将减少2万平方米,要使销售收入不低于2 000万欧元,则该种玻璃的售价最高为多少欧元/平方米
(2)为提高年销售量,增加市场份额,公司将在2024年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革:提高价格到m(m>25)欧元/平方米,其中投入(m2-600)万欧元作为技术创新费用,投入500万欧元作为固定宣传费用,投入2m万欧元作为浮动宣传费用,则该种玻璃的销售量n(单位:万平方米)至少达到多少时,才可能使2024年的销售收入不低于2023年销售收入与2024年投入之和 并求出此时的售价.
能力提升练
题组一 利用均值不等式求最值
1.已知x,y为正实数,则的最小值为( )
A.4 B.5 C.6 D.8
2.已知0A.50 B.49 C.25 D.7
3.已知x,y为正实数,且x+y=1,则的最小值为( )
A.24 B.25 C.6+4-3
4.(多选题)设a>0,b>0,已知M=,则下列说法正确的是( )
A.M有最小值 B.M没有最大值
C.N有最大值 D.N有最小值
5.已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则( )
A.xy的最小值是1
B.x+y的最小值是2
C.x+4y的最小值是3
D.x+2y的最大值是4-3
6.(多选题)已知正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,当取最小值时,下列说法正确的是( )
A.a=2b
B.a+b+c的最小值为-
C.c=4b2
D.a+b-c的最大值为
7.已知x>0,y>0,m>0,且(mx-y)=4,则m的最小值为 .
8.已知实数x,y满足x>2y>0,且x+y=1,则的最小值为 .
9.已知关于x的不等式x2-2mx+m+2≤0(m∈R)的解集为M.
(1)当M为空集时,求实数m的取值范围;
(2)在(1)的条件下,求的最小值;
(3)当M不为空集,且M {x|1≤x≤4}时,求实数m的取值范围.
题组二 利用均值不等式进行证明
10.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:
(1)ab+bc+ac≤;
(2)a2+b2+c2≥.
题组三 利用均值不等式解决实际问题
11.如图,在半径为4的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD,其顶点A,B在直径上,顶点C,D在圆周上,则矩形ABCD面积的最大值为 .
12.如图,互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD,现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ,要求P在射线AM上,Q在射线AN上,且PQ过点C,其中AB=30 m,AD=20 m.记三角形花园APQ的面积为S m2.
(1)当DQ的长度是多少时,S取最小值 并求出S的最小值;
(2)要使S不小于1 600,则DQ的长度应在什么范围内
13.某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益,拟在下一年度开展促销活动,已知该款食品年销量x(吨)与年促销费用t(万元)之间满足函数关系式x=2-(k为常数),如果不开展促销活动,年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用,通过市场分析,若将每吨食品售价定为“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和,则当年生产的该款食品正好能销售完.
(1)求k的值;
(2)将下一年的利润y(万元)表示为促销费用t(万元)的函数;
(3)该食品企业下一年的促销费用投入多少万元时,该款食品的利润最大
(注:利润=销售收入-生产成本-促销费用,生产成本=固定费用+生产费用)
答案与分层梯度式解析
2.2.4 均值不等式及其应用
基础过关练
1.C 2.A 3.C 4.A 5.C 6.B 9.D 10.A
11.B 12.D 13.AD
1.C 当均为正数时,≥2,故只需a,b同号即可,则①③④均满足要求.故选C.
2.A 当a+b≤4时,∵a>0,b>0,∴2≤a+b≤4,∴ab≤4,充分性成立.当a>0,b>0,ab≤4时,令a=4,b=1,则a+b=5>4,因此必要性不成立.
综上所述,当a>0,b>0时,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.故选A.
3.C 由题意得,a>0,b>0,则ab>0,所以 a+2b=1≥2,即04.A A.易知x2≠0,∵x2>0,≥2,当且仅当x2=,即x2=时,等号成立,故A正确;
B.当a=1,b=1时,a2+b2<4ab,故B不正确;
C.当a>0,b>0时,,故C不正确;
D.当a<0时,a+≥4不成立,故D不正确.
5.C 由题意得AB=AD+BD=a+b,OC=OA=OB=(a+b),OD=|OB-BD|=(a+b)-b=,
当O与D不重合时,在Rt△OCD中,CD2=OD2+OC2=,当O与D重合,即a=b时,CD2=.
综上,CD=.
因为OC≤CD,所以(a+b)≤,当且仅当a=b时取等号,故选C.
6.B 解法一:因为a,b为互不相等的正实数,所以,故四个数中最大的是,故选B.
解法二:根据题意可令a=1,b=2,则,
所以四个数中最大的是,故选B.
7.答案 x解析 易得x2=.
∵a,b是互不相等的正实数,∴a+b>2,∴x2易知x>0,y>0,∴x8.答案 x≤
解析 由题意可得(1+x)2=(1+a)(1+b)≤,当且仅当a=b时,等号成立,所以1+x≤1+,即x≤.
9.D 2-x-≤1-2=1-2=-1,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.故2-x-的最大值为-1.故选D.
10.A 因为x>0,y>0,且4x+y=1,所以+1≥2+1=5,
当且仅当时,等号成立,故的最小值为5.故选A.
11.B 由2a+b=6,得=1,
因为a>0,b>0,所以,当且仅当,2a+b=6,即a=,b=3时取等号,
所以.故选B.
12.D 因为a>0,b>0,且a+2b=1,所以+3≥3+2,当且仅当时取等号,故选D.
13.AD 因为x>0,y>0,x+y=4,
所以=1,当且仅当,即x=y=2时等号成立,A中说法错误;
xy≤=4,当且仅当x=y=2时等号成立,B中说法正确;
x2+y2≥=8,当且仅当x=y=2时等号成立,C中说法正确;
x(y+1)≤,当且仅当x=y+1,即x=时等号成立,D中说法错误.
故选AD.
14.答案 9
解析 因为x+=2,所以x-1+=1,
则≥5+2=9,
当且仅当(x-1)y==2,即x=,y=6时,等号成立.所以+y的最小值是9.
15.证明 ∵a>0,b>0,c>0,
∴a+b≥2(当且仅当a=b时等号成立),
b+c≥2(当且仅当b=c时等号成立),
c+a≥2(当且仅当a=c时等号成立),
∴2(a+b+c)≥2(),即a+b+c≥(当且仅当a=b=c时等号成立).
又∵a,b,c为不全相等的正实数,
∴a+b+c>.
16.证明 (1)∵a+b=1,
∴,
∵a>0,b>0,
∴≥2+2=4,当且仅当a=b=时等号成立,
∴≥8.
(2)证法一:∵a+b=1,∴1+,
同理,1+,
又a>0,b>0,
∴≥5+4=9,当且仅当a=b=时等号成立,
∴≥9.
证法二:.
由(1)知,≥8,
故≥9,当且仅当a=b=时,等号成立.
17.答案 4.5
解析 设矩形展示区的长为x m,则宽为 m,
由题意得S=(x-0.25×4)≤8.5-2=4.5,当且仅当0.5x=,即x=4时,等号成立,所以S的最大值为4.5.
18.解析 (1)设该种玻璃的售价为x(x≥25)欧元/平方米,则其销售收入为[80-2(x-25)]x欧元,
令[80-2(x-25)]x≥2 000,即x2-65x+1 000≤0,解得25≤x≤40,
所以该种玻璃的售价最高为40欧元/平方米.
(2)由题意得mn≥25×80+500+2m+(m2-600),整理得mn≥1 500+2m+m2,
两边同除以m得n≥m+2,
又m+2≥2+2=102,当且仅当m,即m=30时取等号,所以n≥102.
故该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时,才可能使 2024年的销售收入不低于2023年销售收入与2024年投入之和,此时的售价为30欧元/平方米.
能力提升练
1.C 2.B 3.B 4.ABD 5.B 6.AD
1.C 令t=,则t>0,故-2≥2-2=6,当且仅当t+2=,即t=2时取等号,故选C.
2.B ∵00,∴≥25+2=49,当且仅当,即x=时取等号,∴的最小值为49,故选B.
3.B 因为x,y为正实数,且x+y=1,所以≥13+2=25,
当且仅当时,等号成立,所以的最小值为25.故选B.
