5.2 函数的表示方法
基础过关练
题组一 函数的表示方法
1.若函数f(x)和g(x)分别由下表给出,满足g(f(x))=2的x值是( )
x 1 2 3 4
f(x) 2 3 4 1
g(x) 2 1 4 3
A.1 B.2 C.3 D.4
2.函数y=g(x)的对应关系如表所示,函数y=f(x)的图象是如图所示的曲线ABC,则g(f(3)-1)的值为( )
x 1 2 3
g(x) 2 023 0 -2 023
A.2 023 B.0
C.-1 D.-2 023
3.下图中的文物叫作“垂鳞纹圆壶”,是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿,其身流线自若、纹理分明,展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积,以恒定的流速向其内注水,恰好用时30秒注满.设注水过程中,壶中水面高度为h,注水时间为t,则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是( )
A B
C D
4.某条公共汽车路线收支差额y关于乘客量x的图象如图(1)所示,由于目前本条路线亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议,如图(2)、图(3),则下列说法错误的是( )
A.图(1)中的点A表示当乘客量为0时,亏损1.5个单位
B.图(1)中的点B表示当乘客量为3时,既不亏损也不盈利
C.图(2)的建议为降低成本,提高票价
D.图(3)的建议为保持成本,提高票价
题组二 函数解析式的求法
5.已知函数f(-2)=x-4+5,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x2+1(x≥0) B.f(x)=x2+1(x≥-2)
C.f(x)=x2(x≥0) D.f(x)=x2(x≥-2)
6.若g(x)=1-2x, f(g(x))=(x≠0),则f 等于( )
A.1 B.2 C.15 D.30
7.已知f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+9,则f(x)的解析式为 .
8.已知f(x)是二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,则f(x)= .
题组三 分段函数
9.(教材习题改编)已知函数f(x)=则f(1)=( )
A.1 B.0 C.-1 D.-2
10.已知函数f(x)=若f(f(0))=-2,则实数a=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
11.已知函数f(x)=则f(x)的值域为( )
A.[0,2] B.(0,+∞)
C. D.
12.已知f(x)=若f(a)<-3,则a的取值范围为( )
A.(-3,+∞) B.[-3,+∞)
C.(-∞,-3) D.(-∞,-3]
13.(教材习题改编)学校宿舍与办公室相距a m.某同学有重要材料要交给老师,从宿舍出发,先匀速跑步3 min来到办公室,停留2 min,然后匀速步行10 min返回宿舍.在这个过程中,这位同学行进的速度v(t)(单位:m/min)和行走的路程s(t)(单位:m)都是时间t的函数,则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的( )
A.①② B.③④ C.①④ D.②③
14.函数y=|x+1|-|x-2|的值域是 .
15.某小组4位同学准备从学校打车到距离学校30千米的地方参加社会实践活动.已知出租车的收费标准是起步价为11元(乘车不超过3千米);行驶超过3千米且不超过10千米时,每千米车费为2.2元;行驶超过10千米时,每千米车费为2.8元.
(1)写出车费f(x)(单位:元)与路程x(单位:千米)的函数关系式;
(2)为了节省开支,他们设计了三种乘车方案:
①不换车:乘一辆出租车行30千米;
②分两段乘车:先乘一辆车,行15千米后,换乘另一辆车,再行15千米;
③分三段乘车:每乘10千米后,换乘一辆车.
问:哪一种方案最省钱
能力提升练
题组一 函数的表示方法及其应用
1.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表,则各班推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数,如[π]=3,[4]=4)可表示为( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=16,点P是斜边AB上的任意一点(不与点A,B重合),过点P作PQ⊥AB,垂足为P,交边AC(或边CB)于点Q,设AP=x(0
A B
C D
3.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
g(x) 3 2 1
满足f(g(x))题组二 函数解析式的求法
4.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(x)+2f =5x+,则f(x)的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.2
5.下图中所表示的函数的解析式为( )
A.y=|x-1|(0≤x≤2)
B.y=-|x-1|(0≤x≤2)
C.y=-|x-1|(0≤x≤2)
D.y=1-|x-1|(0≤x≤2)
6.(多选题)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且-3A.a=-2 B.b=1
C.07.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=x3f ,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),若f(x)+f(y)+xy=f(x+y),则下列说法正确的是( )
A.f(0)=0 B.f(3)=3
C.f(x)-f(-x)=x D.f(x)=
8.f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意的实数x,y都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),则f(x)的解析式为 .
题组三 分段函数及其应用
9.(多选题)如图所示,函数f(x)的图象由两条线段组成,则下列关于函数f(x)的说法正确的是( )
A.f(2)>f(0)
B.f(f(1))=3
C.f(x)=2|x-1|-x+1,x∈[0,4]
D. a>0,不等式f(x)≤a的解集为
10.已知函数f(x)=满足f(f(a))=1的a的值有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
11.已知f(x)=x2-1,g(x)=则函数y=f(x)·g(x)的值域为( )
A.[-1,+∞) B.[0,+∞)
C.(-∞,-1] D.(-∞,0]
12.已知函数f(x)=若f(x)的值域为[-2,2],则实数c的值是 .
13.已知λ∈R,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是 .若函数f(x)的图象与x轴恰有2个交点,则λ的取值范围是 .
