第3章 不等式
3.1 不等式的基本性质
基础过关练
题组一 用不等式(组)表示不等关系
1.下列说法正确的是( )
A.某人的月收入为x元,则其不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B.若小明的身高为x cm,小华的身高为y cm,则小明比小华矮可表示为“x>y”
C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”
2.已知某学生共有10元,打算购买单价分别为0.6元和0.7元的铅笔和练习本,根据需要,铅笔至少买7支,练习本至少买6本,设买铅笔x支,练习本y本,则满足条件的不等式组为( )
A. B.
C. D.
3.某杂志以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本,据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就相应减少2 000本.设提价后该杂志的单价为x元,则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为 .
题组二 实数(代数式)的大小比较
4.(教材习题改编)P=a(4a+7)+4,Q=(2a+1)(a+2),则( )
A.P>Q
B.P=Q
C.P
D.P与Q的大小与a有关
5.已知c>1,且x=-,y=-,则x,y的大小关系是( )
A.x>y
B.x=y
C.xD.x,y的大小关系随c而定
6.设P=,Q=+,R=-3,则P,Q,R的大小关系是( )
A.P>Q>R B.Q>R>P
C.R>P>Q D.Q>P>R
7.甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,步行速度小于跑步速度,那么下列结论中正确的是( )
A.甲先到教室 B.乙先到教室
C.两个人同时到教室 D.谁先到教室不确定
8.“高质量发展”已逐渐成为人们的共识.发展的同时更要重视生态环境的保护,2020年起,某政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭.一段时间内,鸡蛋的价格起伏较大(不同周价格不同).假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为x,y(单位:元/kg),甲、乙两人的购买方式不同:甲每周购买4 kg鸡蛋,乙每周购买12元鸡蛋.
(1)若x=8,y=12,分别求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格;
(2)判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠(平均价格低视为实惠),并说明理由.
题组三 不等式的性质及其应用
9.若a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式中一定成立的是( )
A.<
B.a2>b2
C.-a+c<-b+c
D.若a>b>c>0,则<
10.设a,b,c为实数,且a0,则下列不等式一定成立的是( )
A.< B.>
C.< D.>
11.已知a,b∈R,下列四个条件中,使“a>b”成立的必要不充分条件是( )
①a>b-1;②a>b+1;③|a|>b;④a>|b|.
A.②③ B.①④ C.①③ D.②④
12.(多选题)下列说法正确的是( )
A.若a>b,c<0,则a2c>b2c
B.若a>b,c<0,则a3cC.若aab>b2
D.若a>b>0,则>
13.若a>b>0,c|c|,求证:<.
题组四 求代数式的取值范围
14.若实数x,y满足:-2A.(0,5) B.(-1,6)
C.(-4,9) D.(-2,2)
15.已知a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],则4a-2b的取值范围是( )
A.[1,5] B.[2,7]
C.[1,6] D.[0,9]
16.已知1≤a-b≤2,3≤a+b≤4,则ab的最大值为( )
A. B. C.3 D.4
17.已知30答案与分层梯度式解析
3.1 不等式的基本性质
基础过关练
1.C 对于A,应为x≤2 000,故A错误;对于B,x,y应满足x2.C
3.答案 x≥20
解析 若提价后该杂志的单价为x元,则销售量为万本,则提价后销售的总收入为x万元,所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为x≥20.
4.A 因为P-Q=a(4a+7)+4-(2a+1)(a+2)=2a2+2a+2=2+>0,所以P>Q.
故选A.
5.C 由题意得x>0,y>0,则==<1,所以x6.D 由题意,得P-Q=-(+)=-,
因为=+5-=-=,=7=,而<,所以P-Q<0,所以P因为=,()2=11=,而>,
所以P-R>0,所以P>R,
综上,Q>P>R.故选D.
解题模板 比较两式大小时,若两式不好直接比较,可对两式进行相同的变形,如比较含有根式的两式的大小时,可先对两式平方,再比较不同部分的大小.
7.B 设甲、乙两人同时从寝室到教室的时间分别为t1,t2,寝室到教室的距离为s,两人步行速度、跑步速度分别为x,y,且0则t1=+,s=x·+y· t2=,
所以t1-t2=+-==·,
因为00,
所以t1-t2>0,即t1>t2,因此乙先到教室.故选B.
