本章复习提升

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易混易错练
易错点1　忽略集合中元素的含义致错
1.(多选题)已知集合A={y|y=x2+1},B={(x,y)|y=x2+1},下列关系正确的是　　(　　)
A.A=B　　　　 B.(1,2)∈A
C.1 B　　　　D.2∈A
2.已知集合A={4,5,6,7},B={6,7,8},若全集U=A∪B,则 U(A∩B)等于(　　)
A.{6,7}　　　　B.{4,5,6,7,8}
C.{4,5,8}　　　D.
易错点2　忽略集合中元素的互异性致错
3.已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},A∪B=A,则实数a的取值集合为(　　)
A.{2}　　　　B.{-1,2}　　　　
C.{1,2}　　　D.{0,2}
4.设集合A={(x-1)2,7x-3,5},B={25,6x+1,5x+9},若A∩B={25},则A∪B=　　　　.
易错点3　忽略对空集的讨论致错
5.设A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}.若B A,则实数a的取值集合为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
6.已知全集U=R,集合A={x|a+1≤x≤2a+1},B={x|-2≤x≤5}.
(1)当a=3时,求( UA)∩B;
(2)若　　　　,求实数a的取值范围.
在①A∩B=A;②A∪B=B;③A∩B= 这三个条件中任选一个,补充到本题第(2)问的横线处,并按照你的选择求解问题(2).
易错点4　忽略对端点值的取舍致错
7.已知集合A={x|x≥4或x<-5},B={x|a+1≤x≤a+3,a∈R},若B A,则实数a的取值范围是　　　　　　.
8.设U=R,A={x|2-a(1)若a=2,求A∩( UB);
(2)若a>0且A∪B=A,求实数a的取值范围;
(3)若A∩B=A,求实数a的取值范围.
思想方法练
一、分类讨论思想在集合问题中的应用
1.已知集合A={x|(a2-1)x2+(a+1)x+1=0}中有且仅有一个元素,那么a的可能取值为(　　)
A.-1　　　　B.2　　　　C.　　　　D.0
2.已知集合A={x|1B={x|2mA.m≥　　　　B.0≤m<
C.m≤0　　　　D.m≥0
3.含有三个实数的集合可以表示为,也可以表示为{a2,a+b,0},则a2 023+b2 024的值为　　　　.
4.已知集合P={x|x2+4x=0},Q={x|x2-4mx-m2+1=0}.
(1)若1∈Q,求实数m的值;
(2)若P∪Q=P,求实数m的取值范围.
二、数形结合思想在集合问题中的应用
5.某校高二(1)班共有学生50人,每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人,这三门课程都不选的有10人,这三门课程都选的有10人,在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人,在物理、化学、生物中单独选物理、化学中一门的学生都至少有6人,那么同时选择物理和化学这两门课程的学生人数至多为(　　)
A.16　　　　B.17　　　　C.18　　　　D.19
6.已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}.
(1)若( RA)∪B=R,求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使( RA)∪B=R且A∩B= 若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
三、转化与化归思想在集合问题中的应用
7.设集合A={x|a≤x≤a+4},B={x|x<-1或x>5},若A∩B≠ ,则实数a的取值范围为　　　　.
8.已知集合A={x|a-1≤x≤2a+1},集合B={x|1≤x≤6}.
(1)若a=1,求A∩B;
(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
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易混易错练
1.CD　易知A={y|y=x2+1}={y|y≥1}是数集,B={(x,y)|y=x2+1}是点集,所以A≠B,(1,2)∈B,1 B,2∈A.故选CD.
易错警示　本题中集合A,B的代表元素不同,集合A是由函数值y构成的集合,集合B是由函数y=x2+1的图象上的点构成的集合,解题时要正确理解集合中元素的意义.
C　易得全集U=A∪B={4,5,6,7,8},A∩B={6,7},所以 U(A∩B)=
{4,5,8}.
易错警示　全集是相对于我们研究的问题而言的,不是固定不变的,如在整数范围内研究问题,全集是Z;在实数范围内研究问题,全集是R.
