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1.集合的概念
一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合.集合中的每一个对
象称为该集合的元素,简称元.
集合常用大写拉丁字母表示,如集合A,B,…,集合的元素常用小写拉丁字母表示,如a,b,….
2.集合中元素的特性
(1)确定性:集合中的元素必须是确定的.
(2)无序性:集合中的元素并无先后顺序,即任何两个元素都可以交换顺序.
(3)互异性:集合中的元素一定是不同的.
1.1 集合的概念与表示
必备知识 清单破
知识点 1 元素与集合的相关概念
3.元素与集合的关系
属于(用符号“∈”表示)或不属于(用符号“ ”或“ ”表示).
4.集合相等
如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元
素),那么称这两个集合相等.
1.常用数集及其记法
知识点 2 集合的表示与分类
非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
N N*或N+ Z Q R
2.集合的表示方法
(1)列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于花括号“{}”内.
(2)描述法:将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式.
为了直观地表示集合,我们常画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,称为Venn
图.
3.集合的分类
含有有限个元素的集合称为有限集.
含有无限个元素的集合称为无限集.
不含任何元素的集合称为空集,记作 .
1.参加2023年杭州第19届亚运会曲棍球比赛项目的运动员可以组成一个集合吗 参加2023
年杭州第19届亚运会的高水平运动员可以组成一个集合吗
2.由方程x2-4=0和x-2=0的根组成的集合中有几个元素
3.集合{x|x>0}与{y|y>0}是相等集合吗
4.已知下列三个集合:A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1},C={(x,y)|y=x2+1},它们是不是相同的集合
5. 和{ }表示的意义相同吗
知识辨析
1.参加2023年杭州第19届亚运会曲棍球比赛项目的运动员是确定的,具有确定性,可以组成集
合.“高水平”无确定的标准,故高水平运动员不具有确定性,不可以组成集合.
2.2个.方程x2-4=0的根为x=±2,方程x-2=0的根为x=2,根据集合中元素的互异性知,集合中有2个
元素.
3.是.集合{x|x>0}与{y|y>0}的代表元素虽然不同,但都表示大于零的实数构成的集合,故是相
等集合.
4.不是.集合A表示函数y=x2+1中自变量x的取值范围,为R;集合B表示函数y=x2+1中因变量y的
取值范围,为{y|y≥1};集合C是由坐标平面内满足y=x2+1的点(x,y)构成的点集.
5.不相同. 是不含任何元素的集合,而集合{ }中含有一个元素 .
一语破的
1.确定性的应用
(1)判断一组对象是否构成集合的标准.
(2)元素在集合中,元素就满足集合的限制条件;元素不在集合中,元素就不满足集合的限制条
件.由此可以列出关系式,进而得到参数的值或取值范围.
2.互异性的应用
互异性主要体现在求出参数后要代入检验,看看所求的集合中的元素是否互不相同.
3.无序性的应用
无序性是分类讨论思想的应用标准.若给出元素属于某集合,则它可能等于集合中的任
一元素;若给出两集合相等,则其中的元素不一定按顺序对应相等.
关键能力 定点破
定点 1 集合中元素特性的应用
典例 已知集合A中有三个元素:a-3,2a-1,a2+1,集合B中也有三个元素:0,1,x.
(1)若x2∈B,求实数x的值;
(2)是否存在实数a,x,使A=B 若存在,求出实数a,x的值;若不存在,请说明理由.
思路点拨：(1)根据确定性列出关于x的方程,并求出x的值,再结合集合中元素的互异性检验x
的值是否满足题意.
(2)因为B中有0,而A中a2+1>0,所以集合A中另外两个元素中必有0,分别令A中另外两个元素
为0,求得a的值,代入验证A是否等于B即可.
解析： (1)由x2∈B,得x2=0或x2=1或x2=x,解得x=0或x=±1.
由集合中元素的互异性,
可知x≠0,x≠1,故x=-1.
(2)不存在.理由如下:显然a2+1≠0.
由集合中元素的无序性,可知a-3=0或2a-1=0.
