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知识点 1 增、减函数的概念
知识 清单破
3.1.2 函数的单调性
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且I D:
(1)如果对任意x1,x2∈I,当x1
单调递增),如图①所示;
(2)如果对任意x1,x2∈I,当x1f(x2),则称y=f(x)在区间I上是减函数(也称在区间I上
单调递减),如图②所示.
两种情况下,都称函数在区间I上具有单调性(区间I称为函数的单调区间,也可分别称为单调
递增区间或单调递减区间).
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且x0∈D:如果对任意x∈D,都有f(x)≤f(x0),则称f(x)的
最大值为f(x0),而x0称为f(x)的最大值点;如果对任意x∈D,都有f(x)≥f(x0),则称f(x)的最小值为
f(x0),而x0称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为最值,最大值点和最小值点统称为最值
点.
知识点 2 函数的最值与最值点
一般地,若区间I是函数y=f(x)的定义域的子集,对任意x1,x2∈I且x1≠x2,记y1=f(x1),y2=f(x2), =
,则:
(1)y=f(x)在区间I上是增函数的充要条件是 >0在区间I上恒成立;
(2)y=f(x)在区间I上是减函数的充要条件是 <0在区间I上恒成立.
一般地,当x1≠x2时,称 = 为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1x2时)上的
平均变化率.
知识点 3 函数的平均变化率与函数单调性的关系
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.增、减函数概念中的“任意x1,x2”可以改为“存在x1,x2”. ( )
2.x1,x2为f(x)定义域内的任意两个不相等的实数,且函数f(x)满足 >0,则f(x)在定义
域内为增函数. ( )
√
3.x1,x2是f(x)定义域内的任意两个实数,x1≠x2且[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0,则f(x)在定义域内为减函数.
( )
√
4.求平均变化率时,Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),Δx,Δy的值可正可负,也可以为零. ( )
5.若函数y=f(x)在区间[1,3]上是减函数,则函数y=f(x)的最大值是f(1). ( )
提示
函数y=f(x)在区间[1,3]上是减函数,只说明函数y=f(x)在区间[1,3]上的最大值为f(1),但
是函数y=f(x)在整个定义域上的最大值不一定是 f(1).
6.若函数y=f(x)在定义域上有f(1)
提示
函数y=f(x)在区间[1,3]上是减函数,只说明函数y=f(x)在区间[1,3]上的最大值为f(1),但
是函数y=f(x)在整个定义域上的最大值不一定是 f(1).
7.若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数. ( )
反例: f(x)=
提示
8.函数f(x)= 在定义域上是减函数. ( )
函数f(x)= 在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,但在整个定义域上不单调.
提示
疑难 情境破
疑难 1 函数单调性的判断与证明
讲解分析
1.判断函数单调性的方法
(1)定义法.当x∈D时, f(x)是增函数,x1,x2∈D且x1≠x2,则(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 >0;当
x∈D时, f(x)是减函数,x1,x2∈D且x1≠x2,则(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 <0.
(2)图象法.根据函数图象的升降情况进行判断.
(3)直接法.运用已知结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比例函数的单
调性均可直接得出.
(4)复合函数单调性的判断依据如下:
①若u=g(x),y=f(u)在相应的区间上都是增函数或都是减函数,则y=f(g(x))为增函数;
②若u=g(x),y=f(u)在相应的区间上一个是增函数,另一个是减函数,则y=f(g(x))为减函数.
列表如下:
u=g(x) y=f(u) y=f(g(x))
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
复合函数的单调性可简记为“同增异减”,即内外函数的单调性相同时单调递增,相异时单调递减.
2.利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值:设x1,x2是所给区间内的任意两个值,且x1(2)作差、变形:计算f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断
正负的关系式;
(3)判断符号:确定f(x1)-f(x2)的符号;
(4)下结论:根据f(x1)-f(x2)的符号与增函数、减函数的定义确定单调性.
典例 (1)已知函数f(x)= ,判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用定义加以证明;
(2)已知函数f(x)=x+ (a≠0),①判断f(x)在(0,+∞)上的单调性;②画出a>0时f(x)的大致图象;
(3)设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对于任意正实数x,y, f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,当x>1时, f(x)>0.
判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并给出证明.
解析 (1)函数f(x)= 在(1,+∞)上单调递减.
证明: x1,x2∈(1,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)= -
= ,
由x1,x2∈(1,+∞),得 >1, >1,x1+x2>0,
所以 -1>0, -1>0.