8.解析 (1)根据题意,得甲两周购买鸡蛋的平均价格为=10(元/kg);乙两周购买鸡蛋的平均价格为=(元/kg).
(2)乙的购买方式更实惠.理由如下:
由题意知,甲两周购买鸡蛋的平均价格为=(元/kg);乙两周购买鸡蛋的平均价格为=(元/kg).
因为x>0,y>0,x≠y,
所以-==>0,
即>,所以乙的购买方式更实惠.
9.C 当a=1,b=-1时,<,a2>b2显然不成立,故A、B错误;
因为a>b,所以-a<-b,即-a+c<-b+c成立,故C正确;
因为a>b>c>0,所以b-a<0,b+c>0,
所以-==<0,即>,故D错误.
故选C.
10.A 对于A,-==,
因为a0,所以b-a>0,c-a>0,
所以<0,即<,故A正确;
对于B,当a=-2,b=-1,c=1时,=<=,故B错误;
对于C,因为a0,所以>,所以>,故C错误;
对于D,因为a0,所以a2>b2>0,所以<,所以<,故D错误.
故选A.
11.C a>b成立的必要不充分条件满足:可由a>b推出,但推不出a>b.
对于①,若a>b,则a>b>b-1,即a>b a>b-1;另一方面,若a>b-1,不妨取a=b=2,则a=b,即a>b-1 / a>b.所以“a>b-1”是“a>b”的必要不充分条件,故①满足题意.
对于②,若a>b,不妨取a=2,b=1,则a=b+1,即a>b / a>b+1,故②不满足题意.
对于③,若a>b,则|a|≥a>b,即|a|>b,即a>b |a|>b;另一方面,若|a|>b,不妨取a=-2,b=1,则ab / a>b.所以“|a|>b”是“a>b”的必要不充分条件,故③满足题意.
对于④,若a>b,不妨取a=1,b=-1,则a=|b|,即a>b / a>|b|,故④不满足题意.
故选C.
12.BCD 对于A,当a=1,b=0,c=-1时,a2c=-1,b2c=0,即a2c>b2c不成立,故A错误.
对于B,因为a3c-b3c=(a3-b3)c,当a>b,c<0时,a3-b3>0,故(a3-b3)c<0,即a3c对于C,a2-ab=a(a-b),当a0,故a2>ab,ab-b2=b(a-b),当a0,故ab>b2,所以a2>ab>b2,故C正确.
对于D,-=,若a>b>0,则a+1>0,a-b>0,所以>0,即>,故D正确.
故选BCD.
13.证明 因为c-d>0,又因为a>b>0,
所以a-c>b-d>0,所以(a-c)2>(b-d)2>0,
所以0<<.因为a>b,d>c,所以a+d>b+c.因为|b|>|c|,所以b+c>0,所以0所以<.
解题模板 证明不等式时,先观察不等号左、右两边的结构特征,再利用不等式的运算性质进行证明.
14.B 由0因此-1所以x+2y的取值范围为(-1,6).故选B.
15.B 设4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b,则解得
所以4a-2b=3(a-b)+(a+b),
又a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],
所以3(a-b)∈[0,3],所以4a-2b∈[2,7].故选B.
16.A 因为1≤a-b≤2,3≤a+b≤4,所以1≤(a-b)2≤4,9≤(a+b)2≤16,所以-4≤-(a-b)2≤-1,
所以5≤(a+b)2-(a-b)2≤15,即5≤4ab≤15,所以≤ab≤,则ab的最大值为.故选A.
17.答案 (-18,10);
解析 由16又3013(共15张PPT)
性质1:若a>b,则b 性质2:若a>b,b>c,则a>c.
性质3:若a>b,则a+c>b+c.
性质4:若a>b,c>0,则ac>bc;若a>b,c<0,则ac 性质5:若a>b,c>d,则a+c>b+d.
性质6:若a>b>0,c>d>0,则ac>bd.
特别地,若a>b>0,则an>bn(n∈N*).
3.1 不等式的基本性质
知识点 不等式的基本性质
必备知识 清单破
1.对任意的x∈R,如何判断x2与2x-3的大小
2.在应用性质2时,如果两个同向不等式中有一个带等号,而另一个不带等号,如何传递
3.a,b,c为实数,在等式中,若a=b,则ac=bc;在不等式中,由a>b能否得到ac>bc
4.同向不等式相加与相乘的条件是不是一致的
知识辨析
1.利用作差法判断:x2-(2x-3)=(x-1)2+2>0,所以x2>2x+3.
