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知识点 函数的奇偶性
知识 清单破
3.1.3 函数的奇偶性
1.概念
前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,
都有-x∈D 条件 f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x)
结论 f(x)是奇函数 f(x)是偶函数
2.图象特征
(1)奇函数 图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形.
(2)偶函数 图象是以y轴为对称轴的轴对称图形.
1.f(x)是定义在R上的函数,若f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数. ( )
2.若f(x)为奇函数,则f(0)=0. ( )
3.若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(|x|).( )
4.函数y=x2在x∈(0,+∞)上是偶函数. ( )
5.若偶函数的图象不过原点,则它与x轴交点的个数一定是偶数. ( )
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
√
√
6.不存在既是奇函数,又是偶函数的函数. ( )
提示
存在,如f(x)=0,x∈R既是奇函数,又是偶函数.
7.若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数. ( )
提示
函数f(x)=x2-2x,x∈R的定义域关于原点对称,但它既不是奇函数,也不是偶函数.
疑难 情境破
疑难 1 如何判断函数的奇偶性
讲解分析
1.判断函数奇偶性的方法
(1)定义法:
(2)图象法:
2.分段函数奇偶性的判断
判断分段函数f(x)奇偶性的一般方法是在一个区间上任取自变量,再向对称区间转化.若函数
在x=0处有定义,还要验证f(0),即判断分段函数的奇偶性时,必须判断每一段上函数是否都具
有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征,也可以作出函数图象结合对称性判断.
3.函数奇偶性的运算性质
设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,在它们的公共定义域上,一般具有下列结论:
f(x) g(x) f(x)+ g(x) f(x)- g(x) f(x)g(x) f(g(x))
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能 确定 不能 确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能 确定 不能 确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
注意:在f(g(x))中,g(x)的值域是f(x)的定义域的子集.
典例 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)= ;
(2)f(x)=|x-2|+|x+2|;
(3)f(x)=
思路点拨 先求函数的定义域,必要时化简函数解析式,再判断f(-x)与f(x)的关系,从而得出结论.
解析 (1)由1-x2≥0,得-1≤x≤1,
又|x+2|-2≠0,
∴x≠0,且x≠-4,
∴函数f(x)的定义域为{x|-1≤x≤1,且x≠0},
∴函数f(x)的定义域关于原点对称,且x+2>0,
∴f(x)= = ,
∵f(-x)= =- =-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(2)函数f(x)=|x-2|+|x+2|的定义域为实数集R,关于原点对称.
∵f(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=f(x),
∴函数f(x)=|x-2|+|x+2|是偶函数.
(3)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
当x>0时,-x<0,则f(-x)=- = =f(x);
当x<0时,-x>0,则f(-x)= =- =f(x).
综上可知,函数f(x)= 是偶函数.
方法技巧 判断函数的奇偶性时,如果直接判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)比较困难,可以研究其等
价形式,即判断f(x)±f(-x)是不是0或 (f(x)≠0)是不是±1.
函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇偶性时可以运用
的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.
1.由函数的奇偶性求参数
若函数解析式中含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),利用待定系数法求参数;若定义域中含
参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点值之和为0求参数;若函数是奇函数,0在其
定义域内,也可以用f(0)=0求解,注意求得的结果需代入检验.
2.由函数的奇偶性求函数值
利用函数的奇偶性求函数值时,注意应用性质f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解;若所给的函数为f(x)=
奇函数+c(c为常数),则可以利用f(a)+f(-a)=2c求解.
疑难 2 函数奇偶性的应用
讲解分析
3.利用函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤
(1)在哪个区间上求解析式,x就设在哪个区间;
(2)把x对称转化到已知区间上,代入已知区间的解析式;
(3)利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x),从而求出f(x).
典例1 (1)若函数f(x)= 为奇函数,则实数a= ( )
A. B.
C. D.1
(2)已知函数y=f(x),y=g(x)的定义域为R,且y=f(x)+g(x)为偶函数,y=f(x)-g(x)为奇函数,若f(2)=2,
则g(-2)= .