因为x10,
故 >0,即f(x1)>f(x2).
因此,函数f(x)= 在(1,+∞)上单调递减.
(2)①任取x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- =(x1-x2)- =(x1-x2)· ,
易知x1-x2<0,x1x2>0.
当a<0时,x1x2-a>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)当a>0时,若x10,即f(x1)>f(x2),若 ≤x10,所以f(x
1)-f(x2)<0,即f(x1)0时, f(x)在(0, )上为减函数,在( ,+∞)上为增函数.
②易得a>0时, f(x)在(-∞,- )上为增函数,在(- ,0)上为减函数.
故结合①可知,a>0时 f(x)的大致图象如图.
(3)函数f(x)在(0,+∞)上为增函数.
证明如下:
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1因为 >1,所以f >0,即f(x2)>f(x1),所以f(x)在(0,+∞)上为增函数.
1.利用函数的单调性解不等式
(1)利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义和性质,将符号“f”脱掉,列出关
于未知量的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域.
(2)解有关抽象函数的不等式问题的一般步骤:
①将不等式化为f(x1)②若函数f(x)是定义域D上的增函数,则x1,x2∈D,且x1x2∈D,且x1>x2.
疑难 2 函数单调性的应用
讲解分析
2.利用函数的单调性求参数的取值范围
(1)利用单调性的定义:在单调区间内任取x1,x2,且x10)恒成立求
参数的取值范围.
(2)利用具体函数本身所具有的特征:如二次函数的图象被对称轴一分为二,可根据对称轴相
对于所给单调区间的位置建立关于参数的不等式(组),解不等式(组)求参数的取值范围.
注意:若某个函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的.
对于定义域上单调的分段函数求参问题,一般从两方面考虑:一方面考虑每个分段区间上函
数具有相同的单调性,由此列出相关式子;另一方面要考虑分界点处函数值之间的大小关系,
由此列出另外的式子,从而解得参数的取值范围.
典例1 已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)( )
A. B.
C.(0,2) D.(0,+∞)
B
思路点拨 利用单调性结合定义域去掉“f ”,列出不等式组求解.
解析 函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,
则有 解得 典例2 (1)若函数f(x)= 是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是( )
A.(-2,0) B.[-2,0)
C.(-∞,1] D.(-∞,0)
(2)形如f(x)=x+ (a>0)的函数,我们称之为“对勾函数”,对勾函数具有如下性质:该函数在(0,
)上单调递减,在( ,+∞)上单调递增.已知函数f(x)=x+ (a>0)在[2,4]上的最大值比最小值
大1,则a= .
解析 (1)由题意得
解得-2≤a<0.
(2)由对勾函数的性质,可得f(x)在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增.
①当 ≤2,即0得a=4.
②当 ≥4,即a≥16时, f(x)在[2,4]上单调递减,则f(x)max-f(x)min=f(2)-f(4)=2+ -4- = -2=1,解得
a=12(舍去).
③当2< <4,即4f(x)max=f(2)或f(4).
当f(x)max=f(2)时,f(x)max-f(x)min=f(2)-f( )=2+ -2 =1,
解得 =2+ 或 =2- (舍去),
则a=6+4 .
当f(x)max=f(4)时,f(x)max-f(x)min=f(4)-f( )=4+ -2 =1,
解得 =6或 =2,均不符合,舍去.
综上,a的值为4或6+4 .
1.含参数的二次函数最大(小)值问题的解法
解决含参数的二次函数的最值问题,首先将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式,再由a的符号确
定其图象的开口方向,根据对称轴方程x=h得出顶点的位置,最后根据函数的定义域结合大致
图象确定最大值或最小值.
2.对于含参数的二次函数的最值问题,一般有下列几种类型:
(1)区间固定,对称轴变动(含参数),求最值;
(2)对称轴固定,区间变动(含参数),求最值;
(3)最值固定,区间或对称轴变动,求参数.
求解时通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
疑难 2 含参数的二次函数在某闭区间上的最大(小)值问题
讲解分析
典例 求函数f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值.
思路点拨 由于函数图象的对称轴为直线x=a,其位置不确定,所以应根据函数图象的对称轴
与区间[0,2]的相对位置进行分类讨论.
解析 f(x)=(x-a)2-1-a2,其图象的对称轴为直线x=a.
(1)当a<0时,由图①可知, f(x)min=f(0)=-1, f(x)max=f(2)=3-4a.
