第6章 幂函数、指数函数和对数函数
6.1 幂函数
基础过关练
题组一 幂函数的概念
1.下列函数是幂函数的是( )
A.y=x2-1 B.y=0.3x
C.y= D.y=x0.3
2.已知幂函数y=kxa的图象过点(4,2),则k+a等于( )
A. B.3 C. D.2
3.已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数,则2n+m= .
题组二 幂函数的图象及其应用
4.已知幂函数的图象经过点P,则该幂函数的大致图象是 ( )
5.如图,C1,C2,C3,C4是四个幂函数y=xn在第一象限内的图象,已知n分别取-1,1,,2四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相对应的n依次为( )
A.-1,,1,2 B.2,1,,-1
C.,-1,2,1 D.2,,-1,1
题组三 幂函数的性质及其应用
6.(多选题)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=x2+2x B.y=-
C.y=|x-1| D.y=
7.幂函数f(x)=(m2-m-1)在(0,+∞)上单调递增,则实数m= ( )
A.2 B.-1 C.2 D.2或-1
8.已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3),则不等式f(x2-x+1)<1的解集为 .
9.已知幂函数f(x)=(a2-3a+3)xa为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,g(x)=f(x)+x,求函数g(x)的解析式.
能力提升练
题组一 幂函数的图象及其应用
1.已知函数y=(m,n∈N*,且m,n互质)的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.m,n是奇数,且<1
B.m是偶数,n是奇数,且<1
C.m是偶数,n是奇数,且>1
D.m,n是偶数,且>1
2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)=f(x),f(1-x)=f(1+x),当x∈[0,1]时,f(x)=,则函数f(x)的图象与g(x)=的图象的交点个数为( )
A.5 B.6
C.7 D.8
题组二 幂函数的性质及其应用
3.已知幂函数y=(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在[0,+∞)上单调递增,则满足(2a+1)-m<(1-a)-m的a的取值范围为( )
A.(0,+∞) B.∪(1,+∞)
C.(0,1) D.∪(0,1)
4.已知函数f(x)=-,则f(x)的( )
A.最大值为 B.最大值为1
C.最小值为1 D.最小值为0
5.若点(m,81)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上,则函数g(x)=+的值域是( )
A.[0,] B.[1,]
C.[,2] D.[2,3]
6.求“方程+=1的解”有如下解题思路:构造函数y=f(x),其表达式为f(x)=+,易知函数y=f(x)在R上是减函数,且f(2)=1,故原方程存在唯一实数解x=2.类比上述解题思路,不等式x6-2x-3<(2x+3)3-x2的解集为 .
7.已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k)(k∈Z)在(0,+∞)上单调递增.
(1)求k的值,并写出函数f(x)的解析式;
(2)对于(1)中的函数f(x),是否存在正数m,使函数g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x在区间[0,1]上的最大值为5 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
8.(2023重庆八中期中)已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1,且f(x)=f(-x).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若g(x)=,g(a)+g(b)=1且a,b均为正数,求f(a)+f(b)的最小值.
答案与分层梯度式解析
6.1 幂函数
基础过关练
1.D 由幂函数的定义知,幂函数满足三个条件:①幂的底数为自变量;②自变量的系数为1;③幂的指数为常数.故选D.
2.A 由幂函数的定义得k=1,将(4,2)代入y=xa,得2=4a,解得a=,所以k+a=.故选A.
3.答案 0或4
解析 由题意得解得m=-3或m=1,n=,所以2n+m=0或2n+m=4.
4.D 设幂函数的解析式为f(x)=xα,由幂函数的图象经过点P,可得=2α,解得α=-4,所以f(x)=x-4,其定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
因为f(-x)=(-x)-4=x-4=f(x),所以函数f(x)为偶函数,故A、B错误;又因为f(x)=x-4,-4<0,所以当x>0时, f(x)单调递减,故C错误,D正确.
5.B 根据幂函数的图象与性质可知,>=1>>,所以与曲线C1,C2,C3,C4相对应的n依次为2,1,,-1.故选B.
方法技巧 幂函数y=xα(α为常数)在第一象限内的图象特征:
(1)当α>1时,图象过点(0,0),(1,1),下凸递增,如y=x2;
(2)当0<α<1时,图象过点(0,0),(1,1),上凸递增,如y=;
(3)当α<0时,图象过点(1,1),下凸递减,且向坐标轴无限逼近,如y=x-1.
6.ABD y=x2+2x的图象的对称轴是直线x=-1,则y=x2+2x在(0,+∞)上单调递增,故A正确;
y=-在(0,+∞)上单调递增,故B正确;
y=|x-1|=则y=|x-1|在(1,+∞)上单调递增,在(-∞,1)上单调递减,故C错误;
由幂函数的性质可知,y=在(0,+∞)上单调递增,故D正确.故选ABD.
7.B 因为f(x)=(m2-m-1)是幂函数,
所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,
又f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以m2-2m-2>0,
所以m=-1.故选B.
