第2课时 函数的表示方法
基础过关练
题组一 函数的表示方法
1.观察下表:
x -3 -2 -1 1 2 3
f(x) 5 1 -1 -3 3 5
g(x) 1 4 2 3 -2 -4
则f (f(-1)-g(3))=( )
A.-4 B.-3 C.3 D.5
2.已知函数y=f(x)的对应关系如下表所示,函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC,则f(g(2))的值为( )
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A.3 B.0 C.1 D.2
3.兔子和乌龟赛跑,刚开始,兔子在前面飞快地跑着,乌龟拼命地爬着,不一会儿,兔子就落了乌龟好长一段距离.兔子认为比赛太轻松了,就决定先睡一会儿,而乌龟呢,它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候,兔子才醒来,于是它赶紧去追,但结果还是乌龟赢了.下面“路程s—时间t”的图象中,与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是( )
题组二 分段函数
4.函数f(x)=x+的大致图象是( )
5.已知函数f(x)=
则f(f(-6))=( )
A.6 B.4 C.2 D.0
6.已知函数f(x)=若f(a)=5,则实数a的值为( )
A.-2或2 B.2或 C.-2或 D.2
7.已知函数f(x)=则不等式x+(x+2)f(x+1)≤4的解集为( )
A.(-∞,1] B.(-1,1) C.(-1,1] D.[-1,1]
8.已知f(x)=2x+3,g(x)=则函数y=f(x)·g(x)的值域为( )
A.(-∞,3) B.(-∞,3] C.(3,+∞) D.[3,+∞)
9.已知函数f(x)=x2,g(x)=-x+2,x∈R.
(1)在给定坐标系里画出函数f(x),g(x)的图象;
(2) x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记为m(x)=min{f(x),g(x)},请分别用图象法和解析法表示函数m(x).
题组三 函数解析式的求法
10.已知f(x)是一次函数,且f(x-1)=3x-5,则f(x)的解析式为( )
A. f(x)=3x+2 B. f(x)=3x-2
C. f(x)=2x+3 D. f(x)=2x-3
11.若函数f(x),g(x)满足f(x)-2f,且f(x)+g(x)=2x+6,则f(2)+g(-1)=( )
A.6 B.7 C.8 D.9
12.已知f(,则函数f(x)= .
13.已知函数F(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数,且F=16,F(1)=8,则F(x)的解析式为 .
14.已知f+1,则f(x)的值域为 .
15.已知f(x)是二次函数,且满足f(2x+1)+f(2x-1)=16x2-4x+6,则f(x)= .
16.已知f(2x-1)=,则f(x)= .
17.在①f(2x-3)=4x2-6x;②f(x)+2f(-x)=3x2-3x;③对任意实数x,y,均有f(x+y)=2f(y)+x2+2xy-y2+3x-3y这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并解答.
已知函数f(x)满足 ,求f(x)的解析式.
能力提升练
题组一 函数的表示方法
1.若函数y=f(x)的值域是[-1,3],则函数g(x)=3-2f(x+1)的值域为( )
A.[-3,5] B.[-1,7] C.[-5,3] D.[2,6]
2.函数f(x)=的图象如图所示,则f(x)≤m-2n的解集为( )
A.(-∞,-2) B.
C. D.(-1,1)
3.设函数f(x)满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(2 023)=( )
A.0 B.1 C.2 023 D.2 024
4.某车辆装配车间每2 h装配完成一辆车,按照计划,该车间今天生产8 h,从开始生产的时刻起经过的时间x(单位:h)与装配完成的车辆数y(单位:辆)之间的函数表达式正确的是([x]表示不大于x的最大整数)( )
A.y=,x∈[0,8] B.y=,x∈[0,8]
C.y=x,x∈[0,8] D.y=2[x],x∈[0,8]
5.已知函数f(x)可用列表法表示如下,则f的值是 .
x x≤1 1f(x) 1 2 3
题组二 函数解析式的求法
6.(多选题)已知函数f(-3,则( )
A.f(1)=7
B.f(x)=2x2+5x
C.f(x)的最小值为-
D.f(x)的图象与x轴只有1个交点
7.若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c∈R)满足f(x+1)-f(x)=4x+1,且f(0)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>6x+m恒成立,求实数m的取值范围.
题组三 分段函数
8.已知f(x)=则不等式f(f(x))≤3的解集为( )
A.(-∞,-3] B.[-3,+∞)
C.(-∞,,+∞)
9.如图,△OAB是边长为2的正三角形,记△OAB位于直线x=t(010.某市家庭用水的使用量x(m3)和水费f(x)(元)满足关系f(x)=已知某家庭2023年前四个月的水费如下表:
月份 用水量(m3) 水费(元)
一月 3.5 4
二月 4 4
三月 15 18
四月 20 25
若五月份该家庭使用了25 m3的水,则五月份的水费为( )
A.32元 B.33元 C.34元 D.35元
11.(多选题)波恩哈德·黎曼是德国著名的数学家,他提出了著名的黎曼函数,该函数的定义域为[0,1],解析式为R(x)=下列关于黎曼函数的说法正确的是( )
A.R(x)无最小值 B.R(x)的最大值为
C.R(x)=R(1-x) D.R(ab)≥R(a)R(b)
12.已知函数f(x)=若t=0,则f(x)的值域是 ;若f(x)的值域是,则实数t的取值范围是 .
