3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1 从函数观点看一元二次方程
3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
基础过关练
题组一 二次函数的零点及其应用
1.设x1,x2是函数y=6x2-x-2的两个零点,则+的值为( )
A.2 B.-2 C. D.-
2.(多选题)关于函数y=mx2-4x-m+5的零点,下列说法正确的是( )
A.当m=0时,该函数只有一个零点
B.当m=1时,该函数只有一个零点
C.当m=-1时,该函数没有零点
D.当m=2时,该函数有两个零点
3.(教材习题改编)函数y=(x-1)(x2-3)的零点是 .
4.若函数y=x2+mx+4m2-3的两个零点分别为x1,x2,且满足x1+x2=x1x2,则m的值为 .
题组二 一元二次不等式的解法
5.“|x|<3”是“x2
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.不等式x(x+2)A.
B.∪(1,+∞)
C.
D.(-∞,-1)∪
7.若0A. B.
C. D.
8.不等式ax2-(a+2)x+2>0(a<0)的解集为( )
A. B.
C.∪[1,+∞) D.∪(1,+∞)
9.(教材习题改编)求下列不等式的解集:
(1)2x2-7x+3<0;(2)-3x2+6x≤2;
(3)4x2+4x+1>0;(4)-x2+6x-10>0;
(5)-1题组三 三个“二次”之间的关系
10.(教材习题改编)若一元二次不等式kx2-2x+k<0的解集为{x|x≠m},则m+k=( )
A.-1 B.0 C.-2 D.2
11.甲、乙两人分别解关于x的不等式x2+mx+n<0.甲抄错了常数m,得到解集为(1,6);乙抄错了常数n,得到解集为(1,4).如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的,则原不等式的解集为( )
A.(2,3) B.(1,6)
C.(-2,3) D.(-3,-2)
12.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于(-1,0),(2,0)两点,则关于x的不等式cx2+x-b>0的解集为( )
A.
B.∪(1,+∞)
C.
D.(-∞,-1)∪
题组四 一元二次不等式的恒(能)成立问题
13.(教材习题改编)若关于x的不等式x+2+a2-a-2≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.≤a≤
B.-1≤a≤2
C.a≤或a≥
D.a≤-1或a≥2
14.(多选题) x∈R,关于x的不等式x2-ax+a>0恒成立的一个必要不充分条件是( )
A.0-1
C.015.已知命题p:对任意实数x,不等式mx2-2x+>0都成立,命题q:关于x的方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.若命题p,q有且只有一个是真命题,则实数m的取值范围为 .
题组五 一元二次不等式的实际应用问题
16.某商店销售一种亚运会纪念章,每枚纪念章的最低售价为15元,若每枚纪念章按最低售价销售,每天能卖出45枚,每枚纪念章售价每提高1元,日销售量将减少3枚,为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入,则这批纪念章的销售单价x(单位:元)的取值范围是( )
A.(10,20) B.[15,20)
C.(16,20) D.[15,25)
17.某市有一块三角形荒地,如图所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=200米,现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地ADEF,其中点D,E,F分别在线段AB,BC,CA上,若要求绿地的面积不少于7 500平方米,则AD的长度(单位:米)的取值范围是( )
A.[40,160] B.[50,150]
C.[55,145] D.[60,140]
18.某服装公司生产的衬衫每件定价160元,在某城市年销售10万件.现该公司计划在该市招收代理来销售衬衫,以降低管理和营销成本.已知代理商要收取的代理费为总销售金额的r%(每100元销售额收取r元),且r为正整数.为确保单件衬衫的利润保持不变,服装公司将每件衬衫价格提高到元,但提价后每年的销售量会减少0.62r万件.若为了确保代理商每年收取的代理费不少于65万元,则正整数r的取值集合为 .