2
A
解析 (1)由f(x)= 知,(2x+1)(x-a)≠0,即x≠- 且x≠a,
∴f(x)的定义域为 .
∵f(x)为奇函数,其定义域关于原点对称,
∴a= ,经检验,符合题意.故选A.
(2)∵y=f(x)+g(x)为偶函数,y=f(x)-g(x)为奇函数,
∴f(-2)+g(-2)=f(2)+g(2)①,
f(-2)-g(-2)=g(2)-f(2)②,
由①②可得,f(2)=g(-2),
若f(2)=2,则g(-2)=2.
典例2 函数f(x)在R上为奇函数,当x>0时,f(x)= +1,求f(x)的解析式.
思路点拨 设x<0,则-x>0,结合f(-x)=-f(x),f(0)=0可求f(x)的解析式.
解析 设x<0,则-x>0,
∴f(-x)= +1.
∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),即-f(x)= +1,
∴f(x)=- -1.
∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(0)=0,
∴f(x)=
1.奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
2.已知区间[a,b]和[-b,-a]关于原点对称.
(1)若f(x)为奇函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值-M.
(2)若f(x)为奇函数,f(x)+c在[a,b]上有最大值M,则f(x)+c在[-b,-a]上有最小值-M+2c.
3.利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小,首先利用奇偶性把自变量转化到函数的同
一个单调区间内,然后利用单调性比较.
疑难 3 函数奇偶性与单调性的综合应用
讲解分析
典例1 (1)定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)·[ f(x2)-f(x1)]>0,
则当n∈N*时,有 ( )
A.f(-n)
B.f(n+1)C.f(n-1)D.f(n+1)(2)若偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)B
解析 (1)∵对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)·[f(x2)-f(x1)]>0,
∴若x2-x1>0,则f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1);
若x2-x1<0,则f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)∴f(x)在(-∞,0]上单调递增.
∵f(x)是定义在R上的偶函数,
∴函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(-n)=f(n).
∵n∈N*,
∴n+1>n>n-1≥0,
∴f(n+1)(2)∵f(x)是偶函数,
∴f(x)=f(|x|),
∴不等式f(2x-1)∵f(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴|2x-1|< ,
解得 典例2 已知函数f(x)对任意的x,y∈R都有f(x)+f(y)=f(x+y),当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2.
(1)证明f(x)在R上单调递减,求函数f(x)在[-3,3]上的最小值;
(2)解不等式f(ax2)-2f(x)解析 (1)取x=y=0,则2f(0)=f(0+0),故f(0)=0.
取y=-x,则f(x)+f(-x)=f(x-x),
即f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,
故函数f(x)为奇函数.
任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x10.
∴f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,
∴f(x2)<-f(-x1).
又∵f(x)为奇函数,
∴f(x1)>f(x2).
∴f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减.
∴当x∈[-3,3]时,f(x)≥f(3).
易得f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6,
∴f(x)在区间[-3,3]上的最小值为-6.
(2)∵f(x)为奇函数,
∴f(-2)=f(-1)+f(-1)=-2f(1)=4,
∴原不等式可化为f(ax2)+2f(-x)∴f(ax2-2x)∵f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减,
∴ax2-2x>ax-2,
即(ax-2)(x-1)>0.
当a=0时,x∈(-∞,1);
当a=2时,x∈R,且x≠1;
当0当a>2时,x∈ ∪(1,+∞);
当a<0时,x∈ .
综上所述,当a=0时,原不等式的解集为(-∞,1);
当a=2时,原不等式的解集为{x|x∈R,且x≠1};
当a<0时,原不等式的解集为 ;
当0当a>2时,原不等式的解集为 ∪(1,+∞).3.1.3 函数的奇偶性
基础过关练
题组一 函数的奇偶性
1.下列函数为偶函数的是( )
A.y= B.y=x+1 C.y=x3 D.y=x2
2.(2024广东广州期末)下列函数是奇函数的是( )
A.f(x)=x2+1 B.f(x)=x3-1 C.f(x)=x3+ D.f(x)=x4+2x2
3.已知b,c∈R,则“b=0”是“函数f(x)=x2+bx+c为偶函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.(多选题)下列结论不正确的是( )
A.f(x)=(x-1)是偶函数
B.f(x)=是奇函数
C.f(x)=是偶函数
D.f(x)=是非奇非偶函数
5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2,f(0)0.
