(共21张PPT)
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
知识点 1 函数的零点
知识 清单破
1.概念
如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零,即f(α)=0,则称α为函数y=f(x)的零点.
2.等价关系
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点.
知识点 2 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
函数y=ax2+bx+c(a>0)
的图象
图象与x轴的交点 (x1,0),(x2,0) (x1,0)(或(x2,0)) 无交点
函数的零点个数 2 1 0
ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x
x2} R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处
的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点,即 x0∈(a,b),f(x0)=0.
知识点 3 函数零点存在定理
通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零
点,进而得到零点近似值.这种求函数零点近似值的方法称为二分法.
知识点 4 二分法
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.任何函数都有零点. ( )
提示
例如函数y= 不存在零点.
2.若函数f(x)满足f(a)f(b)<0,则函数在区间[a,b]上至少有一个零点. ( )
提示
3.若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为(x1,0),(x2,0). ( )
由函数零点的定义可知,函数y=f(x)的零点为x1,x2,它们是实数,不是点.
4.f(x)=x- 只有一个零点. ( )
由f(x)=0得x- =0,解得x1=1,x2=-1,所以函数f(x)=x- 有两个零点.
提示
5.二分法所求出的方程的解都是近似解. ( )
提示
当区间中点的函数值为零时,用二分法求出的解就是精确解.
6.函数f(x)=|x|可以用二分法求零点. ( )
提示
对于函数f(x)=|x|,不存在区间(a,b),使f(a)f(b)<0,所以不能用二分法求其零点.
7.用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间内. ( )
提示
函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内.
疑难 情境破
疑难 1 函数的零点
讲解分析
1.函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标,实质是同一个问题的三种不同
表达形式,方程的根就是相应函数的零点,也是该函数的图象与x轴交点的横坐标.
对于零点应注意以下几点:
(1)函数的零点是一个实数,当自变量取该值时,其函数值等于零.
(2)并不是所有函数的图象都与x轴有交点,因此不是所有的函数都有零点.如函数y=1,y=x2+1
就没有零点.
(3)若函数f(x)有零点,则零点一定在函数定义域内.
(4)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标.
2.函数图象的对称性与函数零点之和
已知x0为函数f(x)的零点.
(1)若f(x)为奇函数,则-x0也为函数f(x)的零点,故奇函数的所有零点之和为0.
(2)若f(x)为偶函数,则-x0也为函数f(x)的零点,故偶函数的所有零点之和为0.
(3)若函数f(x)的图象关于直线x=b对称,则2b-x0也为函数f(x)的零点,若该函数有2n(n∈N*)个零
点,则该函数所有零点之和为2nb.
典例 求下列函数的零点:
(1) f(x)=x2-x-6;
(2)f(x)=
(3)f(x)=x3-2x2-x+2.
思路点拨 求函数的零点就是求相应方程的根,三次方程一般可以借助因式分解求出方程的
根.注意函数的零点是一个数,而不是一个点.
解析 (1)令x2-x-6=0,得(x-3)(x+2)=0,解得x1=-2,x2=3,
∴函数f(x)的零点是-2,3.
(2)解法一(代数法):令x+1=0,得x=-1,但-1 [0,+∞),
故当x≥0时,函数f(x)无零点;令x-1=0,得x=1,但1 (-∞,0),故当x<0时,函数f(x)无零点.
综上,函数f(x)= 没有零点.
解法二(几何法):画出函数y=f(x)= 的图象,如图所示.
∵函数f(x)的图象与x轴没有交点,
∴函数f(x)= 没有零点.
(3)令x3-2x2-x+2=0,
得x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x2-1)=(x-2)(x+1)(x-1)=0,
解得x=-1或x=1或x=2,
∴函数f(x)有3个零点,分别为-1,1,2.
方法指导 求函数f(x)的零点的两种方法:
(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.
(2)几何法:对于不易求根的方程,可以将它与函数的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐
标即为函数的零点.
二次函数零点的分布问题可转化为一元二次方程根的分布问题,利用二次函数图象与x
轴的交点情况来研究,一般从开口方向、对称轴位置、判别式Δ的符号、端点处函数值的符
号等方面考虑.
