本章复习提升

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易混易错练
易错点1　忽略函数的定义域致错
1.已知f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,而且f(x)是减函数,如果f(m-2)+f(2m-3)>0,那么实数m的取值范围是(　　)
A. C.(1,3)　　　D.
2.给出下列三个函数:①y=.其中与函数f(x)=x表示同一个函数的是　　　　.(填序号)
3.函数f(x)=的单调递增区间是　　　　.
易错点2　不能正确运用函数的单调性解题致错
4.函数y=的单调增区间为(　　)
A.　　　B.
C.,(4,+∞)　　D.(-∞,-1),
5.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递增区间为　　　　　　　.
6.已知函数f(x)= x1,x2∈R(x1≠x2),有>0,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.
7.已知函数f(x)=-.
(1)判断函数在区间(0,+∞)上的单调性,并用定义证明;
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值.
易错点3　忽视参数的取值范围致错
8.(多选题)下列图象中,可能是f(x)=ax+(a∈R)的图象的是(　　)
9.已知函数f(x)=x|x-a|,a∈R,g(x)=x2-1.
(1)当a=-1时,解不等式f(x)≥g(x);
(2)当a>4时,记函数f(x)在区间[0,4]上的最大值为F(a),求F(a)的表达式.
思想方法练
一、数形结合思想在函数中的应用
1.已知偶函数f(x)与奇函数g(x)的定义域都是[-2,2],它们在[0,2]上的图象如图所示,则不等式f(x)·g(x)<0的解集为(　　)
A.(-2,-1)∪(1,2)　　　B.(-1,0)∪(0,1)
C.(-1,0)∪(1,2)　　　D.(-2,-1)∪(0,1)
2.已知函数f(x)=是定义在R上的偶函数,则a+b=　　　　;若对于任意的x∈[-2,2],不等式f(x)>c恒成立,则实数c的取值范围为　　　　.
3.已知函数f(x)=x2-2|x|-3.
(1)作出函数f(x)的图象,并根据图象写出函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在[-2,4]上的最值.
4.已知函数y=f(x)是定义域为R的奇函数,且x>0时, f(x)=x2-2x+1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)作出函数f(x)的图象,并讨论方程f(x)=k(k为常数)的根的个数(写出结果即可).
二、转化与化归思想在函数中的应用
5.若函数f(x)为定义域D上的单调函数,且存在区间[a,b] D(其中aA.
C.
6.已知函数f(x)=若 x∈[-1,+∞), f(x)≤|x|恒成立,则实数a的取值范围为　　　　.
7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时, f(x)=-x2+2x.
(1)求当x≥0时函数f(x)的解析式;
(2)解关于m的不等式:f(2m)+f(m-2)≤2-3m.
三、方程思想在函数中的应用
8.若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是(　　)
A.f(x)-1为奇函数　　　B.f(x)-1为偶函数
C.f(x)+1为奇函数　　　D.f(x)+1为偶函数
9.已知函数f(x)满足2f(x)+3f(-x)=2x2-3x+5,则f(x)=　　　　　　　　.
四、分类讨论思想在函数中的应用
10.设函数f(x)=则满足f(x-1)<的x的取值范围为(　　)
A.
C.
11.已知函数y=在定义域上是单调函数,则实数t的取值范围为　　　　　.
12.已知函数f(x)=.
(1)当a=1时,证明:f=-f(x)(x≠0);
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性.
答案与分层梯度式解析
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易混易错练
1.A 4.C 8.ACD
1.A　∵f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,
∴-10可转化为f(m-2)>-f(2m-3)=f(-2m+3).
∵f(x)是减函数,
∴.故选A.
易错警示　解题时如果仅考虑单调性,而忽视函数的定义域,只能得到m<,错选B.
2.答案　②
解析　易知f(x)=x的定义域为R.
①y=的定义域为{x|x≠2},定义域不同,与f(x)=x不是同一个函数;
②y==x的定义域为R,且与f(x)=x的对应关系相同,故表示同一个函数;
③y==|x|,对应关系不同,与f(x)=x不是同一个函数.
易错警示　研究两个函数是不是同一个函数时,应先求定义域,看定义域是否相同,若定义域不同,则不是同一个函数;若定义域相同,则再判断对应关系是否相同.忽视对定义域的判断,可能会导致判断错误.
3.答案　[2,+∞)
解析　由x2+x-6≥0得x≥2或x≤-3,设t=x2+x-6,则g(t)=(t≥0)在[0,+∞)上单调递增,t=x2+x-6在(-∞,-3]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)=的单调递增区间是[2,+∞).