能力提升练
题组一 含参数的一元二次不等式的解法
1.若关于x的不等式ax+b≤0的解集为{x|x≥-1},则关于x的不等式>0的解集为( )
A.{x|x<-1或x>2} B.{x|-2C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-12.若关于x的不等式(ax-1)2A.-B.-C.-≤a<-或D.-≤a<-或≤a<
题组二 三个“二次”之间的关系
3.对于问题“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-2,4),解关于x的不等式ax2-bx+c>0”,给出一种解法:由ax2+bx+c>0的解集为(-2,4),得a(-x)2+b(-x)+c>0的解集为(-4,2),即关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为(-4,2),类比上述解法,若关于x的不等式ax3+bx2+cx+d>0的解集为(1,4)∪(8,+∞),则关于x的不等式+++d>0的解集为( )
A.(2,8)∪(16,+∞)
B.∪
C.(1,2)∪(4,+∞)
D.∪
4.(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(t>0),则下列说法正确的是( )
A.abc<0
B.2a+b<0
C.(4a+2b+c)≤0
D.设关于x的方程ax+b+c=0的解分别为x1,x2,则x1+x2>t+
5.若一元二次方程kx2+3kx+k-3=0的两个不相等实数根都是负数,则实数k的取值范围为 .
题组三 一元二次不等式中的恒(能)成立问题
6.若不等式mx2+mx-4<2x2+2x-1对任意实数x均成立,则实数m的取值范围是( )
A.-2C.m<-2或m>2 D.m<-2
7.若不等式<0对一切x∈R恒成立,则实数k的取值范围为( )
A.(-3,0)
B.(-∞,-3)∪(0,+∞)
C.(-3,0]
D.(-∞,-3)∪[0,+∞)
8.当x>0时,关于x的不等式(ax-1)(x2+bx-4)≥0恒成立,则b+的最小值为 .
答案与分层梯度式解析
3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1 从函数观点看一元二次方程3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
基础过关练
1.D 根据题意,得x1,x2是方程6x2-x-2=0的两个不相等的实数根,
所以x1+x2=,x1x2=-,所以+==-.
故选D.
易错警示 二次函数的零点是实数,而不是点,并且不是所有的二次函数都有零点.
2.AB 当m=0时,函数y=-4x+5,令-4x+5=0,解得x=,此时方程只有一个实数根,即函数只有一个零点,故A正确;
当m=1时,函数y=x2-4x+4,令x2-4x+4=0,因为Δ=(-4)2-4×1×4=0,所以方程有两个相等的实数根,即函数只有一个零点,故B正确;
当m=-1时,函数y=-x2-4x+6,令-x2-4x+6=0,因为Δ=(-4)2-4×(-1)×6>0,所以方程有两个不相等的实数根,即函数有两个零点,故C错误;
当m=2时,函数y=2x2-4x+3,令2x2-4x+3=0,因为Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以方程无实数根,即函数无零点,故D错误.故选AB.
3.答案 1和±
解析 令(x-1)(x2-3)=0,解得x=1或x=±,
所以函数y=(x-1)(x2-3)的零点是1和±.
4.答案
解析 根据题意,得方程x2+mx+4m2-3=0的两个不相等的实数根分别为x1,x2,
则Δ=m2-4(4m2-3)>0,
所以-又x1+x2=-m,x1x2=4m2-3,x1+x2=x1x2,
所以-m=4m2-3,即4m2+m-3=0,
解得m=-1或m=,
又-5.B 解析 由|x|<3,解得-3由x2因为{x|0所以“|x|<3”是“x2故选B.
6.A 将x(x+2)所以不等式x(x+2)故选A.
7.D 因为0m,
所以(x-m)<0的解集为.
故选D.
8.B 原不等式可转化为-ax2+(a+2)x-2<0,
即-a(x-1)<0,
因为a<0,所以<1,
所以故选B.
9.解析 (1)由2x2-7x+3<0,可得(2x-1)(x-3)<0,解得(2)原不等式可化为3x2-6x+2≥0,设方程3x2-6x+2=0的两根分别为x1,x2,则x1=1+,x2=1-,结合函数y=3x2-6x+2的图象(图略),可得原不等式的解集为xx≤1-或 x≥1+.
(3)原不等式可化为(2x+1)2>0,所以原不等式的解集为.
(4)原不等式可化为x2-6x+10<0,即(x-3)2+1<0,所以原不等式的解集为 .
(5)原不等式等价于
即
由①得x(x+2)>0,所以x<-2或x>0;
由②得(x+3)(x-1)≤0,所以-3≤x≤1.