8.答案 {x|0
解析 设幂函数的解析式为f(x)=xa,由题意得9a=3,解得a=,故f(x)=,所以f(1)=1,
则f(x2-x+1)<1,即f(x2-x+1)根据f(x)=在[0,+∞)上单调递增,得0≤x2-x+1<1,解得09.解析 (1)∵f(x)为幂函数,
∴a2-3a+3=1,解得a=1或a=2.
当a=1时, f(x)=x是奇函数,不满足题意;
当a=2时, f(x)=x2是偶函数,满足题意,∴a=2.
故f(x)的解析式为f(x)=x2.
(2)由(1)得,当x≥0时,g(x)=f(x)+x=x2+x,
当x<0时,-x>0,∴g(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x,
又∵函数g(x)是定义在R上的奇函数,
∴g(-x)=-g(x),即-g(x)=x2-x,x<0,
∴g(x)=-x2+x,x<0,
∴函数g(x)的解析式为g(x)=
能力提升练
1.B 由题图可知,y=为偶函数,又m,n∈N*,且m,n互质,所以m为偶数,n是奇数.当x∈(1,+∞)时,y=的图象在直线y=x的下方,所以<1,故选B.
2.A 由题意得,f(x)的值每2个为一组重复出现,其图象关于直线x=1对称.
作出函数f(x)和g(x)=的图象,如图所示.
由图可知,两函数图象的交点个数为5.故选A.
3.D 由题得-m2+2m+3(m∈N*)为正偶数,
易得y=-m2+2m+3的值域为(-∞,4],
则-m2+2m+3可取2,4,
当-m2+2m+3=2时,m=1+或m=1-,不符合m∈N*,舍去,
当-m2+2m+3=4时,m=1(二重根),符合题意.
故m=1,
则不等式(2a+1)-m<(1-a)-m,即(2a+1)-1<(1-a)-1,
整理得<0,
即或
解得0故a的取值范围为∪(0,1).故选D.
4.B 由得0≤x≤1,所以f(x)=-的定义域为[0,1],
因为y=在[0,1]上单调递增,y=在[0,1]上单调递减,
所以由增函数-减函数=增函数破题关键,知f(x)=-在[0,1]上单调递增,
所以当x=0时, f(x)取最小值,为f(0)=-1,
当x=1时, f(x)取最大值,为f(1)=1.故选B.
5.B ∵点(m,81)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上,
∴解得
∴函数g(x)=+=+,
∴∴3≤x≤4,
[g(x)]2=1+2=1+2,
∵x∈[3,4],∴-x2+7x-12∈,
∴[g(x)]2∈[1,2],
∴函数g(x)的值域为[1,].故选B.
6.答案 (-1,3)
解析 将不等式x6-2x-3<(2x+3)3-x2变形为x6+x2<(2x+3)3+(2x+3),即(x2)3+x2<(2x+3)3+(2x+3),
设g(x)=x3+x,因为y=x3与y=x在R上均为增函数,所以函数g(x)在R上是增函数,
由于g(x2)所以原不等式的解集为(-1,3).
7.解析 (1)由题意可得
所以k=1或k=0,所以f(x)=x2.
(2)假设存在正数m满足题意.
由(1)可得,f(x)=x2,则g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x=-mx2+(2m-1)x+1,
由m>0可知,g(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=,则=1-<1.
当0<1-<1,即m>时,g(x)在上单调递增,在上单调递减,则g(x)在区间[0,1]上的最大值为g==5,解得m=或m=(舍去);
当1-≤0,即0故存在正数m=,使函数g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x在区间[0,1]上的最大值为5.
8.解析 (1)因为函数f(x)为幂函数,所以m2-5m+7=1,解得m=2或m=3.
因为f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(x)=f(-x),所以f(x)为偶函数,
经检验,当m=2时, f(x)=x,为奇函数,不满足题意;当m=3时, f(x)=x2,为偶函数,满足题意.
故f(x)的解析式为f(x)=x2.
(2)结合(1)知g(x)===1-,
因为g(a)+g(b)=1,所以+=1,整理得a2+b2+2=(a2+1)(b2+1),即a2b2=1,
又a,b>0,所以ab=1.
故f(a)+f(b)=a2+b2≥2ab=2,当且仅当a=b=1时取等号,故f(a)+f(b)的最小值为2.
(
1
)(共15张PPT)
一般地,我们把形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
6.1 幂函数
知识点 1 幂函数的概念
必备知识 清单破
知识点 2 常见幂函数的图象与性质
幂函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
图象
定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)
单调性 增函数 在[0,+∞)上单调递增, 在(-∞,0]上单调递减 增函数 增函数 在(0,+∞)上单调递减,
在(-∞,0)上单调递减
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
注意:(1)当α>0时,函数y=xα的图象都过点(0,0)和(1,1),在第一象限内,函数的图象随x的增
大而上升,函数在区间[0,+∞)上单调递增.(2)当α<0时,函数y=xα的图象都过点(1,1),在第一象
限内,函数的图象随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上单调递减.