13.已知f(x)=
(1)求f(0), f(f(-1))的值;
(2)若f(x)=2,求x的值;
(3)试画出函数y=f(x)的图象.
14.某市出租车的收费标准是3千米以内(含3千米),收起步价8元;3千米至8千米(含8千米),超出3千米的部分按1.5元/千米收取;8千米以上,超出8千米的部分按2元/千米收取.
(1)计算某乘客搭乘出租车行驶7千米应付的车费;
(2)试写出车费y(元)与打车里程x(千米)之间的函数解析式并画出函数图象;
(3)小陈周末外出,行程为10千米,他设计了两种方案.
方案一:分两段乘车,乘一辆车行驶5千米后下车换乘另一辆车再行驶5千米至目的地;
方案二:只乘一辆车至目的地.
试问:哪种方案更省钱 请说明理由.
答案与分层梯度式解析
第2课时 函数的表示方法
基础过关练
1.D 2.D 3.B 4.C 5.C 6.D 7.A 8.A
10.B 11.C
1.D 由题中表格得f(-1)=-1,g(3)=-4, f(3)=5,
∴ f(f(-1)-g(3))=f(-1-(-4))=f(3)=5,
故选D.
2.D 由题图可知g(2)=1,由题表可知f(1)=2,
故f(g(2))=2.
故选D.
3.B 因为兔子睡了一会儿,所以它的路程有一段不发生变化.一开始,兔子快,乌龟慢,故排除选项C,D,最后乌龟赢了,即乌龟先到达终点,选项B符合.
4.C f(x)=x+结合图形可知C符合题意.
5.C 因为f(x)=
所以f(f(-6))=f(f(-4))=f(f(-2))=f(f(0))=f(f(2))=f(22-3×2+4)=f(2)=22-3×2+4=2.
6.D 当a≥0时, f(a)=a2+1=5,解得a=2(负值舍去);当a<0时, f(a)=2a=5,解得a=,舍去.故实数a的值为2.
7.A 当x+1≤0,即x≤-1时,不等式可化为-2≤4,恒成立;当x+1>0,即x>-1时,不等式可化为2x+2≤4,解得x≤1,所以-1综上所述,不等式x+(x+2)f(x+1)≤4的解集为(-∞,1],故选A.
方法总结 分段函数问题的常见解法:
(1)求分段函数的函数值的方法:先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要检验.
(3)在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.
8.A 由题意得,y=f(x)·g(x)=其图象如图所示:
由图象知,函数y=f(x)·g(x)的值域为(-∞,3).
9.解析 (1)函数f(x),g(x)在给定坐标系中的图象如图所示.
(2)图象法:m(x)的图象如图所示.
解析法:函数m(x)=
10.B 由题意可设f(x)=kx+b(k≠0),则f(x-1)=k(x-1)+b=kx-k+b,
∵f(x-1)=3x-5,∴
因此, f(x)的解析式为f(x)=3x-2,故选B.
11.C 因为f(x)-2f①,所以f-4x②,联立①②,可得f(x)=,所以f(2)==-1,
因为f(x)+g(x)=2x+6,所以f(-1)+g(-1)=-2+6=4,则g(-1)=4+1=5,所以f(2)+g(-1)=8.
12.答案 x2-1(x∈[1,+∞))
解析 f(+1)2-1,所以f(x)=x2-1(x∈[1,+∞)).
13.答案 F(x)=3x+
解析 设f(x)=kx(k≠0),g(x)=(m≠0),则F(x)=kx+(k≠0,m≠0).由F=16,F(1)=8,得所以F(x)=3x+.
14.答案 (1,+∞)
解析 因为f+1,即f+2,且1+≠1,所以f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1(x≠1),所以f(x)的值域为(1,+∞).
15.答案 2x2-x+1
解析 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(2x+1)+f(2x-1)=a(2x+1)2+b(2x+1)+c+a(2x-1)2+b(2x-1)+c
=8ax2+4bx+2a+2c=16x2-4x+6,所以所以f(x)=2x2-x+1.
16.答案 (x≥0)
解析 易得函数f(2x-1)的定义域为,
令t=2x-1,则x=,t≥0,故f(t)=(t≥0),所以f(x)=(x≥0).
17.解析 选①,令t=2x-3,则x=.
因为f(2x-3)=4x2-6x,
所以f(t)=4×=t2+6t+9-3t-9=t2+3t,即f(x)=x2+3x.
选②,因为f(x)+2f(-x)=3x2-3x,(i)
所以f(-x)+2f(x)=3(-x)2-3(-x)=3x2+3x.(ii)
由(i)(ii)可得f(x)=x2+3x.
选③,令x=y=0,则f(0)=2f(0),即f(0)=0.
令y=0,则f(x)=2f(0)+x2+3x=x2+3x,所以f(x)=x2+3x.
能力提升练
1.A 2.D 3.D 4.A 6.AD 8.C 9.A 10.A
11.BCD
1.A ∵y=f(x)的值域是[-1,3],∴y=f(x+1)的值域是[-1,3],即-1≤f(x+1)≤3,则-2≤2f(x+1)≤6,-6≤-2f(x+1)≤2,-3≤3-2f(x+1)≤5,故g(x)的值域是[-3,5],故选A.