(1)求f(-1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明.
题组二 奇函数、偶函数的图象特征
6.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
A B C D
7.函数y=的图象大致为( )
8.已知y=f(x-2)+1是定义在R上的奇函数,则( )
A.f(0)=0 B.f(2)=0 C.f(0)=-1 D.f(-2)=-1
9.已知偶函数y=f(x)的定义域为{x|x≠0,x∈R},且f(3)=0,其部分图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集为 .
10.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域都是[-3,3],且它们在[0,3]上的图象如图所示,则满足不等式<0的x的取值范围是 .
11.已知f(x)是R上的奇函数,当x<0时, f(x)=4x+x2,若f(x)在区间[-4,t]上的值域为[-4,4],则实数t的取值范围是 .
题组三 函数奇偶性的应用
12.已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时, f(x)=x-,若f(2)+f(0)=1,则f(-1)=( )
A.1 B.-2 C.-1 D.2
13.已知函数f(x)=为奇函数,则f(a+b)=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
14.(多选题)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时, f(x)=-x2-2x,则( )
A.f(x)的最大值为1
B.f(x)在区间(1,+∞)上单调递减
C.f(x)≥0的解集为[-2,2]
D.当x>0时, f(x)=x2-2x
15.若函数f(x)=x4+bx3+ax2+2是定义在[1-3a,a]上的偶函数,则a+b= .
题组四 奇偶性与单调性的综合应用
16.定义在R上的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x),若f(x)在区间[1,2]上单调递减,则f(x)( )
A.在[0,1],[3,4]上单调递增
B.在[0,1]上单调递增,在[3,4]上单调递减
C.在[0,1]上单调递减,在[3,4]上单调递增
D.在[0,1],[3,4]上单调递减
17.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递减,则不等式f(x+1)>f(2x)的解集为( )
A.
C.
18.已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x-1)的图象关于(1,0)中心对称, f(x+2)是偶函数,且f(x)在[0,2]上是增函数,则( )
A.f(2)C.f(13)19.已知f(x)为奇函数,且当x<0时, f(x)=x2+3x+2.若x∈[1,3]时, f(x)的最大值为m,最小值为n,则m-n的值为 .
20.设函数f(x)=,且当x≠0时, f(x)+f=-1.
(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明;
(2)判断函数f(x)的单调性,并解关于x的不等式f(x)+f+1<0.
能力提升练
题组一 奇函数、偶函数的图象特征
1.函数f(x)=的图象大致为( )
题组二 函数奇偶性的应用
2.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+x,则f(1)+g(1)=( )
A.1 B.3 C.-3 D.-1
3.已知f(x)为R上的奇函数,g(x)为R上的偶函数,且g(x)≠0,则下列说法正确的是( )
A.f(x)+g(x)为R上的奇函数
B.f(x)-g(x)为R上的奇函数
C.为R上的偶函数
D.|f(x)g(x)|为R上的偶函数
4.(多选题)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且f(3)=,则下列说法正确的是( )
A.若对任意x,y∈R,总有f(xy)=yf(x)+xf(y),则f(x)是奇函数
B.若对任意x,y∈R,总有f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是偶函数
C.若对任意x,y∈R,总有f(xy)=yf(x)+xf(y),则f
D.若对任意x,y∈R,总有f(x+y)=f(x)+f(y),则f
题组三 单调性与奇偶性的综合应用
5.已知f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数, f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,则不等式(x+1)·f(x)≤0的解集为( )
A.{x|-1≤x<0} B.{x|x>0}
C.{x|x<0或06.(多选题)已知函数f(x)=,则下列结论中正确的是( )
A.f(x)的图象关于y轴对称
B.f(x)的单调递减区间为(2,+∞)
C.f(x)的值域为R
D.当x∈(-2,2)时, f(x)有最大值
7.已知函数f(x)=是定义域上的奇函数,且f(-1)=-2.