若a-3=0,则a=3,
此时A={0,5,10}≠B;
若2a-1=0,则a= ,此时A= ≠B.
故不存在实数a,x,使A=B.
1.方法的选择
当集合中元素个数较少或元素个数多但有规律时可考虑用列举法;当集合中元素个数多
且有公共属性或无限时可考虑用描述法.
2.用列举法表示集合时的省略
元素个数多或元素个数无限但有规律时,在不发生误解的情况下,可按照规律列出几个
代表元素,其他元素用省略号表示.如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3,…,1 00
0},“自然数集N”可以表示为{0,1,2,3,…}.
3.用描述法表示集合时的注意点
(1)写清楚集合中的代表元素及其范围,如数或点等;
(2)除代表元素外的字母,要说明其含义或指出其取值范围;
定点 2 集合的表示
(3)用于描述共同属性内容的语言要力求简洁、准确;
(4)所有描述的内容都要写在“{}”内,且“{}”内不能出现“所有”“全体”等词语.
用适当的方法表示下列集合:
(1)在自然数集内,小于2 021的奇数构成的集合;
(2)方程(x+1)(x2-2)=0的根构成的集合;
(3)平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合;
(4)已知集合A= ,用列举法表示集合A.
典例
思路点拨： (1)先表示出自然数集内的奇数,再结合限制条件用描述法表示.
(2)求出方程的根后用列举法表示.
(3)结合平面直角坐标系中第二象限内的点的坐标的符号特征表示.
(4)由 ∈N先找出8-x的所有可取的值,再结合x∈N得出x的值,最后求代表元素 的值,
进而用列举法表示.
(1)自然数集内的奇数可以表示为2n+1,n∈N,
故原题用描述法表示为{x|x=2n+1,n∈N且x<2 021}.
(2)解(x+1)(x2-2)=0,得x=-1或x=± ,故方程的根构成的集合为{-1,- , }.
(3)用有序实数对(x,y)作为代表元素,用描述法表示此集合为{(x,y)|x<0,且y>0}.
(4)∵ ∈N,
∴8-x可取的值有1,2,4,8,16,
∴x的可能值有7,6,4,0,-8,
又x∈N,∴x可取7,6,4,0,
∴ 可取16,8,4,2,
∴A={2,4,8,16}.
解析：
求解含参数的集合问题的思路
(1)若参数的取值对解题有影响,则需对参数进行分类讨论,分类时要明确分类标准,如在方程
ax+b=0中,要讨论一次项系数a是不是0,在方程ax2+bx+c=0中,要讨论二次项系数a是不是0.
(2)利用条件列出含参数的关系式,求解可得到参数的值或取值范围,要注意利用集合中元素
的特性对参数进行检验.
定点 3 集合中的参数问题
已知集合A={x|ax2-3x+1=0,a∈R}.
(1)若A是空集,求实数a的取值范围;
(2)若A中只有一个元素,求实数a的值;
(3)若A中有两个元素,求实数a的取值范围;
(4)若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围;
(5)若A中至少有一个元素,求实数a的取值范围.
典例
思路点拨：对参数a进行分类讨论:a=0 一元一次方程 直接求解;a≠0 一元二次
方程 运用判别式Δ求解.
(1)若A= ,则方程ax2-3x+1=0无实数根,
则 解得a> .
故实数a的取值范围为 .
(2)当a=0时,原方程可以化为-3x+1=0,解得x= ,符合题意;
当a≠0时,只需Δ=9-4a=0,解得a= .
故实数a的值为0或 .
(3)若集合A中有两个元素,则方程ax2-3x+1=0有两个不相等的实数根,
所以
解析：
解得a< 且a≠0.
(4)若集合A中至多有一个元素,则A= 或A中只有一个元素.
①当A= 时,由(1)得a> ;
②当A中只有一个元素时,由(2)得a=0或a= .
综上,实数a的取值范围为 a a=0或a≥ .
(5)若集合A中至少有一个元素,则A中有一个元素或两个元素.
当集合A中只有一个元素时,由(2)得a=0或a= ;
当集合A中有两个元素时,由(3)得a< 且a≠0.