14.快递行业的发展使得网络购物越来越便利,根据大数据统计,某条快递线路运行时,发车时间间隔t(单位:分钟)满足4≤t≤15,t∈N,平均每趟快递车辆的载件量p(t)(单位:个)与发车时间间隔t(单位:分钟)近似地满足p(t)=其中t∈N.
(1)若平均每趟快递车辆的载件量不超过1 500个,求发车时间间隔;
(2)若平均每趟快递车辆每分钟的净收益q(t)=-80(单位:元),问当发车时间间隔为多少时,平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大 并求出最大净收益.
答案与分层梯度式解析
5.2 函数的表示方法
基础过关练
1.D 由g(f(x))=2,得f(x)=1,则x=4.故选D.
2.A 由题图可知, f(3)=2,则g(f(3)-1)=g(2-1)=g(1)=2 023.故选A.
3.A 由题图知,“垂鳞纹圆壶”中间粗,两端细,所以在注水速度恒定的情况下,水的高度开始增加得快,后来增加得慢,最后又增加得快.故选A.
4.C 由题图(1)知,显然A,B正确;对于C,由题图(2)知,两直线平行,所以票价不变,直线向上平移,说明当乘客量为0时,收支差额变大了,即支出变少了,所以题图(2)的建议为降低成本,票价不变,故C错误;对于D,由题图(3)知,当乘客量为0时,支出不变,所以成本不变,直线的倾斜角变大了,即每增加一位乘客,收支差额的增加值变大了,所以票价提高了,所以题图(3)的建议为保持成本,提高票价,故D正确.故选C.
5.B 解法一(配凑法):f(-2)=(-2)2+1,所以f(x)=x2+1(x≥-2).故选B.
解法二(换元法):令t=-2,则t≥-2,x=(t+2)2,
所以f(t)=(t+2)2-4(t+2)+5=t2+1,
所以f(x)=x2+1(x≥-2).故选B.
6.C 解法一:易知f(1-2x)=(x≠0),
令t=1-2x(x≠0),则t≠1,x=,
所以f(t)==(t≠1),
所以f ==15.故选C.
解法二:易知f(1-2x)=(x≠0),令1-2x=,
则x=,所以f ==15.故选C.
7.答案 f(x)=2x+3或f(x)=-2x-9
解析 依题意,设f(x)=kx+b(k≠0),则f(f(x))=kf(x)+b=k(kx+b)+b=k2x+(k+1)b(k≠0),
又因为f(f(x))=4x+9,所以
解得或
所以f(x)的解析式为f(x)=2x+3或f(x)=-2x-9.
8.答案 x2-2x-1
解析 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c, f(x-1)=a(x-1)2+b(x-1)+c=ax2+(-2a+b)x+a-b+c,所以f(x+1)+f(x-1)=2ax2+2bx+2a+2c,
又f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,所以解得所以f(x)=x2-2x-1.
9.B ∵f(x)=∴f(1)=f(-1)=(-1)2-1=0.故选B.
10.B 由题知f(0)=1, f(1)=1-a,∵f(f(0))=-2,∴f(1)=1-a=-2,∴a=3.
故选B.
11.C 当x<0时,-∈(0,+∞);当0≤x≤2时,x2-x=-∈,所以函数f(x)的值域为.故选C.
12.C (分a≤-2,-2已知f(x)=
①当a≤-2时, f(a)=a,
由f(a)<-3,得a<-3;
②当-2由f(a)<-3,得a+1<-3,解得a<-4,此时不等式无解;
③当a≥4时, f(a)=3a,
由f(a)<-3,得3a<-3,解得a<-1,此时不等式无解.
综上,a的取值范围是(-∞,-3).故选C.
13.A 根据题意,得v(t)=且s(t)=
由速度函数及路程函数的解析式可知,其图象分别为①②.故选A.
14.答案 [-3,3]
解析 由y=|x+1|-|x-2|=
当-1≤x≤2时,y=2x-1单调递增,所以-3≤y≤3,
故函数y=|x+1|-|x-2|的值域为[-3,3].
15.解析 (1)由题意得,当0当3当x>10时, f(x)=11+(10-3)×2.2+(x-10)×2.8=2.8x-1.6.
所以f(x)=
(2)方案①: f(30)=2.8×30-1.6=82.4(元);
方案②:2f(15)=2×(2.8×15-1.6)=80.8(元);
方案③:3f(10)=3×(2.2×10+4.4)=79.2(元).
因为82.4>80.8>79.2,所以方案③最省钱.
能力提升练
1.B 因为各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表,所以当余数为7,8,9时可增选一名代表,即x要进一位,故最小应加3,因此利用取整函数可表示为y=.故选B.
2.D 过点C作CD⊥AB交AB于点D,因为∠ACB=90°,∠A=30°,AB=16,所以∠B=60°,BC=8,所以BD=BC=4,AD=AB-BD=12.