4.ABD 因为a>0,b>0,所以M=≥2=2,当且仅当,即a=b时,等号成立,故A,B正确;
当a>0,b>0时,,即,所以N=,当且仅当a=b时,等号成立,故C错误,D正确.故选ABD.
5.B 因为x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,所以x+y=3-xy≥2,当且仅当x=y时取等号,解得00,所以00,所以等号取不到,故C错误;x+2y=-3≥2-3,当且仅当2(y+1)=,即y=-1时取等号,故D错误.故选B.
6.AD 由a2-ab+4b2-c=0可得c=a2-ab+4b2,
故-1≥2-1=3,当且仅当a=2b时等号成立,故A正确;
当a=2b时,c=a2-ab+4b2=4b2-2b2+4b2=6b2,故C错误;
当a=2b时,a+b+c=3b+6b2=6,当b=-时,a+b+c有最小值-,显然取不到,故B错误;
当a=2b时,a+b-c=3b-6b2=-6,当b=时,a+b-c有最大值,故D正确.故选AD.
7.答案 9
解析 由(mx-y)=4,得m-+1=4,即=m-3.
因为x>0,y>0,m>0,
所以m-3=≥2,
当且仅当,即y=x时,等号成立,
令t=>0,则t2-2t-3≥0,解得t≥3或t≤-1(舍去),即≥3,故m≥9,当且仅当y=3x时,等号成立,故m的最小值是9.
8.答案
解析 因为x>2y>0,且x+y=1,
所以
=
=2+
≥,
当且仅当,且x+y=1,即x=时等号成立.
所以.
9.解析 (1)∵M为空集,∴Δ=4m2-4(m+2)<0,即m2-m-2<0,解得-1∴实数m的取值范围为{m|-1(2)由(1)知-1∴≥2=4,
当且仅当m+1=,即m=1时等号成立.
所以的最小值为4.
(3)由M不为空集,且M {x|1≤x≤4},
得解得2≤m≤.
故实数m的取值范围为.
10.证明 (1)因为a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”),b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时取“=”),c2+a2≥2ca(当且仅当a=c时取“=”),
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca(当且仅当a=b=c时取“=”).
因为(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,
所以1≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca,
即ab+bc+ac≤.
(2)由(1)得2ab+2bc+2ac≤2(a2+b2+c2),
所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1≤a2+b2+c2+2(a2+b2+c2),即a2+b2+c2≥当且仅当a=b=c=时取“=”.
11.答案 16
解析 连接OC,设OB=x(0则BC=,AB=2OB=2x,
所以矩形ABCD的面积S=AB·BC=2x·≤x2+(16-x2)=16,当且仅当16-x2=x2,即x=2时等号成立,所以矩形ABCD面积的最大值为16.
12.解析 (1)设DQ=x m,则AQ=(x+20)m,
因为DC∥AB,所以△QDC∽△QAP,所以,即,即AP=,
则S=AP·AQ=×(x+20)
=15≥15=1 200,
当且仅当x=,即x=20时,等号成立.
所以当DQ的长度是20 m时,S取最小值,最小值为1 200.
(2)令S≥1 600,即15≥1 600,
则由x>0得3x2-200x+1 200≥0,所以x≥60或0即DQ的长度(单位:m)的取值范围是∪[60,+∞).
13.解析 (1)由题意可知,当t=0时,x=1,所以1=2-,解得k=2.
(2)由(1)知k=2,故x=2-,
则由题意可得该款食品的年生产成本为32x+3=万元,
故年销售收入为万元,
所以y=(t≥0).
(3)由(2)知y=-(t≥0),
因为-
≤-2=26.5,
当且仅当,即t=6时,等号成立.
所以该食品企业下一年的促销费用投入6万元时,该款食品的利润最大.(共15张PPT)
知识点 1 一元二次不等式
知识 清单破
2.2.3 一元二次不等式的解法
一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0,一元
二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.
1.因式分解法:一般地,如果x10的
解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞).
2.配方法:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方可变为(x-h)2>k或(x-h)2 当k>0时,(x-h)2>k的解集为(-∞,h- )∪(h+ ,+∞),(x-h)2 当k<0时,(x-h)2>k的解集为R,(x-h)2 当k=0时,(x-h)2>k的解集为{x|x≠h},(x-h)2知识点 2 一元二次不等式的解集
已知f(x),g(x)为关于x的整式,且g(x)≠0.
知识点 3 分式不等式的解法
分式不等式 同解不等式
>0 或
f(x)g(x)>0
<0 或
f(x)g(x)<0
>a(a≠0) >0
g(x)[f(x)-ag(x)]>0
知识补充 ab>0 或
ab<0 或
1.不等式x2-x>x2-1是一元二次不等式.( )
2.不等式x2+x-2<0与2-x-x2>0的解集相同.( )
3.不等式x2-2x-3>0可化为(x-1)2>4.( )
4.不等式x(1-x)≤0的解集为[0,1].( )
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
√
√
5.不等式 <1的解集为{x|x<1或x>2}. ( )
提示
√
原不等式可化为 >0,同解于(x-1)(x-2)>0,其解集为{x|x<1或x>2}.
疑难 情境破
疑难 1 含参数的一元二次不等式的解集
讲解分析
含参数的一元二次不等式的解题步骤:①将二次项系数化为正数;②判断相应的方程是
否有根(如果可以直接分解因式,那么可省去此步);③根据根的情况写出相应的解集,若方程
有两个不相等的实根,还要比较两根的大小.
根据上面的步骤可能产生的讨论形式:①若二次项系数含有参数,则应讨论其与0的关系,然后
将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式;②若一元二次不等式对应的一元二次
方程的根的个数不确定,则应讨论方程的判别式与0的关系;③若对应方程无根,则可直接写出
解集,若对应方程有两个根,则要讨论两根的大小关系,从而确定解集.
典例 解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0.
思路点拨 因为二次项的系数a不确定,所以需要根据a的取值进行分类讨论.
解析 (1)当a=0时,原不等式为-2x+4>0,所以x<2,故不等式的解集为{x|x<2}.
(2)当a<0时,方程ax2-2(a+1)x+4=0的判别式Δ=4(a-1)2>0,易得方程的两根分别为x1=2,x2= ,易
知 <2,所以不等式的解集为 .
(3)当a>0时,方程ax2-2(a+1)x+4=0的判别式Δ=4(a-1)2≥0,方程的两根分别为x1=2,x2= .
①当 <2,即a>1时,不等式的解集为 ;
②当 >2,即0③当 =2,即a=1时,不等式的解集为{x|x≠2}.
综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x<2};当a<0时,不等式的解集为 ;当a>1时,
不等式的解集为 ;当0 ;当a=1时,不等
式的解集为{x|x≠2}.
1.解决与一元二次不等式有关的恒成立问题时,可通过二次函数求最值求解,也可通过分离参
数求解.解决恒成立问题一定要分清自变量和参数,一般地,已知范围的是变量,求解范围的是
参数.对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的范围内
全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的范围内全部在x轴下方.
2.求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法:
(1)利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题.
设y=ax2+bx+c(a≠0),则y>0恒成立 y≥0恒成立 y<0恒成立 y≤0
恒成立
疑难 2 如何解决与一元二次不等式有关的恒成立问题
讲解分析
(2)分离自变量和参数,利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题.
典例1 若关于x的不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集为R,则实数m的取值范围是 .
[1,9)
解析 当m-1=0,即m=1时,不等式化为2>0,显然恒成立,符合题意;
当m-1≠0,即m≠1时,若关于x的不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集为R,则
解得1综上所述,实数m的取值范围是[1,9).
易错警示 解决含参数的“一元二次不等式”问题,要关注二次项系数是否含有参数,若二
次项系数含参数,则要对二次项系数是不是0进行讨论.
典例2 若对任意的m∈{m|1≤m≤3},mx2-mx-6+m<0恒成立,求实数x的取值范围.
解析 mx2-mx-6+m<0 m(x2-x+1)-6<0.
∵x2-x+1= + >0,∴m< .
由题意可得 >3,即x2-x-1<0,
解得 ∴实数x的取值范围为 .
1.简单分式不等式的解法
解分式不等式的思路:先转化为整式不等式,再求解.
化分式不等式为“标准形式”的方法:移项,通分,右边化为0,左边化为 的形式(f(x),g(x)为
关于x的整式,且g(x)≠0).
