5.4 函数的奇偶性
基础过关练
题组一 函数奇偶性的概念及判断
1.若函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列结论错误的是( )
A.f(x)+f(-x)=0 B.f(0)=0
C.f(x)·f(-x)≤0 D.=1
2.函数f(x)=的图象大致是( )
3.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=;(2)f(x)=+;
(3)f(x)=;(4)f(x)=
题组二 函数奇偶性的应用
4.已知函数f(x)=(x+1)·(ax+b)是偶函数,其定义域为[2a-3,a],则a-b=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
5.定义在R上的函数y=f(x)满足以下条件:①f(-x)=f(x);②对任意x1,x2∈(-∞,0],当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2).则f(2), f(π), f(-3)的大小关系是( )
A.f(π)>f(2)>f(-3) B.f(π)>f(-3)>f(2)
C.f(π)
6.(多选题)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(0,+∞)时, f(x)=x2+x,则下列说法正确的是( )
A.f(-2)=-6
B.当x∈(-∞,0)时, f(x)=-x2+x
C.f(x)在定义域R上为减函数
D.不等式f(x-1)<6的解集为(-∞,3)
7.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递增,若实数a满足f(a)>f(-),则a的取值范围是 .
8.已知函数f(x)是定义在R上的 ,且当x≤0时, f(x)=x2+4x.
在下列两个条件中任选一个,补充在上面的横线处,并解答问题.
条件①:奇函数;条件②:偶函数.
(1)求f(f(5))的值;
(2)求函数f(x)的解析式.
能力提升练
题组一 函数奇偶性的图象与判断
1.已知f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数x,y都成立,且f(x)不恒等于0,则函数f(x)( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数,也是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
2.函数f(x)=的图象大致是( )
题组二 函数奇偶性的综合应用
3.已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=( )
A.0 B.-16 C.-10 D.-26
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(3)=0,则不等式(2x-5)·f(x-1)<0的解集为( )
A.∪(4,+∞) B.(4,+∞)
C.(-∞,-2)∪ D.∪(3,+∞)
5.已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2], f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围为( )
A.(-1,3) B.(-2,1)
C. D.
6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时, f(x)=2-|x+2|.若对任意的x∈[-1,2], f(x+a)≥f(x)恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.[0,2] B.[0,2]∪[8,+∞)
C.[-2,0] D.[-2,0]∪[6,+∞)
7.已知函数f(x),g(x)分别为R上的奇函数和偶函数,且f(x)=g(x-1),若g(-2)=3,则f(2 023)=( )
A.-3 B.0
C.2 D.3
8.(多选题)定义域为R的函数f(x)满足以下条件:① x,y∈R, f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y);②f(0)≠0;③ k>0,使得f(k)=0.则( )
A.f(0)=1
B.f(x)为奇函数
C.函数f(x)图象的对称中心为(3k,0)
D.f(x+4k)=f(x)
9.已知函数f(x)是定义在R上不恒为0的偶函数,且对任意实数x都有(x-1)·f(x)=xf(x-1)成立,则f = .
10.已知f(x),g(x)是定义在R上的函数,其中f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+ax+2,若 x1,x2∈(-1,2),都有<1(x1≠x2),则实数a的取值范围是 .
11.已知函数f(x)=x2-(a-1)x+1为偶函数,函数g(x)=的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
(1)判断并用定义证明g(x)在区间(1,+∞)上的单调性;
(2)解不等式g(x-1)+g(3x)<0;
(3)若存在实数a,b(112.已知定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f ,且当x∈(-1,0)时, f(x)>0.
(1)求证:函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数;
(2)求证:f(x)在(-1,1)上是减函数;
(3)在(2)的条件下,解不等式:f(x+1)+f >0.
答案与分层梯度式解析
5.4 函数的奇偶性
基础过关练
1.D 对于A,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,且f(0)=0,故A,B正确;
对于C,因为f(-x)=-f(x),所以f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0,当x=0时,等号成立,故C正确;
对于D,当x=0时, f(-x)=0,此时无意义,故D错误.
