2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
基础过关练
题组一 含有量词的命题的否定
1.已知命题p: x∈R,x2-2x+a+6>0,则命题p的否定是( )
A. x∈R,x2-2x+a+6<0
B. x∈R,x2-2x+a+6>0
C. x∈R,x2-2x+a+6≤0
D. x∈R,x2-2x+a+6≤0
2.哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一,即所谓的“1+1”问题.哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于2的偶数都能写成两个质数之和”,则该猜想的否定为( )
A.每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和
B.存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和
C.每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和
D.存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和
3.若命题p: x∈R,<0,则 p: .
题组二 含有量词命题的否定的真假判断
4.(多选题)下列命题的否定是真命题的是( )
A. x∈Z,5x+1=0
B.菱形都是平行四边形
C. a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0没有实数根
D.四边形ABCD的内角和等于360°
5.(多选题)下列说法正确的是( )
A.命题“ x∈R,x2>x”的否定是假命题
B.命题“ m∈N,∈N”的否定是假命题
C.命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的否定是真命题
D.命题“至少有一个整数n,使n2+n为奇数”的否定是真命题
题组三 含有量词命题的否定中的参数问题
6.已知命题p: x∈R,x2+2x-a>0,若p的否定为真命题,则实数a的取值范围是( )
A.a>-1 B.a<-1 C.a≥-1 D.a≤-1
7.已知集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4},如果命题“ m∈R,A∩B≠ ”为假命题,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,3) B.(-∞,4)
C.(1,5) D.(0,4)
8.已知命题p: x∈[1,4],x2≥a,命题q:{a|-2
9.已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根;命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.
(1)若命题 p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若命题p,q中有一个为真命题,一个为假命题,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
基础过关练
1.D
2.D 根据全称量词命题的否定为存在量词命题
破题关键,知A,C错误;哥德巴赫猜想的否定为“存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和”.故选D.
3.答案 x∈R,>0或x=2易错警示 写命题的否定时,要注意式子本身的意义,如:<0的反面不是≥0.
4.AC 原命题是真命题等价于命题的否定为假命题
破题关键.对于A,当5x+1=0时,x=- Z,则原命题为假命题,所以其否定为真命题;
对于B,原命题为真命题,所以其否定为假命题;
对于C,由Δ=a2+4>0,可得原命题为假命题,所以其否定为真命题;
对于D,原命题为真命题,所以其否定为假命题.
故选AC.
5.BD 对于A,命题的否定为“ x∈R,x2≤x”,显然为真命题(取x=0检验即可),故A中说法错误;
对于B,命题的否定为“ m∈N, N”,当m=0时,=1∈N,所以命题的否定是假命题,故B中说法正确;
对于C,因为命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”为真命题,所以此命题的否定为假命题,故C中说法错误;
对于D,命题的否定为“ n∈Z,n2+n为偶数”,由于n2+n=n(n+1)是偶数,所以命题的否定是真命题,故D中说法正确.故选BD.
方法技巧 命题的否定的真假判断,可以“先判断,再否定”,也可以“先否定,再判断”,视情况合理选择.
6.C 命题p的否定为 x∈R,x2+2x-a≤0,因为p的否定为真命题,所以Δ=4+4a≥0,解得a≥-1.故选C.
7.A 命题“ m∈R,A∩B≠ ”为假命题,则其否定“ m∈R,A∩B= ”为真命题.
当a<0时,集合A= ,此时A∩B= .
当a≥0时,因为m2+3>0,所以由 m∈R,A∩B= ,得a又m2+3≥3,所以0≤a<3.
综上,实数a的取值范围为(-∞,3).
8.答案 a=1或a≤-2
解析 命题p: x∈[1,4],x2≥a是真命题,则在x∈[1,4]上,a≤(x2)min,所以a≤1;
命题 q:{a|a≤-2或a≥1}.
故所求实数a的取值范围为a=1或a≤-2.
9.解析 (1)若方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根,则解得m>2.
因为命题 p为真命题,
所以实数m的取值范围为(-∞,2].