2.简单高次不等式的解法
不等式的最高次项的次数大于2的不等式称为高次不等式.解高次不等式常用的方法有两种:
(1)将高次不等式中的多项式分解成若干个不可约因式的乘积.根据实数运算的符号法则,把
它等价转化为两个或多个不等式(组),于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集.
(2)穿针引线法:
疑难 3 分式不等式和高次不等式的解集
讲解分析
①将不等式化为标准形式,一端为0,另一端为一次因式或二次不可约因式的乘积(因式中x的
系数为正);
②求出各因式等于0时的实数根,并在数轴上标出;
③自最右端上方起,用曲线自右向左依次由各根穿过数轴,遇奇次重根穿过,遇偶次重根穿不
过(即“奇过偶不过”);
④记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集.
典例 求下列关于x的不等式的解集:
(1) >0;(2) ≥1;
(3) >0.
解析 (1)原不等式等价于(4x+2)(3x-1)>0,所以原不等式的解集为 .
(2)原不等式可化为 ≤0,
所以原不等式等价于
所以原不等式的解集为 .
(3)原不等式可以转化为(x-2)3(x-1)(x+3)2>0,各因式对应的根为2(三重根),1,-3(二重根).
结合下图可得,原不等式的解集为{x|x>2或x<1且x≠-3}.2.2.2 不等式的解集
基础过关练
题组一 不等式的解集与不等式组的解集
1.不等式1-2x<5-x的负整数解有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.不等式组的解集是( )
A.{x|x>1} B.{x|1C.{x|x<2} D.{x|x<1或x>2}
3.不等式组的解集为{x|x>a},则a的取值范围是( )
A.{a|a≤2} B.{a|a<2} C.{a|a≥2} D.{a|a>2}
4.某校的一个志愿者服务队由高中部学生组成,且满足以下三个条件:
(1)高一学生人数多于高二学生人数;
(2)高二学生人数多于高三学生人数;
(3)高三学生人数的3倍多于高一、高二学生人数之和.
若高一学生人数为7,则该志愿者服务队的总人数为( )
A.15 B.16 C.17 D.18
5.若0≤m<,则关于x的不等式组的整数解的个数是 .
6.如果不等式组的解集是{x|0≤x<1},那么ba的值为 .
7.已知关于x的不等式组
(1)当m=-11时,求不等式组的解集;
(2)若该不等式组的解集是 ,求m的取值范围.
题组二 绝对值不等式
8.不等式|x-2|>x-2的解集是( )
A.(-∞,2) B.(-∞,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)
9.设x∈R,则“0A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.不等式2<|2x+3|≤4的解集为( )
A.
B.
C.
D.
11.已知不等式|x-a|≤b的解集为{x|-1≤x≤5},则a,b的值分别为( )
A.2,-3 B.-3,2 C.2,3 D.-2,3
12.设x∈R,则不等式|x+3|+|x-4|≥7的等号成立时x的取值范围为 .
13.已知集合A={x||x-4|+|x-1|<5},
B={x|a14.若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为,求实数a的值.
15.解下列不等式:
(1)|x-1|>|2x-3|;
(2)|x+1|+|x+2|>3+x.
题组三 数轴上距离公式、中点坐标公式的应用
16.数轴上点M,N,P的坐标分别为3,-1,-5,则MP+PN=( )
A.-4 B.4 C.-12 D.12
17.已知数轴上不同的两点A,B,若点B的坐标为3,且AB=5,则线段AB的中点M的坐标为( )
A.
18.已知数轴上不同的两点A(a),B(b),则在数轴上满足条件PA=PB的点P的坐标为( )
A. D.b-a
能力提升练
题组一 不等式的解集与不等式组的解集
1.若关于x的不等式组的解集为{x|x<1},且关于x的分式方程=3有非负数解,则所有符合条件的整数m的值之和是( )
A.-2 B.0 C.3 D.5
2.已知A={x|2a6},若A∪B=R,则a的取值范围为 .
3.已知4x-y=6,x-y<2,m=2x+3y.求:
(1)x的取值范围;
(2)m的取值范围.
4.定义一种新运算:T(x,y)= (其中a,b均为非零常数),这里等式右边是普通的四则运算,例如:T(0,1)==b.已知T(1,-1)=-2,T(4,2)=1.
(1)求a,b的值;
(2)若关于m的不等式组恰好有3个整数解,求实数p的取值范围.
题组二 绝对值不等式
5.已知集合A=,B={x|-2≤x≤3},则( RA)∩B=( )
A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3或x≥4}
C.{x|-1≤x≤3} D.{x|-2≤x≤-1}
6.若关于x的不等式|x+1|+|x-3|≤|a|存在实数解,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-4] B.[4,+∞)
C.[-4,4] D.(-∞,-4]∪[4,+∞)
7.若不等式|2x-a|≤x+3对任意x∈[0,2]恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,3) B.[-1,3]
C.(1,3) D.[1,3]
8.已知关于x的不等式|x-3|≤(a>0)恰有3个整数解,则实数a的取值范围是 .
9.若存在x∈[1,2],使得|x+a|+|x-a|=|2x|成立(其中a>0),则实数a的取值范围为 .
10.已知数轴上三点P(-8),Q(m)(m∈R),R(2).
(1)若其中一点到另外两点的距离相等,则m= ;
(2)若PQ的中点与线段PR的中点的距离大于1,则m的取值范围为 .
答案与分层梯度式解析
2.2.2 不等式的解集
基础过关练
1.B 2.B 3.C 4.D 8.A 9.B 10.C 11.C
16.D 17.D 18.C
1.B 由1-2x<5-x可得x>-,所以不等式的负整数解有-1,-2,共2个,故选B.
2.B 由2x+3>5,得x>1,由3x-2<4,得x<2,故不等式组的解集是{x|13.C 由因为不等式组的解集为{x|x>a},所以a≥2,即a的取值范围是{a|a≥2},故选C.
4.D 设高二学生人数为x,高三学生人数为y,x,y∈N*,则故y≥4,又y7+x中检验,只有(6,5)满足,∴x=6,y=5,∴该志愿者服务队的总人数为7+6+5=18.
5.答案 6
解析 已知不等式组
解不等式①,得x>3m,解不等式②,得x≤6,所以该不等式组的解集为{x|3m所以该不等式组的整数解有1,2,3,4,5,6,共6个.
6.答案 1
解析 易得不等式组的解集为x4-2a≤x<,
又该不等式组的解集是{x|0≤x<1},
∴∴ba=(-1)2=1.
7.解析 (1)当m=-11时,不等式组为
解不等式①得x>-4,解不等式②得x<-,
故不等式组的解集为.
(2)解不等式m-2x,
∵不等式组的解集为 ,∴≥-,
解得m≥-.
8.A 因为|x-2|>x-2,所以x-2<0,即x<2.故选A.
9.B 由|x-1|<1,得-1所以0故“010.C 由2<|2x+3|≤4,可得2<2x+3≤4或-4≤2x+3<-2,解得-11.C 由|x-a|≤b,得a-b≤x≤a+b,
∴故选C.
12.答案 [-3,4]
解析 |x+3|+|x-4|=
所以当|x+3|+|x-4|≥7的等号成立时,或-3≤x≤4或解得-3≤x≤4.
13.答案 7
解析 |x-4|+|x-1|<5的几何意义为数轴上表示x的点与表示1和4的点的距离之和小于5,画出数轴,如下:
由图可得,0∵B={x|a∴a+b=7.
14.解析 由|ax-2|<3得-3若a>0,则-,由题意知无解.
若a=0,则不等式的解集为R,与题意不符,舍去.
若a<0,则,由题意知
解得a=-3.
综上可得,实数a的值为-3.
15.解析 (1)|x-1|>|2x-3|等价于|x-1|-|2x-3|>0,
当x<1时,不等式可化为-x+1+2x-3>0,解得x>2,与x<1矛盾,舍去;
当1≤x≤时,不等式可化为x-1+2x-3>0,解得x>当x>时,不等式可化为x-1-2x+3>0,解得x<2,∴综上所述,原不等式的解集为.