2.不等关系能传递,等号不能传递.如由a≥b,b>c不能得到a≥c,只能得到a>c.
3.不能.在不等式中,若a>b,则当c>0时,ac>bc;当c=0时,ac=bc;当c<0时,ac4.不是.相乘需是正数,即 而相加只需同向,与正、负和零均无关系.
一语破的
关键能力 定点破
定点 1 比较实数(代数式)的大小
作差比较法 作商比较法
依据 a-b>0 a>b; a-b<0 a0,b>0且 >1 a>b;a>0,b>0
且 <1 a应用范围 作差后可化为积或商的形式 同号两数(式)比较大小
步骤 ①作差; ②变形; ③判断符号; ④下结论 ①作商;
②变形;
③判断商与1的大小关系;
④下结论
作差比较法 作商比较法
变形 技巧 ①分解因式; ②平方后作差; ③配方法; ④分子(分母)有理化 按照同类的项进行分组
已知a,b为正实数,试比较 + 与 + 的大小.
典例
解法一(作差法): -( + )
= +
= + =
= .
∵a,b为正实数,∴ + >0, >0,
又( - )2≥0,
∴ ≥0,
∴ + ≥ + .
解析：
解法二(作商法): =
= =
= =1+ ≥1.
∵ + >0, + >0,
∴ + ≥ + .
解法三(平方后作差): -( + )2
= + +2 -(a+b+2 )
= .
∵a>0,b>0,
∴ ≥0,
∴ ≥( + )2,
又 + >0, + >0,
∴ + ≥ + .
名师点睛 作差法是比较大小最常见的方法,其关键有两点:一是“变形”,整式的变形有因
式分解、配方(二次式),分式可进行通分,根式可进行有理化等;二是判断符号,要能利用条件
判断出各个部分的符号.
利用几个代数式的取值范围来确定某个代数式的取值范围是一类常见的综合问题,对于
这类问题要注意“同向不等式的两边可以相加”,但这种转化不是等价变形,在一个解题过
程中多次进行这种转化后,就有可能扩大真实的取值范围.解决此类问题,可先建立待求范围
的整体与已知范围的整体的等量关系,再通过一次不等关系的运算求得待求式的取值范围.
定点 2 利用不等式的性质求代数式的取值范围
已知-4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤5.
(1)求a,c的取值范围;
(2)求9a-c的取值范围.
典例
(1)设a-c=x,4a-c=y,则-4≤x≤-1,-1≤y≤5,a= ,c= .
由-4≤x≤-1,得1≤-x≤4,4≤-4x≤16,又-1≤y≤5,
所以0≤ ≤3,1≤ ≤7,
即a的取值范围是0≤a≤3,c的取值范围是1≤c≤7.
(2)设9a-c=m(a-c)+n(4a-c),
则9a-c=(m+4n)a-(m+n)c,
所以 解得
解析：
即9a-c=- (a-c)+ (4a-c).
由-4≤a-c≤-1,得 ≤- (a-c)≤ .
由-1≤4a-c≤5,得- ≤ (4a-c)≤ .
所以-1≤9a-c≤20.
利用不等式的性质证明不等式的实质就是利用性质对不等式进行变形,变形时,一要考
虑已知不等式与未知不等式在运算结构上的联系,二要考虑变形要等价,三要注意性质使用
的前提条件.
定点 3 利用不等式的性质证明不等式
(1)已知a>b,e>f,c>0,求证: f-ac(2)若bc-ad≥0,bd>0,求证: ≤ .
典例
(1)由a>b,c>0可推出-ac<-bc,再与e>f相加,即可得证.
(2)已知不等式是乘积形式,可通过因式分解恒等变形,利用不等式性质即可得证.
思路点拨：
(1)∵a>b,c>0,∴ac>bc,∴-ac<-bc.
又e>f,∴f-ac(2)∵bc-ad≥0,∴bc≥ad,
∴bc+bd≥ad+bd,即b(c+d)≥d(a+b),
又bd>0,
∴ ≥ ,即 ≤ .
证明：
易错警示 应用不等式的性质解题时,要注意不等式性质成立的条件,不要忽视条件或随意
仿照等式性质“构造”性质与法则.