图① 图②
(2)当0≤a≤1时,由图②可知, f(x)min=f(a)=-1-a2, f(x)max=f(2)=3-4a.
(3)当1
图③ 图④
(4)当a>2时,由图④可知, f(x)min=f(2)=3-4a, f(x)max=f(0)=-1.
综上, f(x)的最大值为M(a)= f(x)的最小值为m(a)=
解题模板 二次函数在指定区间上的最大(小)值与二次函数图象的开口方向、对称轴位置
有关,求解时要注意这两个因素.本题不是分a<0、0≤a≤2、a>2三种情况讨论,而是分四种
情况,这是由于该二次函数图象的对称轴在区间[0,2]内时,最小值是在对称轴处取得的,但最
大值有可能是f(0),也有可能是f(2).3.1.2 函数的单调性
第1课时 函数的单调性
基础过关练
题组一 单调性的判断与证明
1.下图是函数y=f(x)的图象,则函数f(x)的单调递减区间为( )
A.(-2,0) B.(-2,2) C.(0,2) D.(2,+∞)
2.已知函数f(x)在R上是增函数,则下列说法正确的是( )
A.y=-f(x)在R上是减函数
B.y=在R上是减函数
C.y=[f(x)]2在R上是增函数
D.y=af(x)(a为实数)在R上是增函数
3.下列函数中,在区间(0,+∞)上是增函数的是( )
A.y=x2-2x B.y=-2x+1
C.y=|x| D.y=-
4.已知函数f(x)=, f(1)=, f(0)=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)试判断函数f(x)在(-∞,-2)上的单调性,并利用定义给予证明.
题组二 函数的平均变化率
5.已知函数f(x)的定义域为D,区间I D,设Δx=x1-x2,Δy=f(x1)-f(x2),其中x1≠x2,则“ x1,x2∈I,>0”是“函数f(x)在区间I上单调递增”的( )
A.充分必要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.为响应国家节能减排号召,甲、乙两个工厂进行了污水排放治理,已知某月两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示(t0为月末时间),则该月内:
①甲厂污水排放量逐渐减少;
②乙厂的污水排放量比甲厂减少得多;
③乙厂的污水排放量总比甲厂的污水排放量减少得更快.
其中正确说法的序号是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
7.青花瓷,又称白地青花瓷,是中国瓷器的主流品种之一.现往如图所示的青花瓷中匀速注水,则水的高度y与时间x的函数图象大致是( )
A B C D
8.汽车行驶的路程s与时间t之间的函数图象如图所示.汽车在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]内的平均速度分别为,则三者的大小关系是 .(用“>”连接)
题组三 求函数的单调区间
9.函数f(x)=的单调递减区间是 .
10.函数f(x)=|x2+2x-3|的单调递增区间为 .
11.写出下列函数的单调区间.
(1)y=;
(2)y=
(3)y=-x2+2|x|+3.
题组四 函数的最值
12.已知函数f(x)=x2-2x+3,则f(x)在区间[0,4]上的值域为( )
A.[3,6] B.[2,6] C.[2,11] D.[3,11]
13.已知函数f(x)=则f(x)的最大值是( )
A.60 B.58 C.56 D.52
14.函数y=在区间[2,4]上的值域为( )
A.[-3,5]
B.[-5,3]
C.(-∞,-3)∪(5,+∞)
D.(-∞,-3]∪[5,+∞)
15.已知函数f(x)=满足f(1)=-, f(3)=.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[2,4]上的值域.
能力提升练
题组一 单调性的判断
1.下列函数中,在区间(1,+∞)上为增函数的是( )
A.y=-3x-1 B.y= C.y=x2-4x+5 D.y=|x-1|+2
2.(多选题)已知函数f(x)=,则( )
A.f(x)的定义域为{x|x≠-1}
B.f(x)+f=2(x≠0)
C.f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增
D.f(x)的值域为R
题组二 函数的最值
3.函数y=|x-2|+|2x-2|的最小值为( )
A.0 B.1 C. D.2
4.函数f(x)=x(|x|-1)在[m,n]上的最小值为-,最大值为2,则n-m的最大值为( )
A. C. D.2
5.(多选题)对于实数x,[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[-1.5]=-2,定义函数f(x)=x-[x],则下列命题中正确的是( )
A.f(-3.9)=f(4.1)
B.函数f(x)的最大值为1
C.函数f(x)的最小值为0
D.方程f(x)-=0有无数个根
6.(多选题)已知函数f(x)=-2x+1(x∈[-2,2]),g(x)=x2-2x(x∈[0,3]),则下列结论正确的是( )
A. x∈[-2,2], f(x)>a恒成立,则实数a的取值范围是(-∞,-3)
B. x∈[-2,2], f(x)>a,则实数a的取值范围是(-∞,-3)
C. x∈[0,3],g(x)=a,则实数a的取值范围是[-1,3]
D. x∈[-2,2], t∈[0,3],使f(x)=g(t)
7.记实数x1,x2,…,xn中的最小数为min{x1,x2,…,xn},若f(x)=min{x+1,x2-x+1,-x+6},则函数f(x)的最大值为 .