(2)当x<-2时,原不等式可化为-x-1-x-2>3+x,解得x<-2,∴x<-2;当-2≤x≤-1时,原不等式可化为-x-1+x+2>3+x,解得x<-2,与-2≤x≤-1矛盾,舍去;当x>-1时,原不等式可化为x+1+x+2>3+x,解得x>0,∴x>0.
综上所述,原不等式的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).
16.D MP+PN=|3-(-5)|+|-5-(-1)|=12.
17.D 记点A(x1),B(x2),则x2=3.
AB=|x1-x2|=5,即|x1-3|=5,
解得x1=-2或x1=8.
当x1=-2时,点M的坐标为;
当x1=8时,点M的坐标为.故选D.
18.C 设点P的坐标为x.∵PA=PB,∴|x-a|=|x-b|,即x-a=±(x-b),解得x=,故选C.
能力提升练
1.A 5.C 6.D 7.B
1.A 解不等式≤1,得x≤m+3,
解不等式x-4>3(x-2),得x<1,
∵不等式组的解集为{x|x<1},
∴m+3≥1,解得m≥-2.
解分式方程=3,得x=,
∵分式方程有非负数解,
∴≥0且≠1,解得m<3且m≠2,
∴-2≤m<3且m≠2,
则所有符合条件的整数m的值之和是-2-1+0+1=-2.故选A.
2.答案 [-3,-1)
解析 画出数轴,因为A∪B=R,所以解得-3≤a<-1,所以实数a的取值范围为[-3,-1).
3.解析 (1)∵4x-y=6,∴y=4x-6,
∵x-(4x-6)<2,解得x>1,
故x的取值范围是(1,+∞).
(2)∵y=4x-6,m=2x+3y,
∴m=2x+12x-18,∴x=,
∵x>1,∴>1,解得m>-4,
故m的取值范围为(-4,+∞).
4.解析 (1)由T(1,-1)=-2,T(4,2)=1,得
(2)由(1)得T(x,y)=,
则不等式组
即
因为不等式组恰好有3个整数解,
所以2<≤3,解得-2≤p<-.
故实数p的取值范围是.
5.C 由题意可知 RA=,由,得-≤x-,即-1≤x≤4,所以 RA={x|-1≤x≤4},所以( RA)∩B={x|-1≤x≤3}.故选C.
6.D 因为不等式|x+1|+|x-3|≤|a|存在实数解,
所以(|x+1|+|x-3|)min≤|a|,
由绝对值不等式的性质得|x+1|+|x-3|≥|x+1-(x-3)|=4,即(|x+1|+|x-3|)min=4,故|a|≥4,解得a≥4或a≤-4.
7.B 不等式|2x-a|≤x+3去掉绝对值符号得-x-3≤2x-a≤x+3,
故对任意x∈[0,2]恒成立,
变量分离得
所以实数a的取值范围是[-1,3].故选B.
8.答案 [2,4)
解析 由|x-3|≤(a>0),得-≤x-3≤,即3-≤x≤3+,
因为该不等式恰有3个整数解,所以这三个整数解只能是2,3,4,
所以解得2≤a<4,
所以实数a的取值范围为[2,4).
9.答案 (0,2]
解析 当x≥a时,|x+a|+|x-a|=2x,令2x=|2x|,恒成立,故0当-a当x≤-a时,|x+a|+|x-a|=-2x,令-2x=|2x|,即-x=|x|,解得x≤0,不符合题意.
综上所述,实数a的取值范围为(0,2].
10.答案 (1)-18或-3或12 (2)(-∞,0)∪(4,+∞)
解析 (1)若PQ=PR,则P是线段QR的中点,
则-8=,解得m=-18;
若QP=QR,则Q是线段PR的中点,
则m==-3;
若RP=RQ,则R是线段PQ的中点,则2=,解得m=12.
(2)由题意知>1,即>1,
即-1>1或-1<-1,解得m>4或m<0,
故m的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).(共10张PPT)
2.2 不等式
知识点 1 比较实数a,b大小的依据
知识 清单破
2.2.1 不等式及其性质
依据 如果a-b<0,那么a如果a-b=0,那么a=b;
如果a-b>0,那么a>b
结论 确定任意两个实数a,b的大小关系,只需确定它们的差与0的大小关系即可
通过比较两式之差的符号来判断两式大小的方法通常称为作差法.
1.性质
性质1:如果a>b,那么a+c>b+c.
性质2:如果a>b,c>0,那么ac>bc.
性质3:如果a>b,c<0,那么ac性质4:如果a>b,b>c,那么a>c.
性质5:a>b b2.推论
推论1:如果a+b>c,那么a>c-b.
推论2:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.
推论3:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
知识点 2 不等式的性质及其推论
推论4:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n>1).
推论5:如果a>b>0,那么 > .
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.a>b是ac>bc的充分不必要条件. ( )
提示
2.a>b是 > 的必要不充分条件. ( )
3.若a3>b3,则a>b. ( )
4.若ac2>bc2,则a>b. ( )
√
√
√
当c≤0时,a>b ac>bc.
疑难 情境破
疑难 2 利用不等式的性质比较两实数(代数式)的大小
讲解分析
作差比较法 作商比较法
依据 a-b>0 a>b; a-b<0 a0,b>0且 >1 a>b;
a>0,b>0且 <1 aa>0,b>0且 =1 a=b
应用 范围 数(式)的大小不明显,作差后
可化为积或商的形式 同号两数比较大小
步骤 ①作差; ②变形; ③判断符号; ④下结论 ①作商;
②变形;
③判断商与1的大小关系;
④下结论
典例 比较 + 与 + 的大小.
解析 解法一(作差法):
-( + )= =
= = .
易知a>0,b>0,所以 + >0, >0.
又因为( - )2≥0,
所以 ≥0,
所以 + ≥ + .
解法二(作商法):
=
=
=
=
=1+ ≥1.
易知 + >0, + >0,
所以 + ≥ + .
1.利用几个代数式的取值范围来确定某个代数式的取值范围是一类常见的综合问题,对于这
类问题要注意“同向不等式的两边可以相加”,但这种转化不是等价变形,在解题过程中多
次进行这种转化后,就有可能扩大真实的取值范围,解题时务必小心、谨慎,同时要注意正确
使用不等式的性质.
解决此类问题,可先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再通过一次不等关
系的运算求得待求式的取值范围.
2.利用不等式的性质求范围的一般思路
(1)借助性质,转化为同向不等式相加进行解答;
(2)借助所给条件整体求解,切不可随意拆分所给条件;
疑难 2 如何利用不等式的性质求代数式的取值范围
讲解分析
(3)结合不等式的传递性进行求解.
典例 (1)已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围;
(2)已知x,y∈R,且3≤xy2≤8,4≤ ≤9,求 的取值范围.
思路点拨 先将待求范围的代数式用条件中的代数式表示出来,再利用已知范围进行不等式
运算求未知代数式的取值范围.
解析 (1)设m(a+b)+n(a-b)=4a-2b,整理得(m+n)a+(m-n)b=4a-2b,
则 解得 ∴4a-2b=(a+b)+3(a-b).
易得3≤3(a-b)≤6,又2≤a+b≤4,∴5≤4a-2b≤10.
故4a-2b的取值范围为[5,10].
(2)设 = (xy2)n,则x3y-4=x2m+ny2n-m,
∴ 解得 ∴ = (xy2)-1.
易得16≤ ≤81, ≤(xy2)-1≤ ,
∴2≤ (xy2)-1≤27.故 的取值范围是[2,27].2.2.3 一元二次不等式的解法
基础过关练
题组一 一元二次不等式的解法
1.不等式3+5x-2x2≤0的解集为( )
A.∪(3,+∞) B.
C.∪[3,+∞) D.R
2.下列四个不等式中,解集为 的是( )
A.-x2+x+1≤0 B.2x2-3x+4<0
C.x2+3x+10>0 D.-x2-4x+3>0
3.在R上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为( )
A.{x|0C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-14.设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-6<0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下:
x -4 -2 -1 1 2 4
y 6 -4 -6 -4 0 14
则关于x的不等式ax2+bx+c<6的解集为 .
题组二 二次不等式与二次方程之间的关系
6.若不等式ax2+bx-1≥0的解集是,则a=( )
A.-6 B.-5
C. D.6
7.已知关于x的一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为{x|2≤x≤3},则关于x的不等式cx2+bx+1≤0的解集为( )
A. B.{x|2≤x≤3}
C.{x|-3≤x≤-2} D.