设函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),则f(x)的零点可用一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根来研究.设x1,x
2是方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个根,判别式Δ=b2-4ac,k,k1,k2,k3,k4(k1布与系数之间的关系有以下几种情形:
疑难 2 二次函数零点的分布问题
讲解分析
根的分布 图象 条件
x1kx1x1,x2∈(k1,k2)
x1,x2有且仅有一个在(k1,k2)内 f(k1)·f(k2)<0
或
或
一个根在(k1,k2)内,另一个根在(k
3,k4)内
两个根均在(k1,k2)外
典例 已知二次函数f(x)=x2-2ax+4,分别求出下列条件成立的情况下,实数a的取值范围.
(1)两个零点均大于1;
(2)一个零点大于1,一个零点小于1;
(3)一个零点在(0,1)内,另一个零点在(6,8)内.
思路点拨 由零点的分布情况,结合二次函数的图象,从判别式、端点处的函数值、对称轴
等方面列出关于参数的不等式(组),解不等式(组)得到参数的取值范围.
解析 (1)由已知并结合二次函数的图象,
得
解得2故实数a的取值范围是 .
(2)由已知并结合二次函数的图象得f(1)=5-2a<0,解得a> ,
因此实数a的取值范围是 .
(3)由已知并结合二次函数的图象与函数零点存在定理,得
解得 因此实数a的取值范围是 .
观察下图,回答下列问题.
疑难 3 用二分法求方程的近似解或函数的零点
情境探究
问题1 若图中的线路出现故障,你能否设计一个维修方案来迅速查出故障所在
提示 能.循环减半,检验后保留可能有故障的段,继续减半检验,直到查出为止.
问题2 解决此问题的方法体现了数学中的什么思想
提示 二分法思想.
问题3 用二分法求方程的近似解时,如果给定了近似解所在的大致区间和精确度,那么能否预
判至少需要把区间一分为二的次数 预判的方法是什么
提示 能.逐次计算把初始区间一分为二后的区间长度,计算达到精确度时一分为二的次数
即可.
已知函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,且f(a)f(b)<0,给定近似的精确度ε,用二
分法求零点x0的近似值x1,使得|x1-x0|<ε的一般步骤如下:
(1)检查|b-a|≤2ε是否成立,如果成立,取x1= ,计算结束;如果不成立,转到(2).
(2)计算区间(a,b)的中点 对应的函数值,若f =0,取x1= ,计算结束;若f ≠0,
转到(3).
讲解分析
(3)若f(a)f <0,将 的值赋给b,回到第一步;否则必有f f(b)<0,将 的值赋给a,
回到(1).
助记法则 定区间,找中点,中值计算两边看;同号去,异号算,零点落在异号间;周而复始怎么
办 精度上面来判断.
典例 已知函数f(x)满足对任意x1,x2∈[a,b](x1≠x2),都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,且f(a)·f(b)<0.在用二
分法寻求f(x)零点的过程中,依次确定了零点x0所在区间为[a,b], , ,
,则b-a= ;当精确度小于0.001时,至少需要进行 次区间中点函数
值的计算.
4
11
解析 由题意得
解得 所以b-a=4.
设需要进行k次区间中点函数值的计算,则 ×4<0.001×2,解得k≥11,
所以至少需要进行11次区间中点函数值的计算.3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第1课时 函数的零点
基础过关练
题组一 函数的零点
1.下列图象对应的函数中没有零点的是( )
2.已知x=-1是函数f(x)=+b(a≠0)的一个零点,则函数g(x)=ax2-bx的零点是( )
A.-1,1 B.0,-1 C.1,0 D.2,1
3.若函数f(x)=ax2+4x-1在(-1,1)上恰有一个零点,则实数a的值可以为 (写出一个即可).
4.函数f(x)=的零点个数是 .
5.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=x2+x+2;
(3)f(x)=.
题组二 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
6.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则不等式<0的解集是( )
A. B.{x|-3C.
7.若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-3A.(3,0)和(-2,0) B.(-3,0)和(2,0)
C.2和-3 D.-2和3
8.关于x的不等式x2-mx+1>0的解集为R,则实数m的取值范围是( )
A.{m|02}
C.{m|-2≤m≤2} D.{m|-29.设a∈R,则“a≥0”是“关于x的不等式ax2+5x+a≥0有解”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10.已知函数f(x)=ax2+bx+c的两个零点分别为-2,3,且f>0,则下列说法正确的序号为 .
①a>0;②不等式ax+c>0的解集为{x|x<6};③a+b+c>0;④不等式cx2-bx+a<0的解集为.