8.设f(x)=x2-2ax+a2,x∈[0,2],当a=-1时, f(x)的最小值是 ,若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为 .
9.已知函数f(x)=x-,x∈[1,2].
(1)判断f(x)的单调性,并利用单调性的定义加以证明;
(2)设F(x)=x2+,x∈[1,2],求函数F(x)的最小值g(a).
答案与分层梯度式解析
3.1.2 函数的单调性
第1课时 函数的单调性
基础过关练
1.C 2.A 3.C 5.A 6.A 7.C 12.C 13.C
14.D
1.C 由题图可得,函数f(x)的单调递减区间为(0,2).
2.A 任取x1,x2∈R,且x1-f(x2),故y=-f(x)在R上是减函数,A正确;当f(x)=x时,y=在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,y=[f(x)]2=x2在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故B,C错误;当a≤0时,y=af(x)不是R上的增函数,D错误.
3.C A中,y=x2-2x的图象开口向上,对称轴为直线x=1,所以该函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,不符合题意;B中,y=-2x+1在(0,+∞)上是减函数,不符合题意;C中,y=|x|=在(0,+∞)上是增函数,符合题意;D中,因为y=在(0,+∞)上是增函数,所以y=-在(0,+∞)上是减函数,不符合题意.故选C.
4.解析 (1)由题意得,
∴f(x)=.
(2)f(x)在(-∞,-2)上单调递增.
证明:任取x1,x2∈(-∞,-2)且x1则f(x1)-f(x2)=
=,
∵x1+2<0,x2+2<0,x1-x2<0,∴<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故f(x)在(-∞,-2)上单调递增.
5.A 函数f(x)在区间I上单调递增的充要条件是 x1,x2∈I,当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2),或当x1即 x1,x2∈I,x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,也即 x1,x2∈I,>0.
6.A 易知①②正确;因为后期甲厂污水排放量的变化率大于乙厂污水排放量的变化率,所以③不正确.故选A.
7.C 由题图可知,青花瓷上、下细,中间粗,则水的高度的变化为快—慢—快,结合选项可知,C符合题意.
8.答案
9.答案 (0,1]
解析 函数f(x)的图象如图所示.
由图象可知, f(x)的单调递减区间是(0,1].
10.答案 (-3,-1),(1,+∞)
解析 令g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.作出g(x)的图象,保留其在x轴及x轴上方的图象,再把它在x轴下方的图象翻折到x轴上方,就得到f(x)=|x2+2x-3|的图象,如图所示.
由图象易得函数f(x)的单调递增区间是(-3,-1),(1,+∞).
11.解析 (1)y=,函数在(-∞,-1)和(-1,+∞)上单调递增.
(2)作出函数y=的图象如图所示,
由图可知,函数的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0].
(3)y=-x2+2|x|+3=作出函数的图象如图所示,
由图可知,函数的单调递增区间为(-∞,-1)和(0,1),单调递减区间为(-1,0)和(1,+∞).
12.C 因为f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,4)上单调递增,
又f(1)=2, f(0)=3, f(4)=11,所以f(x)在区间[0,4]上的值域为[2,11].
13.C 当0≤x<8时, f(x)=-x2+12x+20=-(x-6)2+56,所以f(x)max=f(6)=56;当x≥8时, f(x)=46+在[8,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(8)=52.
综上所述, f(x)max=f(6)=56.
14.D 函数y=,易得函数的定义域为{x|x≠3},函数在[2,3)上单调递减,在(3,4]上单调递减,当x=2时,y=-3;当x=4时,y=5.所以函数的值域为(-∞,-3]∪[5,+∞).
15.解析 (1)因为f(x)=, f(1)=-, f(3)=,
所以故f(x)=.