如图1,当0如图2,当12图1 图2
3.答案 {1,3}
解析 当x=1时, f(g(1))=f(3)=1,g(f(1))=g(1)=3,故f(g(1))当x=2时, f(g(2))=f(2)=3,g(f(2))=g(3)=1,故f(g(2))>g(f(2)),不满足要求;
当x=3时, f(g(3))=f(1)=1,g(f(3))=g(1)=3,故f(g(3))故满足f(g(x))4.D 因为f(x)+2f =5x+①,
所以f +2f(x)=+4x②,
②×2-①,得f(x)=x+,
又x∈(0,+∞),
所以f(x)=x+≥2=2,
当且仅当x=,即x=时取等号,
所以f(x)的最小值为2.故选D.
5.B 当0≤x≤1时,设y=kx,由题中图象过点,得k=,所以y=x,0≤x≤1;
当1所以y=-x+3,16.AD 由题意,设f(-1)=f(1)=f(2)=m,
则-1,1,2是方程f(x)-m=0的3个根,
又f(x)=x3+ax2+bx+c,
所以f(x)-m=(x+1)(x-1)(x-2),
即f(x)=(x+1)(x-1)(x-2)+m,且-3所以f(x)=x3-2x2-x+m+2,
故a=-2,b=-1,c=m+2,故A正确,B错误;
由-3故C错误,D正确.故选AD.
7.AC 在f(x)+f(y)+xy=f(x+y)中,令x=y=0,
则f(0)=0,故A正确;
令y=-x,则f(x)+f(-x)-x2=f(0)=0,即f(x)+f(-x)=x2①,
所以f +f =,即f =-f ,又f(x)=x3f ,所以f(x)=x3=x-x3f =x+f(-x),即f(x)-f(-x)=x(x≠0)②,
又f(0)=0也符合上式,故C正确;
联立①②,解得f(x)=,故D错误;
f(3)=6,故B错误.
故选AC.
8.答案 f(x)=x2+x+1
解析 令x=0,则f(-y)=f(0)-y(-y+1),
∵f(0)=1,∴f(-y)=1-y(-y+1)=y2-y+1=(-y)2+(-y)+1,∴f(x)=x2+x+1.
9.BC 由题图可知,函数f(x)为分段函数,其图象过点(0,3),(1,0),(4,3),
当0≤x<1时,设f(x)=kx+b(k≠0),
将(0,3),(1,0)代入f(x)=kx+b,得
解得所以f(x)=-3x+3;
当1≤x≤4时,设f(x)=mx+n(m≠0),
将(1,0),(4,3)代入f(x)=mx+n,得
解得所以f(x)=x-1.
故f(x)=
对于A, f(2)=1对于B, f(f(1))=f(0)=3,故B正确;
对于C,因为f(x)=2|x-1|-x+1,x∈[0,4],
所以当0≤x<1时, f(x)=2(1-x)-x+1=-3x+3,
当1≤x≤4时, f(x)=2(x-1)-x+1=x-1,故C正确;
对于D,由题意知,f =f(2)=a,因为f =2, f(2)=1,所以f ≠f(2),所以不存在a>0,使得不等式f(x)≤a的解集为,故D错误.
故选BC.
10.B 根据题意,函数f(x)=
当x≤0时, f(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0,
当x>0时, f(x)=-x2<0,
若f(f(a))=1,必有f(a)≤0,
则f(f(a))=[f(a)+1]2=1,解得f(a)=0或f(a)=-2,
若f(a)=0,必有a≤0,
则f(a)=(a+1)2=0,解得a=-1,
若f(a)=-2,必有a>0,
则f(a)=-a2=-2,解得a=(负值舍去),
故a=-1或a=.故选B.
11.D 当f(x)>0时,x2-1>0,解得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),此时g(x)=-1,
所以y=-(x2-1)=1-x2,因为x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),所以y∈(-∞,0);
当f(x)=0时,x2-1=0,解得x=±1,此时g(x)=0,所以y=0;
当f(x)<0时,x2-1<0,解得x∈(-1,1),此时g(x)=1,
所以y=x2-1,因为x∈(-1,1),所以y∈[-1,0).
综上可知,y∈(-∞,0].故选D.
12.答案 -
解析 若c>0,则当0若c=0,则当x<0时, f(x)=-∈(0,+∞),不满足题意;
若c<0,则当x≤c时,0<-≤-,即f(x)∈,
当c当x=2时, f(2)=2-4=-2,
令f(c)=-2,则c-c2=-2,解得c=-1或c=2(舍去),
令f(c)=0,则c-c2=0,解得c=0或c=1,
作出y=f(x)的大致图象,如图,
因为f(x)的值域为[-2,2],所以-=2,解得c=-,经检验,满足题意.
13.答案 (1,4);(1,3]∪(4,+∞)
解析 当λ=2时,不等式f(x)<0等价于或解得2≤x<4或1故不等式f(x)<0的解集为(1,4).
易知函数y=x-4(x∈R)的图象与x轴交点的横坐标为4,函数y=x2-4x+3(x∈R)的图象与x轴交点的横坐标分别为1,3.
在同一平面直角坐标系中作出函数y=x-4和y=x2-4x+3的图象(图略),要使函数f(x)的图象与x轴恰有2个交点,则只能有以下两种情形:①两个交点的横坐标分别为1,3,此时λ>4;②两个交点的横坐标分别为1,4,此时1<λ≤3.
综上,λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).
