专题强化练2　三个“二次”的综合应用

专题强化练2　 三个“二次”的综合应用
　　45分钟
1.若关于x的不等式(m-1)x2+(m-1)x+1>0的解集为R,则实数m的取值范围为(　　)
A.[1,5)　　　　B.(5,+∞)
C.(1,5]　　　　D.[1,5]
2.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,1)∪(3,+∞),则不等式bx2+ax+c≥0的解集是(　　)
A.　　　　
B.
C.∪[1,+∞)　　　　
D.(-∞,-1]∪
3.已知关于x的一元二次不等式kx2-2x+1<0的解集为(m,n),则4m+n-3的最小值是(　　)
A.　　　　B.3　　　　C.　　　　D.6
4.若关于x的不等式x2-(a+3)x+2a+2<0的解集中恰有3个整数,则实数a的取值范围为(　　)
A.{a|-3≤a<-2}
B.{a|-3≤a<-2或4C.{a|-3D.{a|-3≤a≤-2或4≤a≤5}
5.(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-2或x≥3},则下列说法正确的是(　　)
A.a>0
B.不等式bx+c>0的解集为{x|x>-6}
C.a+b+c>0
D.不等式cx2-bx+a<0的解集为或
6.(多选题)已知函数y=ax2+bx-3,则下列结论正确的是(　　)
A.关于x的不等式ax2+bx-3<0的解集可以是{x|x>3}
B.关于x的不等式ax2+bx-3>0的解集可以是
C.函数y=ax2+bx-3的图象与x轴正半轴可以有2个交点
D.“关于x的方程ax2+bx-3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a>0”
7.已知函数y=m2x2+(m-1)x+1.
(1)若该函数只有一个零点,求实数m的值;
(2)若 x∈R,不等式m2x2+(m-1)x+1>x2-3恒成立,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题强化练2　三个“二次”的综合应用
1.A　当m=1时,1>0,符合题意;
当m≠1时,解得1综上所述,实数m的取值范围是[1,5).故选A.
2.B　∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,1)∪(3,+∞),
∴1和3是方程ax2+bx+c=0的两个实数根,且a>0.
则解得
∴不等式bx2+ax+c≥0等价于-4ax2+ax+3a≥0(a>0),即4x2-x-3≤0,解得-≤x≤1,
∴不等式bx2+ax+c≥0的解集是.故选B.
3.A　根据题意,得m和n是方程kx2-2x+1=0的两个实数根,且k>0,
所以m+n=,mn=,
所以=+=2,且m>0,n>0,
所以4m+n=·(4m+n)·=·≥=×(5+4)=,
当且仅当n=2m,即n=,m=时等号成立,
所以4m+n-3的最小值为-3=.故选A.
4.B　x2-(a+3)x+2a+2<0 (x-2)(x-a-1)<0.
当a=1时,不等式(x-2)2<0的解集为空集,不符合题意.
当a>1时,不等式(x-2)(x-a-1)<0的解集为{x|2要使关于x的不等式x2-(a+3)x+2a+2<0的解集中恰有3个整数,只需满足解得4当a<1时,不等式(x-2)(x-a-1)<0的解集为{x|a+1要使关于x的不等式x2-(a+3)x+2a+2<0的解集中恰有3个整数,只需满足解得-3≤a<-2.
综上,实数a的取值范围为{a|-3≤a<-2,或45.BC　依题意,得关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-2或x≥3},所以a<0,故A错误;
即
所以bx+c=-ax-6a>0,所以x+6>0,所以x>-6,
所以不等式bx+c>0的解集为{x|x>-6},故B正确;
a+b+c=a-a-6a=-6a>0,故C正确;
cx2-bx+a=-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1<0,即(2x-1)(3x+1)<0,解得-故选BC.
6.BCD　对于A,若不等式ax2+bx-3<0的解集是{x|x>3},则a=0且3b-3=0,解得b=1,而当a=0,b=1时,不等式ax2+bx-3<0即x-3<0,解得x<3,与x>3矛盾,故A错误.
对于B,取a=-1,b=0,此时不等式化为-x2-3>0,解集为 ,故B正确.
对于C,函数y=ax2+bx-3的图象与x轴正半轴有2个交点,即ax2+bx-3=0有2个正实数根,取a=-1,b=4,此时y=-x2+4x-3,令y=0,则-x2+4x-3=0,解得x=1或x=3,故C正确.
对于D,若关于x的方程ax2+bx-3=0有一个正根和一个负根,则解得a>0,则Δ=b2+12a>0,故关于x的方程ax2+bx-3=0有两个不相等的实数根x1,x2,且x1x2=-<0,即关于x的方程ax2+bx-3=0有一个正根和一个负根.
所以 “关于x的方程ax2+bx-3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a>0”,故D正确.故选BCD.
7.解析　(1)当m=0时,y=-x+1,此时函数只有一个零点1,满足题意;
当m≠0时,需满足Δ=0,即(m-1)2-4m2=0,解得m=-1或m=.综上,m=0或m=-1或m=.
(2)不等式m2x2+(m-1)x+1>x2-3,
即(m2-1)x2+(m-1)x+4>0.
当m=1时,4>0,满足题意;
当m=-1时,不等式为-2x+4>0,解得x<2,不满足题意;
当m2-1≠0,即m≠±1时,需满足解得m<-或m>1.
综上,实数m的取值范围为m<-或m≥1.
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