(2)若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,
则Δ=16(m-2)2-16<0,解得1若p为真命题,q为假命题,则
解得m≥3;
若p为假命题,q为真命题,则
解得1综上,m∈(1,2]∪[3,+∞).
82.3 全称量词命题与存在量词命题
2.3.1 全称量词命题与存在量词命题
基础过关练
题组一 全称量词命题与存在量词命题
1.(多选题)下列命题中,与“ x∈R,x2>3”表述的内容相同的是( )
A.能找到一个x∈R,使得x2>3成立
B.对有些x∈R,使得x2>3成立
C.任选一个x∈R,都有x2>3成立
D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立
2.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用量词符号“ ”或“ ”表述下列命题.
(1)对任意x∈{x|x>-1},3x+4>0成立;
(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解;
(3)有些整数既能被2整除,又能被3整除;
(4)某个四边形不是平行四边形.
题组二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
3.下列命题中为真命题的是 ( )
A.p1: x∈R,x2+1<0
B.p2: x∈R,x+|x|>0
C.p3: x∈Z,|x|∈N
D.p4: x∈R,x2-7x+15=0
4.(多选题)下列四个命题中,为假命题的是( )
A. x∈R,x+≥2 B. x∈R,x2-x>5
C. x∈R,|x+1|<0 D. x∈R,|x|+x≥0
5.指出下列命题中哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假.
(1)对任意一个无理数x,x2也是无理数;
(2)对任意实数a,b,若a>b,则<;
(3)对任意一个实数x,都有|x|+2≥2;
(4)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线.
题组三 全称量词命题与存在量词命题的参数问题
6.(教材习题改编)若命题p:“ x∈(2,3),3x2-a>0”是真命题,则实数a的取值范围为( )
A.a>27 B.a≤12
C.a<12 D.a≥27
7.若命题“ x∈R,使得x2-2x+m=0”是真命题,则实数m的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.[1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,1]
8.命题“ x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个必要不充分条件是( )
A.a≥3 B.a≥4
C.a≤3 D.a≥5
9.若命题“ x∈R,使得x2+(a+2)x+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是 .
答案与分层梯度式解析
2.3 全称量词命题与存在量词命题
2.3.1 全称量词命题与存在量词命题
基础过关练
1.ABD C选项是全称量词命题,A,B,D选项符合题意,故选ABD.
2.解析 (1)全称量词命题,表示为 x∈{x|x>-1},3x+4>0.
(2)全称量词命题,表示为 a,b∈R,方程ax+b=0恰有一个解.
(3)存在量词命题,表示为 x∈Z,x既能被2整除,又能被3整除.
(4)存在量词命题,表示为 x∈{y|y是四边形},x不是平行四边形.
方法总结 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法:判断的关键是看量词.因为某些全称量词命题的量词可能省略,所以要根据命题表达的意义判断,同时要会用相应的量词符号正确表达命题.存在量词命题的存在量词一般不能省略.
3.C 对于A, x∈R,x2+1≥1>0,故p1是假命题;
对于B,当x=0时,x+|x|=0,故p2是假命题;
对于C, x∈Z,|x|∈N,故p3是真命题;
对于D,方程x2-7x+15=0中Δ=(-7)2-4×1×15<0,此方程无解,故p4是假命题.故选C.
4.AC 对于A,当x<0时,该命题显然不成立,故A中命题是假命题;
对于B,取x=10,显然该不等式成立,故B中命题是真命题;
对于C,|x+1|≥0恒成立,故C中命题是假命题;
对于D,|x|+x≥0恒成立,故D中命题是真命题.
故选AC.
5.解析 (1)全称量词命题,假命题.如:是无理数,但()2=2是有理数,所以该命题是假命题.
(2)全称量词命题,假命题.当a=1,b=-1时,满足a>b,此时=1,=-1,>,所以该命题为假命题.
(3)全称量词命题,真命题.对任意一个实数x,都有|x|≥0,则|x|+2≥2,故该命题是真命题.
(4)存在量词命题,假命题.因为平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行,所以平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线,所以该命题是假命题.