所以原不等式的解集为{x|-3≤x<-2或010.C 由题意可得函数y=kx2-2x+k的图象开口向下,且与x轴只有1个公共点破题关键,∴解得k=-1,∴不等式为-x2-2x-1<0,即x2+2x+1>0,其解集为{x|x≠-1},∴m=-1,∴m+k=-2.故选C.
11.A 依题意,由甲求得的解集得n=1×6=6,由乙求得的解集得-m=1+4=5,解得m=-5,
于是不等式x2+mx+n<0即x2-5x+6<0,解得212.A 由题意,设x2+bx+c=0的两根分别为x1,x2,则x1=-1,x2=2,
所以由根与系数的关系,得
解得
此时cx2+x-b=-2x2+x+1=(2x+1)(-x+1)>0,解得-13.D 因为关于x的不等式x+2+a2-a-2≥0恒成立,所以a2-a-2≥-x-2,则a2-a-2≥(-x-2)max,
令=t,t≥0,则-x-2=-t2-2t=-(t+1)2+1,
当t=0时,-x-2取得最大值,且最大值为0,
所以a2-a-2≥0,解得a≤-1或a≥2.故选D.
14.BD ∵ x∈R,关于x的不等式x2-ax+a>0恒成立,
∴Δ=(-a)2-4a<0,解得0设所求的必要不充分条件对应的集合是N,则M N,对比选项可知,选项B,D均符合题意.
15.答案 (1,2]∪[3,+∞)
解析 命题p为真命题时,需满足解得m>2.
命题q为真命题时,需满足Δ=16(m-2)2-16<0,解得1∵命题p、q中有且只有一个是真命题,
∴当p真q假时,m>2且m∈(-∞,1]∪[3,+∞),即实数m的取值范围是m≥3;
当p假q真时,m≤2且1综上,实数m的取值范围为(1,2]∪[3,+∞).
16.B 由题意,得x[45-3(x-15)]>600,
即x2-30x+200<0,∴(x-10)(x-20)<0,
解得10又∵每枚纪念章的最低售价为15元,∴15≤x<20.
故选B.
17.B 在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,所以△ABC为等腰直角三角形,
设AD=x米,则EF=FC=AD=x米,FA=(200-x)米,
依题意,得x(200-x)≥7 500,解得50≤x≤150.
故AD的长度(单位:米)的取值范围是[50,150].
故选B.
18.答案 {7,8,9,10}
解析 由题意,得(10-0.62r)··r%≥65且r∈N*,
所以496r2-8 325r+32 500≤0且0令496r2-8 325r+32 500=0,则Δ=(-8 325)2-4×496×32 500=4 825 625,
所以方程的两根分别为r1=≈6.177 7,r2=≈10.606 6,
综上,可得7≤r≤10,r∈N*,
所以正整数r的取值集合为{7,8,9,10}.
能力提升练
1.D 因为关于x的不等式ax+b≤0的解集为{x|x≥-1},所以关于x的方程ax+b=0的解为x=-1,且a<0,所以-a+b=0,即b=a,
故不等式>0即>0,等价于<0,即(x+1)(x-2)<0,解得-1因此不等式>0的解集为{x|-12.B ∵不等式(ax-1)2∴(a+1)(a-1)>0,解得a>1或a<-1.
(结合二次函数图象,当不等式小于0,且恰有2个整数解时,二次项系数大于0)
当a>1时,不等式的解集为,易知∈,∴2个整数解分别为1,2,∴2<≤3,即2a-2<1≤3a-3,解得≤a<;
当a<-1时,不等式的解集为,易知∈,∴2个整数解分别为-1,-2,∴-3≤<-2,即-2(a+1)<1≤-3(a+1),解得-综上,实数a的取值范围是-3.B 若关于x的不等式ax3+bx2+cx+d>0的解集为(1,4)∪(8,+∞),
即解不等式ax3+bx2+cx+d>0可得18,
由+++d>0得a·+b·+c·+d>0,
所以1<<4或>8,所以<2x<1或0<2x<,解得所以关于x的不等式+++d>0的解集为∪.故选B.