题组三 函数零点的存在性及其应用
11.函数f(x)=x3+x-2的零点所在的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
12.已知二次函数y=x2-6x+m的两个零点都在区间[2,+∞)内,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,9) B.(8,9)
C.[8,9) D.(8,+∞)
13.(多选题)已知函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,若f(a)f(b)<0,则在区间[a,b]上( )
A.方程f(x)=0没有实数根
B.若函数f(x)单调,则f(x)=0必有唯一的实数根
C.方程f(x)=0至多有一个实数根
D.若函数f(x)不单调,则f(x)=0至少有一个实数根
14.函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在(1,2)上的零点( )
A.至多有一个 B.有1个或2个
C.有且仅有一个 D.一个也没有
15.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有2个零点,则实数k的取值范围是( )
A.(0,+∞) B.(0,+∞)∪{-1}
C.[0,+∞) D.(-1,+∞)
16.若函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则a的取值范围是 .
17.已知函数f(x)=
(1)若a=0,作出函数f(x)的图象并求f(x)的单调递减区间;
(2)讨论关于x的方程f(x)=0的解的个数.
18.已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两个实数根,其中一个根在区间(-1,0)内,另一个根在区间(1,2)内,求m的取值范围;
(2)若方程有两个不相等的实数根,且均在区间(0,1)内,求m的取值范围.
能力提升练
题组一 函数的零点
1.已知“不小于x的最小的整数”所确定的函数通常记为f(x)=,例如:<1.2>=2,则方程=的正实数根有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个
2.定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图象分别如图①,图②所示.给出下列四个命题,其中正确的命题是( )
A.方程f(g(x))=0有且仅有三个解
B.方程g(f(x))=0有且仅有三个解
C.方程f(f(x))=0有且仅有九个解
D.方程g(g(x))=0有且仅有九个解
题组二 函数零点的存在性及其应用
3.已知函数f(x)的图象在区间[1,3]上连续不断,则“f(1)+f(2)+f(3)=0”是“f(x)在[1,3]上存在零点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知f(x)的定义域为R,且f(x+1)是奇函数,当x>1时, f(x)=函数g(x)=k(x-1),k>0,则方程f(x)=g(x)的所有根之和为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.(多选题)已知函数f(x)是偶函数,且当x≥0时, f(x)=关于x的方程f(x)-m=0的根,下列说法正确的有( )
A.当m=0时,方程有4个不等实根
B.当0C.当m=1时,方程有4个不等实根
D.当m>1时,方程有6个不等实根
6.已知关于x的函数f(x)=bx2-2bx+|x-1|+b2+b-4有唯一零点x=a,则a+b=( )
A.-1 B.3 C.-1或3 D.4
7.写出一个同时具有下列性质①②③的函数:f(x)= .
①定义域为R,值域为[-1,+∞);②f(x)在定义域内是偶函数;③f(x)有3个零点.
8.已知函数f(x)=x2-x+-2(x>0).
(1)用定义证明f(x)在(0,1)上单调递减;
(2)证明f(x)存在两个零点a,b,且a+b>2.
答案与分层梯度式解析
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第1课时 函数的零点
基础过关练
1.A 2.C 6.D 7.D 8.D 9.A 11.B 12.C
13.BD 14.C 15.A
1.A 选项B,C,D中的图象均与x轴有交点,故其对应的函数均有零点;选项A中的图象与x轴没有交点,故其对应的函数没有零点.故选A.
2.C 因为x=-1是函数f(x)=+b(a≠0)的一个零点,所以-a+b=0,所以a=b,所以g(x)=ax2-bx=ax2-ax=ax(x-1)(a≠0),令g(x)=0,得x=0或x=1.故选C.
3.答案 0(答案不唯一)
解析 当a=0时,f(x)=4x-1,令4x-1=0,得x=.
因为∈(-1,1),所以a=0符合题意.
4.答案 2
解析 当x≤0时,令x2-2=0,解得x=-(正值舍去),所以f(x)在(-∞,0]上有且仅有一个零点.
当x>0时,令2x-6-=0,得=0,即2x2-6x-1=0,解得x=(负值舍去),
所以f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点.
综上所述,函数f(x)的零点个数为2.
5.解析 (1)f(x)=-8x2+7x+1=-(8x+1)(x-1),
令f(x)=0,解得x=-或x=1,
所以函数f(x)存在零点,零点为-和1.