2.D 由题图可知,函数的定义域为{x|x≠±1},则|x|-m≠0的解集为{x|x≠±1},故m=1,又f(0)==-1,所以n=1,则不等式f(x)≤m-2n即为f(x)≤-1,由题图可知, f(x)≤-1的解集为(-1,1),故选D.
3.D 因为f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2, f(0)=1,
所以当x=0时, f(1)=f(0)f(y)-f(y)+2=2,当y=0时, f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2=2,即f(x)=x+1,故f(2 023)=2 024,故选D.
4.A 因为车间每2 h装配完成一辆车,所以当x∈[0,2)时,y=0,x∈[2,4)时,y=1,x∈[4,6)时,y=2,x∈[6,8)时,y=3,x=8时,y=4,故A正确.
5.答案 1
解析 由题表得, f=2,所以f=1.
6.AD 令t=-1,则t≥-1,=t+1,x=(t+1)2,
所以f(t)=2(t+1)2+(t+1)-3=2t2+5t,t∈[-1,+∞),即f(x)=2x2+5x,x∈[-1,+∞),故B错误;f(1)=2×12+5×1=7,A正确;
作出函数f(x)=2x2+5x,x∈[-1,+∞)的图象,
由图可知, f(x)min=f(-1)=-3, f(x)的图象与x轴只有1个交点,故C错误,D正确.
7.解析 (1)由f(0)=3得c=3,∴f(x)=ax2+bx+3.
又∵f(x+1)-f(x)=4x+1,∴a(x+1)2+b(x+1)+3-(ax2+bx+3)=4x+1,即2ax+a+b=4x+1,
∴∴f(x)=2x2-x+3.
(2)f(x)>6x+m在[-1,1]上恒成立,等价于2x2-x+3>6x+m,即2x2-7x+3>m在[-1,1]上恒成立,
令g(x)=2x2-7x+3,x∈[-1,1],
则g(x)min=g(1)=-2,则m<-2.
故实数m的取值范围是(-∞,-2).
8.C 令t=f(x),则原不等式为f(t)≤3.当t≥0时,f(t)=-t2, f(t)<3恒成立;当t<0时, f(t)=t2+2t,由f(t)≤3,得-3≤t≤1,∴-3≤t<0.综上所述,满足f(t)≤3的t的取值范围是t≥-3.故原不等式的解集即为f(x)≥-3的解集,当x≥0时,由f(x)=-x2≥-3,得-≤x≤,∴0≤x≤;当x<0时,由f(x)=x2+2x≥-3,得x2+2x+3≥0,即(x+1)2+2≥0,恒成立.综上所述,原不等式的解集为(-∞,].
9.A 当0当1综上所述, f(t)=
故A中的图象满足题意.
10.A 已知f(x)=
结合题表可得m=4,
则f(15)=4+n(15-a)=18, f(20)=4+n(20-a)=25,所以n=,a=5.
所以f(x)=
所以f(25)=4+×(25-5)=32.
11.BCD 由题意可得,R(x)的值域为0,,…,故R(x)的最小值为0,最大值为,故A错误,B正确.易知当x=0或x=1或x是(0,1)上的无理数时,R(x)=R(1-x),当x=p,q是正整数,且是既约真分数时,R(x)=R,故R(x)=R(1-x),故C正确.设A=xx=,p,q为正整数,且是既约真分数,B={x|x=0或x=1或x是(0,1)上的无理数},则①当a∈A,b∈A时,R(ab)≥R(a)R(b);②当a∈B,b∈B时,R(ab)≥R(a)R(b);③当时,R(ab)≥R(a)R(b).综上可知,D正确.故选BCD.
12.答案
解析 若t=0,则f(x)=
当x<0时, f(x)=∈(1,+∞);当0≤x≤2时, f(x)=x2-x+1=,根据二次函数的性质可知f(x)∈.综上, f(x)的值域是.
若f(x)的值域是,则解得t∈.
13.解析 (1)f(0)=2×0+1=1.
∵f(-1)=-2+3=1,∴f(f(-1))=f(1)=2+1=3.
(2)若x<0,则2x+3=2,可得x=-;
若x≥0,则2x2+1=2,可得x=或x=-(舍去).
综上所述,x的值为-.
(3)函数y=f(x)的图象如图所示.
14.解析 (1)由题意知,乘客搭乘出租车行驶7千米应付的车费为8+(7-3)×1.5=14(元).
(2)y=函数图象如下:
(3)方案二更省钱.理由如下:
方案一的费用为(1.5×5+3.5)×2=22(元).
方案二的费用为2×10-0.5=19.5(元).
∵19.5<22,∴方案二更省钱.第三章 函数
3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第1课时 函数的概念
基础过关练
题组一 函数的概念
1.以下图形中,不是函数图象的是( )
2.下图中表示定义域、值域均为[0,1]的函数图象的是( )
A B C D
3.给定数集A=R,B=(0,+∞),x,y满足方程x2-y=0,下列对应关系f为函数的是( )
A.f:A→B,y=f(x) B.f:B→A,y=f(x)
C.f:A→B,x=f(y) D.f:B→A,x=f(y)
题组二 函数的定义域
4.函数f(x)=的定义域为( )
A.[-1,4] B.[-1,0)∪(0,4]
C.[-4,1] D.[-4,0)∪(0,1]
5.已知函数f(x)的定义域为[-1,1],则y=的定义域为 .