14.解析 (1)当9≤t≤15时,p(t)=1 800>1 500,不满足题意,舍去.
当4≤t<9时,令1 800-15(9-t)2≤1 500,即t2-18t+61≥0,解得t≥9+2(舍去)或t≤9-2.
因为4≤t<9且t∈N,所以t=4.
所以发车时间间隔为4分钟.
(2)由题意得q(t)=
当4≤t<9时,q(t)≤-2+1 540=280,当且仅当90t=,即t=7时,等号成立.
当9≤t≤15时,q(t)≤-80=240.
因为280>240,所以当发车时间间隔为7分钟时,平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大,最大净收益为280元.
26(共28张PPT)
1.函数的概念
一般地,给定两个非空实数集合A和B,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的每一个实
数x,在集合B中都有唯一的实数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记
作y=f(x),x∈A.其中,x叫作自变量,集合A叫作函数的定义域,集合{y|y=f(x),x∈A}称为函数的值域.
2.函数的三要素
一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域.
如果两个函数的对应关系相同,定义域相同,那么这两个函数就是同一个函数.
5.1 函数的概念和图象 5.2 函数的表示方法
知识点 1 函数的概念
必备知识 清单破
1.列表法:用列表来表示两个变量之间函数关系的方法.
2.解析法:用等式来表示两个变量之间函数关系的方法.
3.图象法:用图象表示两个变量之间函数关系的方法.
知识点 2 函数的表示方法
在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式的函数叫作分段函数.
知识点 3 分段函数
1.函数的定义域和值域是否一定是无限集
2.根据函数的概念,任何一个自变量x是否都有唯一的函数值y与之对应 任何一个函数值y是
否都有唯一的自变量x与之对应
3.在函数的概念中,集合B与函数的值域是否相等 它和值域有什么关系
4.函数f(x)=|x2-1|与函数g(t)= 是同一个函数吗
5.任何函数都可以用解析法、列表法、图象法这三种方法表示吗
6.如何确定分段函数的定义域和值域
知识辨析
1.不一定.函数的定义域和值域也可能是有限集,如f(x)=1,x∈{1,2,3}.
2.任何一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应,但是函数值y不一定有唯一的自变量x与之
对应.如f(x)=x2中,函数值4有2、-2与之对应.函数中x,y的对应关系是“一对一”或“多对
一”,不能“一对多”.
3.不一定相等.在函数的概念中,函数的值域是集合{y|y=f(x),x∈A},即函数的值域是集合B的
子集.
4.是.函数f(x)与g(t)的定义域均为R,且g(t)= =|t2-1|,所以函数f(x)与g(t)的定义域和对应
关系均相同,是同一个函数.两个函数是不是同一个函数与自变量用什么字母表示无关.
5.不是.如函数f(x)= 无法用列表法表示,也无法用图象法表示.
6.分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集,值域也是每一段函数值取值范围的并集.
一语破的
1.已知函数解析式求定义域
(1)如果函数解析式是整式,那么在没有指明它的定义域的情况下,函数的定义域是实数集R.
(2)如果函数解析式含分式或0次幂,那么函数的定义域是使分母或指数幂的底数不为零的实
数的集合.
(3)如果函数解析式仅含偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实
数的集合.
(4)如果函数解析式是由几部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意
义的实数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集).
(5)由实际背景确定的函数,其定义域不仅要考虑解析式有意义,还要考虑自变量的实际意义.
关键能力 定点破
定点 1 求函数的定义域
2.求抽象函数的定义域
(1)求抽象函数的定义域,要明确以下几点
①无论什么样的函数,定义域指的永远是自变量的取值范围.
②相同的对应关系所作用对象的范围是一致的,即函数f(t), f(φ(x)), f(h(x))中的t,φ(x),h(x)在对
应关系f下的取值集合相同.
(2)抽象函数定义域的求解类型及方法
①已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,实质是已知φ(x)的取值集合为A,求x的取值集合.
②已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,实质是已知φ(x)中的x的取值集合为B,求出φ(x)的
取值集合,此集合就是f(x)的定义域.
③已知f(φ(x))的定义域为C,求f(g(x))的定义域,实质是已知φ(x)中的x的取值集合为C,求出φ(x)
的取值集合D,再令g(x)的取值集合为D,求出x的取值集合,此集合就是f(g(x))的定义域.
(1)已知f(x)的定义域为[0,2],求y=f(x+1)的定义域;
(2)已知y=f(x+1)的定义域为[0,2],求f(x)的定义域;
(3)已知y=f(x+1)的定义域为[0,2],求f(x-1)的定义域.
典例
(1)因为f(x)的定义域为[0,2],所以y=f(x+1)中的x+1满足0≤x+1≤2,解得-1≤x≤1,故y=f(x+1)的定义域为[-1,1].
(2)因为y=f(x+1)的定义域为[0,2],
所以x满足0≤x≤2,所以1≤x+1≤3,
故f(x)的定义域为[1,3].
(3)设t=x+1,结合(2)可得函数y=f(t)的定义域为[1,3],
所以1≤x-1≤3,解得2≤x≤4,所以函数y=f(x-1)的定义域为[2,4].
解析：
1.求函数值的方法
(1)已知函数f(x)的解析式时,只需用常数a替换解析式中的x进行计算即可.