故选D.
2.D 由题可得,-x2+1≠0,解得x≠±1,
所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),关于原点对称,
又因为f(-x)==-=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数,故排除A;
当x∈(0,1)时,-x2+1>0,所以f(x)>0,故排除B;
当x∈(1,+∞)时,-x2+1<0,所以f(x)<0,故排除C.
故选D.
3.解析 (1)f(x)=的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,
∴f(x)=既不是奇函数又不是偶函数.
(2)依题意得x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±1,∴函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0,∴f(-x)=-f(x), f(-x)=f(x),
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,∴f(x)既不是奇函数又不是偶函数.
(4)易知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,
当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x).
∴函数f(x)为奇函数.
4.D 因为f(x)的定义域为[2a-3,a],所以2a-3+a=0,即a=1,
所以f(x)=(x+1)(ax+b)=(x+1)(x+b),又f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即(1-x)(b-x)=(x+1)·(x+b),解得b=-1,所以a-b=2.故选D.
5.D ∵y=f(x)是R上的偶函数,且对任意的x1,x2∈(-∞,0],当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2),∴对任意的x1,x2∈(0,+∞),当x1>x2时,都有f(x1)∵2<3<π,∴f(π)∴f(π)6.ABD 由题意可知f(-2)=-f(2)=-(22+2)=-6,故A正确;
令-x>0,则x<0,f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=-f(x),
∴f(x)=-x2+x,故B正确;
易知f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,
由函数的性质可知f(x)在定义域R上为增函数,故C错误;
由A,C的结论可知, f(x-1)<6=f(2),∴x-1<2,∴x<3,故D正确.
故选ABD.
7.答案 (-,)
解析 因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,且f(-)=f(),
由f(a)>f(-), f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,得-由f(a)>f(-)=f(), f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,得0≤a<.
综上,-8.解析 若选条件①:
(1)易得f(5)=-f(-5)=-[(-5)2+4×(-5)]=-5,
所以f(f(5))=f(-5)=-f(5)=5.
(2)当x>0时,-x<0,则f(x)=-f(-x)=-(x2-4x)=-x2+4x,所以f(x)=
若选条件②:
(1)易得f(5)=f(-5)=(-5)2+4×(-5)=5,所以f(f(5))=f(5)=5.
(2)当x>0时,-x<0,则f(x)=f(-x)=x2-4x,
所以f(x)=
能力提升练
1.A 易知f(x)的定义域为R,关于原点对称.
令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),
所以f(0)=0.
令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,
又f(x)不恒等于0,所以f(x)不可能既是奇函数,也是偶函数.故选A.
2.D 因为函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
所以f(-x)==-=-f(x),
所以f(x)为奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称,故排除A;
当x>0时, f(x)=≥0,故排除C;
当x>1时, f(x)==x-,因为y=x和y=-在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,故排除B.故选D.
3.D 令g(x)=x5+ax3+bx,x∈R,其定义域关于原点对称,
所以g(-x)=(-x)5+a(-x)3-bx=-(x5+ax3+bx)=-g(x),
所以g(x)=x5+ax3+bx为奇函数,
则f(x)=g(x)-8,又f(-2)=10,所以f(-2)=g(-2)-8=10,即g(-2)=18,
所以g(2)=-g(-2)=-18,所以f(2)=g(2)-8=-26.
故选D.
4.A 由题设,得f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(-3)=f(3)=0,所以当x∈(-∞,-3)∪(3,+∞)时, f(x)<0;当x∈(-3,3)时, f(x)>0.
因为(2x-5)f(x-1)<0,
所以或即或
或所以x>4,或-2所以不等式的解集为∪(4,+∞).故选A.
5.D 易知函数f(x)的定义域是R,关于原点对称,因为f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.
因为函数y=x3与函数y=x都是R上的增函数,所以f(x)在R上单调递增,由f(mx-2)+f(x)<0,即f(mx-2)<-f(x)=f(-x),得mx-2<-x,即mx+x-2<0.