6.函数y=f(x+2)的定义域为[0,2],则函数y=f(2x)的定义域为( )
A.[-4,0] B.[-1,0] C.[1,2] D.[4,8]
7.记函数f(x)=的定义域为A,g(x)=(a<1)的定义域为B.
(1)求A;
(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
题组三 函数相同(同一个函数)
8.下列函数中,与y=x-1是同一个函数的是( )
A.y=
C.y=-1
9.(多选题)下列各组函数是同一个函数的是( )
A.f(x)=x2+4x+4和g(m)=(m+2)2
B.f(x)=和g(x)=
C.f(x)=和g(x)=x
D.f(x)=和g(x)=x2-1
题组四 函数的值(对f(x), f(a)的理解)
10.若函数f(x)=3x-1,则f(f(1))的值为( )
A.2 B.4 C.5 D.14
11.已知函数f(x)=,则f(f(16))= .
12.已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+ f(b),如果f(2)=p, f(3)=q,那么f(72)= .
13.已知函数f(x)=x2-x,若f()=2,则a的值是 .
14.已知函数f(x)=.
(1)当x=2时,求f(x)的值;
(2)若f(a)=2a,求实数a的值.
题组五 函数的值域
15.下列函数中,定义域是值域的真子集的是( )
A.y=2x+1 B.y=-x2-2x+5
C.y=-1
16.函数y=的值域为 .
17.已知函数f(x)=,且f(2)=5, f(-1)=-1,则函数y=f(x),x∈[2,3]的值域是 .
18.如果两个函数的对应关系相同,值域相同,但定义域不同,则称这两个函数为一组海中函数,请写出一组海中函数:f(x)= ,g(x)= .
19.求下列函数的值域.
(1)f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3};
(2)y=(x-1)2+1;
(3)y=;
(4)y=x-.
能力提升练
题组一 函数的概念
1.(多选题)下列说法正确的是( )
A.f(x)=x2,g(t)=t2是同一个函数
B.f(x)=x-1, g(x)=-1是同一个函数
C.存在无数组函数f(x),g(x):定义域相同,值域相同,但对应关系不同
D.存在无数组函数f(x),g(x):值域相同,对应关系相同,但定义域不同
2.(多选题)下列对应关系f,能构成从集合M到集合N的函数的是( )
A.M=,N={-6,-3,1}, f=-6, f(1)=-3, f=1
B.M=N={x|x≥-1}, f(x)=2x+1
C.M=N={1,2,3}, f(x)=2x+1
D.M=Z,N={-1,1}, f(x)=
3.(多选题)南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值,对于中国乃至世界是一个重大贡献,后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”,简称“祖率”.已知圆周率π=3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…,如果记圆周率π小数点后第n位数字为f(n),则下列说法正确的是( )
A.y=f(n),n∈N*是一个函数
B.当n=5时, f(n)=3.141 59
C.f(4)=f(8)
D.f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
题组二 函数的定义域和值域
4.若函数f(x)=(a2-2a-3)x2+(a+1)x+2的定义域和值域都是R,则a的值为( )
A.3或-1 B.3 C.-1 D.不确定
5.已知函数y=f(x)的定义域是[-8,1],则函数g(x)=的定义域是( )
A.(-∞,-2)∪(-2,3] B.[-8,-2)∪(-2,1]
C.∪(-2,0] D.
6.已知函数y=x2-2x+2的值域是[1,2],则其定义域不可能是( )
A.[0,1] B.[1,2] C. D.[-1,1]
7.若函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围是( )
A.[0,8) B.(8,+∞)
C.(0,8) D.(-∞,0)∪(8,+∞)
8.(多选题)下列说法正确的是( )
A.若函数f(x)的定义域为[-2,2],则函数f(2x-1)的定义域为
B.函数y=2x+
C.函数f(x)=x2-2x+4在[-2,0]上的值域为[4,12]
D.函数y=的值域为(-∞,2)∪(2,+∞)
9.已知函数f(x)=x-的值域为[0,+∞),则f(x)的定义域可以是 .
10.函数f(x)=2x+的值域为 .
11.函数f(x)=的值域为 .
12.(1)求函数f(x)=的值域;
(2)已知函数y=的定义域是R,求实数m的取值范围.
题组三 函数的值
13.设x,y∈R,双元函数f(x,y)满足:①f(x,x)=x;②f(kx,ky)=kf(x,y);③f(x1+x2,y1+y2)=f(x1,y1)+f(x2,y2);④f(x,y)=f,则f(1,3)的值为( )
A.1 B.2 C.
14.已知函数f(x)=(x≠0).
(1)分别计算f(2)+f, f(3)+f的值;
(2)你发现了什么规律 证明你发现的规律并利用规律计算f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)+f+…+f的值.
答案与分层梯度式解析
第三章 函数
3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第1课时 函数的概念
基础过关练
1.A 2.C 3.B 4.B 6.C 8.A 9.AD 10.C
15.C
1.A 根据函数的定义可知,对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,A选项中存在一个自变量对应两个函数值,所以A不是函数图象.
