1.3 交集、并集
基础过关练
题组一 交集的运算
已知集合A={x|-≤x≤},
B={1,2,3,4},则A∩B=( )
A.{1} B.{1,2}
C.{-2,-1,1,2} D.{-2,-1,0,1,2,3,4}
2.(教材习题改编)已知集合A={x|x=3k+1,k∈Z},B={-2,-1,0,3,4},则A∩B中的元素个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过淮安方特、龙宫大白鲸世界、西游乐园三个景点时,甲说:我去过的景点比乙多,但没去过淮安方特;乙说:我没去过龙宫大白鲸世界;丙说:我们三个人去过同一个景点.则乙一定去过的景点是 .
题组二 并集的运算
已知集合A={x|x2-3x=0},
B={1,2,3},则A∪B=( )
A.{3} B.{1,2,3}
C.{0,1,2} D.{0,1,2,3}
5.已知集合A={x|0≤x≤3},B={x|1
A.{x|1C.{x|1≤x≤3} D.{x|06.已知集合A={x|y=},B={y|y=x2-4x+5},则A∪B= .
题组三 集合的综合运算
7.已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则( UA)∩B等于( )
A.{-1} B.{0,1}
C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,3}
8.已知全集 U=R,集合A={x|x≥2},B={x|0A.{x|x<2} B.{x|1C.{x|19.(教材习题改编)如图,U为全集,M,P,S是U的三个子集,则阴影部分所表示的集合是( )
A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩( US) D.(M∩P)∪( US)
题组四 利用集合运算解参数问题
10.设全集U={2,3,m2+m-4},集合A={m,2}, UA={3},则m=( )
A.-2 B.2 C.±2 D.-4
11.已知集合A={x|ax≤1},B={2,},若A∪B=A,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C.(0,2) D.
12.已知集合A={x|a≤x≤a+3},B={x|-113.集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|x2-ax+b=0},若A∪B={2,3,5},A∩B={3},则ab= .
能力提升练
题组一 集合的综合运算
1.(多选题)已知集合U,A,B的关系如图所示,则下列结论正确的是( )
A.A∩B=B
B.B∩( UA)=
C. U(A∪B)= U(A∩B)
D.若U为自然数集,A={1,2,3,4},B={1,3,4},则A∩( UB)={2}
2.已知集合A中有10个元素,B中有6个元素,全集U有18个元素,A∩B≠ .设集合( UA)∩( UB)中有x(x∈N*)个元素,则x的取值范围是( )
A.{x|3≤x≤8,x∈N*}
B.{x|2≤x≤8,x∈N*}
C.{x|8≤x≤12,x∈N*}
D.{x|10≤x≤15,x∈N*}
3.设U={0,1,2,3,4},A与B是U的两个子集,若A∩B={1,2},则称(A,B)为一个“理想配集”,那么符合此条件的“理想配集”(规定:当A≠B时,(A,B)与(B,A)是两个不同的“理想配集”)的个数是( )
A.25 B.26
C.27 D.28
4.(教材习题改编)某校高中部举行数学、物理、化学三科竞赛,参赛学生中至少参加一科竞赛的有:数学807人,物理738人,化学437人;至少参加其中两科的有:数学和物理593人,数学和化学371人,物理和化学267人;三科都参加的有213人.则该校参加竞赛的学生总人数为 .
题组二 集合运算中的参数问题
5.已知集合A={x|00},若(A∪B) C,则实数m的取值范围为( )
A.{m|-2≤m≤1} B.
C. D.
6.已知U=R,集合A={x|-6≤2x-2≤0},B={x|-m≤x≤m}.若A∩( UB)≠ ,则实数m的取值范围为 .
7.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+(a-1)=0},C={x|x2-bx+2=0}.
(1)若A∪B=A,求a的取值集合;
(2)若A∩C=C,求b的取值集合.
8.已知集合A={x|x<-3或x>7},B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)若( RA)∪B= RA,求实数m的取值范围;
(2)若( RA)∩B={x|a≤x≤b},且b-a≥1,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
1.3 交集、并集
基础过关练
1.B
2.B 由集合A的描述知:x是除以3余数为1的整数,
显然-1 A,0 A,3 A,而-2∈A,4∈A,
所以A∩B={-2,4},有2个元素.故选B.