因为对任意的m∈[-2,2], f(mx-2)+f(x)<0恒成立,所以对任意的m∈[-2,2],mx+x-2<0恒成立,
所以解得-26.D 由题设知, f(x)=因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,
当0当x>2时,-x<-2,即f(-x)=(-x)+4=4-x, f(x)=-f(-x)=x-4.
综上, f(x)=
作出函数y=f(x)的图象,如图所示:
f(x+a)的图象可以看成是将f(x)的图象向左或向右平移|a|个单位长度而得到的,
若对任意的x∈[-1,2], f(x+a)≥f(x)恒成立,
则当a>0时, f(x)的图象至少向左平移6个单位长度;
当a<0时, f(x)的图象至多向右平移2个单位长度.
所以-2≤a≤0或a≥6.故选D.
7.D 因为f(x)=g(x-1),
所以f(x+1)=g(x),
又因为g(x)为偶函数,
所以g(-x)=g(x),即f(-x+1)=f(x+1),
又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
故f(-x+1)=-f(x-1),
所以f(x+1)=-f(x-1),
所以f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
所以f(2 023)=f(3)=g(2),
因为g(-2)=3,所以g(2)=3,所以f(2 023)=3.
故选D.
8.ACD 对于A,令x=y=0,则f(0)+f(0)=2f(0)·f(0),所以2f(0)=2[f(0)]2,
因为f(0)≠0,所以f(0)=1,故A正确;
对于B,令x=,y=-,则f(t)+f(-t)=2f(0)f(t),即f(t)+f(-t)=2f(t),所以f(t)=f(-t),所以f(x)为偶函数,故B错误;
对于D,令x=+k,y=,则f(t+2k)+f(t)=2f(t+k)f(k),因为 k>0,使得f(k)=0,
所以f(t+2k)+f(t)=0,即f(t+2k)=-f(t),
所以f(t+4k)=f(t+2k+2k)=-f(t+2k)=f(t),故D正确;
对于C,由D可知, f(x+2k)=-f(x), f(x+4k)=f(x),
两式相加得, f(x+2k)+f(x+4k)=0,
因为f(x)为偶函数,所以f(-x+2k)+f(x+4k)=0,所以得到f(x)图象的对称中心为(3k,0),故C正确.
故选ACD.
9.答案 0
解析 已知对任意实数x都有(x-1)f(x)=xf(x-1)成立,令x=0,得f(0)=0,令x=,得-f =f ,
由f(x)是偶函数,得f =f ,则f =0,
当x≠0,1时,若f(x-1)=0,则f(x)=0,
则f =f =f =f =0,
则f =f(0)=0.
10.答案
解析 因为f(x)+g(x)=x2+ax+2①,所以f(-x)+g(-x)=x2-ax+2,又f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(x)-g(x)=x2-ax+2②.
①-②,得g(x)==ax.
x1,x2∈(-1,2),都有<1(x1≠x2),即<0,
令h(x)=xg(x)-x=ax2-x,则h(x)在(-1,2)上单调递减.
当a=0时,h(x)=-x,满足题意;
当a>0时,需满足≥2,所以a∈;
当a<0时,需满足≤-1,所以a∈.
综上,实数a的取值范围为.
11.解析 (1)函数g(x)在区间(1,+∞)上单调递减.
证明如下:因为函数f(x)为偶函数,所以函数f(x)图象的对称轴方程为x==0,解得a=1,所以f(x)=x2+1,即g(x)=,
任取x1,x2∈(1,+∞),不妨设x1则g(x1)-g(x2)=-
==,
因为11,
即1-x1x2<0,+1>0,+1>0,所以g(x1)>g(x2),
所以函数g(x)在(1,+∞)上单调递减.
(2)由(1)知,g(x)=,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称,所以g(-x)==-g(x),
所以函数g(x)为奇函数,故函数g(x)在(-∞,-1)上单调递减.
因为g(x-1)+g(3x)<0,所以g(x-1)<-g(3x),
即g(x-1)因为函数g(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,
所以或或
所以x<-,
故不等式g(x-1)+g(3x)<0的解集为.