(2)由(1)可知f(x)=,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
因为函数y=与y=-在[2,4]上均单调递增,
所以函数f(x)=在[2,4]上单调递增.
又f(2)=, f(4)=,
所以函数f(x)在[2,4]上的值域为.
能力提升练
1.D 2.ABC 3.B 4.B 5.ACD 6.AC
1.D 由一次函数的性质可知,y=-3x-1在区间(1,+∞)上为减函数,故A错误;
由反比例函数的性质可知,y=在区间(1,+∞)上为减函数,故B错误;
由二次函数的性质可知,y=x2-4x+5在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故C错误;
对于D,当x>1时,y=x+1,函数在(1,+∞)上单调递增,故D正确.故选D.
2.ABC 由函数f(x)=,可知x+1≠0,解得x≠-1,所以函数的定义域为{x|x≠-1},故A正确;f(x)+f=2,故B正确;因为f(x)=,所以当x∈(-1,+∞)时, f(x)单调递增,故C正确;由f(x)=2-可知, f(x)≠2,故函数f(x)的值域不为R,故D错误.
3.B y=|x-2|+|2x-2|=
画出函数y=|x-2|+|2x-2|的图象,如图所示,
由图可知,当x=1时,ymin=1.
4.B 当x≥0时, f(x)=x(|x|-1)=x2-x,当x<0时,f(x)=x(|x|-1)=-x2-x,作出函数f(x)的图象如图所示,
当x≥0时,令f(x)=x2-x=2,解得x=2.令f(x)=x2-x=-,得x=.
当x<0时,令f(x)=-x2-x=-,则4x2+4x-1=0,解得x=.
∵f(x)在[m,n]上的最小值为-,最大值为2,∴n=2,≤m≤,∴n-m的最大值为2-,故选B.
5.ACD 当-1≤x<0时,[x]=-1,则f(x)=x+1;当0≤x<1时,[x]=0,则f(x)=x;当1≤x<2时,[x]=1,则f(x)=x-1;当2≤x<3时,[x]=2,则f(x)=x-2;……
画出函数f(x)=x-[x]的图象如图所示.
对于A,f(-3.9)=-3.9-(-4)=0.1, f(4.1)=4.1-4=0.1,所以f(-3.9)=f(4.1),故A正确;对于B,C,由图象可知,函数f(x)=x-[x]的值域为[0,1),故B错误,C正确;对于D,易知y=f(x)的图象与直线y=有无数个交点,故方程f(x)-=0有无数个根,故D正确.故选ACD.
6.AC 对于A,由题意得a7.答案
解析 画出函数f(x)的图象,如图中实线部分所示.
由图可知, f(x)的最大值为.
8.答案 1;(-∞,0]
解析 当a=-1时, f(x)=x2+2x+1,易知y=x2+2x+1的图象开口向上,对称轴为直线x=-1,所以函数f(x)=x2+2x+1在[0,2]上单调递增,所以函数f(x)的最小值为f(0)=1.
若f(0)是f(x)的最小值,则直线x=a在y轴左侧或与y轴重合,故a≤0,所以a的取值范围为(-∞,0].
9.解析 (1)函数f(x)在[1,2]上单调递增,证明如下:任取x1,x2∈[1,2],且x1则f(x1)-f(x2)=x1-,
因为x1,x2∈[1,2],且x10,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(2)因为函数f(x)在[1,2]上单调递增,且f(1)=-3, f(2)=0,所以f(x)在[1,2]上的值域为[-3,0].
设t=x-,x∈[1,2],则t∈[-3,0],
设h(t)=t2-2at+8,t∈[-3,0],易知函数y=t2-2at+8的图象的对称轴为直线t=a,所以当a≤-3时,函数h(t)在[-3,0]上单调递增,
所以g(a)=h(-3)=17+6a;
当-3当a≥0时,函数h(t)在[-3,0]上单调递减,g(a)=h(0)=8.