3.A　由A∪B=A知B A.
当a+2=3,即a=1时,a2=1,不满足集合中元素的互异性,舍去;
当a+2=a2,即a=-1或a=2时,
若a=-1,则a2=1,不满足集合中元素的互异性,舍去;
若a=2,则A={1,3,4},B={1,4},满足题意.
综上,a=2.故选A.
4.答案　{-31,-23,-11,5,25}
解析　由A∩B={25}得25∈A,
所以(x-1)2=25或7x-3=25,
解得x=6或x=-4或x=4.
当x=6时,A={25,39,5},B={25,37,39},A∩B={25,39},不满足题意,舍去;
当x=-4时,A={25,-31,5},B={25,-23,-11},A∩B={25},满足题意,此时A∪B={-31,-23,-11,5,25};
当x=4时,6x+1=25,B不满足集合中元素的互异性,舍去.
综上,A∪B={-31,-23,-11,5,25}.
易错警示　当集合中的元素含有参数时,求出参数的值后,一定要代回检验,确保满足集合中元素的互异性.
5.C　由x2-8x+15=0得x=3或x=5,∴A={3,5}.
当B= 时,a=0,满足B A;
当B≠ 时,由ax-1=0得x=,即B=,
∵B A,∴=3或=5,解得a=或a=.
综上所述,实数a的取值集合为.故选C.
6.解析　(1)当a=3时,A={x|a+1≤x≤2a+1}={x|4≤x≤7},则 UA={x|x<4或x>7},
又B={x|-2≤x≤5},所以( UA)∩B={x|-2≤x<4}.
(2)选①:A∩B=A.
因为A∩B=A,所以A B.
当A= 时,a+1>2a+1,即a<0,满足A B;
当A≠ 时,若A B,则解得0≤a≤2.
综上所述,实数a的取值范围为{a|a≤2}.
选②:A∪B=B.
因为A∪B=B,所以A B.
当A= 时,a+1>2a+1,即a<0,符合A B;
当A≠ 时,若A B,则解得0≤a≤2.
综上所述,实数a的取值范围为{a|a≤2}.
选③:A∩B= .
因为A∩B= ,A={x|a+1≤x≤2a+1},B={x|-2≤x≤5},
所以当A= 时,a+1>2a+1,即a<0,符合A∩B= ;
当A≠ 时,若A∩B= ,则或所以a>4.
综上所述,实数a的取值范围为{a|a<0或a>4}.
易错警示　空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,因此当含参数的集合是一个确定集合的子集或真子集时,要考虑含参数的集合是空集的特殊情况.
7.答案　{a|a<-8或a≥3}
解析　易知a+3>a+1,所以B≠ ,利用数轴表示B A,如图所示,
或
则a+3<-5或a+1≥4,解得a<-8或a≥3,
所以实数a的取值范围是{a|a<-8或a≥3}.
解析　(1)易得 UB=(-∞,-4)∪(3,+∞).当a=2时,A={x|0=(0,4),∴A∩( UB)=(3,4).
(2)由A∪B=A得B A.∵a>0,∴解得a>6,即实数a的取值范围为(6,+∞).
(3)由A∩B=A,得A B.
当A= 时,2-a≥2+a,解得a≤0;
当A≠ 时,需满足解得0综上,实数a的取值范围为(-∞,1].
易错警示　在求集合中参数的取值范围时,要特别注意在区间的端点(边界)处能否取等号,以免增解或漏解.
思想方法练
1.C　对二次项系数是不是0进行讨论.
当a2-1=0时,a=1或a=-1,
若a=1,则A={x|2x+1=0}=,符合题意;
若a=-1,则A={x|1=0}= ,不符合题意.
当a2-1≠0时,a≠±1,要使集合A中有且仅有一个元素,则需Δ=(a+1)2-4(a2-1)=-3a2+2a+5=0,
解得a=或a=-1(舍去).
综上,a=1或a=.故选C.
2.D　对集合B是不是 进行讨论.