1.y=- 是幂函数吗
2.幂函数的图象能不能经过第四象限
3.幂函数y=x0的图象与y=1的图象是否相同
4.若幂函数y=xα在(-∞,0)上有意义,能否确定此幂函数一定具有奇偶性
5.幂函数的图象与坐标轴是否一定相交 若相交,交点是不是定点
知识辨析
1.不是.幂函数的结构特征:①指数为常数,②底数为自变量,③xα的系数为1.在y=- =-x-1中,x-1的
系数为-1.
2.不能.
3.不同.函数y=1的图象是一条直线,而对于幂函数y=x0,其定义域为{x|x∈R,且x≠0},因此y=x0
的图象不是一条直线,而是直线y=1去掉点(0,1)的部分.
4.能.幂函数图象在第一、三象限时,函数为奇函数;幂函数图象在第一、二象限时,函数为偶
函数.
5.幂函数的图象与坐标轴不一定相交.由幂函数的定义及图象知,只有当α>0时,幂函数的图象
才与坐标轴相交,若相交,交点是原点,为定点.
一语破的
1.根据幂函数在第一象限内的图象可确定幂的指数α与0,1的大小关系.
2.依据幂函数的图象的高低判断幂的指数的大小,相关结论如下:
(1)在x∈(0,1)上,幂的指数越大,幂函数的图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);
(2)在x∈(1,+∞)上,幂的指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).
关键能力 定点破
定点 1 幂函数的图象
若点( ,2)在幂函数f(x)的图象上,点 在幂函数g(x)的图象上,问:当x为何值时,(1)f(x)>
g(x) (2)f(x)=g(x) (3)f(x)典例
先由点在图象上确定幂函数的解析式,再作出函数的图象,利用图象解决问题.
思路点拨：
设f(x)=xα,将( ,2)代入,得2=( )α,解得α=2,则f(x)=x2.
同理,可得g(x)=x-2.
在同一平面直角坐标系中作出幂函数f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示.
观察图象可得:
(1)当x>1或x<-1时, f(x)>g(x).
(2)当x=1或x=-1时, f(x)=g(x).
解析：
(3)当-11.幂函数的性质与α的相互确定
幂函数的所有性质都与α的取值有关,故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、
奇偶性.反过来,也可由幂函数的性质去限制α的取值:利用幂函数的单调性求出α的取值范围;
由幂函数的奇偶性结合所给条件确定α的值.
2.利用幂函数的单调性比较大小的方法
(1)直接法:当幂函数中的幂的指数相同时,可直接利用幂函数的单调性比较大小;
(2)转化法:当幂函数中的幂的指数不同时,可以先转化为相同的幂的指数,再运用幂函数的单
调性比较大小;
(3)中间量法:当幂函数中的底数和幂的指数均不同时,可选取适当的中间值(通常选用0或1)
比较大小.
定点 2 幂函数性质的应用
比较下列各组数据的大小:
(1)4. ,3. ,(-1.9 ;
(2) , ,1. .
典例1
(1)∵4. > =1,0<3. < =1,(-1.9 <0,
∴(-1.9 <3. <4. .
(2) = , = ,1. =(1.12 =1.2 .
∵函数y= 在(0,+∞)上单调递减,且 < <1.21,
∴ > >1.2 ,
即 > >1. .
解析：
已知幂函数f(x)=(k2+2k-2)· (m∈N*)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减.
(1)求m和k的值;
(2)若(2a+1)-m<(3-2a)-m,求实数a的取值范围.
典例2
(1)由幂函数的定义及单调性求得m,k的值,再结合幂函数的奇偶性即可确定m的
取值.
(2)利用幂函数的性质,分类求解不等式.
思路点拨：
(1)因为f(x)=(k2+2k-2) (m∈N*)为幂函数,
所以k2+2k-2=1,解得k=-3或k=1.
又f(x)=(k2+2k-2) (m∈N*)在(0,+∞)上单调递减,
所以m2-2m-3<0,解得-1又m∈N*,所以m=1或m=2,
当m=1,k=-3或k=1时, f(x)=x-4,其定义域为{x|x≠0},且f(x)为偶函数,符合题意;
当m=2,k=-3或k=1时, f(x)=x-3,其定义域为{x|x≠0},且f(x)为奇函数,不符合题意.
故m=1,k=-3或k=1.
(2)由(1)可知m=1,
则原不等式可化为(2a+1)-1<(3-2a)-1,
易知f(x)=x-1在区间(-∞,0),(0,+∞)上单调递减.
解析：
分三种情况讨论:
①当2a+1<0<3-2a,即a<- 时,原不等式成立;
②当2a+1<0,且3-2a<0时,有2a+1>3-2a,即 解集为空集;
③当2a+1>0,且3-2a>0时,有2a+1>3-2a,即 解得 综上所述,实数a的取值范围为 ∪ .
易错警示 利用幂函数的单调性解不等式时,要注意幂函数的单调区间,若有多个单调区间
要注意分类讨论.