2.2 充分条件、必要条件、充要条件
基础过关练
题组一 充分条件、必要条件、充要条件的判断
1.《三国演义》中经典的战役赤壁之战是中国历史上以弱胜强的著名战役之一,东汉建安十三年(公元208年),曹操率二十万众顺江而下,周瑜、程普各自督领一万五千精兵,与刘备军一起逆江而上,相遇赤壁,最后用火攻大败曹军.第49回“欲破曹公,宜用火攻;万事俱备,只欠东风”,你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若p:-2
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.如图所示,下列四个电路图中,条件p:“灯泡L亮”;条件q:“开关S闭合”,则p是q的充分不必要条件的电路图是( )
4.(多选题)下列命题为真命题的是( )
A.“A∩B≠ ”是“A B”的必要不充分条件
B.“x或y为有理数”是“xy为有理数”的既不充分也不必要条件
C.“A∪B=A”是“B A”的充分不必要条件
D.“a2+b2+c2=ab+bc+ca”的充要条件是“a=b=c”
题组二 充分条件、必要条件、充要条件的探究与证明
5.(教材习题改编)下列选项中,使|x-1|<2成立的一个必要不充分条件是( )
A.-1C.06.已知U为全集,集合A,B为U的两个子集,则“A ( UB)”的充要条件是 ( )
A.B ( UA) B.A B
C.B A D.( UA) B
7.若a,b都是实数,试从①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中选出满足下列条件的式子,用序号填空:
(1)“a,b都不为0”的充分条件是 ;
(2)“a,b至少有一个为0”的充要条件是 .
8.证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
题组三 利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的值(取值范围)
9.已知“x<-4-a,或x>4-a”的必要不充分条件是“x≤-3或x≥2”,则实数a的最大值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
10.已知A=[-1,3],B=[2m-1,m+5],若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数m的取值范围为( )
A. B.(-2,0]
C.[-2,0] D.[-2,0)
11.已知集合A={x|x2-4=0},
B={x|ax-2=0},若x∈A是x∈B的必要不充分条件,则实数a的所有可能取值构成的集合为 .
12.已知集合P={x|3a-10≤x<2a+1},Q={x||2x-3|≤7}.
(1)当a=2时,求P∩( RQ);
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
13.已知命题p:“关于x的方程x2-(3m-2)x+2m2-m-3=0有两个大于1的实根”为真命题.
(1)求实数m的取值范围;
(2)命题q:3-a14.已知P={x|1≤x≤4},
S={x|1-m≤x≤1+m}.
(1)是否存在m∈R,使x∈P是x∈S的充要条件 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由;
(2)是否存在m∈R,使x∈P是x∈S的必要条件 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
2.2 充分条件、必要条件、充要条件
基础过关练
1.B 由题意分析出有“东风”不一定能“打败曹操”,但要想“打败曹操”必须借助“东风”.故选B.
2.B 因为-2所以p是q的必要不充分条件.故选B.
3.C 对于A,当灯泡L亮时,可能是开关S单独闭合或开关S1单独闭合或开关S,S1同时闭合,
当开关S闭合时,必有灯泡L亮,故p是q的必要不充分条件;
对于B,因为开关S和灯泡L串联,所以灯泡L亮时,必有开关S闭合,开关S闭合时,必有灯泡L亮,故p是q的充要条件;
对于C,若灯泡L亮,则开关S1和S都闭合,
当开关S闭合S1打开时,灯泡L不亮,故p是q的充分不必要条件;
对于D,灯泡L亮,与开关S闭合无关,故p是q的既不充分也不必要条件.故选C.
4.BD 当A= 时,满足A B,但A∩B= ,故A为假命题;x或y为有理数时,xy可能为有理数,也可能为无理数(例如:x=1,y=),xy为有理数时,x,y可能均为无理数(例如:x=y=),也可能x或y为有理数,所以“x或y为有理数”是“xy为有理数”的既不充分也不必要条件,故B为真命题;A∪B=A等价于B A,所以“A∪B=A”是“B A”的充要条件,故C为假命题;a2+b2+c2=ab+bc+ca (a2+c2)+(b2+c2)+(a2+b2)=2ab+2bc+2ca (a-c)2+(b-c)2+(a-b)2=0 a=b=c,故D为真命题.