2.C 对于A,函数的值域不是[0,1],故A不符合题意;对于B,函数的定义域不是[0,1],故B不符合题意;对于C,函数的定义域、值域均为[0,1],故C符合题意;
对于D,不满足函数的定义,不是函数的图象,故D不符合题意.
故选C.
3.B 对于A,当x=0时,y=x2=0,而0 B,故A不满足要求;
对于B, x∈(0,+∞),存在唯一确定的y∈R,使得y=x2,故B满足要求;
对于C,y∈R,x∈(0,+∞),当y=-1时,没有x与之对应,故C不满足要求;
对于D,y∈(0,+∞),x∈R,当y=1时,x2=1,解得x=±1,不满足唯一确定的x与其对应,故D不满足要求.
4.B 由题意得
解得-1≤x≤4,且x≠0,所以函数f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,4].
5.答案 [-2,-1)
解析 由题意得解得-2≤x<-1.
∴y=的定义域为[-2,-1).
6.C 因为函数y=f(x+2)的定义域为[0,2],所以x∈[0,2],则x+2∈[2,4],即函数y=f(x)的定义域为[2,4],令2≤2x≤4,解得1≤x≤2,所以函数y=f(2x)的定义域为[1,2].
7.解析 (1)由2-≥0,得≥0,解得x<-1或x≥1,∴A=(-∞,-1)∪[1,+∞).
(2)由(x-a-1)(2a-x)≥0,得(x-a-1)(x-2a)≤0,
∵a<1,∴a+1>2a,∴B=[2a,a+1].
由已知可得B A,∴2a≥1或a+1<-1,即a≥或a<-2,又a<1,∴≤a<1或a<-2,
故实数a的取值范围是(-∞,-2)∪.
8.A 函数y=x-1的定义域为R,
对于A,函数y=-1=x-1(x∈R),它与函数y=x-1的定义域和对应关系都相同,故它们是同一个函数,故A正确;
对于B,函数y==|x-1|(x∈R),它与函数y=x-1的对应关系不相同,故它们不是同一个函数,故B错误;
对于C,函数y=的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),两个函数定义域不同,故它们不是同一个函数,故C错误;
对于D,函数y=-1=|x|-1(x∈R),它与函数y=x-1的对应关系不相同,故它们不是同一个函数,故D错误.
9.AD 对于A, f(x)=x2+4x+4=(x+2)2和g(m)=(m+2)2的定义域都是R,对应关系相同,是同一个函数,故A正确;对于B, f(x)=的定义域为[3,+∞),g(x)=的定义域为(-∞,-3]∪[3,+∞),不是同一个函数,故B错误;对于C, f(x)=和g(x)=x的对应关系不同,不是同一个函数,故C错误;对于D, f(x)==x2-1和g(x)=x2-1的定义域都是R,对应关系相同,是同一个函数,故D正确.故选AD.
10.C 因为f(x)=3x-1,所以f(1)=2,所以f(f(1))=f(2)=5,故选C.
11.答案 2
解析 因为f(x)=,所以f(16)==4,所以f(f(16))=f(4)==2.
12.答案 3p+2q
解析 f(72)=f(36×2)=f(36)+ f(2)=f(6×6)+f(2)=2f(6)+ f(2)=2f(2×3)+f(2)=3f(2)+2f(3),∵f(2)=p, f(3)=q,∴f(72)=3p+2q.
13.答案 4
解析 f(=2,即(+1)=0,解得=2(负值舍去),即a=4.
易错警示 f(a)表示当x=a时,函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,一般情况下,它是一个变量.
14.解析 (1)∵函数f(x)=,
∴当x=2时, f(2)==4.
(2)函数f(x)=的定义域为{x|x≠1},
因为f(a)=2a,所以f(a)==2a,
即a+2=2a(a-1),解得a=-或a=2.
15.C 对于A,y=2x+1的定义域和值域都是R,故A不符合题意;
对于B,y=-x2-2x+5=-(x+1)2+6的定义域为R,值域为(-∞,6],值域是定义域的真子集,故B不符合题意;
对于C,y=的定义域为[1,+∞),值域为[0,+∞),[1,+∞) [0,+∞),故C符合题意;
对于D,y=-1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),故D不符合题意.
故选C.
16.答案 [0,4]
解析 由y=可得x(8-x)≥0,解得0≤x≤8,又x(8-x)≤=16,当且仅当x=8-x,即x=4时取等号,所以≤4,故函数y=的值域为[0,4].
17.答案 [3,5]
解析 由题意得f(2)==5, f(-1)==-1,所以a=3,b=-1,所以f(x)=.当2≤x≤3时,1≤x-1≤2,2≤≤4,所以3≤f(x)≤5.
18.答案 x2,x∈[0,1];x2,x∈[-1,1](答案不唯一)
19.解析 (1)函数的定义域为{-1,0,1,2,3},f(-1)=[(-1)-1]2+1=5, f(0)=2,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=5,所以函数的值域为{1,2,5}.
(2)函数的定义域为R,因为(x-1)2+1≥1,所以函数的值域为{y|y≥1}.
(3)函数的定义域是{x|x≠1},y=,所以函数的值域为{y|y≠5}.