(2)已知函数f(x)与g(x),求f(g(a))的值,应遵循由内到外的原则.
注意:用来替换解析式中x的常数a必须是函数定义域内的值,否则求值无意义.
2.求函数值域的常用方法
(1)观察法:对于一些比较简单的函数,可根据其解析式的结构特征通过直接观察得到值域.
(2)图象法:画出函数的图象,利用函数图象的“最高点”和“最低点”直观得到函数的值域.
(3)配方法:此方法是求二次函数值域的基本方法,通常把函数式通过配方转化为完全平方式
与常量和差的形式.
(4)分离常数法:主要针对形如y= (ac≠0,ad≠bc)的函数,常把分子分离成不含自变量的
定点 2 求函数的值或值域
形式,即y= = + ,其值域是 y y≠ .
(5)换元法:对于一些无理函数(如y=ax±b± ),通过换元把它们转化为熟悉的函数,间接求
出原函数的值域,注意换元后新元的取值范围.
(6)判别式法:将函数转化为关于自变量的二次方程,利用判别式求因变量的范围,常用于“分
式函数”等,注意自变量的取值范围.
(7)反表示法:将函数中的自变量用因变量表示,结合原函数的定义域解不等式,从而求出函数
的值域.
已知函数f(x)=11+x(x∈R,且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R).
(1)求f(2),g(2)的值;
(2)求f(g(3))的值;
(3)若f(g(x))=14,求x的值.
典例1
(1)f(2)=11+2=13,g(2)=22+2=6.
(2)g(3)=32+2=11,
∴f(g(3))=f(11)=11+11=22.
(3)解法一:∵f(g(x))=14,
∴11+g(x)=14,解得g(x)=3,
∴x2+2=3,解得x=±1.
解法二:f(g(x))=f(x2+2)=11+x2+2=13+x2,因为f(g(x))=14,所以13+x2=14,则x2=1,解得x=±1.
解析：
求下列函数的值域.
(1)y=x2-4x+6(1≤x≤5);
(2)y= ;
(3)y=2x+1-4 ;
(4)y= .
典例2
(1)y=x2-4x+6=(x-2)2+2,x∈[1,5],画出函数图象如图所示:
由图知,2≤y≤11,即函数的值域为[2,11].
(2)易得函数的定义域为R,y= =2+ .
∵x2+x+1= + ≥ ,
∴0< ≤ ,∴2<2+ ≤ ,
∴函数y= 的值域为 .
解析：
(3)设t= ,则t≥0,x=t2+1,
∴y=2(t2+1)+1-4t=2t2-4t+3=2(t-1)2+1,
∴当t=1时,函数取得最小值1,∴函数的值域是[1,+∞).
(4)∵x2+2x+3>0恒成立,
∴y= 可变形为yx2+2yx+3y=2x2+4x-7,即(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0,
当y=2时,等式不成立;
当y≠2时,上式为关于x的一元二次方程,
∵x∈R,∴Δ≥0,即4(y-2)2-4(y-2)(3y+7)≥0,∴2y2+5y-18≤0,解得- ≤y≤2,∵y≠2,
∴- ≤y<2.
∴函数y= 的值域为 .
易错警示 利用换元法求函数的值域时,要注意新元的取值范围;利用图象法求函数的值域
时,注意根据自变量的范围截取函数的图象,防止默认其范围是R导致解题错误.
1.当函数类型已知时,可采用“先设后求,待定系数”法来求其解析式.解题步骤如下:
(1)设出含有待定系数的解析式.
(2)把已知条件代入解析式,列出含待定系数的方程(组).
(3)解方程(组),得到待定系数的值.
(4)将所求待定系数的值代回原式并化简整理.
2.当函数类型未知时,可根据条件选择以下方法求其解析式.
(1)代入法:已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,通常把g(x)作为一个整体替换f(x)中的x.
(2)换元法:已知f(g(x))是关于x的函数,求f(x)的解析式,通常令g(x)=t,由此能解出x=e(t),将x=e(t)
代入f(g(x))中,求得f(t)的解析式,再用x替换t,便可得到f(x)的解析式.
定点 3 求函数的解析式
(3)配凑法:将所给函数的解析式f(g(x))通过配方、凑项等方法,使之变形为关于g(x)的函数解
析式,然后以x代替g(x),即得所求函数解析式,这里的g(x)可以是多项式、分式、根式等.
(4)消元法(方程组法):已知f(x)与f 或f(-x)的解析式,可根据已知条件用 或-x替换x,再构造
出另外一个等式,组成方程组,通过解方程组求出 f(x).
(5)赋值法:依题目的特征,可对变量赋特殊值,由特殊到一般寻找普遍规律,从而根据找出的一
般规律求出函数解析式,此法一般适用于求抽象函数的解析式.
(1)已知f(x)是一次函数,且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1, f(x+1)=f(x)+2x,求函数f(x)的解析式;
(3)已知f( +2)=x+4 (x≥0),求函数f(x)的解析式;
(4)已知函数y=f(x)满足f(x)+2f =2 + (x>0),求函数f(x)的解析式;
(5)设f(x)是定义在N*上的函数,满足f(1)=1,对于任意正整数x,y,均有f(x)+f(y)=f(x+y)-xy,求f(x)的
解析式.