故g(a)=第2课时 函数单调性的应用
基础过关练
题组一 利用函数的单调性比较大小
1.定义域为R的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R(x1≠x2),有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,则有( )
A.f(-2)C.f(3)2.若函数f(x)在R上为减函数,则( )
A. f(a)> f(2a) B. f(a2)< f(a)
C. f(a2+a)< f(a) D. f(a2+1)< f(a)
题组二 利用函数的单调性解不等式或求参数的取值范围
3.若f(x)=ax2+2(a-1)x+2, x1,x2∈(-∞,4)且x1≠x2,恒有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0,则a的取值范围为( )
A.0C.0≤a<
4.已知函数f(x)=在R上满足不等式>0,则实数a的取值范围为( )
A.[-5,0) B.(-∞,-2] C.[-5,-2] D.(-∞,0)
5.设a∈R,函数f(x)=若f(x)的最小值为f(1),则实数a的取值范围是( )
A.[1,2] B.[1,6] C.[1,+∞) D.(-∞,1]
6.已知函数f(x)=在(1,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是 .
7.已知函数f(x)=,若对任意实数a>-2,关于x的不等式f(x)≥m在区间上恒成立,则实数m的取值范围为 .
题组三 抽象函数和复合函数的单调性
8.已知函数f(x)=在区间[-1,2]上单调递增,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,0) B.[-1,0) C.
9.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时, f(x)>0, f(4)=1.
(1)求证:f(1)=0;
(2)求f的值;
(3)解不等式f(x)+f(x-3)≤1.
能力提升练
题组一 利用函数的单调性解不等式或求参数的取值范围
1.已知函数f(x)在上单调递增,满足对任意x∈R,都有f,若f(x)在区间(a,2a-1)上单调递减,则实数a的取值范围为( )
A.
C. D.(-∞,2]
2.(多选题)已知函数f(x)=(a≠0)在区间(-2,+∞)上单调递增,则a,b的取值可以是( )
A.a=1,b=2 B.a=b=
C.a=-1,b=1 D.a=,b=2
3.已知函数f(x)=x+, x1∈[2,a], x2∈[a,9](2A.(2,3] B.(2,4]
C.(4,6] D.(4,9)
4.(多选题)函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x1,x2(x1≠x2),满足x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)在R上单调递减
B.f(-5)C.f(0)=0
D.f(2x-1)5.小明在研究函数f(x)=x+时,发现f(x)具有性质:如果常数k>0,那么函数f(x)在区间(0,)上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增.请你根据以上信息和所学知识解决问题:若函数g(x)=x+,值域为,则实数a的值是 .
6.已知函数f(x)的定义域为R,对任意的x1>x2,都有f(x1)-f(x2)>2x1-2x2, f(4)=4,则f(x-1)>2x-6的解集为 .
7.设函数f(x)=x2+.
(1)分别求f(x)在区间,[1,2]上的平均变化率;
(2)当x>0时,不等式x3-ax+2≥0恒成立,求实数a的取值范围.
8.已知函数f(x)=ax+,且f(1)=4, f(2)=.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明函数f(x)在上的单调性;
(3)若f>f(m),求m的取值范围.
9.已知函数f(x)=x|x-a|.
(1)当a=2时,求f(x)的增区间;
(2)若 x1,x2∈[0,2],都有|f(x1)-f(x2)|≤2,求实数a的取值范围.
题组二 抽象函数和复合函数的单调性
10.(多选题)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:当x1≠x2时,恒有>0,则( )
A.3f(4)>4f(3)
B.函数y=在区间(0,+∞)上为增函数
C.函数y=xf(x)在区间(0,+∞)上为增函数
D.f(3x1+x2)+f(x1+3x2)>4f(x1+x2)
11.函数f(x)=的单调递减区间是 .
12.已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)-1(x,y∈R),当x>0时,f(x)>1,且f(1)=2,则f(-1)= ;当x∈[1,2]时,不等式f(ax2-3x)+f(x)<2恒成立,则实数a的取值范围是 .
13.已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0.
(1)求f(0)的值;
(2)求f(x)的解析式;
(3)设P:当0答案与分层梯度式解析
第2课时 函数单调性的应用
基础过关练
1.A 2.D 3.B 4.C 5.B 8.B
1.A 由题意可得, f(x)在R上单调递增,所以f(-2)2.D 对于A,B,因为a与2a,a2与a的大小关系不能确定,所以f(a)与f(2a), f(a2)与f(a)的大小关系也不能确定;对于C,因为a2+a-a=a2≥0,所以f(a2+a)≤f(a);对于D,因为a2+1-a=>0,所以a2+1>a,所以f(a2+1)< f(a).故选D.
3.B 由题意得,函数f(x)在(-∞,4)上单调递减,当a=0时, f(x)=-2x+2,符合题意;当a≠0时, f(x)=ax2+2(a-1)x+2为二次函数,其图象的对称轴为直线x=,若f(x)在(-∞,4)上单调递减,则解得04.C 依题意,函数f(x)在R上单调递增,于是解得-5≤a≤-2,
所以实数a的取值范围为[-5,-2].