4.C　易得函数y=的定义域为{x|x≠-1且x≠4},设t=-x2+3x+4,x≠-1且x≠4,则t∈(-∞,0)∪,由二次函数的性质可知t=-x2+3x+4(x≠-1且x≠4)的单调递增区间为(-∞,-1),;单调递减区间为,(4,+∞).因为y=在(-∞,0),上单调递减,所以由复合函数的单调性可知,函数y=,(4,+∞).故选C.
5.答案　(-∞,0],(1,+∞)
解析　由题意得g(x)=作出函数g(x)的图象如图所示,
故函数g(x)的递增区间为(-∞,0],(1,+∞).
6.答案　
解析　由题意得,函数f(x)在R上单调递增,
故解得0易错警示　与分段函数有关的问题,解题时应注意分段点及分段点处的函数值.
7.解析　(1)f(x)在(0,+∞)上是增函数.
证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-,
易知x1-x2<0,1+x1>0,1+x2>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(2)由(1)知f(x)在[1,4]上为增函数,
∴函数f(x)在[1,4]上的最大值为f(4)=-,最小值为f(1)=-=
-1.
8.ACD　当a=0时,f(x)=,为反比例函数,A选项满足;
当a>0时, 易知f(x)=ax+为奇函数,且f(x)在上单调递减,在上单调递增,D选项满足;
当a<0时,易知f(x)=ax+为奇函数,且函数y=ax与y=在(0,+∞)上均单调递减,故f(x)在(0,+∞)上单调递减,C选项满足.故选ACD.
易错警示　当参数的取值对函数的性质及图象有影响时,应注意对参数进行分类讨论.
9.解析　(1)当a=-1时,不等式f(x)≥g(x)即为x|x+1|≥x2-1.
①当x≥-1时,不等式为x2+x≥x2-1,解得x≥-1,所以x≥-1;
②当x<-1时,不等式为-x2-x≥x2-1,解得-1≤x≤,无解.
综上,不等式的解集为[-1,+∞).
(2)因为x∈[0,4],且a>4,
所以f(x)=x(a-x)=-x2+ax,其图象开口向下,对称轴为直线x=,易知>2,
①当2<<4,即4②当≥4,即a≥8时,F(a)=f(4)=4a-16.
综上,F(a)=
易错警示　求含参数的二次函数在闭区间上的最大(小)值,关键是要对图象的对称轴与所给区间的位置关系进行讨论,注意分类的标准.
思想方法练
1.C 5.C 8.C 10.C
1.C　由题图可知,当x=0或x=2时,f(x)=0,则f(x)·g(x)=0;当x=1时, g(x)=0,则f(x)·g(x)=0;当00,g(x)>0,f(x)·g(x)>0;当10,g(x)<0, f(x)·g(x)<0.故当x≥0时,f(x)·g(x)<0的解集为{x|1∴f(x)·g(x)是奇函数,由奇函数图象的对称性可得当x<0时,f(x)·g(x)<0的解集为{x|-1由函数的奇偶性和图象特征求不等式的解集,体现了数形结合思想.
2.答案　-1;(-∞,-1)
解析　因为函数f(x)=是定义在R上的偶函数,
所以f(-x)=f(x),
当x>0时,-x<0,所以f(-x)=(-x)2-b(-x)=x2+bx,又f(x)=f(-x),
所以ax2-2x=x2+bx,所以a=1,b=-2,所以a+b=-1.
函数f(x)=作出函数y=f(x)的图象,如图所示,
由图可得函数y=f(x)的最小值为f(-1)=f(1)=-1.
作出分段函数的图象,结合图象得出函数的最小值,体现了数形结合思想.
要使得对于任意的x∈[-2,2],不等式f(x)>c恒成立,则c<-1,故实数c的取值范围为(-∞,-1).
3.解析　(1)作出函数f(x)的图象,如图所示:
由图象得f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(0,1),单调递增区间为
(-1,0),(1,+∞).
(2)结合图象可知f(x)在[-2,4]上的最小值为f(1)=f(-1)=-4,最大值为f(4)=5.
通过函数图象得出最值,体现了数形结合思想.
4.解析　(1)∵函数y=f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(x)=-f(-x), f(0)=0.
当x>0时, f(x)=x2-2x+1,
当x<0时,-x>0,则f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)+1]=-x2-2x-1.
∴f(x)=
(2)函数f(x)的图象如图所示:
根据函数f(x)的解析式,画出函数f(x)的图象,数形结合写出方程f(x)=k(k为常数)的根的个数情况.
方程f(x)=k(k为常数)的根的个数即为函数y=f(x)与y=k的图象交点的个数.
由图象可得,当k≤-1或k≥1时,方程f(x)=k(k为常数)的根的个数为1;
当-1当k=0时,方程f(x)=k(k为常数)的根的个数为3.
思想方法　在解决函数问题时要注意数形结合,利用函数图象直观地研究函数的有关性质,可避免复杂的计算和推理.