典例
(1)设f(x)=kx+b(k≠0),则3f(x+1)-2f(x-1)=3[k(x+1)+b]-2[k(x-1)+b]=kx+b+5k=2x+17,
所以 所以
所以f(x)=2x+7.
(2)因为f(x)是二次函数,所以设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由f(0)=1,得c=1.
由f(x+1)=f(x)+2x,得a(x+1)2+b(x+1)+1=ax2+bx+1+2x,
整理,得(2a-2)x+(a+b)=0,
所以 解得
所以f(x)=x2-x+1.
(3)解法一(换元法):令t= +2(x≥0),则t≥2, =t-2,即x=(t-2)2,
解析：
所以f(t)=(t-2)2+4(t-2)=t2-4,
所以f(x)=x2-4(x≥2).
解法二(配凑法):f( +2)=x+4 =( +2)2-4,
因为x≥0,
所以2+ ≥2,
所以f(x)=x2-4(x≥2).
(4)因为x>0,所以 >0,
f(x)+2f =2 + ,①
把①中的x换成 ,得f +2f(x)= + ,②
②×2-①得,3f(x)= ,
所以f(x)= ,x>0.
(5)设y=1,由f(1)=1, f(x)+f(y)=f(x+y)-xy,得f(x)+1=f(x+1)-x,即f(x+1)-f(x)=x+1.
令x分别为1,2,3,…,t-1,得
f(2)-f(1)=2,
f(3)-f(2)=3,
f(4)-f(3)=4,
……
f(t)-f(t-1)=t,
左右分别相加得f(t)-f(1)=2+3+4+…+t,
所以f(t)=1+2+3+…+t= = t2+ t,
所以f(x)= x2+ x(x∈N*).
1.对分段函数的理解
(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数,只是根据自变量的不同范围分成了几段而已.
(2)画分段函数图象时,应分别画出每一段函数的图象.
(3)研究分段函数时,先分段考虑,再整体把握,注意各段的自变量在区间端点处的取值情况.
2.分段函数的求值策略
(1)已知自变量的值求函数值的步骤
①确定自变量属于哪一个区间;
②代入该区间所对应的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依
次求值.
定点 4 分段函数
(2)已知函数值求对应的自变量的值:可分段利用函数解析式求得自变量的值,但应注意检验
函数解析式的适用范围,也可先判断每一段上的函数值的范围,确定解析式再求解.
已知函数f(x)=
(1)求f(-5), f(- ), f 的值;
(2)若f(a)=3,求a的值;
(3)若f(m)>m,求实数m的取值范围.
典例
(1)由题意可得f(-5)=-5+1=-4,
f(- )= +2×(- )=3-2 ,
因为f =- +1=- ,
所以f =f = +2× = -3=- .
(2)①当a≤-2时, f(a)=a+1=3,
解得a=2,不符合题意,舍去;
②当-2解得a=1或a=-3,
因为1∈(-2,2),-3 (-2,2),
所以a=1;
解析：
③当a≥2时, f(a)=2a-2=3,
解得a= ,符合题意.
综上可知,当f(a)=3时,a=1或a= .
(3)由f(m)>m,得 或 或
解得m<-1或02,
故实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(0,2)∪(2,+∞).第5章 函数概念与性质
5.1 函数的概念和图象
基础过关练
题组一 函数的概念
1.(教材习题改编)图中给出的四个对应关系,其中能构成函数的是( )
A.①② B.①④ C.①②④ D.③④
2.已知集合A={0,1,2},B={0,1,,2,4},下列对应关系不能作为从A到B的函数的是( )
A.f:x→y= B.f:x→y=x2
C.f:x→y= D.f:x→y=|x|
3.(多选题)下列各组函数中,表示同一个函数的是( )
A.y=与y=x+3
B.y=-1与y=x-1
C.y=x0与y=1(x≠0)
D.y=x2-3x与y=t2-3t
4.设集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤4},则下列图形能表示以集合P为定义域,集合Q为值域的函数关系的有( )
A B
C D
题组二 函数的定义域
5.函数f(x)=+的定义域为( )
A.[1,+∞) B.(3,+∞)
C.[1,3)∪(3,+∞) D.(1,3)∪(3,+∞)
6.函数f(x)=+(2-x)0的定义域为( )
A.[-2,2) B.[-2,+∞)
C.(-2,2)∪(2,+∞) D.[-2,2)∪(2,+∞)
7.一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标,炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关系式为h=130t-5t2,则该函数的定义域为( )
A.(0,+∞) B.(0,845]
C.[0,26] D.[0,845]
8.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=的定义域为 .
题组三 函数的值及值域
9.函数f(x)=x+1,x∈{-1,1,2}的值域是( )
A.0,2,3 B.(0,3)
C.{0,2,3} D.[0,3]
10.已知集合M=,N={y|y=x2-2x},则M∩N=( )
A.(-,) B.[-1,+∞)
C.[-1,) D.(0,)
11.下列函数中,值域为(0,+∞)的是( )
A.y=
B.y=,x∈(0,+∞)
C.y=,x∈N
D.y=
12.(教材习题改编)已知函数f(x)=x2-3x+1,g(x)=,则f(g(3))= .