(2)令x2+x+2=0,因为Δ=12-4×1×2=-7<0,
所以方程无实数根,所以f(x)=x2+x+2不存在零点.
(3)f(x)=,
令=0,解得x=-6,所以函数f(x)存在零点,零点为-6.
6.D 由题中二次函数的图象可得,a>0,且1和2是方程ax2+bx+c=0的两个根,所以<0等价于<0,解得-7.D 解析 因为不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-3由根与系数的关系得
故函数y=ax2+x-c=-x2+x+6=-(x+2)(x-3),
其图象与x轴的交点坐标为(3,0)和(-2,0),
所以函数y=ax2+x-c的零点为-2和3.
8.D ∵不等式x2-mx+1>0的解集为R,
∴函数y=x2-mx+1的图象恒在x轴上方,
∴方程x2-mx+1=0无实数解,∴Δ<0,即(-m)2-4<0,解得-2故选D.
9.A 对于不等式ax2+5x+a≥0,①当a=0时,不等式为5x≥0,∴x≥0,不等式有解;②当a>0时,ax2+5x+a≥0一定有解;③当a<0时,若ax2+5x+a≥0有解,则Δ=25-4a2≥0,∴-≤a<0.综上,当且仅当a≥-时,不等式ax2+5x+a≥0有解.
∵[0,+∞) ,∴“a≥0”是“关于x的不等式ax2+5x+a≥0有解”的充分不必要条件,故选A.
10.答案 ②③④
解析 由题意得,-2和3是方程ax2+bx+c=0的两根,
所以
对于①,由f>0及二次函数的性质,可得a<0,故①错误;
对于②,不等式ax+c>0可化为x-6<0,解得x<6,故②正确;
对于③,a+b+c=a-a-6a=-6a>0,故③正确;
对于④,不等式cx2-bx+a<0可化为6x2-x-1<0,解得-,故④正确.
11.B 易知f(x)为R上的增函数,因为f(0)=-2<0, f(1)=-<0, f(2)=>0, f(3)=10>0, f(4)=>0,所以f(1)·f(2)<0,根据函数零点存在定理可得, f(x)的零点在区间(1,2)上.
12.C 设f(x)=x2-6x+m,
因为二次函数y=x2-6x+m的两个零点都在区间[2,+∞)内,
所以解得8≤m<9.
故实数m的取值范围是[8,9).
13.BD 由函数零点存在定理,知函数f(x)在区间[a,b]上至少有一个零点,所以若函数f(x)不单调,则f(x)=0至少有一个实数根;若函数f(x)单调,则函数f(x)有唯一的零点,即f(x)=0必有唯一的实数根,故选BD.
14.C 若a=0,则f(x)=bx+c,是一次函数,由f(1)>0, f(2)<0,得f(1)f(2)<0,则f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点.
若a≠0,则f(x)=ax2+bx+c是二次函数,由f(1)>0,f(2)<0,得f(1)f(2)<0,
则f(x)在(1,2)上必有零点.
若f(x)在(1,2)上有两个零点,
则必有f(1)f(2)>0,与已知矛盾,
故f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点.
综上所述,f(x)在(1,2)上的零点有且仅有一个.
15.A 作出y=f(x)的大致图象,如图所示:
若g(x)=f(x)-k有2个零点,则f(x)=k有两个不相等的实数根,即直线y=k与函数y=f(x)的图象有两个交点,由图可知,k>0.故选A.
16.答案 a>或a<-1
解析 当a=0时,f(x)=1,f(x)在(-1,1)上不存在零点,不满足题意,故a≠0,易知f(x)在(-1,1)上单调,且其图象连续不断,若f(x)在(-1,1)上存在一个零点,则f(-1)·f(1)<0,即(-3a+1-2a)(3a+1-2a)<0,解得a<-1或a>.
17.解析 (1)当a=0时, f(x)=则f(x)的图象如图所示,
由图象可知, f(x)的单调递减区间为(-1,1).
(2)当x=0时, f(x)=0,∴x=0是方程f(x)=0的一个解;
由f(x)=0(x≠0)得a=
令g(x)=则方程f(x)=0(x≠0)的解的个数即为g(x)的图象与直线y=a的交点个数,
作出g(x)的图象如图所示,
由图可知,当a∈(-∞,0]∪{1}时,g(x)的图象与直线y=a有两个交点;
当a∈(0,1)时,g(x)的图象与直线y=a有四个交点;
当a∈(1,+∞)时,g(x)的图象与直线y=a无交点.