综上,实数a的取值范围为 .第1章 集合
1.1 集合的概念与表示
基础过关练
题组一 集合的概念与集合中元素的特性
1.下列各组对象不能构成集合的是( )
A.参加杭州亚运会的全体电竞选手
B.小于的正整数
C.2025年高考数学试题中的所有难题
D.所有无理数
2.如果集合M={a,b,c}中的三个元素是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.下列说法正确的是( )
A.我校爱好足球的同学组成一个集合
B.{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合
C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合
D.数1,0,5,,,,组成的集合有7个元素
4. 由a2,2-a,4所构成的集合记为A.
(1)是否存在实数a,使得A中只含有一个元素 若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;
(2)若A中只含有两个元素,求实数a的值.
题组二 元素与集合的关系
5.给出下列关系:①π∈R;②∈Q;③-3 Z;④|-3| N;⑤0∈ .其中正确的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
6.已知P={1,2},Q={2,3},若M={x|x∈P,x Q},则M=( )
A.{1} B.{2}
C.{3} D.{1,2,3}
7.(多选题)已知集合A={a-2,2a2+5a,1+2a},-3∈A,则a的值可能为 ( )
A.-1 B.- C.1 D.-2
8.已知集合P={x|x2+2ax+a<0},若2 P,则实数a的取值范围是( )
A.a>- B.a≥-
C.a<- D.a≤-
9.已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},集合B={x|x=3k,k∈Z},集合C={x|x=6k-1,k∈Z},若a∈A,b∈B,c∈C,则( )
A.c-b A B.a-c∈B
C.a+b∈C D.a+b+c∈B
10.若集合A={x|ax2+2x-1=0}中至多有一个元素,则实数a的取值范围是 .
11.设数集A由实数构成,且满足:若x∈A(x≠1且x≠0),则∈A.
(1)若2∈A,试证明A中还有另外两个元素;
(2)集合A是不是双元素集合 说明理由.
题组三 集合的表示方法
12.下面用Venn图表示的集合用描述法表示应为 ( )
A.{x|1B.{x|1≤x≤5}
C.{x|1≤x≤5,x∈N*}
D.{x|x∈N*}
13.下列与集合{2 023,1}表示同一集合的是( )
A.(2 023,1)
B.{(x,y)|x=2 023,y=1}
C.{x|x2-2 024x+2 023=0}
D.{x=2 023,y=1}
14.已知集合A={-1,0,1,2},集合B={y|y=|x|,x∈A},则B=( )
A.{-1} B.{1,2}
C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}
15.集合A=用列举法表示为( )
A.{-2} B.{-2,2}
C.{-2,2,4} D.{-2,2,4,5}
16.用适当的方法表示下列集合:
(1)所有被3除余2的正整数构成的集合;
(2)图中阴影部分的点(含边界)的坐标构成的集合;
(3)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值构成的集合.
题组四 集合相等
17.(教材习题改编)若{a2,0,-1}={a,b,0},则a2 023+b2 023的值是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
18.设集合M={x||x-1|<2,x∈Z},N={y|y=-x2+2x+1,y∈N},则集合M与N的关系是 .
19.已知集合A=,B=xx=k±,k∈Z,则集合A,B之间的关系为 .
20.已知a,b∈R,集合A={x|ax2+x+1=0},B={x|b2+bx+1=0},若A=B,则ab= .
答案与分层梯度式解析
1.1 集合的概念与表示
基础过关练
1.C 选项A,B,D中的对象均是确定的,能构成集合.选项C中,难题的标准是不确定的,不能构成集合.故选C.
2.D 由集合中元素的互异性可知a,b,c互不相等,所以△ABC一定不是等腰三角形.故选D.
3.C A中说法错误,“爱好足球的同学”不满足集合中元素的确定性,故不能组成一个集合;B中说法错误,不大于3的自然数组成的集合为{0,1,2,3};C中说法正确;D中说法错误,因为=,=,所以这些数组成的集合有5个元素.
4.解析 (1)存在.
若A中只含有一个元素,则a2=2-a=4.
由2-a=4,解得a=-2,此时a2=4,符合题意.