4.ABD 因为不等式ax2+bx+c<0的解集为(t>0),所以和t为方程ax2+bx+c=0的两个根,且a>0,t>1,则所以b=-a,a=c>0,
又+t>2=2,所以b<-2a<0,
所以abc<0,2a+b<0,故A、B正确;
而(4a+2b+c)=·=a2≥0,故C错误;
因为关于x的方程ax+b+c=0的解分别为x1,x2,
令=m(m≥0),即x=m2,
所以关于m的方程am2+bm+c=0在[0,+∞)上有两个解m1,m2,
结合题意,可得方程am2+bm+c=0在[0,+∞)上的两个解为和t,所以
所以x1+x2=+=(m1+m2)2-2m1m2=-2××t=-2,
又-2-=-,且+t>2,
所以->0,即-2>+t,
所以x1+x2>t+,故D正确.
故选ABD.
5.答案
解析 设方程kx2+3kx+k-3=0的两个不相等的实数根分别为x1,x2,
则x1<0,x2<0
所以即
又k≠0,所以k<-或k>3.
6.B 因为不等式mx2+mx-4<2x2+2x-1对任意实数x均成立,
所以不等式(m-2)x2+(m-2)x-3<0对任意实数x均成立,
当m-2=0,即m=2时,有-3<0恒成立,满足题意;
当m-2≠0,即m≠2时,
解得-10综上所述,实数m的取值范围为-10故选B.
7.C 因为Δ=(-8)2-4×20=-16<0,
所以x2-8x+20>0恒成立,
不等式<0对一切x∈R恒成立等价于2kx2+kx-<0对一切x∈R恒成立破题关键.
当k=0时,-<0对一切x∈R恒成立,满足题意,
当k≠0时,解得-3综上,k∈(-3,0].故选C.
8.答案 4
解析 易知a≠0.
当a<0时,由x>0可得ax-1<0,所以(ax-1)(x2+bx-4)≥0,即x2+bx-4≤0,易知函数y=x2+bx-4的图象开口向上,所以x2+bx-4≤0不恒成立,不满足题意;
当a>0时,若x>,则ax-1>0,若0时,x2+bx-4≥0,当023(共29张PPT)
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当函数值取零时自变量x
的值,即二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标,也称为二次函数y=ax2+bx+c(a
≠0)的零点.
3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
知识点 1 二次函数的零点
必备知识 清单破
1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数,并且未知数最高次数是2的整式不等式.
2.一元二次不等式的一般形式
ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a,b,c均为常数,且a≠0).
知识点 2 一元二次不等式
知识点 3 三个“二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的
根 有两个相异的实
数根 x1,x2(x1数根 x1=x2=- 没有实数根
一元二次 不等式的 解集 ax2+bx+c>0(a>0) (-∞,x1)∪(x2,+
∞) ∪ R
ax2+bx+c<0(a>0) (x1,x2)
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
注意:当一元二次不等式的二次项系数为负时,可化为正数再求解.
1.mx2+5x>0一定是一元二次不等式吗
2.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点是不是函数图象与x轴的交点
3.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是R吗
4. <0如何求解 ≤0的解集是什么 <2又如何求解
知识辨析
1.不一定.当m=0时,为一元一次不等式;当m≠0时,为一元二次不等式.
2.不是.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点是函数图象与x轴的交点的横坐标.
3.不一定.方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,说明函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴无交点,
当a>0时,图象在x轴上方,不等式ax2+bx+c>0的解集为R;当a<0时,图象在x轴下方,不等式ax2+
bx+c>0的解集为 .
4.∵ <0,∴(x-1)(x-2)<0,解得1为{x|1≤x<2};将 <2移项、通分,并整理,得 >0,即(x-2)(x-3)>0,所以x>3或x<2,故不等
式 <2的解集为{x|x>3或x<2}.
一语破的
1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准:通过对不等式的变形,使不等号右侧为0,左侧的二次项系数为正.
(2)判别式:对不等号左侧因式分解,若不易分解,则计算其对应方程的判别式.
(3)求实根:求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
(4)画草图:根据一元二次方程根的情况画出其对应的二次函数图象的草图.
(5)写解集:根据图象写出不等式的解集.
2.解含参数的一元二次不等式
(1)不改变解题步骤.
(2)根据运算的需要进行分类讨论:
①讨论二次项系数:当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数与0的大小关系,然后将不
关键能力 定点破
定点 1 一元二次不等式的解法
等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式;
②讨论不等式对应方程根的个数:当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论
判别式Δ与0的关系;
③讨论两根的大小:确定方程有两根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集的形式.