(4)函数的定义域是{x|x≥-1}.
设t=,则x=t2-1(t≥0),
于是y=t2-1-t=.
因为t≥0,所以y≥-,
所以原函数的值域是.
能力提升练
1.ACD 2.ABD 3.ACD 4.B 5.C 6.D 7.A 8.ABC
13.B
1.ACD 对于A,两个函数的定义域均为R,对应关系也相同,故是同一个函数,A正确;
对于B, f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠0},定义域不同,故不是同一个函数,B错误;
对于C,例如函数f(x)=|ax|,a≠0,g(x)=x2,两个函数的定义域都是R,值域都是[0,+∞),但是对应关系不同,所以C正确;
对于D,例如f(x)=|x|(x≥0),g(x)=|x|(x≤a,a>0),两个函数的值域都是[0,+∞),对应关系也相同,但是定义域不同,故D正确.故选ACD.
2.ABD 由函数的定义知,A正确;B中,任取x∈M,都有x≥-1,从而2x+1≥-1,因此集合M中的每一个元素在集合N中都有唯一的元素与之对应,故B正确;C中,取x=3∈M,则f(x)=2×3+1=7 N,故C不正确;D中,M=Z,N={-1,1},当x为奇数时, f(x)=-1,当x为偶数时, f(x)=1,满足函数的定义,故D正确.故选ABD.
3.ACD 对于A, n∈N*,均存在唯一的f(n)与之对应,符合函数的定义,所以y=f(n),n∈N*是一个函数,故A正确;对于B,C,易知f(4)=5, f(5)=9, f(8)=5,故B错误,C正确;对于D,由定义可知f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},故D正确.故选ACD.
4.B 若a2-2a-3≠0,则f(x)是二次函数,当其定义域是R时,值域不可能是R,不符合题意.若a2-2a-3=0,则a=-1或a=3,当a=-1时, f(x)=2,是常数函数,定义域是R,值域是{2},不符合题意;当a=3时, f(x)=4x+2,其图象是一条直线,定义域和值域都是R,符合题意.故选B.
5.C 由题意得-8≤2x+1≤1,解得-≤x≤0,由x+2≠0,得x≠-2,故g(x)的定义域是∪(-2,0].
6.D 作出函数y=x2-2x+2的图象,如图,当y=1时,x=1,当y=2时,x=0或x=2.若函数的值域为[1,2],其定义域不可能为[-1,1],故选D.
7.A ∵函数f(x)的定义域为R,
∴不等式mx2-mx+2>0的解集为R.
当m=0时,不等式为2>0,恒成立,满足题意;
当m≠0时,则有解得0综上,实数m的取值范围是[0,8).故选A.
8.ABC 对于A,因为函数f(x)的定义域为[-2,2],所以对于函数f(2x-1),有-2≤2x-1≤2,解得-≤x≤,所以函数f(2x-1)的定义域为,A选项正确;
对于B,令t=,则t≥0,x=1-t2,故y=2(1-t2)+t=-2,所以函数y=2x+,B选项正确;
对于C,当x∈[-2,0]时, f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3∈[4,12],所以函数f(x)=x2-2x+4在[-2,0]上的值域为[4,12],C选项正确;
对于D,y=-1≠-1,所以函数y=的值域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),D选项错误.
9.答案 [-1,0)∪[1,+∞)(答案不唯一)
解析 令x-≥0,解得-1≤x<0或x≥1,
则f(x)的定义域可以是[-1,0)∪[1,+∞).
10.答案 (-∞,-2]∪[2,+∞)
解析 易知f(x)的定义域为{x|x≠0}.
当x>0时,f(x)=2x+≥2,当且仅当2x=,即x=时取等号;
当x<0时, f(x)=2x+≤-2,当且仅当-2x=-,即x=-时取等号.
∴f(x)=2x+的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
11.答案
解析 f(x)=,因为x2-x+1=,所以0<≤-<0,所以≤2-<2,所以函数f(x)=.
12.解析 (1)f(x)=,
∵1+x2≥1,∴0<≤1,∴0<≤3,∴-1<-1+≤2,故函数f(x)=的值域为(-1,2].
(2)①当m=0时,y=,其定义域是R,满足题意.
②当m≠0时,由定义域为R可知,mx2-6mx+m+8≥0对一切实数x均成立,
所以解得0综上,实数m的取值范围是[0,1].
13.B 当x=1,y=3时,由②④可知, f(1,3)=ff(7,5),
由③可知f(7,5)=f(3+4,1+4)=f(3,1)+f(4,4),
由①可知f(4,4)=4,故f(7,5)=f(3,1)+4=ff(1,3),故f(7,5)=f(1,3)=3f(1,3),所以f(1,3)=2,故选B.
14.解析 (1)f(2)+f=1,
f(3)+f=1.
(2)规律: f(x)+f=1.
证明如下:由f(x)=,可得f(x)+f=1.
故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)+f+…+f+…++
2 023=.(共25张PPT)
3.1 函数的概念与性质
知识点 1 函数的概念
知识 清单破
3.1.1 函数及其表示方法
一般地,给定两个非空实数集A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的每一个实数x,在
集合B中都有唯一确定的实数y与x对应,则称f为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A,
其中x称为自变量,y称为因变量,自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域,所有函
数值组成的集合{y|y=f(x),x∈A}称为函数的值域.
