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1.2 子集、全集、补集
知识点 1 子集、真子集
必备知识 清单破
子集 真子集
定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集 如果A B,并且A≠B,那么集合A称为集合B的真子集
记法 A B或B A A B或B A
读法 “集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A” “A真包含于B”或“B真包含A”
图示
性质 (1)任何一个集合是它本身的子集,即A A; (2)空集是任何集合的子集,即 A; (3)对于集合A,B,C,若A B且B C,则A C (1)空集是任何非空集合的真子集;
(2)对于集合A,B,C,若A B且B C,则A C
子集 真子集
或
1.全集
如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,全集
通常记作U.
2.补集
知识点 2 补集、全集
定义 文字语言 设A S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集
符号语言 SA={x|x∈S,且x A}
图形语言
性质 SS= ; S =S; S( SA)=A 1.任何集合都有真子集吗
2.若a∈A,能判断集合{a}是集合A的真子集吗
3.已知集合B A,则由元素a A能否得到a B
4.根据研究问题的不同,能不能指定不同的集合作为全集
知识辨析
1.不是.空集没有真子集.
2.不能.当A中仅含一个元素a时,A={a},{a}不是A的真子集.
3.能.由Venn图可知,若元素a不在集合A中,则元素a不在集合A的子集中.
4.能.全集是一个相对概念,因研究问题的不同而变化,如在实数范围内解不等式时,全集为实
数集R,而在整数范围内解不等式时,全集为整数集Z.
一语破的
判断集合间关系的方法
(1)列举法:对于能用列举法表示的集合,先用列举法将两个(或多个)集合表示出来,再通过对
比两个(或多个)集合中的元素来判断其关系.
(2)元素特征法:确定集合的代表元素是什么,弄清楚集合中元素的特征,再利用集合中元素的
特征判断.
(3)数形结合法:利用数轴或Venn图.一般不等式的解集之间的关系适合用数轴判断.
关键能力 定点破
定点 1 集合间关系的判断
判断下列集合间的关系:
(1)A={1,2,3},B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0};
(2)A={x|0<2x-1<1},B={x|1<3x+1<4};
(3)A={x|x是文学作品},B={x|x是散文},C={x|x是叙事散文};
(4)M= x x=m+ ,m∈Z ,N= x x= - ,n∈Z ,P= x x= + ,k∈Z .
典例
(1)B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0}={1,2,3}=A.
(2)A={x|0<2x-1<1}= ,B={x|1<3x+1<4}={x|0
用数轴表示集合A,B,如图所示:
由图可知A B.
(3)画出Venn图,可知C B A.
解析：
(4)解法一(元素特征法):
M= = x x= ,m∈Z = ,
N= x x= - ,n∈Z = x x= ,n∈Z = x x= ,n∈Z ,
P= x x= + ,k∈∈Z ,
∴M N=P.
解法二(列举法):
M= ,
N= ,
P= ,
∴M N=P.
1.假设集合A中含有n(n∈N*)个元素,则
(1)A的子集个数是2n;
(2)A的非空子集个数是2n-1;
(3)A的真子集个数是2n-1;
(4)A的非空真子集个数是2n-2.
2.含有限制条件的子集问题,一般可根据条件列出所有适合题意的子集,采用列举法解决.特
别地,设有限集合A,B中分别含有m个,n个元素(m,n∈N*,m≤n),且A C B,则符合条件的有限
集C的个数为2n-m.
定点 2 探究集合的子集个数
(1)若集合A {1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合A有 ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
(2)若{1,2} A {1,2,3,4,5},则满足这一关系的集合A的个数为 .
典例
(1)采用列举法(分类的标准为A中只含1不含3,A中只含3不含1,A中既含1又含3)逐
一列出符合题意的集合A,数出A的个数.
(2)可用列举法确定集合A,得到集合A的个数,也可用公式求解.