解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0.
典例
思路点拨 因为二次项的系数a的符号不确定,所以需要对其进行分类讨论.
解析 (1)当a=0时,原不等式为一元一次不等式,即-2x+4>0,所以x<2.
(2)当a<0时,设方程ax2-2(a+1)x+4=0的两根分别为x1,x2,则判别式Δ=4(a-1)2>0,x1=2,x2= ,且 <
2,所以不等式ax2-2(a+1)x+4>0的解集为 .
(3)当a>0时,设方程ax2-2(a+1)x+4=0的两根分别为x1,x2,则判别式Δ=4(a-1)2≥0,x1=2,x2= .
①若 <2,则a>1,不等式的解集为 x x< 或x>2 ;
②若 >2,则0 ;
③若 =2,则a=1,不等式的解集为{x|x∈R,且x≠2}.
综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x<2};当a<0时,不等式的解集为 ;当a>1时,
不等式的解集为 ;当0 ;当a=1时,不等
式的解集为{x|x∈R,且x≠2}.
名师点睛 对于含参数的“一元二次不等式”,若二次项系数含参数,则先考虑二次项系数
的符号,其次考虑分解因式,再对参数进行讨论.若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论,
分类要不重不漏.
1.三个“二次”之间的关系
(1)在三个“二次”中,二次函数是主体,研究二次函数问题主要是将问题转化为一元二次方
程和一元二次不等式的形式来解决.
(2)研究一元二次方程和一元二次不等式时,要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数
的图象及性质来解决相关问题.
2.应用三个“二次”之间的关系解题的思路
已知以a,b,c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0(a≠0))的解集求解其他不等式的解集时,一般
遵循:①根据解集判断二次项系数的符号和一元二次方程的根;②根据根与系数的关系把b,c
用a表示出来并代入所要解的不等式;③约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
定点 2 三个“二次”之间的关系
已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-3,1),则不等式bx2+ax+c<0的解集为 ( )
A.(1,2) B.(-1,2)
C. D.
典例
D
思路点拨 由不等式ax2+bx+c<0的解集知二次项系数a>0,由ax2+bx+c<0的解集的端点值确
定其对应的一元二次方程的根为1和-3,利用根与系数的关系解决问题.
解析 ∵ax2+bx+c<0的解集是(-3,1),
∴ ∴b=2a,c=-3a,
则不等式bx2+ax+c<0 2ax2+ax-3a<0,
即2x2+x-3<0,解得- ∴不等式bx2+ax+c<0的解集是 .
解决与一元二次不等式恒(能)成立的有关问题的方法
(1)将与一元二次不等式有关的问题转化为其所对应的二次函数图象与x轴的交点问题,考虑
二次项系数和对应方程的判别式的符号这两方面.
(2)将与一元二次不等式有关的问题转化为其对应的二次函数的最值问题,分离参数后,求相
应二次函数的最值,建立参数与这个最值的关系.
定点 3 一元二次不等式中的恒(能)成立问题
(1)对于任意实数x,y=(5-a)x2-6x+a+5的值恒为正值,则实数a的取值范围是 ;
(2)已知函数y=x2+mx-1,若对任意x∈[m,m+1],都有y<0成立,则实数m的取值范围是 .
典例
(-4,4)
思路点拨 (1)y=(5-a)x2-6x+a+5的值恒为正值,即函数为一元二次函数,其图象开口向上,且和
x轴无交点.
(2)根据图象知区间[m,m+1]的两端点对应的函数值均小于0.
解析 (1)由题意可得
解得-4(2)作出函数y=x2+mx-1的图象(如图),
对任意x∈[m,m+1],都有y<0,
则有
解得- 利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤
(1)选择合适的字母表示题目中起关键作用的未知量;
(2)根据题中信息构造不等关系或函数模型;
(3)解一元二次不等式;
(4)结合题目的实际意义确定答案.
定点 4 一元二次不等式的实际应用问题
某校计划靠一面墙(墙足够长)建一个长方形的植物角,如图所示,长方形的长(靠墙的一
边)为18 m,用栅栏围成四个相同的小长方形区域种植若干种植物.