综上所述,当a∈(-∞,0]∪{1}时,方程f(x)=0有三个解;当a∈(0,1)时,方程f(x)=0有五个解;当a∈(1,+∞)时,方程f(x)=0有且仅有一个解.
18.解析 令f(x)=x2+2mx+2m+1.
(1)依题意画出函数f(x)的大致图象,如图所示,
由图象得解得-,
故m的取值范围是.
(2)根据题意画出函数f(x)的大致图象,如图所示,
由图象得
解得-,
故m的取值范围是.
能力提升练
1.B 2.A 3.A 4.C 5.BC 6.B
1.B 在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)=与y=的图象,如图所示.
两函数图象在(0,+∞)上仅有两个交点,故方程=的正实数根有2个,故选B.
2.A 由题图①可得f(x)有三个零点,设为x1,x2,x3,且x1由题图②可得g(x)有且仅有一个零点,设为x4,则x4∈(0,a).
对于A, f(g(x))=0即g(x)=x1,x2或x3,由题图②可知g(x)∈[-a,a],且g(x)单调递减,g(x)=x1,g(x)=x2,g(x)=x3分别有一解,∴方程f(g(x))=0有且仅有三个解,A正确.对于B,g(f(x))=0即f(x)=x4,由题图①知, f(x)=x4有且仅有两个解,B不正确.
对于C, f(f(x))=0即f(x)=x1,x2或x3,由题图①知, f(x)=x1和f(x)=x2分别有三个解, f(x)=x3仅有一个解,所以共有七个解,故C不正确.
对于D,g(g(x))=0即g(x)=x4,由题图②知,g(x)=x4仅有一个解,故D不正确.
3.A 若f(1), f(2), f(3)三个值中存在0,则f(x)在[1,3]上显然存在零点,
若f(1), f(2), f(3)三个值均不为0,不妨设f(1)≥f(2)≥f(3),因为f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(1)>0, f(3)<0,则f(1)f(3)<0,根据函数零点存在定理可知f(x)在[1,3]上存在零点,所以充分性成立;
当f(x)在[1,3]上存在零点时,不一定能得到f(1)+f(2)+f(3)=0,例如f(x)=(x-2)2,此时f(x)的零点为2,但f(1)+f(2)+f(3)=2≠0,所以必要性不成立.
综上可得,“f(1)+f(2)+f(3)=0”是“f(x)在[1,3]上存在零点”的充分不必要条件.
4.C 因为f(x+1)是奇函数,所以f(x+1)的图象关于原点对称,
则f(x)的图象关于(1,0)对称,且f(1)=0.
因为函数g(x)=k(x-1),k>0,
所以g(x)的图象关于(1,0)对称.
方程f(x)=g(x)的所有根之和即为两个函数图象交点的横坐标之和,
画出f(x)和g(x)的大致图象,如图所示:
由图可知, f(x)和g(x)的图象有5个交点,其中一个交点的横坐标为1,另外四个,两两关于点(1,0)对称,所以5个交点的横坐标之和为2×2+1=5.
5.BC 当0≤x≤4时,f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4∈[0,4],当x>4时,f(x)=∈(0,1),结合函数f(x)为偶函数,作出函数f(x)的大致图象如图所示,
由图可知,当m=0时,y=f(x)的图象与直线y=m有3个交点,即方程f(x)-m=0有3个不等实根,A错误;当04时,y=f(x)的图象和直线y=m没有交点,即方程f(x)-m=0没有实根,D错误.故选BC.
6.B f(x)=bx2-2bx+|x-1|+b2+b-4=b(x-1)2+|x-1|+b2-4,
令t=x-1,则g(t)=bt2+|t|+b2-4,
易得g(t)是偶函数,若g(t)只有一个零点,则该零点为0,即g(0)=0,解得b=±2.
当b=-2时,易得g(t)有3个零点,不符合题意,舍去;
当b=2时,易得g(t)有且仅有1个零点,符合题意,则a-1=0,即a=1,故a+b=3.
7.答案 x2-2|x|(答案不唯一)
解析 根据题意,取函数f(x)=x2-2|x|.
函数f(x)=x2-2|x|=(|x|-1)2-1的定义域为R,值域为[-1,+∞),符合①;
因为f(-x)=x2-2|x|=f(x),定义域关于原点对称,所以函数f(x)为偶函数,符合②;
令f(x)=x2-2|x|=0,解得x=0或x=±2,所以f(x)有3个零点,符合③.