3.答案 西游乐园
信息提取 (1)甲去过龙宫大白鲸世界、西游乐园;(2)乙去过淮安方特或西游乐园;(3)三个人去过同一个景点.
数学建模 本题以甲、乙、丙三位同学是否去过淮安方特、龙宫大白鲸世界、西游乐园三个景点为背景,构建“集合思想”来判断乙一定去过的景点. 先从乙说的推断,可以推出乙可能去过淮安方特或西游乐园,再从甲说的推断,可以推出甲去过龙宫大白鲸世界和西游乐园,则乙只能去过淮安方特和西游乐园中的一个,最后结合丙说的,利用集合交集的思想,即可推断出乙一定去过西游乐园.
解析 根据甲、乙、丙三位同学的说法,可推断出乙一定去过西游乐园.
4.D 因为A={x|x2-3x=0}={0,3},B={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.故选D.
5.B 在数轴上表示出集合A,B,如图:
所以A∪B={x|0≤x<4}.故选B.
6.答案 {x|x≥-1}
解析 由题意得,x+1≥0,解得x≥-1,
故A={x|x≥-1},
y=x2-4x+5=(x-2)2+1≥1,故B={y|y≥1},
故A∪B={x|x≥-1}.
7.A 由已知,得 UA={-1,3},所以( UA)∩B={-1}.
故选A.
8.D 因为A={x|x≥2},所以 UA={x|x<2},
因为B={x|0所以( UA)∩B={x|19.C 题图中的阴影部分是M∩P的子集,不属于集合S,而属于集合S的补集,即是 US的子集,则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩ US.故选C.
10.A 因为A={m,2}, UA={3},
所以全集U=( UA)∪A={2,3,m}={2,3,m2+m-4},
所以m=m2+m-4,解得m=±2,
当m=2时,集合A中的元素不满足互异性,舍去;
当m=-2时,集合A={-2,2}, UA={3},U={-2,2,3},满足题意.
综上所述,m=-2.故选A.
易错警示 本题易忽略“集合中的元素具有互异性”这一隐含条件,所以在求出m的值之后需要代到具体集合中验证是否满足元素之间的互异性.
11.D 因为A∪B=A,所以B A.
当a=0时,ax≤1的解集为R,显然有B A;
当a>0时,ax≤1的解集为,由B A得≥2,所以 0当a<0时,ax≤1的解集为,显然有B A.综上,a≤.故选D.
12.答案 a≤-4或a≥5
解析 易得A≠ ,所以要使A∩B= ,需满足a+3≤-1或a≥5,解得a≤-4或a≥5.
13.答案 30
解析 因为集合A={x|x2-8x+15=0}={3,5},A∪B={2,3,5},A∩B={3},所以B={2,3},
即2,3为方程x2-ax+b=0的两个实数根,
所以2+3=a,2×3=b,即a=5,b=6,所以ab=30.
能力提升练
1.ABD 对于A,由题图可知,B A,所以A∩B=B,故A正确;
对于B,由题图可知,B∩( UA)= ,故B正确;
对于C,由题图可知,A∪B=A,A∩B=B,且 UA≠ UB,故 U(A∪B)≠ U(A∩B),故C错误;
对于D,若U为自然数集,A={1,2,3,4},B={1,3,4},则A∩( UB)={2},故D正确.
2.A 因为集合A中有10个元素,B中有6个元素,A∩B≠ ,
所以A∩B中至少有1个元素,至多有6个元素,
所以A∪B中至多有15个元素,至少有10个元素,
因为集合( UA)∩( UB)= U(A∪B)中有x个元素,所以18-15≤x≤18-10,且x∈N*,即3≤x≤8,x∈N*,
即x的取值范围是{x|3≤x≤8,x∈N*}.故选A.