注意 ①集合A,B都是非空实数集;②集合A中元素无剩余;③集合B中元素可剩余,即集合B不
一定是函数的值域,函数的值域一定是B的子集.
函数有三个要素:定义域,对应关系与值域.一般地,如果两个函数表达式表示的函数定义域
相同,对应关系也相同(即对自变量的每一个值,两个函数表达式得到的函数值都相等),则
称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.
知识点 2 同一个函数
知识点 3 函数的表示方法
解析法 用代数式(或解析式)来表示函数的方法
列表法 用列表的形式给出函数的对应关系的方法
图象法 用函数的图象表示函数的方法
知识点 4 分段函数
1.概念
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段
函数.
2.三要素
(1)定义域:每一段上自变量的取值范围的并集.
(2)值域:所有函数值组成的集合.
(3)对应关系:在每一段上的对应关系不同.
知识点 5 取整函数与常数函数
函数 代表形式 定义域 值域
(高斯) 取整函数 f(x)=[x] R Z
常数函数 f(x)=C(常数) R {C}
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数. ( )
√
2.对于定义域为A的函数f(x),若x1,x2∈A,当x1>x2时,可能有f(x1)=f(x2). ( )
√
3.函数的定义域和值域一定是无限集. ( )
提示
定义域和值域可以是有限集也可以是无限集.
4.根据函数的概念,定义域中的一个自变量x可以对应着不同的函数值y. ( )
提示
由函数的概念可知,对于定义域中的每一个x只有唯一的函数值y和它对应.
5.f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量. ( )
√
6.函数的图象一定是定义域上一条连续不断的曲线. ( )
7.分段函数就是多个函数. ( )
疑难 情境破
疑难 1 如何求函数的定义域
讲解分析
1.已知函数解析式求定义域
(1)如果函数解析式是整式,那么在没有指明它的定义域的情况下,函数的定义域是实数集R.
(2)如果函数解析式含分式或0次幂,那么函数的定义域是使分母或底数不等于零的实数的集
合.
(3)如果函数解析式是二次(偶次)根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的
实数的集合.
(4)如果函数解析式是由几个式子构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的
集合(即求各部分自变量取值集合的交集).
(5)由实际背景确定的函数,其定义域要受实际问题的制约.
2.求抽象函数的定义域
(1)求抽象函数的定义域,要明确以下几点:
①函数f(x)的定义域是指x的取值范围.
②函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围.
③f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同.
(2)抽象函数定义域的求解方法:
①已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,实质是已知φ(x)的取值范围为A,求x的取值范围.
②已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,实质是已知φ(x)中的x的取值范围为B,求φ(x)的取
值范围,此范围就是f(x)的定义域.
③已知f(φ(x))的定义域为C,求f(g(x))的定义域,实质是已知φ(x)中的x的取值范围为C,求出φ(x)
的取值范围D,再令g(x)的取值范围为D,求出x的取值范围,此范围就是f(g(x))的定义域.
典例1 求下列函数的定义域:
(1)f(x)= + ;
(2)f(x)= ;
(3)f(x)= ;
(4)f(x)= - + .
思路点拨 求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围,列不等式或不
等式组求解即可.
解析 (1)要使函数有意义,只需 解得 ≤x≤ ,则函数的定义域为 .
(2)要使函数有意义,只需 解得-2≤x≤2,且x≠1,
则函数的定义域为{x|-2≤x≤2且x≠1}.
(3)要使函数有意义,只需 解得x>-2,且x≠-1,
则函数的定义域为{x|x>-2且x≠-1}.
(4)要使函数有意义,只需
解得- ≤x<2,且x≠0,
则函数的定义域为 .
典例2 (1)已知函数f(x)的定义域为[1,3],求函数f(2x+1)的定义域;
(2)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(x)的定义域;
(3)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(3x)的定义域;
(4)若函数f(x)的定义域为[0,1],求函数g(x)=f(x+m)+f(x-m)(m>0)的定义域.
思路点拨 根据抽象函数定义域的实质列出关系式求解,对于含参数的抽象函数注意分类讨
论.
解析 (1)由题意知,函数f(2x+1)中2x+1的范围与函数f(x)中x的范围相同,
∴2x+1∈[1,3],即x∈[0,1],
∴f(2x+1)的定义域为[0,1].
(2)∵x∈[1,3],∴2x+1∈[3,7],
∴f(x)的定义域为[3,7].
(3)∵x∈[1,3],∴2x+1∈[3,7],
∴3x∈[3,7],即x∈ ,
∴f(3x)的定义域为 .
(4)依题意有
∴
∵m>0,∴-m<0,1-m<1+m,但m与1-m的大小不确定,∴需讨论m与1-m的大小关系.
①若m=1-m,即m= ,则x=m= ;
②若m<1-m,即0③若m>1-m,即m> ,则x不存在,与题意不符.
综上,0求函数值域的常用方法
(1)直接法:对于一些解析式结构比较简单的函数,可根据其解析式的结构特征,由自变量的范
围逐步运算求出函数值的范围得到值域.
(2)图象法:画出函数的图象,利用函数图象的“最高点”和“最低点”直观得到函数的值域.
