4.2 对数
4.2.1 对数的概念 4.2.2 对数的运算性质
基础过关练
题组一 对数的概念与性质
1.下列说法:
①只有正数有对数;
②任何一个指数式都可以化成对数式;
③以5为底25的对数等于±2;
④=-5成立.
其中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的是( )
A.=m与lom=e(m>0)
B.10x=6与lg 6=x
C.2=与lo27=-
D.=3与log93=
题组二 对数的运算性质
3.我们知道,任何一个正数N可以用科学记数法表示成N=a×10n(1≤a<10,n为正整数),此时lg N=n+lg a(0≤lg a<1),当n>0时,称N的位数是n+1.根据以上信息可知360的位数是(lg 3≈0.477 12)( )
A.27 B.28 C.29 D.30
4.(多选题)已知a=lg 2,b=lg 3,则( )
A.a+b=lg 6 B.=log34
C.2+=log212 D.b-a=lg
5.一个10位正整数a的16次方根为正整数b,则b=( )
(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48,lg 7≈0.85)
A.2 B.3 C.4 D.7
6.计算:lg 52+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2= .
7.已知x>0,y>0,若-1≤lg≤2,1≤lg x≤4,则lg的取值范围是 .
8.已知a>0,a≠1,x,y为正实数,loga=,则= .
9.已知a=log3-,b=log38×log2,c=,求a+b+c的值.
题组三 换底公式的运用
10.计算:lg 2×log810=( )
A.3 B.log310 C. D.lg 3
11.设a=log36,b=log520,则log215用a,b表示为( )
A. B.
C. D.
12.已知3a=4b=6,则+的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
13.荀子《劝学》中说:“不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程,每天进步一点点,前进不止一小点.我们可以把(1+1%)365看成每天的“进步”率都是1%,一年后是1.01365≈37.783 4,而把(1-1%)365看成每天的“退步”率都是1%,一年后是0.99365≈0.025 5,这样,一年后的“进步”率是“退步”率的≈1 481倍,那么当“进步”率是“退步”率的5倍时,大约经过(参考数据:lg 101≈2.004 3,lg 99≈1.995 6,lg 2≈0.301 0)( )
A.70天 B.80天 C.90天 D.100天
14.已知a=lg 2,10b=3,则log185= .(用a,b表示)
15.(1)已知a,b,c均为正数,且3a=4b=6c,求+-的值;
(2)若60a=3,60b=5,求的值.
题组四 对数的实际应用
16.尽管目前人们还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M,里氏8.0级地震释放的能量是里氏6.0级地震释放能量的( )
A.6倍 B.102倍 C.103倍 D.106倍
17.星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减.已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为Er=Ep×10-7,其中Ep是激光器输出的单脉冲能量,Er是水下潜艇接收到的光脉冲能量,S为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积(单位:km2,光斑面积与卫星高度有关).若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减Γ满足:Γ=10lg(单位:dB).当卫星达到一定高度时,该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75 km2,则此时Γ的大小约为(参考数据:lg 2≈0.301)( )
A.-76.02 B.-83.98
C.-93.01 D.-96.02
18.为了提高资源利用率,全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时代的要求.假设某地2022年全年用于垃圾分类的资金为500万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市用于垃圾分类的资金开始不低于1 600万元的年份是(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( )
A.2027年 B.2028年 C.2029年 D.2030年
答案与分层梯度式解析
4.2 对数
4.2.1 对数的概念 4.2.2 对数的运算性质
基础过关练
1.B 对于①,由对数的概念知,负数和0没有对数,故①正确;对于②,指数式(-1)2=1没有相应的对数式,故②错误;对于③,以5为底25的对数等于2,故③错误;对于④,负数没有对数,所以log3(-5)无意义,故④错误.故选B.
2.BD =m化成对数式应为logem=,即ln m=,故A错误;10x=6可化为lg 6=x,故B正确;2=化成对数式应为log27=-,故C错误;=3可化为log93=,故D正确.故选BD.
解题模板 指数式与对数式互化,关键是弄清各部位的去向,其中a>0且a≠1,N>0.
3.C lg 360=60×lg 3≈60×0.477 12=28.627 2=28+0.627 2,则360的位数是28+1=29.故选C.
4.ACD 对于A,lg 6=lg 2+lg 3=a+b,故A正确;
对于B,log34===≠,故B错误;
对于C,log212=log24+log23=2+=2+,故C正确;
对于D,lg=lg 3-lg 2=b-a,故D正确.
故选ACD.
5.C 由题意,得109≤a<1010,b=,其中a∈N*,b∈N*,所以1≤b=<1,
所以0.562 5=≤lg b<=0.625.
