第4章 指数与对数
4.1 指数
4.1.1 根式 4.1.2 指数幂的拓展
基础过关练
题组一 根式的概念与性质
1.若正数x,y满足x3=8,y4=81,则x+y=( )
A.1 B.3 C.5 D.7
2.化简:+=( )
A.0 B.2π-8
C.2π-8或0 D.8-2π
3.若=,则实数a的取值范围为( )
A.R B.{2}
C.(2,+∞) D.(-∞,2]
4.已知实数a满足等式=,求实数a的值.
题组二 根式与分数指数幂的互化
5.已知a>0,将表示成有理指数幂,其结果是( )
A. B. C. D.
6.下列各式中一定成立的是 ( )
A.=n7 B.=
C.= D.=
7.下列各式正确的是( )
A.=
B.=3-π
C.=|a|(n>1,n∈N*)
D.=a(n>1,n∈N*)
题组三 利用指数幂的运算性质化简或求值
8.已知2a=5,8b=3,则2a-3b的值为( )
A.25 B.5 C. D.
9.下列式子中错误的是 ( )
A.(27a3÷0.3a-1=10a2(a≠0)
B.(-)÷(+)=-(a,b>0)
C.[(2+3)2(2-3)2=-1
D.=(a>0)
10.已知a>0,b>0,则=( )
A.ab3 B.b-3 C.ab-3 D.a2b-5
11.化简:--+= .
12.解方程:
(1)x-3=;(2)=.
13.化简:
(1)0.008 -×81-0.25+-10×0.02;
(2)(a,b>0);
(3)·(a,b>0).
题组四 条件求值问题
14.若x+x-1=3,则=( )
A. B. C. D.
15.已知5m=2,5n=3,则54m-3n的值为 .
16.已知,是方程x2-5x+3=0的两个不相等的实数根,则的值为 .
17.(教材习题改编)已知+=4,求下列各式的值.
(1)a+a-1;
(2)a2+a-2;
(3).
答案与分层梯度式解析
4.1 指数
4.1.1 根式 4.1.2 指数幂的拓展
基础过关练
1.C 由题意得x==2,y==3,所以x+y=2+3=5.故选C.
易错警示 正数的偶次方根有两个且互为相反数,任意实数的奇次方根只有一个.
2.A 原式=|π-4|+(π-4)=4-π+π-4=0,故选A.
3.D 易知=≥0,所以≥0,即2-a≥0,解得a≤2.故选D.
4.解析 由题意得,≥0,所以≥1,故≥1.设=t,则a=t3(t≥1),
∵=,∴=t,
∴1+=t2,∴=t2-1,
∴1+t3=,∴1+t3=t4-2t2+1,
∴t4-t3-2t2=0,∴t2(t2-t-2)=0,
即t2(t-2)(t+1)=0,
解得t=2或t=0(舍)或t=-1(舍).
∴=t=2,∴a=8.
5.C ∵a>0,∴=====.故选C.
6.D 对于A,=n7m-7,故A错误;
对于B,==,故B错误;
对于C,当x=1,y=2时,===,=,而≠,故C错误;
对于D,=====,故D正确.故选D.
7.D =-2,===2,故A错误;
=|3-π|=π-3,故B错误;
∵n>1,n∈N*,∴当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|,故C错误;
=a(n>1,n∈N*)成立,故D正确.故选D.
8.D ∵8b=3,∴=23b=3,∴2a-3b==.故选D.
9.C 对于A,原式=[(3a)3÷0.3a-1=3a×a=10a2(a≠0),故A正确;
对于B,原式===-(a,b>0),故B正确;
对于C,原式=[(2+3)2(3-2)2=[(2+3)2[(3-2)2=(2+3)(3-2)=1,故C错误;
对于D,原式=====(a>0),故D正确.故选C.
10.C ====ab-3.故选C.
11.答案 19
解析 --+=-1-+=+2-1-(-2)+16=19.
12.解析 (1)∵x-3==2-3,∴x=2.
(2)∵=,∴=(=[(32=,
∴x=3.
13.解析 (1)原式=-(3×1)-1×-10×(0.33=-×-10×0.3=--3=0.
(2)原式==·
=.
(3)原式=·=·=.
14.A 将x+x-1=3的等号的两边平方,得x2+x-2+2=9,则x2+x-2=7,所以===.故选A.
15.答案
解析 54m-3n=54m·5-3n=·=24×3-3=.
16.答案 22
解析 由根与系数的关系得+=5,=3,所以====m++n=(+)2-=52-3=22.
17.解析 (1)将+=4的等号的两边平方,得a+a-1+2=16,所以a+a-1=14.
(2)将a+a-1=14的等号的两边平方,得a2+a-2+2=196,所以a2+a-2=194.
(3)因为+=()3+()3,所以==a+a-1-1=14-1=13.
解题模板 在条件求值问题中,将结论根据条件进行适当变形,利用整体代入求值;在与一元二次方程的两根有关的问题中,结合根与系数的关系,利用整体代入求解.