故当a=-2时,A中只含有一个元素.
(2)由题意可知,三个数中有且只有两个数相等,即a2=2-a≠4或a2=4≠2-a或2-a=4≠a2.
当a2=2-a≠4时,解得a=1;
当a2=4≠2-a时,解得a=2;
当2-a=4≠a2时,无解.
综上,当a=1或a=2时,集合A中只含有两个元素.
5.A 由元素与集合的关系知①正确.故选A.
6.A
7.BD 由题意,得-3=a-2或-3=2a2+5a或-3=1+2a,
解得a=-1或a=-或a=-2.
当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互异性,故舍去;
当a=-时,a-2=-,2a2+5a=-3,1+2a=-2,满足题意;
当a=-2时,a-2=-4,2a2+5a=-2,1+2a=-3,满足题意.故选BD.
8.B 由题意得4+4a+a≥0,解得a≥-.故选B.
9.B 由题意设a=3m-1,b=3n,c=6p-1,m,n,p∈Z,则c-b=6p-1-3n=3(2p-n)-1,即c-b∈A;a-c=3m-1-(6p-1)=3m-6p=3(m-2p),即a-c∈B;a+b=3m-1+3n=3(m+n)-1,当m+n不是偶数时,a+b C;a+b+c=3m-1+3n+6p-1=3(m+n+2p)-2,即a+b+c B.故选B.
10.答案 a≤-1或a=0
解析 当a=0时,A={x|2x-1=0}=,符合题意;
当a≠0时,Δ=4+4a≤0,解得a≤-1.
综上所述,实数a的取值范围为a≤-1或a=0.
11.解析 (1)证明:由题意得,若2∈A,则=-1∈A,所以 = ∈A,所以=2∈A,
所以集合A中还有另外两个元素-1,.
(2)不是.理由如下:若x∈A(x≠1且x≠0),则∈A,所以=1- =∈A,所以 =x∈A,其中x≠,≠,x≠,
所以集合A中包含x,,.因为x,,互不相等,所以集合A不是双元素集合.
12.C 由题图知,集合是由正整数1,2,3,4,5组成的,用描述法可表示为{x|1≤x≤5,x∈N*}.故选C.
13.C 选项A不是集合,选项B表示点集,选项D是两条直线构成的集合.
由x2-2 024x+2 023=0,解得x=2 023或x=1,
所以{x|x2-2 024x+2 023=0}={2 023,1},故C正确.
易错警示 在用描述法表示数集与点集时,数集的代表元素用一个字母表示,点集的代表元素用有序实数对表示.
14.C 因为y=|x|,x∈A,所以当x=-1或x=1时,y=1;当x=0时,y=0;当x=2时,y=2.因此集合B={0,1,2}.故选C.
15.D 因为x∈Z,∈N,所以6-x的取值为1或2或4或8,即x的取值为5或4或2或-2,即A={-2,2,4,5}.故选D.
16.解析 (1){x|x=3n+2,n∈N}.
(2).
(3){x|x=|x|,x∈Z}.
17.B 由题意得a≠0,b≠0,且或所以或将两组解分别代入a2 023+b2 023,得a2 023+b2 023=0.故选B.
18.答案 M=N
解析 由|x-1|<2,解得-1又x∈Z,所以M={0,1,2},
因为y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2≤2,且y∈N,
所以N={0,1,2}.所以M=N.
19.答案 A=B
解析 A==…,-,-,-,,,,…,B=xx=k±,k∈Z=…,-,-,-,,,,…,故A=B.
20.答案 0或
解析 当b=0时,B={x|1=0}= ,
因为A=B,所以A= ,
则a≠0,且Δ=1-4a<0,解得a>,此时ab=0.
当b≠0时,B={x|b2+bx+1=0}=,
由A=B得A中只含有一个元素,
若a=0,则A={x|x+1=0}={-1},所以=-1,即b2-b+1=0,显然此方程无解,故不符合题意;
若a≠0,则Δ=1-4a=0,解得a=,此时A=={-2},
所以=-2,解得b=1(二重根),经检验符合题意,此时ab=.综上可得,ab=0或ab=.
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