5.B 由|x-1|<2解得-1对于A,“-1对于B,因为(-1,3) (-3,3),所以“-3对于C,因为(0,3) (-1,3),所以“0对于D,因为(0,4) (-1,3),所以“0解题模板 探求充分条件、必要条件问题时,应明确“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件,其解题的通法是先推导出“结论”的充要条件,将充要条件“放大”,即得“结论”的必要不充分条件,将充要条件“缩小”,即得“结论”的充分不必要条件.
6.A 因为A ( UB),所以A,B的关系如图,
由图可知B,C,D错误,A正确.
故选A.
7.答案 (1)④ (2)①
解析 ①ab=0 a=0或b=0,即a,b中至少有一个为0;
②a+b=0 a,b互为相反数,则a,b可能都为0,也可能一正一负;
③a(a2+b2)=0 a=0或
④ab>0 或即a,b同号且都不为0.
8.证明 充分性(由ac<0推证方程有一个正根和一个负根):
∵ac<0,∴一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0,∴方程一定有两个不相等的实数根,
不妨设为x1,x2(x1≠x2),则x1x2=<0,
∴方程的两个根异号,即一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根.
必要性(由方程有一个正根和一个负根推证ac<0):
∵一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,不妨设为x1,x2(x1≠x2),
∴由根与系数的关系得x1x2=<0,即ac<0,此时Δ=b2-4ac>0,满足方程有两个不相等的实数根.
综上,一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
9.D 由题意,得解得-1≤a≤2,检验符合题意,所以实数a的最大值为2.故选D.
10.C 由已知,得A B,
则或解得-2≤m≤0.
11.答案 {-1,0,1}
解析 依题意,A={x|x2-4=0}={2,-2},
当a=0时,B= ,满足x∈A是x∈B的必要不充分条件;当a≠0时,B=,
因为x∈A是x∈B的必要不充分条件,
所以=2或=-2,解得a=1或a=-1.
综上所述,实数a的所有可能取值构成的集合为{-1,0,1}.
12.解析 (1)当a=2时,P={x|-4≤x<5},
∵Q={x||2x-3|≤7}={x|-2≤x≤5},
∴ RQ={x|x<-2或x>5},
故P∩( RQ)={x|-4≤x<5}∩{x|x<-2或x>5}={x|-4≤x<-2}.
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的必要不充分条件,
则Q是P的真子集,
又Q={x|-2≤x≤5},P={x|3a-10≤x<2a+1},
∴解得2故实数a的取值范围是.
13.解析 (1)因为命题p为真命题,x2-(3m-2)x+2m2-m-3=x2-(3m-2)x+(2m-3)(m+1)=[x-(2m-3)][x-(m+1)]=0,
所以2m-3>1且m+1>1,解得m>2.
(2)存在.
令A={m|m>2},B={m|3-a若p是q的必要不充分条件,
则B是A的真子集.
若B= ,则3-a≥3+a a≤0;
若B≠ ,则解得0综上,存在a≤1使得p是q的必要不充分条件.
14.解析 (1)不存在m∈R,使x∈P是x∈S的充要条件.理由如下:
要使x∈P是x∈S的充要条件,
则P=S,即此方程组无解,
所以不存在m∈R,使x∈P是x∈S的充要条件.
(2)存在.
要使x∈P是x∈S的必要条件,则S P.
①当S= 时,1-m>1+m,解得m<0;
②当S≠ 时,1-m≤1+m,解得m≥0,
要使S P,则有解得m≤0,所以m=0.
综上,当m≤0时,x∈P是x∈S的必要条件.
11第2章 常用逻辑用语
2.1 命题、定理、定义
基础过关练
题组一 命题的概念及结构
1.下列语句中:①-1<2;②x>1;③x2-1=0有一个根为0;④高一年级的学生;⑤今天天气好热啊!⑥有最小的质数吗 其中为命题的是( )
A.①②③ B.①④⑤
C.②③⑥ D.①③
2.命题“在三角形中,大边对大角”改写成“若p,则q”的形式为( )
A.在三角形中,若一边较大,则其所对角较大
B.在三角形中,若一角较大,则其所对边较大
C.若某平面图形是三角形,则其大边对大角
D.若某平面图形是三角形,则其大角对大边
3. 命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”的条件是 ,结论是 .