思路点拨：
D
7
(1)∵A {1,2,3},且A中至少含有一个奇数,∴A中必含有1或3.
当A中只含1不含3时,A={1},{1,2};
当A中只含3不含1时,A={3},{3,2};
当A中既含1又含3时,A={1,3},{1,2,3}.因此符合题意的集合A共有6个,故选D.
(2)解法一:∵{1,2} A {1,2,3,4,5},
∴集合A中除了含有1,2两个元素以外,至少还含有3,4,5中的一个,
因此满足条件的集合A为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7
个.
解法二:{1,2}中含有2个元素,{1,2,3,4,5}中含有5个元素,且{1,2} A {1,2,3,4,5},因此集合A
的个数为25-2-1=7.
解析：
1.若集合是有限集,则根据集合间的关系,列出方程(组)求解,解题时还要注意考虑集合中元素
的互异性.
2.若集合是用不等式描述的,则通常借助数轴进行分析,将各个集合在数轴上表示出来,以形
定数,注意实心圆点与空心圆圈,还要注意验证端点值是否符合题意.
3.涉及“A B”或“A B”的问题,若集合A中含有参数,通常要分A= 和A≠ 两种情况进
行讨论,其中A= 的情况容易被忽略,应引起足够的重视.
定点 3 已知集合间的关系求参数的值(或范围)
(1)已知集合A={x|x2-4x+3=0},B={x|mx-3=0},且B A,求实数m的取值集合;
(2)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B A,求实数m的取值范围.
典例
分别根据集合间的关系列出关系式,求出参数的值或取值范围.
思路点拨：
(1)由x2-4x+3=0,得x=1或x=3,
∴集合A={1,3}.
①当B= 时,m=0,满足B A.
②当B≠ 时,m≠0,B={x|mx-3=0}= ,
∵B A,
∴ =1或 =3,
解得m=3或m=1.
综上可知,实数m的取值集合为{0,1,3}.
(2)①当B≠ 时,如图所示:
解析：
∴ 或
解得2≤m≤3.
②当B= 时,m+1>2m-1,解得m<2.
综上,实数m的取值范围是{m|m≤3}.1.2 子集、全集、补集
基础过关练
题组一 子集
1.(教材习题改编)设集合M={x|1≤x≤2},N={x|x<3},则集合M和集合N的关系是( )
A.N∈M B.M∈N
C.M N D.N M
2.已知集合A={x|x2-3x+2=0},
B={x|0≤x≤5,x∈N},则满足条件A C B的集合C的个数为( )
A.15 B.16
C.7 D.8
已知集合A={0,1},
B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则集合B的子集共有 个.
题组二 真子集
4.(多选题)下列说法中,正确的有 ( )
A.空集是任何集合的真子集
B.若A B Z,B C Z,则A C Z
C.任何一个集合必有两个或两个以上的真子集
D.如果不属于B的元素一定不属于A,则A B
5.已知集合A=,集合 B=y∈N*,y∈A,则集合B的真子集的个数为( )
A.7 B.8
C.15 D.16
已知集合M满足{1,2}
M {1,2,3,4,5},则所有满足条件的集合M的个数是( )
A.5 B.6
C.7 D.8
题组三 全集与补集
7.已知全集U={x|-2A.{x|-1B.{x|-2C.{x|-1≤x<1}
D.{x|-28.已知集合U={x|x<0},
UA={x|2023+x≤0},则A=( )
A.{x|x>-2 023} B.{x|x≥-2 023}
C.{x|-2 0239.设全集U={(x,y)|y=x+1},集合M=,那么 UM= .
题组四 集合关系中的参数问题
10.已知集合A={x|xA.a≤1 B.a<1
C.a≥2 D.a>2
11.已知集合A={x|x>2},B={x|x<2m},且 RB A,则实数m的取值范围是( )
A.m>1 B.m≥1
C.m<1 D.m≤1
12.(多选题)已知集合A={2,3,a2-3},B={3,2a},若B A,则实数a的值可以是( )
A.1 B.-1 C.-3 D.3
13.已知集合A={1,2},B={x|mx=1,m∈R},若B A,则实数m可能的取值为 .