13.已知函数f(x)=ax7+bx-2,若f(2 023)=10,则f(-2 023)= .
14.已知函数f(x)=.
(1)若f(a)=,求a的值;
(2)求函数f(x)的值域.
题组四 函数的图象及其应用
15.函数y=f(x)的图象与直线x=2 023的交点( )
A.至少有1个 B.至多有1个
C.仅有1个 D.可能有无数多个
16.函数y=f(x)的图象如图所示,则
(1)f(0)= ;
(2)f(f(2))= ;
(3)若-117.作出下列函数的图象并求出其值域.
(1)y=2x+1,x∈[0,2];
(2)y=,x∈[2,+∞);
(3)y=x2-2x,x∈[-1,2].
能力提升练
题组一 函数的定义域
1.函数f(x)=+,则f(x-1)的定义域是( )
A.[0,2] B.(1,3)
C.[2,4] D.[1,3]
2.已知函数f(x+2)的定义域为(-3,4),则函数g(x)=的定义域为( )
A.(1,6) B.(1,2) C.(-1,6) D.(1,4)
3.若函数f(2x-1)的定义域为[-3,1],则y=的定义域为( )
A.{1} B. C. D.
4.若函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围是( )
A.[0,1] B.[0,1) C.[0,2] D.[0,2)
5.函数f(x)=的定义域为R的一个充分不必要条件是( )
A.m≥ B.m≥
C.m≥ D.m≥
题组二 函数的值或值域
6.函数y=1-x+的值域为( )
A. B.[0,+∞)
C. D.
7.对于集合A,称定义域与值域均为A的函数y=f(x)为集合A上的等域函数.若 A=[m,n],使得f(x)=a(x-1)2-2为A上的等域函数,则负数a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),且f(1)=2,则f(-3)=( )
A.2 B.3 C.6 D.9
9.求下列函数的值域.
(1)f(x)=x++1;
(2)f(x)=;
(3)y=.
答案与分层梯度式解析
5.1 函数的概念和图象
基础过关练
1.B 对于①和④,集合M中的每一个数,在集合N中都有唯一确定的数和它对应,符合函数的概念,故①和④满足题意.对于②,集合M中的1,4在集合N中无元素对应,不满足题意.对于③,集合M中的1,2在集合N中都有两个数对应,出现一对多的情况,不满足题意.故选B.
2.C 对于A,集合A中的元素0,1,2分别对应集合B中的唯一元素0,1,,故A能;
对于B,集合A中的元素0,1,2分别对应集合B中的唯一元素0,1,4,故B能;
对于C,集合A中的元素0,在集合B中没有元素与之对应,故C不能;
对于D,集合A中的元素0,1,2分别对应集合B中的唯一元素0,1,2,故D能.故选C.
解题模板 判断一个对应关系是不是函数,需满足下列3个条件:①两个非空实数集A,B;②A中的每一个实数x,在B中都有唯一的实数y和它对应,即一对一或多对一;③A中不能有剩余元素.
3.CD 对于A,函数y=的定义域为{x|x≠3},函数y=x+3的定义域为R,两函数的定义域不相同,所以不是同一个函数;对于B,两函数的定义域均为R,而y=-1=|x|-1,则两函数的对应关系不相同,所以不是同一个函数;对于C,两函数的定义域均为{x|x≠0},而y=x0=1,所以两函数是同一个函数;对于D,两函数的定义域均是R,对应关系相同,所以是同一个函数.故选CD.
解题模板 判断两个函数是不是同一个函数,要从两方面进行判断,一是两个函数的定义域是否相同,二是两个函数的对应关系是否相同,与自变量用什么字母表示无关.
4.B 对于A,当25.C 由题意得解得x≥1且x≠3,
所以函数f(x)=+的定义域为[1,3)∪(3,+∞).故选C.
6.C 要使函数有意义,则解得x>-2且x≠2,
所以函数的定义域为(-2,2)∪(2,+∞).故选C.
7.C 由题意可知,炮弹发射后共飞行了26 s,
所以0≤t≤26,即函数h=130t-5t2的定义域为[0,26].故选C.
8.答案 ∪(-1,1]
解析 由题意得解得-≤x≤1且x≠-1.故所求定义域为∪(-1,1].
9.C 易得f(-1)=0, f(1)=2, f(2)=3,所以函数f(x)的值域为{0,2,3}.故选C.
10.C 在集合M中,由3-x2>0,解得-11.D 对于A,当x=0时,y=0,即值域含0,故A错误;
对于B,=1+≠1,即值域不含1,故B错误;
对于C,函数的定义域为x∈N,所以函数的值域不连续,故C错误;
对于D,因为|x-1|>0,所以y=>0,所以函数的值域为(0,+∞),故D正确.故选D.
12.答案 5
解析 因为g(3)==-1,所以f(g(3))=f(-1)=(-1)2-3×(-1)+1=5.
13.答案 -14
解析 因为f(x)+f(-x)=ax7+bx-2-ax7-bx-2=-4,
所以f(2 023)+f(-2 023)=10+f(-2 023)=-4,
所以f(-2 023)=-14.