(3)由(1)知,函数g(x)在(1,+∞)上单调递减,
所以g(x)在[a,b]上的值域为[g(b),g(a)],
由题意得,又由(1)知g(x)=,
所以化简,得
所以a,b为方程(1-λ)x2+x-λ=0的两个实数根,
因为存在实数a,b(1所以方程(1-λ)x2+x-λ=0有两个大于1的不相等的实数根,
由条件,得>1,所以λ-1>0,
故解得1<λ<,
所以实数λ的取值范围为.
12.解析 (1)证明:令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),解得f(0)=0;令y=-x,则f(x)+f(-x)=f =f(0)=0,即f(x)=-f(-x),
∴f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数.
(2)证明:任取x1,x2∈(-1,1),且x1∵-10,
∴<0.
又-(-1)==>0,
∴-1<<0,又当x∈(-1,0)时, f(x)>0,
∴f >0,
∴f(x1)+f(-x2)>0,即f(x1)-f(x2)>0,
∴f(x)在(-1,1)上是减函数.
(3)由f(x+1)+f>0,得f(x+1)>-f=f .
由题意及(2)知, f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,
∴所以-2∴不等式的解集为(-2,-).
19(共25张PPT)
5.4 函数的奇偶性
知识点 函数的奇偶性
必备知识 清单破
偶函数 奇函数
定义 设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有-x∈A 且 f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数 且f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数
图象 特征 关于y轴对称 关于原点对称
1.奇函数f(x)的图象一定过原点吗
2.对于定义在R上的函数f(x),若f(-3)=f(3),则函数一定是偶函数吗
3.若f(x)为偶函数且在区间[a,b](04.如果函数的定义域关于原点对称,那么函数一定是奇函数和偶函数中的一种吗
5.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数
知识辨析
1.不一定.若函数f(x)在x=0时有意义,则f(-0)=-f(0),即2f(0)=0,所以f(0)=0, f(x)的图象过原点;若
函数f(x)在x=0时没有意义,则f(x)的图象不过原点.
2.不一定.当所给函数的定义域不关于原点对称时,函数一定不具有奇偶性,所以仅有f(-3)=f(3)不足以确定函数的奇偶性.
3.f(x)在[-b,-a]上单调递减.偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
4.不一定.如f(x)=0,x∈D,D是关于原点对称的实数集,函数f(x)既是奇函数又是偶函数;如f(x)=x2-2x,x∈R,函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
5.存在.当f(x)=0,x∈D,D是关于原点对称的实数集时,满足f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x), f(x)既是奇函
数又是偶函数.既是奇函数又是偶函数的函数有且只有这一类.
一语破的
1.判断函数奇偶性的常见方法
(1)定义法
关键能力 定点破
定点 1 判断函数的奇偶性
(2)图象法
f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)g(x) f(g(x))
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
(3)函数奇偶性的运算性质
设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,在它们的公共定义域上具有的结论如表所示:
注意:在f(g(x))中,g(x)的值域是f(x)的定义域的子集.
2.分段函数奇偶性的判断
判断分段函数f(x)奇偶性的一般方法是在一个区间上任取自变量,再向对称区间转化,并进行
双向验证.若函数在x=0处有定义,则还要验证f(0),即判断分段函数的奇偶性时必须判断每一
段上函数是否都具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征,也可以作出函数图象,结合对称性判断.
判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)= ;
(2)f(x)=(x-1) ;
(3)f(x)=
典例
(1)(2)先求函数的定义域,然后化简函数解析式,再判断f(-x)与f(x)的关系,即可得到
结论.
(3)判断分段函数的奇偶性,需分x>0,x<0两种情况判断f(-x)与f(x)的关系.
思路点拨：
(1)由 得-2≤x≤2,且x≠0,∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称.
易得x+3>0,∴f(x)= = ,
又f(-x)= =- =-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)由1-x2>0,得-1∴f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.
易得x+1>0,x-1<0,
∴f(x)=(x-1) =(x-1) =- .
∵f(-x)=- =- =f(x),
解析：
∴f(x)是偶函数.