由lg 2≈0.3,lg 3≈0.48,lg 7≈0.85,得lg 7-lg 2=lg=lg 3.5≈0.55,lg 5=lg=lg 10-lg 2=1-lg 2≈0.7,所以lg 3.5
6.答案 3
解析 原式=2lg 5+×3lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2=2×(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2×lg 5+(lg 2)2=2+1-lg 2+lg 2×(1-lg 2)+(lg 2)2=3.
7.答案 [0,6]
解析 因为x>0,y>0,-1≤lg≤2,1≤lg x≤4,
所以lg=lg=lg+lg x∈[0,6],
所以lg的取值范围是[0,6].
8.答案
解析 ∵loga==loga(xy,
∴=,即+=3,等号两边同除以,得=3,即+=3,
设=t,则+t=3,故t2-3t+1=0,解得t=,
故=t2==.
9.解析 依题意得,a=log333-2=-2=-,b=×log323×log23=log32×log23=,c==,
所以a+b+c=-++=.
10.C lg 2×log810=lg 2×=lg 2×=lg 2×=.故选C.
11.D ∵a=log36=1+log32,b=log520=1+2log52,∴log23=,log25=,∴log215=log23+log25=+=.故选D.
12.A 因为3a=4b=6,所以a=log36,b=log46,
所以+=2log63+log64=log6(32×4)=2.故选A.
13.B 设x天后的“进步”率是“退步”率的5倍,则=5,即=5,所以x=5==≈≈80.
故当“进步”率是“退步”率的5倍时,大约经过80天.故选B.
14.答案
解析 因为10b=3,所以b=lg 3.因为a=lg 2,lg 2+lg 5=lg 10=1,所以lg 5=1-a,
所以log185===.
方法总结 换底公式在应用时究竟换成以什么为底数要由具体的已知条件来确定,一般情况下换成以10为底的常用对数.
15.解析 (1)设3a=4b=6c=t,则t>1,
所以a=log3t,b=log4t,c=log6t,
所以+-=2logt3+logt4-2logt6=logt=0.
(2)因为60a=3,60b=5,所以a=log603,b=log605,
所以=====log122,因此=1=2.
16.C 设里氏8.0级地震释放的能量为E1焦耳,里氏6.0级地震释放的能量为E2焦耳,则lg E1=4.8+1.5×8=16.8,lg E2=4.8+1.5×6=13.8,所以E1=1016.8,E2=1013.8,故==103.故选C.
17.B 因为Er=Ep×10-7,该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75 km2,
所以=×10-7=×10-7=4×10-9,
则Γ=10lg=10lg(4×10-9)=10lg 4-90=20lg 2-90≈20×0.301-90=-83.98.故选B.
18.C 设经过n年后的投入资金为y万元,
则y=500(1+20%)n,
令y≥1 600,即500(1+20%)n≥1 600,则1.2n≥,
∴n≥log1.2===
=≈≈6.39,
∴第7年即2029年该市用于垃圾分类的资金开始不低于1 600万元.
12(共15张PPT)
1.对数的概念
如果ab=N(a>0,a≠1),那么就称b是以a为底N的对数,记作logaN=b,其中,a叫作对数的底数,
N叫作真数.
2.对数式与指数式的关系
当a>0,a≠1时,ab=N b=logaN.
3.常用对数与自然对数
以10为底的对数称为常用对数,对数log10N简记为lg N;以e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然
对数,对数logeN简记为ln N.
4.2 对数
知识点 1 对数
必备知识 清单破
4.对数的性质
(1)零和负数没有对数;
(2)loga1=0(a>0,a≠1);
(3)logaa=1(a>0,a≠1);
(4)logaab=b(a>0,a≠1,b∈R);
(5) =N(a>0,a≠1,N>0).
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
(1)loga(MN)=logaM+logaN;
(2)loga =logaM-logaN;
(3)logaMn=nlogaM(n∈R).
知识点 2 对数的运算性质
1.换底公式
logaN= ,其中a>0,a≠1,N>0,c>0,c≠1.
2.相关结论 (其中a,b均为不等于1的正数)
(1)logab·logba=1;
(2)lo bn= logab(m∈R,n∈R,m≠0).
知识点 3 换底公式
1.使对数log(a+1) 有意义的a的取值范围是什么
2.如何理解ax=N与x=logaN(a>0,且a≠1,N>0)中的a,x,N的关系
3.指数式ax=N是否都能化为对数式
4.在对数概念中,为什么规定a>0,且a≠1呢
5.当M,N同号时,loga(MN)=logaM+logaN(a>0,a≠1),loga =logaM-logaN(a>0,a≠1)均成立吗
知识辨析
1.(-1,0)∪(0,4).由 解得-12.对数式和指数式只是通过“底数不变,左右交换”的原则进行了转化,是a,x,N之间相同关
系的不同表示,因此底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变,只有x和N的名称发生了变
化.