能力提升练
题组一 子集、真子集
1.集合M={x|x=5k-2,k∈Z},集合P={x|x=5n+3,n∈Z},集合S={x|x=10m+3,m∈Z}之间的关系是( )
A.S P M B.S=P M
C.S P=M D.P=M S
2.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},若A是U的子集,且同时满足:①若x∈A,则2x A;②若x∈ UA,则2x UA.则集合A的个数为( )
A.8 B.16 C.20 D.24
题组二 集合关系中的参数问题
3.若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”;若两个集合有公共元素且互不为对方的子集,则称两个集合构成“蚕食”.对于集合A={-1,2},B={x|ax2=2,a≥0},若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”,则a的取值集合为 ( )
A. B.
C.{0,2} D.
4.(多选题)已知集合A={x|-1≤x≤7},B={x|a+2≤x≤2a-1},使B A成立的实数a的取值集合为M,则M的真子集可以是( )
A.{a|a≤4} B.{a|a≤3}
C.{a|35.已知集合A={x|x≥1或x≤-1},集合B={x∈R|1A.-2≤a≤1 B. -1≤a≤1
C. a≤-2或a≥1 D. a≤-1或a≥1
6.已知A={x|-1B={x|m≤x<3m+1}.若B RA,则实数m的取值范围为 .
7.已知全集U=R,集合M={x|x<0或x>4},N={x|m-1≤x≤3m+1}.
(1)若 UN=M,求m的值;
(2)若N M,求m的取值范围.
8.已知集合M={x|x2+2x-a=0}.
(1)若 M,求实数a的取值范围;
(2)若N={x|x2+x=0}且M N,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
1.2 子集、全集、补集
基础过关练
1.C
2.B 由题得,集合A={x|x2-3x+2=0}={1,2},B={x|0≤x≤5,x∈N}={0,1,2,3,4,5},
则满足A C B的集合C的个数即为集合{0,3,4,5}的子集的个数,
因为集合{0,3,4,5}的子集的个数为24=16,
所以满足A C B的集合C的个数为16.故选B.
3.答案 8
解析 由题意可知,当x=0,y=0时,x-y=0∈A,(0,0)为B中元素;当x=0,y=1时,x-y=-1 A,(0,1)不为B中元素;当x=1,y=0时,x-y=1∈A,(1,0)为B中元素;当x=1,y=1时,x-y=0∈A,(1,1)为B中元素,
所以B={(0,0),(1,0),(1,1)},
所以集合B的子集共有23=8个.
4.BD 空集不是空集的真子集,故A错误;因为A B,B C,所以A B C,即A C,故B正确;空集没有真子集,故C错误;因为不属于B的元素一定不属于A,所以A中的元素都在B中或A为空集,所以A B,故D正确.
5.C 因为A={x|06.B 由题意知,M中必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个,
∴集合M的个数等价于集合{3,4,5}的非空真子集的个数,为23-2=6.故选B.
7.B
8.C 由题得 UA={x|2 023+x≤0}={x|x≤-2 023},
又U={x|x<0},所以A={x|-2 0239.答案 {(2,3)}
解析 由全集U={(x,y)|y=x+1},可得集合U表示直线y=x+1上的点构成的集合,
由=1,可得y=x+1且x≠2,所以集合M表示直线y=x+1上除去点(2,3)之外的点构成的集合,所以 UM={(2,3)}.
10.C 因为A={x|x11.A 因为B={x|x<2m},所以 RB={x|x≥2m},
又A={x|x>2}, RB A,所以2m>2,即m>1.故选A.
12.ABD 当2a=2,即a=1时,A={2,3,-2},B={3,2},满足B A.