(3)易知函数的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,
当x>0时,-x<0,则f(-x)=- = =f(x);
当x<0时,-x>0,则f(-x)= =- =f(x).
综上,函数f(x)为偶函数.
1.利用函数的奇偶性求参数的值
若函数解析式中含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),利用待定系数法求参数;若定义域
中含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点值之和为0求参数.
2.利用函数的奇偶性求函数值
由函数的奇偶性求函数值时,若所给的函数具有奇偶性,则直接利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)
求解;若所给的函数不具有奇偶性,一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数,然后
利用其奇偶性求值.
3.利用函数的奇偶性求函数的解析式
(1)求哪个区间上的解析式,x就设在哪个区间上.
(2)把-x对称转化到已知区间上,代入已知区间的解析式得f(-x).
定点 2 函数奇偶性的应用
(3)利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x),从而求出f(x).
(1)已知函数f(x)= 为奇函数,则a+b= ;
(2)函数f(x)和g(x)的定义域均为R,已知y=f(1+x)为偶函数,y=g(x+1)+1为奇函数, x∈R,均有f(x)+
g(x)=x2+3,则f(4)·g(4)= ;
(3)已知函数f(x)在定义域[2-a,3]上是偶函数,在[0,3]上单调递减,并且f -m2- >f(-m2+2m-2),则
m的取值范围是 .
典例
-1
70
1- ≤m<
(1)f(x)= 的定义域为{x|x≠1且x≠a},
因为函数f(x)= 为奇函数,其定义域关于原点对称,
所以f(-x)=-f(x),a=-1,
所以f(x)= = ,
又f(-x)=-f(x),
所以 =- ,
解得b=0,
所以a+b=-1.
(2)由y=f(1+x)为偶函数,得f(1+x)=f(1-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,
解析：
由y=g(x+1)+1为奇函数,得g(x+1)+1=-g(-x+1)-1,所以g(x)的图象关于点(1,-1)对称,
又 x∈R,均有f(x)+g(x)=x2+3,
所以f(-2)+g(-2)=4+3=7,
又f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以f(-2)=f(4),
又g(x)的图象关于点(1,-1)对称,
所以g(-2)=-g(4)-2,
所以f(4)-g(4)=9,
又f(4)+g(4)=42+3=19,
所以f(4)=14,g(4)=5,
所以f(4)g(4)=70.
(3)因为函数f(x)在[2-a,3]上是偶函数,
所以2-a+3=0,解得a=5,
所以f(-m2-1)>f(-m2+2m-2),
又f(x)在[0,3]上单调递减,
所以f(x)在[-3,0]上单调递增,
因为-m2-1<0,-m2+2m-2=-(m-1)2-1<0,
所以由f(-m2-1)>f(-m2+2m-2)可得,
解得1- ≤m< .
故m的取值范围是1- ≤m< .
1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性
相反.
2.利用函数的奇偶性与单调性比较大小
利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小,关键是利用图象的对称性把自变量转化
到同一个单调区间上,再根据函数的单调性比较函数值的大小.
3.利用函数的奇偶性与单调性解不等式
利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)< f(x2)的形式,再
根据函数的单调性列出不等式(组),要注意函数定义域对参数的影响.
定点 3 函数奇偶性与单调性的综合应用
(1)定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)围;
(2)定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)典例
(1)由奇函数f(x)在[0,2]上单调递减,可得f(x)在[-2,2]上单调递减,列满足条件的关
系式求解即可.
(2)1-m,m不一定属于同一单调区间,根据偶函数的性质f(|x|)=f(x),结合单调性列满足条件的关
系式求解即可.
思路点拨：
(1)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减,
所以f(x)在[-2,2]上单调递减,
所以f(1-m)解得-1≤m< .
所以实数m的取值范围为 .
(2)因为f(x)是偶函数,
所以f(x)=f(|x|),
所以f(1-m)=f(|1-m|), f(m)=f(|m|).
因为f(x)在区间[0,2]上单调递减,
解析：
所以原不等式等价于
解得-1≤m< .