6.B 因为命题p:“ x∈(2,3),3x2-a>0”为真命题,
所以a<3x2在x∈(2,3)上恒成立,
当x∈(2,3)时,12<3x2<27,所以a≤12.故选B.
7.D 由题意可知“ x∈R,使得x2-2x+m=0”成立,即方程x2-2x+m=0有实数解,所以Δ=4-4m≥0,所以m≤1.故选D.
8.A 因为命题“ x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题,
所以a≥x2对任意x∈[1,2]恒成立,
所以a≥(x2)max,所以a≥4,
所以命题“ x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件为a≥4.
对于A,a≥3 /a≥4,a≥4 a≥3,所以a≥3是a≥4的必要不充分条件;
对于C,a≤3 /a≥4,a≥4 /a≤3,所以a≤3是a≥4的既不充分也不必要条件;
对于D,a≥5 a≥4,a≥4 /a≥5,所以a≥5是a≥4的充分不必要条件.故选A.
9.答案 [-4,0]
解析 因为命题“ x∈R,使得x2+(a+2)x+1<0”是假命题,
所以“ x∈R,使得x2+(a+2)x+1≥0”是真命题,
则Δ=(a+2)2-4=a2+4a≤0,解得-4≤a≤0,
所以实数a的取值范围是[-4,0].
9(共16张PPT)
2.3 全称量词命题与存在量词命题
知识点 1 全称量词与全称量词命题
必备知识 清单破
全称 量词 “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词,通常用符号“ x”表示“对任意x”
全称量 词命题 含有全称量词的命题称为全称量词命题.一般形式可表示为 x∈M,p(x)
知识点 2 存在量词与存在量词命题
存在 量词 “存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词,通常用符号“ x”表示“存在x”
存在量 词命题 含有存在量词的命题称为存在量词命题.一般形式可表示为 x∈M,p(x)
1.全称量词命题与存在量词命题的否定
知识点 3 全称量词命题与存在量词命题的否定
类型 符号表示 否定的符号表示 命题的否定的类型
全称量词命题 x∈M,p(x) x∈M, p(x) 存在量词命题
存在量词命题 x∈M,p(x) x∈M, p(x) 全称量词命题
2.命题否定的真假
对一个命题进行否定,就得到了一个新的命题,这两个命题不能同时为真,也不能同时为
假,即它们的关系是“一真一假”或“此假彼真”.
1.“三角形内角和是180°”是全称量词命题还是存在量词命题
2.在全称量词命题和存在量词命题中,量词是否可以省略
3.命题“菱形的对角线互相垂直平分”的否定是什么 真假性呢
4.一个存在量词命题可以包含多个变量吗
知识辨析
1.全称量词命题.量词“所有”省略了.
2.存在量词命题中,量词不能省略;有些全称量词命题的量词在不影响理解题意的情况下可以
省略.
3.“菱形的对角线互相垂直平分”是指“菱形的对角线互相垂直且互相平分”,其否定为
“菱形的对角线不互相垂直或不互相平分”.易知原命题为真命题,所以其否定为假命题.
4.可以.如 a,b∈R,使(a+b)2=(a-b)2.
一语破的
1.要判定全称量词命题“ x∈M,p(x)成立”是真命题,需要对集合M中每个元素x验证p(x)成
立.但要判定该命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x=x0,使p(x)不成立即可.要判定存在
量词命题“ x∈M,p(x)成立”是真命题,只需在集合M中找到一个x=x0,使p(x)成立即可;否则,
这一命题就是假命题.
2.命题与命题的否定的真假性相反.当命题的否定的真假不易判断时,可以通过判断原命题的
真假来得出命题的否定的真假.
常用的正面叙述词语和它的否定词语:
关键能力 定点破
定点 1 全称量词命题、存在量词命题及其否定的真假判断
原词语 等于(=) 小于(<) 都是
否定词语 不等于(≠) 不小于(≥) 不都是
原词语 至少有一个 至多有一个 至多有n个
否定词语 一个也没有 至少有两个 至少有(n+1)个
写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1) x∈R,|x|=x;
(2)至少有一个二次函数的图象与x轴没有交点;
(3)实数的绝对值是正数;
(4) x,y∈Z,使得 x+y=3.