3.C 对子集A分类讨论:
若A={1,2},此时集合B可以为{1,2},{0,1,2},{1,2,3},{1,2,4},
{0,1,2,3},{0,1,2,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4},共8个;
若A={0,1,2},此时集合B可以为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个;
若A={1,2,3},此时集合B可以为{1,2},{0,1,2},{1,2,4},{0,1,2,4},共4个;
若A={1,2,4},此时集合B可以为{1,2},{0,1,2},{1,2,3},{0,1,2,3},共4个;
若A={0,1,2,3},此时集合B可以为{1,2},{1,2,4},共2个;
若A={0,1,2,4},此时集合B可以为{1,2},{1,2,3},共2个;
若A={1,2,3,4},此时集合B可以为{1,2},{1,2,0},共2个;
若A={0,1,2,3,4},此时集合B可以为{1,2},共1个.
所以共有8+4+4+4+2+2+2+1=27个.
故选C.
4.答案 964
解析 解法一:只参加物理和数学的人数为593-213=380,
只参加数学和化学的人数为371-213=158
只参加物理和化学的人数为267-213=54,
画出Venn图如图所示:
所以参加竞赛的学生总人数为56+91+12+380+158+54+213=964.
解法二:设集合A={x|x为参加数学竞赛的学生},集合B={x|x为参加物理竞赛的学生},集合C={x|x为参加化学竞赛的学生},则card(A)=807,card(B)=738,card(C)=437,card(A∩B)=593,card(B∩C)=267,card(A∩C)=371,card(A∩B∩C)=213,利用容斥原理得,该校参加竞赛的学生总人数为card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)=807+738+437-593-267-371+213=964.
方法技巧 一般地,用列举法表示的集合或研究抽象集合之间的关系时,用Venn图比较简便,要熟悉集合的交集、并集、补集的Venn图表示,如图所示:
①表示A∩B;②表示A∩( UB);③表示B∩( UA);④表示 U(A∪B)=( UA)∩( UB).
教材拓展 把含有有限个元素的集合A叫作有限集,用card(A)来表示有限集合A中元素的个数,如A={a,b,c},则card(A)=3.容斥原理告诉我们,如果被计数的事物有A,B,C三类,那么card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).
5.B 易得A∪B={x|-1①当m<0时,集合C=,若(A∪B) C,
则-≥2,解得-≤m<0.
②当m=0时,集合C=R,满足题意.
③当m>0时,集合C=,若(A∪B) C,
则-≤-1,解得0综上所述,实数m的取值范围是.
故选B.
6.答案 (-∞,2)
解析 易得A={x|-2≤x≤1}.
当B= 时,m<0, UB=U,A∩( UB)=A,符合题意;
当B≠ 时,m≥0, UB={x|x<-m或x>m},
由A∩( UB)≠ ,得-m>-2或m<1,所以m<2,所以0≤m<2.
综上所述,实数m的取值范围为(-∞,2).
7.解析 (1)解方程x2-3x+2=0,得x=1或x=2,于是A={1,2},
解方程x2-ax+(a-1)=0,即(x-1)[x-(a-1)]=0,得x=1或x=a-1.
由A∪B=A,得B A,
当a-1=1,即a=2时,B={1},满足题意;
当a-1=2,即a=3时,B={1,2},满足题意.
综上所述,a的取值集合为{2,3}.
(2)由(1)知,A={1,2},由A∩C=C,得C A,
当C= 时,满足C A,则方程x2-bx+2=0无解,即Δ=b2-8<0,解得-2当C≠ 时,若集合C中只含有一个元素,即C={1}或C={2},则方程x2-bx+2=0有重根1或2,
即x2-bx+2=(x-1)2或x2-bx+2=(x-2)2恒成立,显然两个等式都不恒成立,故无解;
若集合C中含有两个元素,即C={1,2},则方程x2-bx+2=0有两个不相等的实数根,分别是x1=1,x2=2,此时b=3.
故b的取值集合是(-2,2)∪{3}.
8.解析 (1)由题意知, RA={x|-3≤x≤7}.
因为( RA)∪B= RA,所以B ( RA).
①当B= 时,满足B ( RA),则m+1>2m-1,解得m<2;
②当B≠ 时,若B ( RA),则解得2≤m≤4.
综上所述,m的取值范围为{m|m≤4}.
(2)因为( RA)∩B={x|a≤x≤b},且b-a≥1,所以B≠ ,即m+1≤2m-1,解得m≥2,
则m+1≥3,2m-1≥3.