所以实数m的取值范围是 .
主编点评 本题用到了转化思想,(1)利用奇函数的性质将f(x)在[0,2]上的单调性转化为f(x)在
[-2,2]上的单调性;(2)利用偶函数的性质将函数值的大小关系转化为自变量的绝对值的大小
关系,这种转化避免了分类讨论,有利于问题的解决.
函数是现代数学最基本的概念,是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语
言和工具.函数的概念与性质是通过数学对象、运算或关系得到抽象的数学结构,是变量间
关系表达的更高层次.
学科素养 情境破
素养 通过指数、对数运算发展数学运算的素养
素养解读
典例呈现
例题 设y=f(x)是定义在[m,n](m增,且在区间[x0,n]上严格递减,则称y=f(x)为“含峰函数”,x0称为峰点,[m,n]称为含峰区间.
(1)试判断y=-x2+6x是不是[0,6]上的“含峰函数”,若是,指出峰点;若不是,请说明理由;
(2)若y=ax2+bx+c(a≠0)是定义在[m,3]上峰点为2的“含峰函数”,且值域为[0,4],求实数a的取
值范围;
(3)若y=-x3+tx(t∈R)是[1,2]上的“含峰函数”,求实数t的取值范围.
解题思路 (1)函数y=-x2+6x的图象开口向下,对称轴为直线x=3,则y=-x2+6x在区间[0,3]上严格
递增,在区间[3,6]上严格递减,故函数y=-x2+6x是[0,6]上的“含峰函数”,峰点为3.
(2)记f(x)=ax2+bx+c(a≠0),x∈[m,3].
由题意得m<2, f(x)在区间[m,2]上严格递增,在区间[2,3]上严格递减,此时a<0,
所以 解得
所以f(x)=ax2-4ax+4+4a(a<0),x∈[m,3],
所以f(3)=9a-12a+4+4a=a+4, f(m)=am2-4am+4+4a.
令a+4=0,得a=-4,所以f(x)=-4x2+16x-12,x∈[m,3],所以f(2)=4, f(3)=0.
由f(x)在[m,3]上的值域为[0,4]可知,m∈[1,2)时符合题意.
令am2-4am+4+4a=0,得m=2- 或m=2+ (舍去),此时f(x)=ax2-4ax+4+4a(a<0),x∈
,
则f(x)在 上严格递增,在[2,3]上严格递减, f(2)=4, f =0.
由f(x)在[m,3]上的值域为[0,4]可知,f(3)=a+4≥0,解得a≥-4,
又a<0,所以-4≤a<0.
综上,当m∈[1,2)时,a=-4;当m=2- 时,实数a的取值范围是-4≤a<0.
(3)记f(x)=-x3+tx(t∈R).
任取x1,x2∈[1,2],且x1当t≤3时,由x1,x2∈[1,2]且x10, +x1x2+ -t>1+1+1-t≥0,
所以(x2-x1)( +x1x2+ -t)>0,
即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在[1,2]上严格递减,不符合题意.
当t≥12时,由x1,x2∈[1,2]且x10, +x1x2+ -t<4+4+4-t≤0,
所以(x2-x1)( +x1x2+ -t)<0,
即f(x1)所以f(x)在[1,2]上严格递增,不符合题意.
当30,
所以(x2-x1)( +x1x2+ -t)<0,
即f(x1)所以f(x)在 上严格递增;
任取x1,x2∈ ,且x1 + + -t=0,x2-x1>0,
所以(x2-x1)( +x1x2+ -t)>0,
即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在 上严格递减.
故f(x)是[1,2]上峰点为 的“含峰函数”.
综上,实数t的取值范围为(3,12).
思维升华
函数中的新定义问题能很好地体现数学抽象的素养水平,虽然概念、运算规则等新颖,
但是考查的知识是基础的,方法是常规的.这就要求我们平时学习中要吃透教材,在面对新情
境材料时,不仅要读懂题目,还要深层次挖掘,剖离出新的概念、运算规则,将学过的知识、方
法迁移到新情境中.