8.若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=( )
A.
9.(多选题)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为,则下列结论正确的是( )
A.a>0 B.b>0
C.c>0 D.a+b+c<0
10.已知关于x的不等式a(x-1)(x-2)>2x2-8x+8的解集为A.
(1)当a=1时,求集合A;
(2)若集合A=(-∞,-1)∪(2,+∞),求a的值;
(3)若3 A,求a的取值范围.
题组三 含参数的一元二次不等式
11.已知a>2,则关于x的不等式ax2-(2+a)x+2>0的解集为( )
A.
B.
C.
D.
12.不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围是( )
A.-3C.-3≤k≤0 D.-313.若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对x∈R恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(2,6)
B.[2,6]
C.(-∞,2]∪[6,+∞)
D.(-∞,2)∪(6,+∞)
14.设a为实数,则关于x的不等式(ax-2)(2x-4)<0的解集不可能是( )
A. B.(-∞,2)∪
C.(2,+∞) D.
15.若“x2+3x-4<0”是“x2-(2k+3)x+k2+3k>0”的充分不必要条件,则实数k的取值范围是 .
16.设a∈R,若关于x的不等式x2-ax<0的解集是集合{x|017.若关于x的不等式x2-2(m+1)x+4m≤0的解集中恰有4个正整数,求实数m的取值范围.
18.已知M是关于x的不等式2x2+(3a-7)x+3+a-2a2<0的解集,且0是M中的一个元素,求实数a的取值范围,并用a表示出该不等式的解集.
题组四 简单的分式不等式
19.不等式≥0的解集为( )
A.[-2,1] B.(-2,1]
C.[-2,1) D.(-∞,-2)∪[1,+∞)
20.不等式≥2的解集是( )
A.
C.∪(1,3] D.∪(1,3]
21.若关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x>1},则关于x的不等式>0的解集为( )
A.{x|x>1或x<-2}
B.{x|1C.{x|x>2或x<-1}
D.{x|-122.若关于x的不等式≤1的解集为,则a= .
题组五 一元二次不等式的实际应用
23.某种杂志原来以每本2.5元的价格出售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就相应减少2 000本.要使提价后的销售总收入不低于20万元,则每本的定价最高为( )
A.4元 B.5元 C.6元 D.7元
24.在限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.已知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2,则这次事故的主要责任方为 .
25.某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区的电力成本价为0.3元/千瓦时.(注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价))
(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y(元)与实际电价x(元/千瓦时)的关系式;
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%
能力提升练
题组一 一元二次不等式的解法
1.已知甲:x≥1,乙:x满足<0(a∈R),若甲是乙的必要不充分条件,则a的取值范围是( )
A.a≥1 B.a>1 C.a<0 D.a≤0
2.对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,例如[1.1]=1,[3.8]=3,[-2.3]=-3,[5]=5,那么使得不等式-6[x]2+5[x]+21>0成立的x的取值范围是( )
A.-2≤x≤3 B.-1C.-1≤x<2 D.-1≤x<3
3.“-3A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+3>0,关于此不等式的解集有下列结论,其中正确的是( )
A.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是{x|x>3}
B.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是R
C.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是
D.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是{x|-15.对于问题:“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-10.”给出如下解法:由ax2+bx+c>0的解集为{x|-10的解集为{x|-20的解集为{x|-2A.{x|-2B.{x|-3C.{x|-3D.{x|-26.已知关于x的不等式-1<<1的解集是{x|-27.设关于x的不等式ax2+8(a+1)x+7a+16≥0(a∈Z)只有有限个整数解,且0是其中一个解,则该不等式的所有整数解组成的集合为 .
8.已知函数y=ax2-(a+1)·x+1(a∈R).
(1)当a=-2时,求不等式y≤0的解集;
(2)当a>0时,求不等式y<0的解集.
9.已知集合A={x|x2-3x+2≤0},B=x题组二 二次不等式与二次方程之间的关系
10.若关于x的不等式x2+px+q>0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞),则不等式>0的解集为( )
A.(-4,1)∪(2,+∞) B.(-2,1)∪(4,+∞)
C.(-∞,-2)∪(1,4) D.(-∞,-4)∪(1,2)
11.(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|1A.a<0
B.a+b+c=0
C.4a+2b+c<0
D.不等式cx2-bx+a<0的解集是xx<-1或x>-
12.已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0(k≠0).
(1)若不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},求k的值;
(2)若不等式的解集为,求k的值;
(3)若不等式的解集是R,求k的取值范围;
(4)若不等式的解集是 ,求k的取值范围.
13.已知二次函数y=ax2+bx-a+2.
(1)若关于x的不等式ax2+bx-a+2>0的解集是{x|-1(2)若a>0,b=2,解关于x的不等式ax2+bx-a+2>0.
题组三 一元二次不等式的实际应用
14.某服装公司生产的衬衫每件定价160元,在某城市年销售10万件.现该公司计划在该市招收代理商来销售衬衫,以降低管理和营销成本.已知代理商被收取的代理费为总销售金额的r%(每100元销售额收取r元),且r为正整数.为确保单件衬衫的利润保持不变,服装公司将每件衬衫的价格提高到元,但提价后每年的销售量会减少0.62r万件.若为了确保每年收取代理商的代理费不少于65万元,则正整数r的取值组成的集合为 .
答案与分层梯度式解析
2.2.3 一元二次不等式的解法
基础过关练
1.C 2.B 3.B 4.D 6.A 7.A 8.A 9.BC
11.A 12.A 13.B 14.B 19.B 20.D 21.C 23.A
1.C 不等式3+5x-2x2≤0等价于2x2-5x-3≥0,即(x-3)(2x+1)≥0,因此所求不等式的解集为-∞,-∪[3,+∞).
2.B 不等式-x2+x+1≤0等价于x2-x-1≥0,即,其解集为-∞,,+∞;不等式2x2-3x+4<0等价于x2-x+2<0,即,其解集为 ;不等式x2+3x+10>0等价于,其解集为R;不等式-x2-4x+3>0等价于x2+4x-3<0,即(x+2)2<7,其解集为(-2-).故选B.
3.B 由题意得,x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1),所以x☉(x-2)<0即(x+2)(x-1)<0,解得-24.D 由|x-2|<1得1所以“|x-2|<1”不能推出“x2+x-6<0”,且“x2+x-6<0”不能推出“|x-2|<1”,
所以“|x-2|<1”是“x2+x-6<0”的既不充分也不必要条件.故选D.
5.答案 (-4,3)
解析 由已知得
故不等式ax2+bx+c<6即x2+x-6<6,解得-4故不等式的解集为(-4,3).
6.A ∵不等式ax2+bx-1≥0的解集为,
∴-为方程ax2+bx-1=0的两个实数根,
根据一元二次方程根与系数的关系可得,-×-=,解得a=-6.
7.A 由题设知方程x2+bx+c=0的两个根为2和3,由根与系数的关系得故b=-5,c=6,
因此不等式cx2+bx+1≤0即6x2-5x+1≤0,即(3x-1)(2x-1)≤0,解得≤x≤.故选A.
8.A 解法一:x2-2ax-8a2<0可化为(x+2a)(x-4a)<0.
∵a>0且不等式的解集为(x1,x2),
∴x1=-2a,x2=4a,∴x2-x1=6a=15,解得a=.
解法二:由条件知x1,x2为方程x2-2ax-8a2=0的两个根,则x1+x2=2a,x1x2=-8a2,故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4×(-8a2)=36a2=152,结合a>0得a=.
9.BC 由不等式ax2+bx+c>0的解集为,可得a<0,故A错误;
易知2和-是方程ax2+bx+c=0的两个根,所以-=-1<0,又a<0,所以b>0,c>0,故B,C正确;
因为1∈,所以a+b+c>0,故D错误.故选BC.
10.解析 (1)当a=1时,不等式为(x-1)(x-2)>2x2-8x+8,整理得(x-2)(x-3)<0,解得2故A=(2,3).
(2)若集合A=(-∞,-1)∪(2,+∞),则-1,2是方程a(x-1)(x-2)=2x2-8x+8的两个根,
将x=-1代入此方程,可得6a=18,所以a=3.