(3)配方法:此方法是求二次函数值域的基本方法,通常把函数式通过配方转化成完全平方式
与常量和(差)的形式.
(4)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数”的形式,便
于求值域.
(5)换元法:对于一些无理函数(如y=ax±b± ),通过换元把它们转化为我们熟悉的函数,间
疑难 2 如何求函数的值域
讲解分析
接地求出原函数的值域,注意换元后新元的取值范围.
除此之外还有判别式法、反表示法等,解题时根据题目特点灵活选择并应用.
典例 求下列函数的值域:
(1)y=x2-4x+6,x∈[1,5];
(2)y= ;
(3)y=x+ .
解析 (1)配方得y=(x-2)2+2,x∈[1,5],画出函数图象如图所示:
由图知,2≤y≤11,即函数的值域为[2,11].
(2)∵y= = =3+ ≠3,
∴函数的值域为(-∞,3)∪(3,+∞).
(3)设u= ,则u≥0,且x= ,
∴y= +u= (u+1)2.
∵u≥0,∴y≥ ,
∴y=x+ 的值域为 .
1.待定系数法
(1)设出所求函数含有待定系数的解析式.如一次函数解析式设为f(x)=ax+b(a≠0).反比例函
数解析式设为f(x)= (k≠0).二次函数解析式可根据条件设为①一般式: f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);③交点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
(2)把已知条件代入解析式,列出含待定系数的方程或方程组.
(3)解方程或方程组,得到待定系数的值.
(4)将所求待定系数的值代回原式并化简整理.
2.换元法
已知f (g(x))是关于x的函数,求f(x)的解析式,通常令g(x)=t,由此能解出x=e(t),将x=e(t)代入f(g
疑难 3 如何求函数的解析式
讲解分析
(x))中,得到f(t)的解析式,再用x替换t,便可得到f(x)的解析式.
3.配凑法
此法是将所给函数的解析式通过配方、凑项等方法使之变形为关于“自变量”的表达式,然
后以x代替“自变量”,即得所求函数解析式.
4.消元法(方程组法)
已知f(x)与f (或f(-x))的关系式,可将x换为 (或将x换为-x),再构造出另外一个等式,组成方
程组,通过解方程组求出f(x).
5.赋值法
根据题目的特征,可对变量赋特殊值,由特殊到一般寻找普遍规律,从而根据找出的一般规律
求出函数解析式.
典例 (1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x)的解析式;
(2)已知f = + ,求f(x)的解析式;
(3)已知函数y=f(x)是一次函数,且[f(x)]2-3f(x)=4x2-10x+4,求f(x)的解析式;
(4)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,求f(x)的解析式;
(5)设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)
的解析式.
思路点拨 (1)用换元法求解.(2)用换元法或配凑法求解.(3)用待定系数法求解.(4)用方程组
法求解.(5)用赋值法求解.
解析 (1)设x+1=t,则x=t-1,∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,∴f(x)=x2-5x+6.
(2)解法一(换元法):令t= = +1,则x= (t≠1),
∴f(t)= + =(t-1)2+1+(t-1)=t2-t+1.
∴f(x)=x2-x+1(x≠1).
解法二(配凑法):∵f = +
= - = - +1, = +1≠1,
∴f(x)=x2-x+1(x≠1).
(3)设f(x)=kx+b(k≠0),
则[f(x)]2-3f(x)=(kx+b)2-3(kx+b)=k2x2+(2kb-3k)x+b2-3b=4x2-10x+4,
所以
解得 或
故f(x)=-2x+4或f(x)=2x-1.
(4)在f(x)-2f(-x)=1+2x中,以-x代替x可得f(-x)-2f(x)=1-2x,
联立
消去f(-x)可得f(x)= x-1.
(5)解法一:令y=x,则由f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),得f(0)=f(x)-x(2x-x+1).
因为f(0)=1,
∴f(x)-x(2x-x+1)=1,
故f(x)=x2+x+1.
解法二:令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),
即f(-y)=1-y(-y+1).
令-y=x,则由f(-y)=1-y(-y+1)得f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1)=x2+x+1.
1.正确理解分段函数
(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数.
(2)处理分段函数的求值问题时,一定要明确自变量的取值属于哪一个取值范围.
(3)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集,其值域是各段“值域”的并集.
(4)分段函数的图象应分段来作,要特别注意各段的自变量在区间端点处的取值情况.
2.分段函数的求值策略
(1)已知自变量求函数值:先看自变量的取值范围,再代入相应解析式求值.
(2)已知函数值求自变量:注意分类讨论思想的运用,关注变量的取值范围.
疑难 4 分段函数问题
讲解分析
典例1 设f(x)= 则f(6)的值为 .
17
解析 f(6)=f(f(11))=f(11+3)=f(14)=14+3=17.
典例2 已知a≠0,f(x)= 若f(1-a)=f(1+a),求a的值.
思路点拨 分a>0和a<0两种情况建立方程求解.
解析 当a>0时,1-a<1,1+a>1,
∵f(1-a)=f(1+a),∴2(1-a)+a=-(1+a)-2a,解得a=- (舍去);
当a<0时,1-a>1,1+a<1,
∵f(1-a)=f(1+a),∴-1+a-2a=2+2a+a,
解得a=- .综上,a=- .