①当2m-1≤7,即m≤4时,( RA)∩B={x|m+1≤x≤2m-1},故2m-1-(m+1)≥1,所以3≤m≤4;
②当即4③当m+1>7,即m>6时,( RA)∩B= ,不符合题意.
综上所述,实数m的取值范围为{m|3≤m≤5}.
20(共18张PPT)
1.3 交集、并集
知识点 1 交集与并集
必备知识 清单破
交集 并集
文字语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”) 由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”)
符号语言 A∩B={x|x∈A,且x∈B} A∪B={x|x∈A,或x∈B}
图形语言
交集 并集
运算性质 A∩B=B∩A; A∩A=A; A∩ = = ∩A; (A∩B) A; (A∩B) B; A B A∩B=A A∪B=B∪A;
A∪A=A;
A∪ =A= ∪A;
A (A∪B);
B (A∪B);
A B A∪B=B
知识拓展 德·摩根定律
(1) U(A∩B)=( UA)∪( UB);
(2) U(A∪B)=( UA)∩( UB).
设a,b∈R,且a叫作相应区间的端点.
在数轴上表示时,闭区间用实心圆点表示,开区间用空心圆圈表示.
知识点 2 区间
1.A∪B中元素个数与A,B中元素个数的和相等吗
2.当集合A与B没有公共元素时,A与B就没有交集吗
3.区间是数集的另一种表示方法,任何数集都能用区间表示吗
知识辨析
1.不一定.当A和B有公共元素时,公共元素在A∪B中只能出现一次,故只有A和B无公共元素
时,才相等.
2.不是.当集合A与B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而应说A∩B= .因为空集是任何
集合的子集,所以任何两个集合都存在交集.
3.不是.如集合{0,1}不能用区间表示.
一语破的
1.在进行集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分,再根据运算顺序依次进行运算.
2.集合的混合运算的分类
(1)有限集(或可以列举的无限集)的运算,运用列举法,按照运算的定义进行运算,注意集合中
元素的互异性;
(2)与不等式有关的无限集的运算,借助数轴,按照运算的定义进行运算,注意是否去掉端点值;
(3)抽象集的运算,利用Venn图,借助直观图形,按照运算的定义进行运算.
关键能力 定点破
定点 1 集合的混合运算
(1)设全集U=R,集合A={x|x<2},B={x|x≤-2或x>6},则A∩( UB)=( )
A.{x|x<2} B.{x|2≤x≤6}
C.{x|-2(2)设全集U=R,A={x|x≤1},B={x|-1
A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2}
C.{x|x>1} D.{x|1典例
C
D
(1)根据补集和交集运算的定义求解.(2)由题中Venn图知阴影部分所表示的集合
为( UA)∩B,进而得到结果.
思路点拨：
(1)∵全集U=R,B={x|x≤-2或x>6},∴ UB={x|-2∵A={x|x<2},∴A∩( UB)={x|-2故选C.
(2)题图中阴影部分表示的集合中的元素在集合B中,但不在集合A中,故该集合为( UA)∩B.
∵全集U=R,A={x|x≤1},
∴ UA={x|x>1},
又B={x|-1∴( UA)∩B={x|1∴题图中阴影部分对应的集合为{x|1故选D.
解析：
由集合间的运算关系求参的思路
(1)将集合间的运算关系转化为两个(或多个)集合之间的关系.若集合中的元素能被一一列
举,则可用观察法;若集合与不等式有关,则可用数轴求解.
(2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组),求解即可.在求解时注意集合中元素的互
异性和空集的特殊性.
定点 2 已知集合间的运算关系求参
已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-mx+2=0},且A∪B=A,A∩C=C,求实
数a的值及m的取值范围.
典例
根据A∪B=A,可知B A,求出实数a的值;由A∩C=C,可得C A,则可分为C=A、C
= 、C A(C是非空集合)三种情况讨论求解.
思路点拨：
由已知得A={1,2},B={x|(x-1)[x-(a-1)]=0}.
由A∪B=A,得B A,
所以a-1=2或a-1=1.
当a-1=2,即a=3时,A=B,满足A∪B=A;
当a-1=1,即a=2时,B={1},满足A∪B=A.
故a=3或a=2.
由A∩C=C,得C A,
所以C=A或C= 或C A(C是非空集合).