5.B 当x>1时,4x+-3a≥2-3a=16-3a,当且仅当4x=,即x=2时等号成立,即当x>1时,函数的最小值为16-3a,当x≤1时, f(x)=(x-a)2+9-a2,要使函数f(x)的最小值为f(1),需满足解得1≤a≤6.故实数a的取值范围是[1,6].
6.答案 (-2,4]
解析 f(x)=,其定义域为(-∞,a-3)∪(a-3,+∞),若f(x)在(1,+∞)上是减函数,则所以-27.答案 (-∞,0]
解析 设函数g(x)=x+,易知g(x)在上单调递减,在[1,3]上单调递增,又g,∴当x∈时,2≤g(x)≤,
∵a>-2,∴0<2+a≤x++a≤+a,
由f(x)≥m得≥m,即x++a≥m,
由题意得,2+a≥m对任意实数a>-2恒成立,则2+(-2)≥m,解得m≤0,故实数m的取值范围为(-∞,0].
8.B 设t=1-ax,t≥0,则y=,因为y=在t∈[0,+∞)上单调递增,所以t=1-ax在区间[-1,2]上单调递增,则有解得-1≤a<0.
9.解析 (1)证明:令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0.
(2)令y=,则f(x)+f=f(1)=0,所以f=-f(x).
令x=y=4,则f(16)=2f(4)=2,所以f=-f(16)=-2.
(3)任取x1,x2∈(0,+∞)且x11,所以f>0,
所以f(x2)-f(x1)=f(x2)+f>0,即f(x2)>f(x1),
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
由f(x)+f(x-3)≤1,可得f[x(x-3)]≤f(4),
所以解得3故所求不等式的解集为{x|3能力提升练
1.C 2.AD 3.A 4.BD 10.ABD
1.C 由题意得,函数f(x)的图象关于直线x=对称,
因为f(x)在上单调递增,所以f(x)在上单调递减.若f(x)在区间(a,2a-1)上单调递减,则解得12.AD f(x)=,其定义域为,
当a>0时,若函数f(x)=(a≠0)在(-2,+∞)上单调递增,则-≤-2,且3-<0,即03,据此分析可得选项A、D正确,B不正确.当a<0时,-∈(-2,+∞),不满足题意,故C错误.故选AD.
3.A 当x∈[2,9]时, f(x)=x+≥2=12,当且仅当x=,即x=6时等号成立,且f(x)=x+在(2,6)上单调递减,在(6,9)上单调递增,又f(2)=2+=20, f(9)=9+=134.BD 由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,因此f(x)在R上单调递增,A错误;由-5<0<1,得f(-5)5.答案 或18+12
解析 当a-1≤0,即a≤1时,g(x)=x+上单调递增,故g(x)min=g,解得a=,满足题设.
当a-1>0,即a>1时,若,即a≥,则函数g(x)=x+上单调递减,在(,+∞)上单调递增,故g(x)min=g(,
解得a=18+12或a=18-12(舍去);
若,即1综上所述,实数a的值是或18+12.
6.答案 {x|x>5}
解析 由f(x1)-f(x2)>2x1-2x2,可得f(x1)-2x1>f(x2)-2x2,令g(x)=f(x)-2x,则g(x1)>g(x2),故由题意可得g(x)在R上单调递增,
由f(4)=4可得g(4)=f(4)-8=-4,则f(x-1)>2x-6可转化为f(x-1)-2(x-1)>-4,即g(x-1)>g(4),所以x-1>4,即x>5.
7.解析 (1)因为f(x)=x2+,所以f(1)=3, f, f(2)=5,
所以=2,
所以f(x)在区间上的平均变化率为-,在[1,2]上的平均变化率为2.
(2)因为当x>0时,不等式x3-ax+2≥0恒成立,
所以a≤x2+在x>0时恒成立.
对于函数f(x)=x2+,x∈(0,+∞),
任取x1,x2∈[1,+∞)且x1则,
因为x1,x2∈[1,+∞)且x11,x1+x2>2,则0<<2,所以x2+x1->0,即>0,
所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,同理可证f(x)在(0,1)上单调递减,
所以当x>0时, f(x)min=f(1)=3,所以a≤3.