(1)求函数f(x)的解析式,判断函数f(x)在(0,1)上的单调性并证明;
(2)令h(x)=x2+-2tf(x)(t<0),若对任意x1,x2∈都有|h(x1)-h(x2)|≤,求实数t的取值范围.
答案与分层梯度式解析
3.1.3 函数的奇偶性
基础过关练
1.D 2.C 3.C 4.AD 6.B 7.C 8.D 12.A
13.C 14.ABC 16.B 17.D 18.C
1.D 对于A,y=的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以该函数不是偶函数,故A不符合题意;
对于B,令f(x)=x+1,则f(1)=2, f(-1)=0, f(1)≠f(-1),所以该函数不是偶函数,故B不符合题意;
对于C,令f(x)=x3,则f(1)=1,f(-1)=-1, f(1)≠f(-1),所以该函数不是偶函数,故C不符合题意;
对于D,令f(x)=x2,其定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=(-x)2=x2=f(x),所以f(x)是偶函数,故D符合题意.
2.C 对于A,因为f(x)=x2+1的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=
(-x)2+1=x2+1=f(x),所以f(x)=x2+1为偶函数;
对于B,因为f(x)=x3-1的定义域为R,关于原点对称,但f(-x)=(-x)3-1=
-x3-1≠-f(x),所以f(x)=x3-1不是奇函数;
对于C,因为f(x)=x3+的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且
f(-x)=(-x)3+=-f(x),所以f(x)=x3+为奇函数;
对于D,因为f(x)=x4+2x2的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=
(-x)4+2(-x)2=x4+2x2=f(x),所以f(x)=x4+2x2为偶函数.
3.C 当b=0时, f(x)=x2+c,易知其定义域为R,关于原点对称, f(-x)=(-x)2+c=x2+c=f(x),故函数f(x)是偶函数,充分性成立;若函数f(x)=x2+bx+c为偶函数,则f(-x)=f(x),即(-x)2-bx+c=x2+bx+c,即2bx=0,所以b=0,必要性成立.故“b=0”是“函数f(x)=x2+bx+c为偶函数”的充要条件,故选C.
4.AD 对于A, f(x)的定义域为[-1,1),不关于原点对称,∴f(x)不是偶函数,∴该结论错误;
对于B, f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,设x>0,则-x<0, f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=-(-x2+x)=-f(x),同理可得x<0时,也有f(-x)=-f(x)成立,∴f(x)是奇函数,∴该结论正确;
对于C,易知f(x)的定义域为{x|x=±},关于原点对称,且f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数,∴该结论正确;
对于D,由得-1≤x<0或0∴f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,
∴f(x)=,
易得f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数,∴该结论错误.
故选AD.
5.解析 (1)令x=y=0,得f(0)=[f(0)]2-2f(0)+2,则f(0)=1或f(0)=2.令x=y=1,得f(1)=[f(1)]2-2f(1)+2,则f(1)=1或f(1)=2.因为f(0)令x=y=-1,得f(1)=[f(-1)]2-2f(-1)+2,
即[f(-1)]2=2f(-1),
因为f(x)>0,所以f(-1)>0,所以f(-1)=2.
(2)f(x)为偶函数.
证明:令y=-1,得f(-x)=f(-1)f(x)-f(x)-f(-1)+2,即f(-x)=2f(x)-f(x)-2+2,即f(-x)=f(x),
又f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)为偶函数.
6.B 选项A中的图象既不关于原点对称,又不关于y轴对称,故其表示的函数不具有奇偶性;选项C、D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.
7.C 令f(x)=,其定义域为R,
又f(-x)==-f(x),所以f(x)=为奇函数,其图象关于原点对称,故排除A,B.
当x=1时, f(1)==1,故排除D.故选C.
8.D 由题意知y=f(x-2)+1的图象关于(0,0)中心对称,将y=f(x-2)+1的图象向下平移1个单位,得y=f(x-2)的图象,其关于(0,-1)中心对称,再向左平移2个单位,得y=f(x)的图象,其关于(-2,-1)中心对称,所以f(-2)=-1.