题组二 命题真假的判断
4.已知命题:“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,给出下列命题,其中真命题的个数是( )
①M中的元素都不是P中的元素;
②M中有不属于P中的元素;
③M中有P中的元素;
④M中的元素不都是P中的元素.
A.1 B.2
C.3 D.4
5.(多选题)下列命题为真命题的是 ( )
A.所有平行四边形的对角线互相平分
B.若x,y是无理数,则xy一定是有理数
C.若m<1,则关于x的方程x2+2x+m=0有两个负根
D.相似三角形的周长比等于对应边的比
6.(教材习题改编)把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)能被6整除的数一定是偶数;
(2)当+|b+2|=0时,a=1,b=-2;
(3)已知x,y为正整数,当y=x2时,y=1,x=1.
题组三 根据命题的真假求参数的取值范围
7.已知命题p:方程x2-2x-a=0没有实数根;命题q:-4A.(-4,1) B.(-3,2]
C.(-4,-1) D.[2,+∞)
8.已知命题“若19.命题p:对于任意x∈R,x2+1>a,命题q:a2-4>0,若p和q一真一假,则实数a的取值范围为 .
10.已知A={x|5x-1>a},B={x|x>1},请确定实数a的取值范围,使得由A,B构造的命题“若p,则q”为真命题.
答案与分层梯度式解析
2.1 命题、定理、定义
基础过关练
1.D 命题是能判断真假的陈述句破题关键.⑤⑥不是陈述句,故不是命题,②④无法判断真假,故不是命题,①③是陈述句且可以判断真假,故是命题.故选D.
2.A
3.答案 一个三角形中有两个角互余;这个三角形是直角三角形
4.B 根据命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,可得M不是P的子集破题关键.
对于①,集合M虽然不是所有元素都在集合P中,但是可能有属于P中的元素,因此①是假命题;
对于②,因为M不是P的子集,所以必定有不属于P中的元素,故②是真命题;同理不能确定M中的元素有没有P中的元素,故③是假命题;
对于④,由子集的定义可得,既然M不是P的子集,那么M中必定有一些不属于P中的元素,因此M中的元素不都是P中的元素,故④是真命题.故选B.
5.AD 易知A,D均为真命题;当x=,y=时,xy=,是无理数,故B为假命题;
由关于x的方程x2+2x+m=0有两个负根,得解得06.解析 (1)若一个数能被6整除,则这个数一定是偶数.真命题.
(2)若+|b+2|=0,则a=1且b=-2.真命题.
(3)已知x,y为正整数,若y=x2,则y=1且x=1.假命题.
方法总结 把一个命题改写成“若p,则q”的形式,首先要确定命题的条件和结论,若条件和结论比较隐晦,则要补充完整,有时一个条件有多个结论,有时一个结论需多个条件,还要注意有的命题改写形式不唯一.
7.C 当p为真命题时,4+4a<0,解得a<-1;当q是真命题时,-48.答案
解析 设A={x|1由题知,A B,则解得≤m≤1,
故m的取值范围是.
9.答案 [-2,1)∪(2,+∞)
解析 若p为真命题,则a<1;
若q为真命题,则a2>4,即a>2或a<-2.
由p和q一真一假,知当p为真,q为假时,所以-2≤a<1;
当p为假,q为真时,所以a>2.
综上所述,实数a的取值范围是[-2,1)∪(2,+∞).
10.解析 令A为p,B为q,则命题“若p,则q”为“若5x-1>a,则x>1”,由命题为真命题可得≥1,解得a≥4.故当a≥4时,“若5x-1>a,则x>1”是真命题.
令B为p,A为q,则命题“若p,则q”为“若x>1,则5x-1>a”,由命题为真命题可得≤1,解得a≤4.故当a≤4时,“若x>1,则5x-1>a”是真命题.
6(共11张PPT)
在数学中,我们将可判断真假的陈述句叫作命题.许多命题可表示为“如果p,那么q”或
“若p,则q”的形式,其中p叫作命题的条件,q叫作命题的结论.
2.1 命题、定理、定义
知识点 1 命题
必备知识 清单破
2.2 充分条件、必要条件、充要条件
1.如果“p q”,那么称p是q的充分条件,也称q是p的必要条件,可以理解为若p成立,则q一定
成立,反过来,若q不成立,则p一定不成立.