(3)若3 A,则a(3-1)(3-2)≤2×32-8×3+8,解得a≤1.
故a的取值范围为(-∞,1].
11.A 不等式ax2-(2+a)x+2>0等价于(ax-2)(x-1)>0,∵a>2,∴<1,故不等式的解集为xx<或x>1.
12.A 当k=0时,不等式为-<0,恒成立,满足题意;
当k≠0时,则解得-3综上所述,-313.B 不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对x∈R恒成立,即为(a-2)x2+(a-2)x+1≥0对x∈R恒成立.当a=2时,不等式为1≥0,恒成立,满足题意;当a≠2时,则解得2综上,实数a的取值范围是[2,6].
14.B 当a=0时,不等式为-2(2x-4)<0,解得x>2,其解集为(2,+∞).
当a≠0时,解方程(ax-2)(2x-4)=0,得x=或x=2,
当a<0时,解不等式(ax-2)(2x-4)<0,得x<或x>2,其解集为∪(2,+∞);
当02,解不等式(ax-2)(2x-4)<0,得2当a=1时,=2,不等式(ax-2)(2x-4)<0的解集为 ;
当a>1时,<2,解不等式(ax-2)(2x-4)<0,得综上所述,不等式(ax-2)(2x-4)<0的解集不可能是(-∞,2)∪.故选B.
15.答案 (-∞,-7]∪[1,+∞)
解析 解不等式x2+3x-4<0,得-4解不等式x2-(2k+3)x+k2+3k>0,得xk+3,
∵“x2+3x-4<0”是“x2-(2k+3)x+k2+3k>0”的充分不必要条件,
∴{x|-4k+3},
∴k≥1或k+3≤-4,即k≥1或k≤-7.
故实数k的取值范围是(-∞,-7]∪[1,+∞).
16.答案 [0,1)
解析 不等式x2-ax<0可化为x(x-a)<0,
当a>0时,不等式的解集为(0,a),
由不等式的解集是集合{x|0当a<0时,不等式的解集为(a,0),不符合题意;
当a=0时,不等式的解集为 ,符合题意.
综上可得,a的取值范围为[0,1).
17.解析 原不等式可化为(x-2)(x-2m)≤0.
若m=1,则不等式的解集为{x|x=2},不满足题意;
若m<1,则不等式的解集是[2m,2],不等式的解集中不可能有4个正整数;
若m>1,则不等式的解集是[2,2m],
由不等式的解集中恰有4个正整数,可得5≤2m<6,解得≤m<3.
所以实数m的取值范围是.
18.解析 原不等式可化为(2x-a-1)(x+2a-3)<0,
由x=0满足不等式,得(a+1)(2a-3)>0,
所以a<-1或a>.
若a<-1,则3-2a-(-a+1)>5,
所以3-2a>,
此时不等式的解集是;
若a>,则3-2a-,
所以3-2a<,
此时不等式的解集是.
综上,当a<-1时,原不等式的解集是x时,原不等式的解集是x3-2a19.B 由原不等式得解得-2故原不等式的解集为(-2,1].故选B.
20.D 不等式≥2等价于解得-≤x≤3,且x≠1,所以原不等式的解集是∪(1,3].
21.C ∵ax-b>0的解集为{x|x>1},∴a>0,且x=1为方程ax-b=0的根,∴a-b=0,即a=b.
故不等式>0即>0,等价于(x+1)(x-2)>0,解得x>2或x<-1.
22.答案 4
解析 由≤1得-1≤0,即≤0,因为原不等式的解集为,所以x=-是方程2x+a+1=0的根,故a=4.
23.A 设每本的定价为x元时,销售总收入为y元,则由题意得y=x,整理得y=-20 000x2+130 000x,令-20 000x2+130 000x≥200 000,解得≤x≤4,所以要使提价后的销售总收入不低于20万元,每本的定价最高为4元.
归纳总结 用一元二次不等式解决实际问题的步骤:
(1)理解题意,搞清量与量之间的关系;
(2)建立相应的不等关系,把实际问题转化为数学中的一元二次不等式问题;
(3)解这个一元二次不等式,结合实际问题得到最终结果.
24.答案 乙车
解析 设甲车车速为x甲 km/h,乙车车速为x乙 km/h.
由题意可得,s甲=0.1x甲+0.01>12,s乙=0.05x乙+0.005>10,分别求解,得x甲<-40(舍去)或x甲>30,x乙<-50(舍去)或x乙>40.故乙车超过限速,应负主要责任.
25.解析 (1)设下调后的电价为x元/千瓦时,依题意知该地区年用电量增至千瓦时,
则y=(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).
(2)由(1)及题意得(x-0.3)≥[a×(0.8-0.3)]·(1+20%),且0.55≤x≤0.75,
整理得解得0.6≤x≤0.75.
故当电价最低定为0.6元/千瓦时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.
能力提升练
1.A 2.D 3.A 4.BD 5.B 10.B 11.ABD
1.A 设集合A=[1,+∞).<0等价于(x-a)(x-a-1)<0,解得a若甲是乙的必要不充分条件,则B A,所以a≥1.故选A.
2.D -6[x]2+5[x]+21>0即(2[x]+3)(3[x]-7)<0,
解得-,则-1≤x<3.故选D.
3.A 当m=1时,不等式为-1<0,恒成立;
当m≠1时,要使不等式(m-1)x2+(m-1)x-1<0对任意x∈R恒成立,
只需解得-3所以“-34.BD 对于A,若不等式ax2+bx+3>0的解集为{x|x>3},则a=0,且3b+3=0,解得b=-1,此时不等式为-x+3>0,解得x<3,矛盾,故A错误;对于B,取a=1,b=2,则ax2+bx+3=x2+2x+3=(x+1)2+2>0恒成立,故原不等式的解集为R,故B正确;对于C,若不等式ax2+bx+3>0的解集为 ,则无解,故C错误;对于D,若不等式ax2+bx+3>0的解集为{x|-15.B 易知0不满足不等式<0,故此不等式可化为<0①,由关于x的不等式<0的解集为x-16.答案 {2}
解析 不等式-1<<1等价于<1,即(ax+1)2<(x-1)2,且x≠1,即(a2-1)x2+2(a+1)x<0,且x≠1,
∵不等式的解集是{x|-2∴a2-1>0且-=-2,解得a=2.故答案为{2}.
7.答案 {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3}
解析 易知a≠0,设y=ax2+8(a+1)x+7a+16,若y≥0的整数解只有有限个,则其图象开口向下,所以a<0.
因为0为其中一个解,所以7a+16≥0,解得a≥-,所以-≤a<0,又a∈Z,所以a=-2或a=-1,
则不等式为-2x2-8x+2≥0①或-x2+9≥0②,
由①得-2-≤x≤-2,所以不等式的整数解为-4,-3,-2,-1,0,由②得-3≤x≤3,所以不等式的整数解为-3,-2,-1,0,1,2,3,
所以该不等式的所有整数解组成的集合为{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3}.
8.解析 (1)当a=-2时,y=-2x2+x+1,
由y≤0得-2x2+x+1≤0,即2x2-x-1≥0,即(2x+1)·(x-1)≥0,解得x≤-或x≥1.
故不等式的解集为∪[1,+∞).
(2)由y<0得ax2-(a+1)x+1<0,即(ax-1)(x-1)<0,
当a=1时,=1,(ax-1)(x-1)<0即(x-1)2<0,无解;
当01,由(ax-1)(x-1)<0,得1当a>1时,<1,由(ax-1)(x-1)<0,得综上所述,当a=1时,不等式的解集为 ;
当0当a>1时,不等式的解集为.
9.解析 易得A={x|1≤x≤2}.
由①当a=0时,B={x|x<3},满足A B.
②当a>0时,由<0,得>0,
故B=,满足A B.
③当a<0时,由<0,得<0,
故B=.
由A B,得3+<1,即-综上可得,a的取值范围是.
10.B 因为关于x的不等式x2+px+q>0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞),
所以方程x2+px+q=0的两根是-1和2,由根与系数的关系可得p=-1,q=-2,
所以>0即>0,即>0,解得-24.
所以原不等式的解集为(-2,1)∪(4,+∞),故选B.