9.答案 (-3,0)∪(0,3)
解析 利用偶函数的性质并结合已知条件,画出函数f(x)在其定义域上的大致图象,如图:
由图象可得不等式f(x)<0的解集为(-3,0)∪(0,3).
10.答案 (-2,-1)∪(0,1)∪(2,3)
解析 由<0得
由
即-2由
即2故满足条件的x的取值范围是(-2,-1)∪(0,1)∪(2,3).
11.答案 [2,2+2]
解析 当x>0时,-x<0,则f(-x)=-4x+x2,因为f(x)是R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=4x-x2,当x=0时,有f(0)=0,故f(x)的图象如图所示:
当-4≤x≤0时,-4≤f(x)≤0,当x>0时, f(x)=4x-x2=-(x-2)2+4, f(x)max=f(2)=4,令f(x)=4x-x2=-4,解得x=2+2(负值舍去).若函数f(x)在区间[-4,t]上的值域为[-4,4],则2≤t≤2+2.
12.A 因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,因为f(2)+f(0)=1,所以2-+0=1,故a=2,即当x>0时, f(x)=x-,所以f(-1)=-f(1)=-(1-2)=1,故选A.
13.C 当x>0时,-x<0,则f(-x)=-x2-bx,因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x2+bx,故ax2-2x=x2+bx,解得a=1,b=-2,经检验,当a=1,b=-2时, f(x)为奇函数,故f(a+b)=f(-1)=1.
14.ABC 当x>0时,-x<0,则f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2+2x,因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=-x2+2x,所以f(x)=D错误.
画出f(x)的图象如图所示:
由图可得, f(x)的最大值为1, f(x)在区间(1,+∞)上单调递减, f(x)≥0的解集为[-2,2],故A、B、C正确.故选ABC.
15.答案
解析 ∵f(x)是定义在[1-3a,a]上的偶函数,∴1-3a+a=0,解得a=,又f(-x)=f(x),∴x4-bx3+ax2+2=x4+bx3+ax2+2,即-bx3=bx3,解得b=0,所以a+b=.
方法总结
利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1)定义域含参数:若奇(偶)函数f(x)的定义域为[a,b],则根据定义域关于原点对称,得a+b=0,进而求解参数.
(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式求解.
16.B 因为f(x)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以区间[0,1]与区间[1,2],区间[-2,-1]与区间[3,4]关于直线x=1对称,
由函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,可知函数f(x)在[0,1]上单调递增,
又函数f(x)是偶函数,所以函数f(x)在[-2,-1]上单调递增,所以函数f(x)在[3,4]上单调递减.
17.D 因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,
f(x+1)>f(2x)即f(|x+1|)>f(|2x|),则|x+1|>|2x|,故(x+1)2>(2x)2,解得-18.C 因为f(x-1)的图象关于(1,0)中心对称,所以f(x)的图象关于(0,0)中心对称,故f(x)是奇函数,即f(-x)=-f(x),因为f(x+2)是偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),则f(x+4)=f(-x)=-f(x),
所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),
所以f(27)=f(3)=f(1), f(13)=f(5)=f(-1),
因为f(x)在[0,2]上是增函数且f(x)是奇函数,所以f(x)在[-2,2]上是增函数,
所以f(-1)19.答案
解析 当x>0时,-x<0,则f(-x)=x2-3x+2,又f(x)是奇函数,所以当x>0时, f(x)=-f(-x)=-x2+3x-2.
所以当x∈时,f(x)是增函数;当x∈时, f(x)是减函数.因此当x∈[1,3]时, f(x)max=f , f(x)min=f(3)=-2,所以m=,n=-2,从而m-n=.
20.解析 (1)f(x)是偶函数.证明如下:
f,
故f(x)+f=1-a=-1,所以a=2.
所以f(x)=.
易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)==f(x),所以f(x)是偶函数.
(2)f(x)=,
易得f(x)在[0,+∞)上单调递减,
又因为f(x)是偶函数,
所以f(x)在(-∞,0]上单调递增.