(1)若每个小长方形区域的面积为24 m2,要使围成四个区域的栅栏的总长度l(单位:m)最短,则
每个小长方形区域的长和宽分别是多少米 并求所用最短栅栏的长度;
(2)若每个小长方形区域的长为x(x>2)m,宽为长的一半,每米栅栏的价格为5元,区域的重建费
用为每平方米10元,要使总费用y不超过180元,求x的取值范围.
典例
解析 (1)设每个小长方形区域的长为a(0∵a> ,∴a>2 ,∴2 则l=4a+6× =4a+ ≥2 =48(m),当且仅当4a= ,即a=6时等号成立,此时 =4,
故每个小长方形区域的长和宽分别为6 m和4 m时,所用最短栅栏的长度为48 m.
(2)由题可知,每个小长方形区域的长为x m,则宽为 m,2则四个相同的小长方形区域的面积为4x· =2x2(m2),栅栏的总长度l=4x+6× =7x(m),
∴y=10×2x2+5×7x=20x2+35x,2∴20x2+35x≤180,解得-4≤x≤ ,
又∵2素养解读
三个“二次”中综合问题解题思路的探究,是以二次函数的图象为几何直观,通过其开
口方向、对称轴、端点函数值、对应方程的判别式等,对相关一元二次方程(不等式)进行定
量计算,进而解决相关问题.
学科素养 情境破
素养 通过三个“二次”问题发展直观想象的素养
典例呈现
例题 (多选)已知关于x的不等式a≤x2-4x-6≤b(a∈R,b∈R,且aA.不等式a≤x2-4x-6≤b的解集不可能为
B.不等式a≤x2-4x-6≤b的解集可能为{x|-8≤x≤-6或8≤x≤12}
C.存在实数a,b,使得不等式a≤x2-4x-6≤b的解集为{x|m≤x≤n}(mD.存在唯一一对实数对(a,b),使得不等式a≤x2-4x-6≤b的解集为
CD
解题思路 画出二次函数y=x2-4x-6=(x-2)2-10的图象,如图①.
图①
若b<-10,则不等式a≤x2-4x-6≤b的解集为 ,故A错误.
若a≤-10,b>-10,则不等式a≤x2-4x-6≤b的解集为{x|m≤x≤n}(m结合图②可知,若a>-10,则不等式a≤x2-4x-6≤b的解集为{x|m1≤x≤n1或n2≤x≤m2}的形式.
因为二次函数y=x2-4x-6的图象的对称轴为直线x=2,所以 =2, =2.
因为 =2, =1≠2,故B错误.
对于D,如图③所示,
若不等式的解集为 ,则a≤-10,b>-10,且方程x2-4x-6=b的两根分别为 ,b,故b2-4b-6
=b,解得b=-1或b=6,又 <2确.
思维升华
直观想象在高中数学中具有以下四个特性:一是经验性,如本题中函数y=x2-4x-6的图象
是抛物线(如图①),由最小值可判断选项A、C是否正确;二是整体性,由函数图象可得到性质,
形成网络清晰、融会贯通的数学知识结构,如由图象的对称性可以判断选项B是否正确;三是
逻辑性,直观想象素养借助几何直观体现事物形态与变化,建立数与形的联系,其必然表现出
一定的逻辑性,在本题中,解决选项D时,由函数的图象得到一元二次方程的两根,进而解决一
元二次不等式的解集问题;四是预见性,直观想象的结果通常会表现出新的突破,带有极强的
创造性,直接预测问题的结论,如下面拓展中的问题.
拓展问题 已知关于x的不等式a≤x2-4x-6≤b(a∈R,b∈R,a等式的解集为{x|m1≤x≤n1或n2≤x≤m2}(m1解析 由例题中的图②可知a>-10,当b=a+1时,随着a的增大,n1-m1的值越来越小,因此从求n1-
m1的最值入手.
依题意得,x2-4x-6=a的两根分别为n1,n2,x2-4x-6=a+1的两根分别为m1,m2,
则n1+n2=4,n1n2=-6-a,m1+m2=4,m1m2=-7-a,
所以n1-n2=- ,m1-m2=- ,
因此n1-m1=
= = ,
结合a>-10可得n1-m1<1.
故不存在实数a,使得当b=a+1时,不等式的解集为{x|m1≤x≤n1或n2≤x≤m2}(m1式,且n1-m1=1.