11.ABD 由题意可知,1,3是方程ax2+bx+c=0的两个根,且a<0,则有
显然A正确;由1是方程ax2+bx+c=0的一个根知a+b+c=0,故B正确;
因为不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|10,故C错误;
不等式cx2-bx+a<0即为3ax2+4ax+a<0,又a<0,所以3x2+4x+1>0,其解集为,故D正确.故选ABD.
12.解析 (1)由不等式的解集为{x|x<-3或x>-2}可知k<0,且x=-3与x=-2是方程kx2-2x+6k=0的两根,
∴-3+(-2)=,解得k=-.
(2)由不等式的解集为解得k=-.
(3)依题意知解得k<-.
(4)依题意知解得k≥.
13.解析 (1)由不等式ax2+bx-a+2>0的解集是{x|-1由根与系数的关系得
(2)若a>0,则不等式ax2+2x-a+2>0可化为(x+1)>0,
当00,得x<或x>-1;
当a=1,即=-1时,解不等式(x+1)>0,得x≠-1;
当a>1,即>-1时,解不等式(x+1)>0,得x<-1或x>.
综上所述,当0当a=1时,不等式的解集为{x|x≠-1};
当a>1时,不等式的解集为.
14.答案 {7,8,9,10}
解析 由题意得,(10-0.62r)··r%≥65且10-0.62r>0,r∈N*,
整理,得496r2-8 325r+32 500≤0且0令496r2-8 325r+32 500=0,则Δ=(-8 325)2-4×496×32 500=4 825 625,
所以方程的两根分别为r1=≈6.177 7,r2=≈10.606 6.
故由496r2-8 325r+32 500≤0可得7≤r≤10,r∈N*,
所以正整数r的取值组成的集合为{7,8,9,10}.(共14张PPT)
知识点 1 不等式的解集与不等式组的解集
知识 清单破
2.2.2 不等式的解集
一般地,不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.对于由若干个不等式联立得到
的不等式组来说,这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.
1.一般地,含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.
2.绝对值不等式|x|a的解集
知识点 2 绝对值不等式
不等式 a>0 a=0 a<0
|x||x|>a {x|x>a或x<-a} {x∈R|x≠0} R
3.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1)|ax+b|≤c -c≤ax+b≤c.
(2)|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤-c.
1.一般地,如果实数a,b在数轴上对应的点分别为A,B,即A(a),B(b),则线段AB的长为AB=|a-b|.
2.已知数轴上两点A(a),B(b),若线段AB的中点M对应的数为x,则x= .
知识点 3 数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式
1.数轴上两点A(2),B(-1)之间的距离为1. ( )
2.已知数轴上两点A(-2),B(-4),则线段AB的中点C对应的数为-3. ( )
3.不等式2x-4>0的解集为x> . ( )
4.不等式组 的解集是 . ( )
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
√
√
5.不等式1<|x+1|<3的解集为(-4,-2)∪(0,2). ( )
√
提示
由1<|x+1|<3,得12).
6.不等式|x|·(1-2x)>0的解集是 . ( )
原不等式等价于 解得x< 且x≠0,故原不等式的解集为(-∞,0)∪ .
提示
疑难 情境破
疑难 1 不等式的解集与不等式组的解集
讲解分析
1.求不等式组的解集的方法
一般运用数轴确定不等式组的解集,就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示
出来,然后找出它们的公共部分,这个公共部分就是此不等式组的解集,若没有公共部分,则这
个不等式组的解集为 .
2.与不等式(组)有关的参数问题
已知含有参数的不等式(组)的解集时,可以先进行化简,表示出不等式(组)的解集,然后根据已
知解集求出参数的值或取值范围.
当一元一次不等式组化简后的解集中含有参数时,可以根据已知条件中解集的特点,列出关
系式来确定参数的值或取值范围.
典例1 已知关于x的不等式组 有3个整数解,则实数a的取值范围是 ( )
A.-6≤a<-5 B.-6C.-6B
思路点拨 解不等式组,可得不等式组的解集,根据不等式组有3个整数解,列出关于a的不等
式求解.
解析 由 - x<-1,
解得x>4,
由4(x-1)≤2(x-a),
解得x≤2-a,
则由题意可知不等式组的解集为{x|4由关于x的不等式组 有3个整数解,得7≤2-a<8,解得-6典例2 求不等式组 (a∈R)的解集.
解析 由1-2x≥3x-4得5x≤5,∴x≤1.
当a=0时,ax≥2化为0×x≥2,无解.∴不等式组的解集为 .
当a>0时,由ax≥2得x≥ .
若a=2,则不等式组的解集为{1};
若a>2,则不等式组的解集为 ;
若0当a<0时,由ax≥2得x≤ ,∴不等式组的解集为 .
综上,当a<0时,不等式组的解集为 ;当0≤a<2时,不等式组的解集为 ;当a=2时,不等式
组的解集为{1};当a>2时,不等式组的解集为 .
1.求解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号,常用方法有:(1)定义法;(2)平方法;(3)换元法;
(4)数形结合法.
2.含一个绝对值的不等式的常见类型及其解法.
(1)形如|ax+b|c(c∈R)型不等式:
①当c>0时,|ax+b|c ax+b>c或ax+b<-c;
②当c=0时,|ax+b|c ax+b≠0;
③当c<0时,|ax+b|c x∈R.
(2)形如c<|ax+b|c>0)型不等式:
c<|ax+b|c>0) c疑难 2 含绝对值的不等式的解法
讲解分析
(3)形如|ax+b|g(x)型不等式,其中g(x)表示含x的整式:
①|ax+b|②|ax+b|>g(x) ax+b>g(x)或ax+b<-g(x).
(4)形如|ax+b|ax+b型不等式:
|ax+b|>ax+b ax+b<0,|ax+b|3.含两个绝对值的不等式:
(1)形如|f(x)|<|g(x)|型不等式的简单解法是平方法,即|f(x)|<|g(x)| [f(x)]2<[g(x)]2 [f(x)+g(x)]·[f
(x)-g(x)]<0,其中 f(x),g(x)表示含x的整式.
(2)|x1-x2|表示数轴上A(x1)和B(x2)两点间的距离;|x-x1|+|x-x2|表示数轴上点M(x)到A(x1)和B(x2)两
点的距离之和;|x-x1|-|x-x2|表示数轴上点M(x)到A(x1)和B(x2)两点的距离之差.
解|x+m|+|x+n|>k(x+m|+|x+n|=k的x的值.
(3)绝对值不等式“恒成立”问题往往转化为最值问题求解.
典例1 求下列不等式的解集.
(1)1<|x-2|≤3;(2)|2x+5|>7+x;
(3) >0;(4)||x|-4|≤2;
(5)|x-2|+|x+1|>5.
解析 (1)解法一:原不等式等价于不等式组 即
所以-1≤x<1或3所以原不等式的解集为{x|-1≤x<1或3解法二:原不等式可转化为
① 或②
由①得3所以原不等式的解集是{x|-1≤x<1或3(2)由不等式|2x+5|>7+x,可得2x+5>7+x或2x+5<-(7+x),解得x>2或x<-4.
所以原不等式的解集是{x|x<-4或x>2}.
(3)因为|x+3|≥0,所以原不等式等价于|2x-1|-2>0且x≠-3,即|2x-1|>2,且x≠-3,
所以2x-1>2或2x-1<-2,且x≠-3,
解得x> 或x<- 且x≠-3,
所以原不等式的解集为 x x> 或x<- 且x≠-3 .
(4)由||x|-4|≤2,得-2≤|x|-4≤2,即2≤|x|≤6,故 即 解得-6≤x≤-2或2≤x≤6.
故不等式的解集为[-6,-2]∪[2,6].
(5)|x-2|表示数轴上M(x)到A(2)的距离,|x+1|表示数轴上M(x)到B(-1)的距离,如图,
因为AB=3,所以当点M在P或Q,即x=-2或x=3时,|x-2|+|x+1|=5;当点M在线段PQ上(不包括端点)
时,|x-2|+|x+1|<5;当点M在线段PQ之外时,|x-2|+|x+1|>5.故不等式的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞).
典例2 若不等式|x-3|+|x+3|≥a恒成立,求实数a的取值范围.
思路点拨 |x-3|+|x+3|≥a恒成立,只要保证a不大于|x-3|+|x+3|的最小值即可.