典例
写出命题的否定:找到命题含有的量词,变换量词,否定结论.判断真假:一是直接
判断;二是利用命题与命题的否定真假相反进行判断.
思路点拨：
(1)命题的否定是“ x∈R,|x|≠x”.若x=-1,则|-1|≠-1,所以命题的否定是真命题.
(2)命题的否定是“所有二次函数的图象与x轴都有交点”.如二次函数y=x2+2x+2,因为x2+2x+
2=(x+1)2+1>0,所以 x∈R,y=x2+2x+2≠0,所以命题的否定是假命题.
(3)命题的否定是“存在一个实数,它的绝对值不是正数”.如0的绝对值是0,所以命题的否定
是真命题.
(4)命题的否定是“ x,y∈Z, x+y≠3”.当x=0,y=3时, x+y=3,所以命题的否定是假命题.
解析：
解决含有量词的命题中的参数问题的思路
(1)对于全称量词命题“ x∈M,a>y(或a为求函数y的最大值(或最小值),即a>ymax(或ay(或a求参的问题,一般为“有解”问题,通常转化为求函数y的最小值(或最大值),即a>ymin(或a<
ymax).
(2)对于命题p的有些问题,正面解决很难或者很复杂,这时我们可以考虑它的反面,即把与命
题p有关的问题转化成与命题 p有关的问题,从而把问题简化,即“正难则反”的方法,也就
是“补集思想”的应用.
定点 2 含有量词的命题中的参数问题
已知命题p: x∈R,x2+2x+a≥0,命题q: x∈ ,x2-a≥0.若命题p和q至少有一
个为真命题,求实数a的取值范围.
典例
本题若从正面解题需分类讨论,情况较多,所以可从结论的反面入手,即考虑p,q均
为假命题的情况,然后求其补集.
思路点拨：
命题p和q至少有一个为真命题的否定为命题p和q均为假命题.
当命题p为假命题时,其否定“ x∈R,x2+2x+a<0”为真命题,令y1=x2+2x+a,则(y1)min<0,故a-1<
0,即a<1.
当命题q为假命题时,其否定“ x∈ x 0≤x≤ ,x2-a<0”为真命题,
令y2=x2-a,则(y2)max<0在x∈ 上恒成立,即a>(x2)max在x∈ 上恒成立,故a> .所以当p,q均
为假命题时,实数a的取值范围为 范围为 a a≤ 或a≥1 .
解析：
逻辑用语是数学语言的重要组成部分,是数学表达与交流的工具.正确使用充分、必要
条件等逻辑用语表达数学对象、进行数学推理,可以提高交流的逻辑性和准确性.
学科素养 情境破
素养 通过充分、必要条件的使用发展逻辑推理的素养
素养解读
典例呈现
给出下列三个条件:①充分不必要;②必要不充分;③充要.请从中选择一个条件补充到
下面的横线上并解答.
已知集合P={x|1≤x≤4},S={x|1-m≤x<1+m},是否存在实数m,使得“x∈P”是“x∈S”的
条件 若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
例题
解题思路 若选择①,即“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件,则P S,∴ 解得m>
3,即实数m的取值范围为{m|m>3}.
若选择②,即“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件,则S P.
当S= 时,1-m≥1+m,解得m≤0,满足要求;
当S≠ 时,则有 无解.
综上所述,实数m的取值范围是{m|m≤0}.
若选择③,即“x∈P”是“x∈S”的充要条件,则P=S,易知无法成立,则不存在实数m,使得“x
∈P”是“x∈S”的充要条件.
在解题中要做到能够辨析哪些条件是充分不必要的,哪些条件是必要不充分的,哪些条
件是充分必要的,哪些条件是既不充分又不必要的,并能用严谨的数学语言将充分、必要条
件转化为集合间的关系,加深对逻辑用语的认识,提升逻辑推理的素养.
思维升华