8.解析 (1)由已知得
故f(x)=3x+.
(2)f(x)在上是增函数.
证明:任取x1,x2∈,且x1则f(x1)-f(x2)=3x1+=(x1-x2)·,
因为x1-x2<0,x1x2>0,3x1x2-1>3×>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故f(x)在上是增函数.
(3)由(2)可知f(x)是定义在上的增函数,
所以≤m<.
故m的取值范围是.
9.解析 (1)当a=2时, f(x)=x|x-2|=
画出函数f(x)的图象,如图所示,
由图可知, f(x)的增区间是(-∞,1],[2,+∞).
(2)∵ x1,x2∈[0,2],都有|f(x1)-f(x2)|≤2,
∴|f(x1)-f(x2)|max≤2,
∵x∈[0,2]时, f(x)=x|x-a|≥0,
∴f(x)max-f(x)min≤2,
∵f(0)=0,∴f(x)min=f(0)=0,
故x∈[0,2]时, f(x)max≤2.
∵当x∈(0,2]时, f(x)=x|x-a|=|x(x-a)|,
∴|x(x-a)|max≤2,x∈(0,2],
即-2≤x(x-a)≤2在(0,2]上恒成立,
即x-≤a≤x+在(0,2]上恒成立,
即≤a≤,x∈(0,2].
∵函数y=x-在(0,2]上单调递增,
∴=1,
当x>0时,x+≥2,当且仅当x=,即x=时,等号成立,∴,
∴1≤a≤2,即实数a的取值范围为[1,2].
10.ABD 当x1≠x2时,恒有>0,令x1=4,x2=3,则>0,即3f(4)-4f(3)>0,即3f(4)>4f(3),故A正确.
设g(x)=(x>0),任取x1,x2∈(0,+∞),且x1则g(x1)-g(x2)=,
因为x1-x2<0,所以x2f(x1)-x1f(x2)<0,
所以g(x1)-g(x2)<0,所以g(x1)所以g(x)在(0,+∞)上为增函数,故B正确.
设h(x)=xf(x)(x>0),则h(x1)-h(x2)=x1f(x1)-x2f(x2),其符号无法判断,所以y=xf(x)的单调性无法判断,故C错误.
由上述分析可知,g(x)=(x>0)在(0,+∞)上单调递增,所以g(3x1+x2)>g(x1+x2),
即 ,即f(3x1+x2)>·(3x1+x2),
同理g(x1+3x2)>g(x1+x2),即 ,即f(x1+3x2)>·(x1+3x2),
所以f(3x1+x2)+f(x1+3x2)>·(3x1+x2)+·(x1+3x2)=·(4x1+4x2)=4f(x1+x2),故D正确.
11.答案 (-∞,-2]
解析 设t=x2+3x+2,由t≥0,可得x≥-1或x≤-2,
又t=x2+3x+2=,所以t=x2+3x+2在(-∞,-2]上单调递减,在[-1,+∞)上单调递增,
而y=在[0,+∞)上单调递增,故由复合函数的单调性可知,函数f(x)=的单调递减区间是(-∞,-2].
12.答案 0;(-∞,1)
解析 令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0)-1,故f(0)=1.令x=-1,y=1,得f(0)=f(-1)+f(1)-1=f(-1)+2-1=1,故f(-1)=0.
x1,x2∈R,且x10,所以f(x2-x1)>1,所以f(x2-x1)-1>0,即f(x2)>f(x1),故f(x)在R上为增函数.由f(x+y)=f(x)+f(y)-1,可得f(x)+f(y)=f(x+y)+1,故不等式f(ax2-3x)+f(x)<2即f(ax2-2x)+1<2,即f(ax2-2x)<1,又f(0)=1,所以f(ax2-2x)13.解析 (1)令x=-1,y=1,则f(0)-f(1)=-1×(-1+2+1),故f(0)=-2.
(2)令y=0,则f(x)-f(0)=x(x+1),∵f(0)=-2,∴f(x)=x2+x-2.
(3)不等式f(x)+3<2x+a,即x2+x-2+3<2x+a,即x2-x+1g(x)=f(x)-ax=x2+x-2-ax=x2+(1-a)x-2,
∵g(x)在[-2,2]上是单调函数,∴≤-2或≥2,解得a≤-3或a≥5,令B={a|a≤-3或a≥5}.
故当P,Q至少有一个成立时,实数a的取值范围为A∪B={a|a≥1或a≤-3}.