2.如果p q,且q p,那么称p是q的充分且必要条件,简称为p是q的充要条件,也称q的充要条件
是p,记作p q.
知识点 2 充分条件、必要条件与充要条件
1.若p是q的充分条件,则p成立与q成立之间有什么关系
2.p是q的充分条件与q是p的必要条件是不同的逻辑关系吗
3.p的充分条件与必要条件是不是唯一的
4.在逻辑推理中,p q只能表达成一种说法吗
知识辨析
1.p成立可以充分保证q成立,但即使q成立,p也未必成立,因为保证q成立的p不是唯一的.
2.不是.是同一个逻辑关系,只是说法不同.
3.不是.如“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”都是“该四边
形是平行四边形”的充分条件;“对应边相等”“对应角相等”“对应边上的高对应相等”
都是“两个三角形全等”的必要条件.
4.不是.通常有以下五种说法:(1)“若p,则q”为真命题;(2)p是q的充分条件;(3)q是p的必要条
件;(4)q的一个充分条件是p;(5)p的一个必要条件是q.
一语破的
1.定义法:直接利用定义进行判断,注意要会举反例.
2.利用集合间的包含关系进行判断:满足条件p和结论q的元素构成的集合分别为A和B,若p是
q的充分条件,则A B;若p是q的必要条件,则B A;若p是q的充要条件,则A=B;若p是q的充分
不必要条件,则A B;若p是q的必要不充分条件,则B A.
3.利用传递性进行判断:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1 p2 … pn可得p1 pn,充要
条件也具有传递性.
关键能力 定点破
定点 1 判断充分、必要、充要条件的方法
给定三个命题p,q,s,若s是p的必要不充分条件,s是q的充分不必要条件,则p是q的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
典例
A
由s是p的必要不充分条件可知p s,s p,由s是q的充分不必要条件可知s q,q s.
因为p s,s q,所以p q(利用传递性进行判断).下面讨论p是不是q的必要条件.假设p是q的
必要条件,则有q p,又p s,所以q s,与q s矛盾,所以q p,所以p是q的充分不必要条件.
解析：
1.充要条件的证明
(1)证明p是q的充要条件时,既要证明命题“p q”为真,又要证明“q p”为真,前者证明的
是充分性,后者证明的是必要性.
(2)证明充要条件也可以利用等价转化法,即把条件和结论进行等价转化,注意转化过程中必
须保证前后是能互相推出的.
2.探求充分条件、必要条件的步骤
(1)分清“条件”和“结论”,明确探求的方向;
(2)找到使结论成立的充要条件(一般用集合的方法);
(3)将充要条件对应的范围扩大,即得结论成立的必要不充分条件;将充要条件对应的范围缩
小,即得结论成立的充分不必要条件.
定点 2 充分条件、必要条件的证明与探求
求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.
典例
充分性:∵m≥2,∴Δ=m2-4≥0.
设方程x2+mx+1=0的两个实根分别为x1,x2,
由根与系数的关系知x1x2=1>0,∴x1,x2同号,又x1+x2=-m≤-2,
∴x1,x2同为负根.充分性成立.
必要性:设方程x2+mx+1=0的两个实根分别为x1,x2,
则x1,x2均为负数,且x1x2=1,x1+x2=-m,
∴m-2=-(x1+x2)-2=- -2
=- =- ≥0,
证明：
∴m≥2.必要性成立.
综上,关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.
利用充分条件、必要条件求解参数问题时,一般结合充分条件、必要条件转化为集合之
间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的方程(组)或不等式(组),进而求解.要注意
对解集的端点值进行检验.
定点 3 利用充分条件、必要条件求参数值(或范围)
已知命题p: ,命题q:{x|-1(1)若存在x∈ ,p为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
典例
(1)当x∈ 时,由 得-1而-2<- <- , < <4,∴-2故实数a的取值范围是(-2,4).
(2)设集合A= ={x|-1∵p是q的必要不充分条件,∴B A.
当a=0时,A=R,满足题意;
当a>0时,A= ,∴- ≤-1,且 ≥2,∴0当a<0时,A= ,∴ ≤-1,且- ≥2,∴- ≤a<0.
解析：
综上,实数a的取值范围是 .