10(共13张PPT)
1.n次方根
(1)定义:如果xn=a(n>1,n∈N*),那么称x为a的n次方根.
(2)表示:
4.1 指数
知识点 1 根式
必备知识 清单破
n的奇偶性 a的n次方根的表示 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数 ± [0,+∞)
注意:负数没有偶次方根;0的n次方根等于0.
2.根式
(1)定义:式子 叫作根式,其中n叫作根指数,a叫作被开方数.
(2)性质(其中n>1且n∈N*):
①( )n=a.
②当n为奇数时, =a;当n为偶数时, =|a|=
1.正数的正分数指数幂
= (a>0,m,n∈N*,n>1).
2.正数的负分数指数幂
= = (a>0,m,n∈N*,n>1).
3.0的分数指数幂
0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
知识点 2 分数指数幂
1.有理数指数幂的运算性质
(1)asat=as+t(a>0,s,t∈Q).
(2)(as)t=ast(a>0,s,t∈Q).
(3)(ab)t=atbt(a>0,b>0,t∈Q).
2.无理数指数幂
当a>0且x是一个无理数时,ax也是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对无理数指
数幂同样适用.
知识点 3 实数指数幂
1.实数a的n次方根可能有几个
2. = (n>1,n∈N*)一定成立吗
3.分数指数幂 是 个a相乘吗
4.分数指数能约分吗
5.负数存在分数指数幂吗
知识辨析
1.当n为大于1的奇数时,实数a的n次方根有1个;当n为大于1的偶数时,正数a的n次方根有2个,0
的n次方根有1个,负数没有偶次方根.
2.不一定. 是实数a的n次方根的n次幂,其中实数a的取值由n的奇偶决定,结果恒等于a;
是实数an的n次方根,是一个恒有意义的式子,a∈R,不受n的奇偶限制,但这个式子的值受n
的奇偶限制,不一定等于a.
3.不是.分数指数幂 只是根式的一种写法.
4.不能随意约分.如:(-3 约分后为(-3 = ,而 在实数范围内是无意义的.
5.存在.在保证相应的根式有意义的前提下,负数存在分数指数幂.
一语破的
1.利用根式的性质化简、求值时的注意点
(1)分清根式是奇次根式还是偶次根式:
①n>1,且n为奇数时,( )n= =a,a为任意实数;
②n>1,且n为偶数,a≥0时,( )n才有意义,且( )n=a;
③n>1,且n为偶数,a为任意实数时, 均有意义,且 =|a|.
(2)运算时注意变式、整体代换以及平方差公式、立方差(和)公式、完全平方公式、完全立
方公式等的运用,必要时要进行分类讨论.
2.根式与分数指数幂化简、求值的技巧
(1)将根式化为幂的形式,小数指数幂化为分数指数幂,负指数幂化为正指数幂的倒数.
(2)底数是小数的,要先化成分数;底数是带分数的,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式
关键能力 定点破
定点 1 根式与分数指数幂的化简、求值
表示,便于利用指数幂的运算性质.
注意:化简的结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既含有分母又含有负指数.
化简:(1) + -160.75+ ×( )-2;
(2) × (a>0,b>0).
典例
(1)原式= + -(24 + × =- + -8+2=-3.
(2)原式= · · · · = ·a0b0= .
解析：
解决指数幂的条件求值问题时,一般将已知条件或所求代数式进行恰当变形,从而通过
“整体代换法”求出代数式的值.整体代换法是数学变形与计算常用的方法,分析观察条件
与所求代数式的结构特点,灵活运用恒等式是关键.
常用的变形公式如下:
(1)a±2 +b=( ± )2;
(2)( + )( - )=a-b;
(3) + =( + )(a- +b);
(4) - =( - )(a+ +b).
定点 2 指数幂的条件求值问题
已知x+x-1=3,求下列各式的值:
(1) + ;(2)x2+x-2;
(3) + ;(4) .
典例
分析条件与所求式的关系,利用完全平方公式及立方和公式求解.
思路点拨：
(1)∵x+x-1=3,∴ = +2 + =x+x-1+2=3+2=5,
∴ + =± ,
又由x+x-1=3得x>0,∴ + >0,
∴ + = .
(2)将x+x-1=3两边平方,得x2+x-2+2=9,
∴x2+x-2=7.
(3)解法一: + = + =( + )[ - + ]=( + )[(x+x-1)-1]= ×(3-1)=2 .
解法二: = + +2 =x3+x-3+2,
而x3+x-3=(x+x-1)(x2+x-2-1)
解析：
=(x+x-1)[ -3]=3×(32-3)=18,
∴ =20,由x+x-1=3>0得x>0,
∴ + >0,∴ + = =2 .
(4)∵ =x2+x-2-2=5,∴x-x-1=± ,
又x3+x-3=(x+x-1)(x2+x-2-1)=3×(7-1)=18,
∴ = =± .