8.证明 (1) x1,x2∈(0,1),且x1则f(x1)-f(x2)=
=
=(x1+x2)(x1-x2)+(x2-x1)+
=(x2-x1),
因为x1,x2∈(0,1),且x1所以x1+x2∈(0,2),x2-x1>0,x1x2∈(0,1),>1,
所以1+-(x2+x1)>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,所以f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(0,1)上单调递减.
(2)由(1)可知f(x)在(0,1)上单调递减.
x3,x4∈(1,+∞),且x3则f(x3)-f(x4)=(x4-x3)1+-(x3+x4),
易得x4-x3>0,x3x4∈(1,+∞),∈(0,1),x3+x4∈(2,+∞),故1+-(x3+x4)<0,
所以f(x3)-f(x4)<0,所以f(x3)所以f(x)在(1,+∞)上单调递增.
∵f,f(x)在(0,+∞)上的图象连续不断,
∴根据函数零点存在定理可得函数f(x)在上各有一个零点,即f(x)存在两个零点a,b,
不妨设a2.第2课时 二分法
基础过关练
题组一 二分法的概念及适用条件
1.下面关于二分法的叙述正确的是( )
A.用二分法可求所有函数零点的近似值
B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任意一位
C.二分法无规律可循
D.只有求函数零点时才用二分法
2.下列图象表示的函数都有零点,但不能用二分法求函数零点近似值的是( )
3.若函数f(x)在[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)f(b)<0, f(a)f >0,则( )
A.f(x)在上有零点
B.f(x)在上有零点
C.f(x)在上无零点
D.f(x)在上无零点
4.用二分法研究f(x)=x2+3x-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0, f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈ ,则第二次计算 ,横线上应填的内容分别是( )
A.(0,0.5), f(0.25)
B.(0,1), f(0.25)
C.(0.5,1), f(0.75)
D.(0,0.5), f(0.125)
题组二 用二分法求函数零点的近似值
5.用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是( )
A.|a-b|<0.2
B.|a-b|≤0.002
C.|a-b|≥0.002
D.|a-b|=0.002
6.已知函数f(x)=x3-3x-1,现用二分法求函数f(x)在(1,3)内的零点的近似值,则使用两次二分法后,零点所在区间为( )
A.
7.已知函数f(x)=x3-x2+1.
(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;
(2)使用二分法,取区间的中点三次,指出方程f(x)=0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个长度较小的区间内.
能力提升练
题组 二分法的应用
1.(多选题)下列函数中,有零点但不能用二分法求零点的近似值的是( )
A.y=
C.y=x2+4x+8 D.y=|x|
2.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同时在(0,4),(0,2),(1,2),内,则与f(0)符号不同的是( )
A. f(4) B. f(2)
C. f(1) D. f
3.函数y=-x2+1的零点x0∈(1,2),对区间(1,2)利用一次“二分法”,可确定x0所在的区间为 .
4.若用二分法计算函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点的近似值,零点附近的函数值的参考数据如下:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984
f(1.375)≈ -0.260 f(1.437 5)≈ 0.162 f(1.406 25)≈ -0.054
则方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)可以是 .
5.已知函数f(x)与g(x)满足的关系为f(x)-g(x)=-x-3,f(x)的图象是一条连续不断的曲线,根据所给数表,判断f(x)的一个零点所在的区间为(n,n+1)(n∈N),则n= .
x -1 0 1 2 3
g(x) 0.37 1 2.72 7.39 20.39
6.在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,应用二分法,最多称几次就可以发现这枚假币
7.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,且满足a+b+c=0, f(0)>0, f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程 f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.
答案与分层梯度式解析
第2课时 二分法
基础过关练
1.B 2.C 3.B 4.A 5.B 6.B
1.B 只有函数的图象在零点附近是连续不断的且在该零点左右函数值异号,才可以用二分法求函数零点的近似值,故A错;二分法有规律可循,可以通过计算机来进行,故C错;求方程的近似解也可以用二分法,故D错.故选B.
2.C
3.B 由f(a)f(b)<0, f(a)f>0可知f·f(b)<0,根据函数零点存在定理可知f(x)在上有零点.故选B.