当2a=a2-3时,解得a=3或a=-1,
当a=3时,A={2,3,6},B={3,6},满足B A;
当a=-1时,A={2,3,-2},B={3,-2},满足B A.
综上,实数a的值可以是1,-1,3.
故选ABD.
13.答案 0,1,
解析 若B= ,则m=0,满足要求;
若B={1},则m=1;
若B={2},则2m=1,解得m=.
综上,实数m可能的取值为0,1,.
易错警示 未知集合B是已知集合A的子集,解题时要考虑B是空集的情况.
能力提升练
C 解法一:∵M={x|x=5k-2,k∈Z},P={x|x=5n+3,n∈Z}
={x|x=5(n+1)-2,n∈Z},S={x|x=10m+3,m∈Z}={x|x=5(2m+1)-2,m∈Z},∴S P=M.故选C.
解法二:将集合M,P,S中的元素分别列举出来:M={…,-7,-2,3,
8,13,18,23,…},P={…,-7,-2,3,8,13,18,23,…},S={…,-7,3,
13,23,…},∴S P=M.故选C.
B 由题意,当2∈A时,1 A,4 A,当2 A时,{1,4} A,当3∈A时,6 A,当3 A时,6∈A,元素5与7没有限制,则满足条件的集合A可以为{2,3},{2,6},{2,3,5},{2,3,7},{2,6,5},{2,6,7},
{2,3,5,7},{2,6,5,7},{1,4,3},{1,4,6},{1,4,3,5},{1,4,3,7},{1,4,6,5},{1,4,6,7},{1,4,3,5,7},{1,4,6,5,7},共16个.故选B.
3.答案 A
信息提取 ①“鲸吞”:一个集合是另一个集合的子集;②“蚕食”:两个集合有公共元素且互不为对方的子集.
数学建模 利用“鲸吞”“蚕食”的定义确定集合A,B间的关系,进而求出实数a的取值集合.
解析 若a=0,则B= ,即B A,此时两集合构成“鲸吞”;
若a>0,则B=,不满足B A.
若两集合构成“蚕食”,则集合A,B有公共元素,但互不为对方的子集,
则=2或-=-1,解得a=或a=2.
综上可得,a=0或a=或a=2.故选A.
4.BC 当B= 时,a+2>2a-1,解得a<3,满足题意.
当B≠ 时,如图所示:
要使B A,需满足或
所以3≤a≤4.
综上,集合M={a|a≤4}.
所以集合M的真子集可以是{a|a≤3}或{a|35.B 当a=0时,B= ,满足B A,
所以a=0符合题意.
当a>0时,B=,
若B A,则≥1或≤-1,
所以0当a<0时,B=,
若B A,则≤-1或≥1(舍),所以-1≤a<0.
综上,-1≤a≤1.故选B.
6.答案 m>3或m≤-
解析 因为A={x|-13}.
当B= 时,m≥3m+1,解得m≤-,符合题意;
当B≠ 时,因为B RA,
所以或所以m>3.
综上,实数m的取值范围为m>3或m≤-.
7.解析 (1)由N={x|m-1≤x≤3m+1},得 UN={x|x3m+1},
因为 UN=M,M={x|x<0或x>4},
所以解得m=1.
(2)当N= 时,m-1>3m+1,解得m<-1;
当N≠ 时,由N M,得或
解得-1≤m<-或m>5.
综上,m的取值范围为m<-或m>5.
8.解析 (1)由题意得方程x2+2x-a=0有实数解,
∴Δ=22-4·(-a)≥0,解得a≥-1.
(2)易得N={0,-1}.
当M= 时,Δ=22-4·(-a)<0,解得a<-1.
当M≠ 时,若Δ=0,则a=-1,此时M={-1},满足M N;若Δ>0,则a>-1,所以要使M N,需满足无解.
综上,实数a的取值范围为{a|a≤-1}.
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