由题意及f(x)+f+1<0,得f(x)所以|x|>|2x-1|,且x≠,解得所以原不等式的解集为.
能力提升练
1.A 2.D 3.D 4.ACD 5.C 6.AD
1.A f(x)=的定义域为{x|x≠±1},关于原点对称,且f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,D;易得f<0,故排除C.故选A.
2.D 由f(x)-g(x)=x3+x2+x,得f(-x)-g(-x)=-x3+x2-x,因为f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,所以f(x)=f(-x),g(-x)=-g(x),则f(x)+g(x)=-x3+x2-x,令x=1,得f(1)+g(1)=-1+1-1=-1,故选D.
3.D 因为f(x)为R上的奇函数,g(x)为R上的偶函数,且g(x)≠0,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠-[f(x)+g(x)],故f(x)+g(x)不是奇函数,A错误;同理可得, f(x)-g(x)不是奇函数,B错误;设F(x)=,则F(x)的定义域为R,关于原点对称,F(-x)==-F(x),所以F(x)为奇函数,C错误;设H(x)=|f(x)g(x)|,则H(x)的定义域为R,关于原点对称,H(-x)=|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|=H(x),所以H(x)为偶函数,D正确.故选D.
4.ACD 对于A,令x=y=0,得f(0)=0;令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0;令x=y=-1,得f(1)=-f(-1)-f(-1),所以f(-1)=0;令y=-1,得f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x).又f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)是奇函数,故A正确.
对于B,令x=y=0,得f(0)=0;令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x).又f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)是奇函数,故B错误.
对于C,由A中分析得f(-1)=0,令x=-,y=3,得f(-1)=3ff(3)=0,又f(3)=,所以f,故C正确.
对于D,由B中分析得f(0)=0,
令x=y=1,得f(2)=f(1)+f(1)=2f(1);
令x=2,y=1,得f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=,所以f(1)=;
令x=,得f;
令x=,得f(1)=f,所以f;
令x=,得f(0)=f=0,所以f,故D正确.
5.C 因为f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数, f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,
所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(-1)=0,
所以当-11时, f(x)>0.
对于不等式(x+1)f(x)≤0,
当x=-1时,不等式成立;
当x+1<0,即x<-1时,不等式等价于f(x)≥0,解得x<-1;
当x+1>0,即x>-1时,不等式等价于f(x)≤0,解得-1综上所述,不等式(x+1)f(x)≤0的解集为{x|x<0或06.AD 对于A,函数f(x)=的定义域为{x|x≠±2},关于原点对称,且f(-x)==f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故A正确;对于B,当x∈(-∞,-2)∪(-2,0)时,f(x)=, f(x)在(-∞,-2),(-2,0)上单调递增,当x∈[0,2)∪(2,+∞)时, f(x)=, f(x)在[0,2),(2,+∞)上单调递减,所以f(x)的单调递减区间为[0,2)和(2,+∞),故B错误;对于C,易得f(x)≠0,故C错误;对于D,当x∈(-2,0)时, f(x)=-为增函数, f(x)7.解析 (1)∵f(-1)=-2,且f(x)是奇函数,
∴f(1)=2,∴
经检验a=1,b=0满足题意,
∴f(x)=.
函数f(x)在(0,1)上是减函数.证明如下:
任取x1,x2∈(0,1),且x1则f(x1)-f(x2)=x1+
=(x1-x2).
∵0∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,1)上是减函数.
(2)由题意知h(x)=x2+,令z=x+,x∈,则原函数可化为y=z2-2tz-2,
易知函数z=x+上单调递减,在[1,2]上单调递增,∴z∈,
函数y=z2-2tz-2的图象的对称轴方程为z=t,∵t<0,
∴函数y=z2-2tz-2在上单调递增,
当z=2时,ymin=-4t+2;当z=时,ymax=-5t+.
故h(x)min=-4t+2,h(x)max=-5t+,
∵对任意x1,x2∈都有|h(x1)-h(x2)|≤,
∴h(x)max-h(x)min≤,即-5t+-(-4t+2)≤,
解得t≥-.
又t<0,∴t的取值范围是.