5.C　因为函数g(x)=x2+m是(-∞,0)上的正函数,所以a则g(a)=b,g(b)=a,即a2+m=b,b2+m=a,
两式相减得a2-b2=b-a,即b=-(a+1),
代入a2+m=b得a2+a+m+1=0,
因为a所以a<-(a+1)<0,即解得-1利用已知条件将问题转化为关于a的方程a2+a+m+1=0在区间内有实数解.
记h(a)=a2+a+m+1,则h(-1)>0,h<0,即
解得-16.答案　
解析　当x∈[-1,0)时,f(x)≤|x|即+a≤-x,即-a≥x+,
分离参数,转化为求最值问题.
设g(x)=x+,x∈[-1,0),则由对勾函数的性质可得g(x)在x∈[-1,0)上单调递减,故g(x)max=g(-1)=-1+=-5,所以-a≥-5,解得a≤5.
当x∈[0,+∞)时, f(x)≤|x|即-x2+2x-a≤x,即a≥-x2+x=-,
分离参数,转化为求最值问题.
因为-,当且仅当x=时等号成立,所以a≥.
综上,a∈.
思想方法　转化与化归思想在函数中的应用:利用函数的奇偶性、单调性对自变量的范围进行转化;将不等式恒(能)成立问题转化为函数的最大(小)值问题等.
7.解析　(1)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,f(-x)=-f(x).
当x>0时,-x<0,则f(-x)=-x2-2x,
∴f(x)=-f(-x)=x2+2x,
又f(0)=0满足上式,∴f(x)=x2+2x(x≥0).
(2)不等式f(2m)+f(m-2)≤2-3m即为f(2m)+2m≤-f(m-2)+2-m=f(2-m)+2-m.
设g(x)=f(x)+x,则不等式可化为g(2m)≤g(2-m),
作出函数f(x)的图象如图所示,
由图象可知,f(x)在R上是增函数,又y=x在R上也为增函数,∴g(x)=f(x)+x在R上是增函数,
则由g(2m)≤g(2-m),得2m≤2-m,解得m≤,
将不等式问题转化为函数的单调性问题求解.
故实数m的取值范围是.
8.C　对变量进行赋值,通过解方程解决问题.
令x1=x2=0,则f(0)=f(0)+f(0)+1,解得f(0)=-1,
令x1=x,x2=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)+1,即f(0)=f(x)+f(-x)+1,∴f(-x)+1=-[f(x)+1],即对任意的x∈R,有f(-x)+1=-[f(x)+1],∴函数f(x)+1是奇函数.故选C.
9.答案　x2+3x+1
解析　由2f(x)+3f(-x)=2x2-3x+5①,可得2f(-x)+3f(-(-x))=2(-x)2-3(-x)+5,即2f(-x)+3f(x)=2x2+3x+5②,联立①②,可得f(x)=x2+3x+1.
对变量进行赋值,构建方程组,通过解方程组得到问题的解.
思想方法　在函数中,利用函数、方程、不等式三者的联系,通过解方程(组)等解决函数中的相关问题,是解决函数问题最基本的方法.
10.C　由于x-1的取值范围不同,对应的函数解析式不同,故对x-1的取值范围进行分类讨论.
当x-1>0,即x>1时,不等式f(x-1)<可化为(x-1)2<,解得,则1综上,满足f(x-1)<的x的取值范围为.
11.答案　
解析　因为当x>t时,y=x+,为增函数,
所以当x≤t时,y=tx2+x+1也为增函数.
由于y=tx2+x+1(x≤t)中的二次项系数含有参数,因此需对参数进行分类讨论.
当t=0时,y=tx2+x+1=x+1,为增函数,但0+1=1>,不符合题意;
当t≠0时,函数y=tx2+x+1的图象的对称轴为直线x=-,结合二次函数的性质,有解得t≤-.
综上,t的取值范围为.
12.解析　(1)证明:当a=1时,f(x)=,
所以f=-f(x).
(2)f(x)=-1.
对a的取值进行分类讨论.
当a=-1时,f(x)=-1,
所以函数f(x)在(1,+∞)上不具有单调性.
当a≠-1时, x1,x2∈(1,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=
=
=.
由x1,x2∈(1,+∞),得x1+x2>0,>1,所以1-<0,
由x1①当a>-1时,<0,即f(x1)②当a<-1时,>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递减.
综上,当a=-1时,函数f(x)在(1,+∞)上不具有单调性;
当a>-1时,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增;
当a<-1时,函数f(x)在(1,+∞)上单调递减.
方法总结　在含参函数中,参数的取值不同,函数的图象、性质可能有不同的变化,解题时要依据题意对参数进行分类讨论.涉及分段函数时,要注意自变量的取值范围对解题的影响.