解析 |x-3|表示数轴上点M(x)到点A(3)的距离,|x+3|表示数轴上点M(x)到点B(-3)的距离,∴|x-3
|+|x+3|表示M(x)到A、B两点的距离之和.
∵A、B两点间的距离为|3-(-3)|=6,
∴|x-3|+|x+3|的最小值为6,
∴a≤6,
∴a的取值范围是(-∞,6].2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性质
基础过关练
题组一 不等关系与不等式
1.铁路乘车行李规定如下:乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过M cm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a,b,c(单位:cm),则这个规定用数学关系式可表示为( )
A.a+b+c≤M B.a+b+c>M
C.a+b+c≥M D.a+b+c题组二 比较大小
2.已知P=a2+2b+3,Q=-b2+4a-2,则( )
A.P>Q B.P3.若a=,则( )
A.a>c>b B.a>b>c C.c>b>a D.b>c>a
4.已知a>b>0,则a3+b3 ab2+a2b. (填“>”“<”或“=”)
5.(1)设x>1,M=,比较M,N的大小;
(2)设a>b>0,M=,比较M,N的大小.
题组三 不等式的性质及其推论
6.已知a,b,c,d∈R,则下列结论正确的是( )
A.若a>b,c>d,则a+b>c+d
B.若a>-b,则c-aC.若a>b,cD.若a2>b2,则-a<-b
7.(多选题)下列命题正确的是( )
A.如果a>b,cb-d
B.如果a>b>0,那么
C.如果-1D.如果a>b>0,c题组四 求代数式的取值范围
8.已知α∈,β∈,则2α-的取值范围是( )
A.
9.(1)如果12(2)已知x,y满足-,0能力提升练
题组一 比较大小
1.某商场计划做一次活动刺激消费,计划对某商品降价两次,方案甲:第一次降价m%,第二次降价n%.方案乙:第一次降价n%,第二次降价m%.方案丙:两次均降价%,其中m>n>0.那么两次降价后价格最高的方案为( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.无法判断
2.有三个房间需要粉刷,粉刷方案为:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且xA.ax+by+cz B.ay+bx+cz
C.ay+bz+cx D.az+by+cx
3.16世纪中叶,英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首次把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈里奥特首次使用符号“<”和“>”,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是( )
A.若a>0,则a2+1>(a-1)(a+2)
B.若aC.若|a|≤1,|b|≤1,则|a-b|≤|1-ab|
D.若a>b>0,则
4.若a>b>c,则 .(填“>”“=”或“<”)
5.(1)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了,请将这一事实表示为一个不等式,不必证明,利用此结论证明:若a,b,c为三角形的三边长,则<2;
(2)超市里面提供两种糖:白糖每千克p1元,红糖每千克p2元(p1≠p2).小东买了相同质量的两种糖,小华买了相同价钱的两种糖.那么谁买的糖的平均价格比较高 请证明你的结论.(物品的平均价格=物品的总价格÷物品的总质量)
题组二 不等式的性质及其应用
6.已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式中一定成立的是( )
A.xy>yz B.xz>yz
C.xy>xz D.x|y|>z|y|
7.实数a,b,c在数轴上对应的点A,B,C如图所示,下列判断正确的是( )
A.ab>c B.abc> C.c+2b2b
8.设x,y为实数,满足2≤xy2≤3,3≤≤4,则的最大值是 .
答案与分层梯度式解析
2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性质
基础过关练
1.A 2.C 3.A 6.B 7.AD 8.D
1.A
2.C P-Q=a2+2b+3-(-b2+4a-2)=a2-4a+b2+2b+5=(a-2)2+(b+1)2,因为(a-2)2≥0,(b+1)2≥0,所以P-Q≥0,即P≥Q.
3.A a-c=>0,所以a>c,
c-b=,
因为(2>0,且2>0,
所以2,所以c-b>0,所以c>b.
综上所述,a>c>b.故选A.
4.答案 >
解析 a3+b3-ab2-a2b=a3-ab2+b3-a2b=a(a2-b2)+b(b2-a2)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),
因为a>b>0,所以(a-b)2>0,a+b>0,所以(a-b)2(a+b)>0,所以a3+b3-ab2-a2b>0,即a3+b3>ab2+a2b.
5.解析 (1)M=,
因为>0,
所以,即,
故M>N.
(2)解法一(作差法):M-N=
=
=,
因为a>b>0,所以a+b>0,a-b>0,2ab>0,a2+b2>0,
所以>0,所以M>N.
解法二(作商法):因为a>b>0,所以>0,2ab>0,
所以>1,
所以M>N.
6.B 对于A,取a=1,b=0,c=2,d=1,则a+b-b,所以-a-b,故D错误.
7.AD 对于A,∵c-d,又a>b,∴a-c>b-d,故A正确;
对于B,∵a>b>0,∴ab>0,∴>0,∴a·>b·,即,故B错误;
对于C,∵2对于D,∵c-d>0,又a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴0<,又e<0,∴,故D正确.
故选AD.
8.D 因为0<α<,0≤β≤,
所以0<2α<1,0≤≤-≤0,
所以-<1.故选D.
9.解析 (1)因为12所以27(2)设3x-y=m(x-y)+n(x+y)=(m+n)x+(n-m)y,m,n∈R,
则
所以3x-y=2(x-y)+(x+y),
因为-,所以-1<2(x-y)<1,又0所以-1<3x-y<2,
所以3x-y的取值范围是(-1,2).
能力提升练
1.C 2.D 3.C 6.C 7.D
1.C 不妨设商品原价格为10 000元,则方案甲两次降价后的价格为(100-m)(100-n)元;
方案乙两次降价后的价格为(100-m)(100-n)元;
方案丙两次降价后的价格为元.
所以方案甲和方案乙两次降价后的价格相同.
又>0,
所以方案丙两次降价后的价格最高.故选C.
2.D 解法一:因为x所以ax+by+cz-(az+by+cx)=a(x-z)+c(z-x)=(x-z)·(a-c)>0,故ax+by+cz>az+by+cx;
同理,ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)+c(x-z)=(x-z)·(c-b)<0,故ay+bz+cx因为az+by+cx-(ay+bz+cx)=a(z-y)+b(y-z)=(a-b)·(z-y)<0,故az+by+cx故最低费用为(az+by+cx)元.
解法二(特殊值法):取x=1,y=2,z=3,a=1,b=2,c=3,则ax+by+cz=1×1+2×2+3×3=14,az+by+cx=1×3+2×2+3×1=10,ay+bz+cx=1×2+2×3+3×1=11,ay+bx+cz=1×2+2×1+3×3=13,故az+by+cx最小,故选D.
3.C 对于A,a2+1-(a-1)(a+2)=a2+1-a2-a+2=3-a,当a>3时,3-a<0,a2+1<(a-1)(a+2),当a=3时,3-a=0,a2+1=(a-1)(a+2),当00,a2+1>(a-1)(a+2),故A错误;易知B错误;对于C,(a-b)2-(1-ab)2=a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2)≤0,故|a-b|≤|1-ab|,故C正确;对于D,易得,由a>b>0,得b-a<0,但无法判断ab-1的符号,所以不一定成立,故D错误.故选C.
4.答案 >
解析 ∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,a-c>0,
∴
=
=
=>0,
∴.
5.解析 (1)由糖水变甜了得出不等式(b>a>0,m>0).
证明:若a,b,c为三角形的三边长,则有a+b>c,a+c>b,b+c>a,
由上述不等式可得,
将以上不等式左右两边分别相加,得=2,
所以<2.
(2)小东买到的糖的平均价格为元/千克,
设小华买两种糖的费用均为c元,则小华买到的糖的总质量为千克,
故小华买到的糖的平均价格为(元/千克),
因为>0,所以小东买到的糖的平均价格较高.
6.C 因为x>y>z,x+y+z=0,所以3x>x+y+z=0,3z0,z<0.对于A,当y≤0时不成立;对于B,因为x>y,z<0,所以xzz,x>0,所以xy>xz;对于D,当y=0时不成立.故选C.
7.D 对于A,由题图可得-1对于B,由对于C,因为-a,故C错误;
对于D,因为-12b,故D正确.故选D.
8.答案 32
解析 易得,∵3≤≤4,∴27≤≤64,∵2≤xy2≤3,∴,所以9≤≤32,即9≤≤32,故的最大值为32.