4.A f(x)=x2+3x-1的图象在(0,0.5)上连续并且f(0)<0,f(0.5)>0,故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5).根据二分法思想可知第二次应计算f(0.25).故选A.
5.B 根据二分法的步骤知当区间长度|b-a|小于或等于精确度的2倍时,便可结束计算,故选B.
6.B 由已知得, f(1)=13-3×1-1=-3<0, f(3)=33-3×3-1=17>0.由二分法可知,第一次计算f(2),由f(2)=23-3×2-1=1>0,得零点所在区间为(1,2);第二次计算f,由f<0,得零点所在的区间为.故选B.
7.解析 (1)证明:易知f(x)的图象是一条连续不断的曲线.
∵f(0)=1>0,f(2)=-<0,∴f(0)f(2)<0,
∴由函数零点存在定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.
(2)取区间[0,2]的中点1,则f(1)=>0,
∵f(1)f(2)<0,∴方程f(x)=0的实数解在区间(1,2)内,
取区间(1,2)的中点,则f<0,
∵f(1)f<0,∴方程f(x)=0的实数解在区间内,
取区间,则f>0,
∵f<0,∴方程f(x)=0的实数解在区间内.
故f(x)=0(x∈[0,2])的实数解x0在区间内.
能力提升练
1.CD 选项A,B对应的函数图象分别如图①,图②,易知可用二分法求零点的近似值.
对于选项C,y=(x+4)2≥0,故不能用二分法求零点的近似值.对于选项D,y=|x|≥0,故不能用二分法求零点的近似值.故选CD.
2.ABD 由二分法的步骤可知:
①零点在(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0, f(4)<0,取中点2;
②零点在(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,则f(0)>0, f(2)<0,取中点1;
③零点在(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0, f(2)<0,取中点;
④零点在内,则有f(1)·f<0,则f(1)>0, f<0,取中点;
⑤零点在内,则有f·f<0,则f>0, f<0.
所以与f(0)符号不同的是f(4), f(2),f,故选ABD.
3.答案
解析 设f(x)=-x2+1,则f(1)=3-1+1=3>0, f(2)=<0,
取区间(1,2)的中点,因为f>0,所以可确定x0所在的区间为.
4.答案 1.406 25
解析 因为f(1)<0, f(1.5)>0,所以f(1)f(1.5)<0,所以函数在(1,1.5)内有零点,因为1.5-1=0.5>0.05×2,所以不满足精确度为0.05;
因为f(1.25)<0,所以f(1.25)f(1.5)<0,所以函数在(1.25,1.5)内有零点,因为1.5-1.25=0.25>0.05×2,所以不满足精确度为0.05;
因为f(1.375)<0,所以f(1.375)f(1.5)<0,所以函数在(1.375,1.5)内有零点,因为1.5-1.375=0.125>0.05×2,所以不满足精确度为0.05;
因为f(1.437 5)>0,所以f(1.375)f(1.437 5)<0,所以函数在(1.375,1.437 5)内有零点,因为1.437 5-1.375=0.062 5<0.05×2,满足精确度为0.05,所以方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)为=1.406 25.
5.答案 1
解析 由题表可知,f(1)=g(1)-1-3=2.72-4=-1.28,f(2)=g(2)-2-3=7.39-5=2.39,所以f(1)f(2)<0.所以f(x)的一个零点所在的区间为(1,2),因此n=1.
6.解析 将26枚金币平均分成两份,放在天平上,则假币一定在质量小的那13枚金币里面.从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,放在天平上,若天平平衡,则拿出的那一枚一定是假币;若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面.将这6枚金币平均分成两份,放在天平上,则假币一定在质量小的那3枚金币里面.从这3枚金币中任意拿出2枚放在天平上,若天平平衡,则剩下的那一枚是假币;若不平衡,则质量小的那一枚是假币.
综上,最多称4次就可以发现这枚假币.
方法总结 二分法的思想在实际生活中应用广泛.二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障的排查等,还能用于实验设计、资料查询、资金分配等.二分法的应用主要是为了降低成本,提高效率.
7.证明 ∵f(1)>0,∴3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0.
∵a+b+c=0,∴a=-b-c,-b-2c>0,
则-b-c>c,即a>c.
∵f(0)>0,∴c>0,∴a>0.
取区间[0,1]的中点,
则fa<0.
∵f(0)>0, f(1)>0,
∴函数f(x)在区间内各有一个零点.
又f(x)为二次函数,最多有两个零点,
∴方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.