当B= 时,2m≥1-m,解得m≥;
当B≠ 时,需满足或所以0≤m<.
综上,实数m的取值范围为m≥0.
3.答案　-1
解析　根据集合中元素的无序性进行分类讨论.
由题知,={a2,a+b,0},
显然a≠0,故=0,则b=0,
此时{a,1,0}={a,a2,0}.
若a2=1,则a=1或a=-1,
当a=1时,不满足集合中元素的互异性,舍去;
当a=-1时,满足题意.
若a2=a,则a=0或a=1,均不满足集合中元素的互异性,舍去.
综上,a=-1,b=0,
所以a2 023+b2 024=(-1)2 023+02 024=-1.
4.解析　(1)由1∈Q得1-4m-m2+1=0,即m2+4m-2=0,解得m=-2±.
(2)易得P={0,-4}.由P∪Q=P得Q P.
对集合Q分 ,{0},{-4},{0,-4}进行讨论.
当Q= 时,方程x2-4mx-m2+1=0无解,所以Δ=16m2+4m2-4=20m2-4<0,解得-当Q={0}时,方程x2-4mx-m2+1=0有两个相等的实数根0,所以无解;
当Q={-4}时,方程x2-4mx-m2+1=0有两个相等的实数根-4,所以无解;
当Q={0,-4}时,方程x2-4mx-m2+1=0有两个不相等的实数根0,-4,所以解得m=-1.
综上,实数m的取值范围为-思想方法　分类讨论思想在集合中有重要的应用,主要是由集合中元素的特性和元素与集合、集合与集合之间的关系引起的讨论.
5.C　把50名学生看成一个集合U,
选择物理课程的人组成集合A,
选择化学课程的人组成集合B,
选择生物课程的人组成集合C,
将选择不同科目的学生视为不同的集合,作出相应的Venn图,使用数形结合思想求解.
要使同时选择物理和化学这两门课程的学生人数最多,且满足物理、化学、生物这三门课程都不选的有10人,这三门课程都选的有10人,
则其他几个选择的人数均为最少,
故只选物理的最少有6人,只选化学的最少有6人,三门课程中只选化学、生物的最少有3人,只选物理、生物的最少有3人,只选生物的最少有4人,作出Venn图,如图所示:
所以三门课程中只选物理、化学的至多有8人,所以同时选择物理和化学这两门课程的学生人数至多为10+8=18.故选C.
6.解析　(1)∵A={x|0≤x≤2},
∴ RA={x|x<0或x>2}.
∵( RA)∪B=R,
∴满足题意的数轴如图所示:
∴∴-1≤a≤0.
在数轴上表示出集合A的补集,利用数轴可以直观找到实数a满足的条件,从而求出实数a的取值范围.
(2)不存在.理由如下:
由(1)知( RA)∪B=R时,-1≤a≤0,
∴a+3∈[2,3],∴A B,与A∩B= 矛盾,
∴不存在满足条件的实数a.
思想方法　数形结合思想在集合问题中的应用主要有两种:一种是借助数轴求解,另一种是借助Venn图求解.
7.答案　{a|a<-1或a>1}
解析　利用补集思想,将求A∩B≠ 时实数a的取值范围转化为求A∩B= 时实数a的取值范围,再求其补集.
当A∩B= 时,在数轴上表示集合A,B,如图:
则解得-1≤a≤1.
所以当A∩B≠ 时,实数a的取值范围为{a|a<-1或a>1}.
8.解析　(1)当a=1时,集合A={x|a-1≤x≤2a+1}={x|0≤x≤3},又B={x|1≤x≤6},所以A∩B={x|1≤x≤3}.
(2)由A∪B=B得A B.
将集合间的运算转化为两集合间的关系.
当A= 时,a-1>2a+1,解得a<-2.
当A≠ 时,需满足解得2≤a≤.
综上,实数a的取值范围为(-∞,-2)∪.
思想方法　转化与化归思想在集合问题中的应用主要体现在集合运算与集合关系的转化以及补集思想的应用等方面.
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