14.解析 (1)函数f(x)=,由f(a)=,得=,即a2-2a+1=0,所以a=1.
(2)易得函数f(x)=的定义域为R,
因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,当且仅当x=1时取等号,所以0<≤,
所以f(x)的值域为.
15.B 若2 023在定义域内,则函数y=f(x)的图象与直线x=2 023有唯一交点;
若2 023不在定义域内,则函数y=f(x)的图象与直线x=2 023没有交点.
故函数y=f(x)的图象与直线x=2 023的交点至多有一个.故选B.
16.答案 (1)4 (2)2 (3)f(x1)≥f(x2)
解析 (1)由题图得f(0)=4.
(2)由题图得f(2)=2,所以f(f(2))=f(2)=2.
(3)由题图知,当-117.解析 (1)列表:
x 0 1 2
y 1 2 3 4 5
当x∈[0,2]时,图象是一次函数y=2x+1的图象的一部分,如图所示:
由图可知,函数y=2x+1,x∈[0,2]的值域为[1,5].
(2)列表:
x 2 3 4 5 …
y 1 …
当x∈[2,+∞)时,图象是函数y=的图象的一部分,如图所示:
由图可知,函数y=,x∈[2,+∞)的值域为(0,1].
(3)易知函数y=x2-2x的图象的对称轴为直线x=1,因为y=x2-2x,所以当x=-1时,y=3;当x=1时,y=-1;当x=2时,y=0,所以函数y=x2-2x,x∈[-1,2]的图象如图所示:
由图可知,函数y=x2-2x,x∈[-1,2]的值域为[-1,3].
能力提升练
1.C 由f(x)=+,可得解得1≤x≤3,即f(x)的定义域为{x|1≤x≤3},
则1≤x-1≤3,所以2≤x≤4,即f(x-1)的定义域为[2,4].故选C.
2.A 因为函数f(x+2)的定义域为(-3,4),所以-3又x-1>0,所以x>1,故函数g(x)=的定义域为(1,6),故选A.
3.D 由题意可知-3≤x≤1,所以-7≤2x-1≤1,
要使y=有意义,则需解得14.B 若函数f(x)=的定义域为R,
则ax2-2ax+1>0对任意x∈R恒成立,
当a=0时,不等式ax2-2ax+1>0可化为1>0,恒成立;
当a≠0时,只需解得0综上,实数a的取值范围是[0,1).故选B.
5.C 若f(x)的定义域是R,则mx2+2x+2≥0在R上恒成立,
当m=0时,显然不成立;
当m≠0时,只需解得m≥.
故函数f(x)=的定义域为R的充分不必要条件构成的集合是的真子集,结合选项知选C.
6.C 令=t,则t≥0,x=,将函数y=1-x+转化为函数y=1++t=+t+=,且函数y=在[0,+∞)上单调递增,当t=0时,y有最小值,所以函数y=1-x+的值域为.故选C.
易错警示 求函数的值域时,要考虑函数的定义域,换元后要考虑新元的取值范围.
7.A 当a<0时, f(x)=a(x-1)2-2≤-2<0,依题意有n<0,从而f(x)在[m,n]上的函数值随着自变量x的增大而增大,
于是则方程f(x)=x,即a(x-1)2-2=x,即ax2-(2a+1)x+a-2=0有两个不相等的负实根,
因此
又a<0,所以-所以负数a的取值范围是.故选A.
8.C 解法一:对于f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),
令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+0,解得f(0)=0;
令x=1,y=-1,得f(0)=f(1)+f(-1)-2,又f(1)=2,所以f(-1)=0;
令x=y=-1,得f(-2)=f(-1)+f(-1)+2=2;
令x=-2,y=-1,得f(-3)=f(-2)+f(-1)+4=6.
解法二:因为f(1)=2,
所以f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=6,
所以f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+2×1×2=12.
令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+0,即f(0)=0,
所以f(0)=f [3+(-3)]=f(3)+f(-3)+2×3×(-3)=0,所以f(-3)=6.
解题模板 解决与抽象函数有关的问题时常用赋值法,赋值的关键是找到条件与结论的关系.如本题已知f(1),在f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R)中,可赋值求f(0), f(-1), f(-2),进而求出f(-3),也可赋值求f(2), f(3), f(0),进而求出f(-3).
9.解析 (1)设t=(t≥0),则x=-,
则g(t)=-+t+1=-+t+,t≥0,其图象的对称轴为直线t=1,由二次函数的性质可知g(t)≤g(1)=3,故f(x)的值域为(-∞,3].
(2)f(x)=====-,其中x≠1,且x≠-,
又因为≠0,所以f(x)=≠.
当x=1时,==-.
故函数f(x)的值域为∪∪.
(3)解法一:y==2+,
令t=x2-x+1,则t=+≥,
所以0<≤4,所以2<2+≤6,即2故函数y=的值域为(2,6].
解法二:易知函数的定义域为R.
由y=得(y-2)x2-(y-2)x+y-5=0,此方程必有实数解,
则Δ=[-(y-2)]2-4(y-2)(y-5)≥0,
整理,得(y-2)(y-6)≤0,
所以2≤y≤6,
当y=2时,方程为-3=0,不成立,故y≠2,
故函数y=的值域为(2,6].
21