3.不是.需满足a>0且a≠1,N>0,否则不能转化.如:(-2)2=4不能化为2=log(-2)4.
4.①若a<0,则当N取某些数值时,logaN不存在,即ax=N不成立,因此规定a不能小于0.
②若a=0,则当N≠0时,logaN不存在,当N=0时,logaN有无数个值,因此规定a≠0.
③若a=1,则当N≠1时,logaN不存在,当N=1时,logaN有无数个值,因此规定a≠1.
一语破的
5.不一定成立.如:loga[(-2)×(-3)]有意义,而loga(-2)和loga(-3)均没有意义.
1.利用对数的运算性质求值的关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数间的关系.
2.同底数的对数式化简的常用方法
(1)“收”,将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数,即“收”为一个对数式;
(2)“拆”,将积(商)的对数“拆”成两对数之和(差).
3.在应用换底公式时,要选择合适的底数,若所给的对数式的底数和真数互不相同,则可以选
择以10为底数进行换底.
关键能力 定点破
定点 1 利用对数的运算性质化简、求值
计算下列各式的值:
(1) lg - lg +lg ;
(2) ;
(3)(lg 2)2+lg 2×lg 50+lg 25+(log32+log92)×(log43+log83)+ .
典例
(1)解法一:原式= (5lg 2-2lg 7)- × lg 2+ (2lg 7+lg 5)= lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+ lg 5=
lg 2+ lg 5= (lg 2+lg 5)= lg 10= .
解法二:原式=lg -lg 4+lg 7 =lg =lg( × )=lg = .
(2)原式= × =lo ×log 9=lo × log232=- log32×3log23=- .
(3)设m=ln 8,则em=8,所以7ln 8-8ln 7=7m- =7m- =7m-7m=0,
所以(lg 2)2+lg 2×lg 50+lg 25+(log32+log92)×(log43+log83)+
=(lg 2)2+lg 2×(lg 5+1)+2lg 5+ log32+ log32 +20
=(lg 2)2+lg 2×lg 5+lg 2+2lg 5+ log32× ×log23+1=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 2+2lg 5+ +1
解析：
= +1= .
1.在对数式与指数式的互化运算中,要注意灵活应用定义、运算性质,尤其要注意条件和结论
之间的关系.
2.对于连等指数式,可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式将指数的倒
数化为同底的对数,从而解决问题.
定点 2 对数与指数的综合运用
已知a,b,c是不等于1的正数,且ax=by=cz, + + =0,求abc的值.
典例
解法一:设ax=by=cz=t,
∵a,b,c是不等于1的正数,∴t>0,且t≠1,
∴x=logat,y=logbt,z=logct,
∴ + + = + + =logta+logtb+logtc=logt(abc)=0,∴abc=t0=1,即abc=1.
解法二:设ax=by=cz=t,
∵a,b,c是不等于1的正数,∴t>0,且t≠1,
∴x= ,y= ,z= ,
∴ + + = + + = .
解析：
∵ + + =0,且lg t≠0,
∴lg a+lg b+lg c=lg(abc)=0,∴abc=1.
数学运算是学生学习数学的一种必备品格和关键能力.数学运算是指在明晰运算对象的
基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算
思路,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等.
学科素养 情境破
素养解读
素养 通过指数、对数运算发展数学运算的素养
典例呈现
例题 已知a+log220-log25= × -92×8 -(lg 5)0,b=log7(49b-12).
(1)求a,b的值;
(2)若(a+1)c=3,用b,c表示log4918.
解题思路 (1)因为a+log220-log25= × -92×8 -(lg 5)0,
所以a+log2 =3×(23 -92× -1,
所以a+2=12- -1,
所以a+2=8,所以a=6.
因为b=log7(49b-12),所以7b=(7b)2-12,
即(7b-4)(7b+3)=0,
解得7b=4或7b=-3(舍去),
故b=log74.
(2)由(1)知,a=6,b=log74,所以7c=3,
所以c=log73,
所以log4918=lo (32×2)=log73+ log72=log73+ log74=c+ b.
思维升华
指数运算和对数运算是互逆运算,在解题过程中,进行互相转化是解决相关问题的关键.
特别在求解较大或者较复杂的指数幂问题时,常利用取对数的方法,将指数运算转化为对数
运算.在对数运算中经常利用换底公式,将一般对数转化为自然对数或常用对数来运算.