当C=A时,m=3;
当C= 时,由Δ=m2-8<0,得-2 当C A(C是非空集合)时,C={1}或{2},
解析：
若C={1},则12-m×1+2=0,解得m=3,
此时C={1,2}≠{1},舍去;
若C={2},则22-m×2+2=0,解得m=3,
此时C={1,2}≠{2},舍去.
故m=3或-2 综上,a=3或a=2,m=3或-2 方法点拨 解决含参数的集合的子集问题时,一要合理转化对应集合的关系,二要分子集是
空集和不是空集两种情况讨论,当子集不是空集时,借助数轴列不等式(组)解题,准确对参数
分类是解题的要点.
素养解读
集合是现代数学的基本语言,本质上,集合源于对数量与数量关系的抽象,集合的概念就
是舍去事物的一切物理属性,得到抽象的数学结构,是数量与数量关系抽象的更高层次.
学科素养 情境破
素养 通过集合知识发展数学抽象、数学运算的素养
典例呈现
已知集合B= ,C={-3,-2,-1},D={x|x2+4tx+3t2=0},且集合D满足D∩B= ,D
∩C≠ .
(1)求实数t的值;
(2)已知集合A={a1,a2,…,ak}(k≥1),其中ai∈Z(i=1,2,…,k),定义集合S={(a,b)|a∈A,b∈A,a+b
∈A},T={(a,b)|a∈A,b∈A,a-b∈A},集合S和T中的元素个数分别为m和n.若对任意的a∈A,总
有-a A,则称集合A具有性质P.
①集合B∪C与C∪D是否具有性质P 若有,写出相应的集合S和T;若没有,请说明理由;
②试判断m和n的大小关系,并证明你的结论.
典例
信息提取 ①集合D与集合B中无相同元素,集合D与集合C中有相同元素;②集合S:代表元素
(a,b)中的a,b属于A,且a+b仍属于A;集合T:代表元素(a,b)中的a,b属于A,且a-b仍属于A;③具有
性质P:集合中元素的相反数不属于该集合.
解题思路 (1)易得B= x∈Z -2≤x≤ ={-2,-1,0},D={x|x2+4tx+3t2=0}={-t,-3t}.
因为D∩B= ,
所以-1 D,-2 D,0 D.
因为C={-3,-2,-1},D∩C≠ ,
所以-3∈D,
所以-t=-3或-3t=-3,解得t=3或t=1.
当t=3时,D={-3,-9},满足题意;
当t=1时,D={-1,-3},不满足D∩B= ,舍去.
综上,t=3.
(2)①由(1)知B∪C={-3,-2,-1,0},C∪D={-9,-3,-2,-1}.
因为0∈(B∪C),-0∈(B∪C),
所以B∪C不具有性质P.
因为C∪D={-9,-3,-2,-1}满足对任意的a∈(C∪D),总有-a (C∪D),
所以C∪D具有性质P,且集合S={(-1,-2),(-2,-1),(-1,-1)},集合T={(-2,-1),(-3,-2),(-3,-1)}.
②m=n.证明如下:
若(a,b)∈S,则a∈A,b∈A且a+b∈A,从而有(a+b,b)∈T.
若(a,b),(c,d)为S中不同的元素,则a=c,b=d中至少有一个不成立,即a+b=c+d,b=d中至少有一个
不成立,即(a+b,b),(c+d,d)也是T中不同的元素,故m≤n.
若(a,b)∈T,则a∈A,b∈A且a-b∈A,从而有(a-b,b)∈S.
若(a,b),(c,d)为T中不同的元素,则a=c,b=d中至少有一个不成立,即a-b=c-d,b=d中至少有一个
不成立,即(a-b,b),(c-d,d)也是S中不同的元素,故m≥n.
综上,m=n.
思维升华
抽象的过程实际上是对数学概念与数量关系等理解与应用的过程.集合中的新定义问题
能很好地体现数学抽象与数学运算的素养水平,此类问题不是简单考查集合的概念或性质
(集合中元素的特性、集合的运算性质等),而是以集合为载体,通过定义新概念、新法则、新
运算等,理解符号所代表的数量关系和变化规律,并能运用集合的性质进行符号间的转化.