6.3 对数函数
基础过关练
题组一 对数函数的概念及应用
1.下列函数中为对数函数的是( )
A.y=lo(-x) B.y=2log4(1-x)
C.y=ln x D.y=lox
2.已知对数函数f(x)=(a2-3a+3)logax(a>0,且a≠1),则a的值是( )
A.1或2 B.1
C.2 D.任意的
3.已知f(x)为对数函数,f=-2,则f()= .
题组二 对数(型)函数的图象
4.为了得到函数f(x)=log2x的图象,只需将函数g(x)=log2的图象( )
A.向上平移3个单位长度
B.向下平移3个单位长度
C.向左平移3个单位长度
D.向右平移3个单位长度
5.当a取4个不同的值时,对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图中曲线所示,已知a的值分别为,,,,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的a的值依次是( )
A.,,,
B.,,,
C.,,,
D.,,,
6.在同一平面直角坐标系中的函数y=logax(a>0,且a≠1)与y=-x+a的图象可能是( )
7.函数f(x)=x4log4的大致图象是( )
8.已知函数f(x)=loga(x+3)-(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A.若点A也在函数g(x)=3x+b的图象上,则g(log32)= .
题组三 对数(型)函数的性质及其应用
9.已知集合A={x|x2-2x<0},集合B={y|y=log2(2-x2),x∈A},则A∩B=( )
A.(0,1) B.(-∞,1)
C.(-∞,2) D.(0,2)
10.(教材习题改编)函数y=lo(-x2-2x+3)的单调递增区间是( )
A.(-1,1) B.(-∞,-1)
C.(1,3) D.(-1,+∞)
11.已知正数a,b,c满足2 023a=2 024,2 024b=2 023,ec=2,则下列说法正确的是( )
A.logac>logbc B.logca>logcb
C.ac
12.已知g(x)为R上的偶函数,当x>0时,g(x)=x2+log2x,则g(-2)= .
13.已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)在[1,4]上的最大值与最小值的和是2,则a的值为 .
14.已知函数f(x)=m+logax(a>0,且a≠1)的图象过点(9,4)和(1,2).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(x)的定义域为[1,81],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.
15.已知函数f(x)=loga(2+3x)-loga(2-3x)(a>0,且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明;
(3)当016.已知函数f(x)=log2log2.
(1)当x∈[2,8]时,求该函数的值域;
(2)若不等式f(x)≥mlog2x在x∈[4,16]上有解,求m的取值范围.
题组四 反函数
17.已知函数f(x)=log5x,g(x)是f(x)的反函数,则f(1)+g(1)=( )
A.10 B.8 C.5 D.2
18.已知函数f(x)=,函数g(x)与f(x)的图象关于直线y=x对称,则[f(x)]2-f(x)+g(9)≥0的解集为( )
A.{x|x≥-log32} B.{x|x≤-log32}
C.{x|x≥log32} D.{x|x≤log32}
能力提升练
题组一 对数(型)函数的图象及其应用
1.函数f(x)=的图象大致为( )
2.已知=log3m,3n=lon,=lok,则m,n,k的大小关系是( )
A.m>n>k B.mC.n3.已知函数f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3,x4满足f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则x1+x2+x3+x4的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.如图,曲线C1,C2,C3依次为y=2log2x,y=log2x,y=klog2x的图象,其中k为常数,0题组二 对数(型)函数的性质及其应用
5.设函数f(x)的定义域为(-1,3),则函数g(x)=的定义域为( )
A.(-2,1) B.(-2,0)∪(0,1)
C.(0,1) D.(-∞,0)∪(0,1)
6.设a=160.3,b=log23,c=log34,则( )
A.a>b>c B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c
7.(多选题)若函数f(x)=lg(x2+2ax-a),则下列说法正确的是( )
A.若a=0,则f(x)为偶函数
B.若f(x)的定义域为R,则-1C.若a=1,则f(x)的增区间为(-1,+∞)
D.若f(x)在(-1,0)上单调递减,则a≤0
8.若不等式x2-loga(x+1)<2x-1在x∈上恒成立,则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
9.已知定义域为R的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=则f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2 022)= .
10.已知函数f(x)=2 024x-2 024-x+log2 024(+x)+1 012,则关于x的不等式f(4x+1)+f(2x+1)-2 024<0的解集为 .
11.已知函数f(x)=log9(9x+1)+bx(b∈R)为偶函数.
(1)求b的值;
(2)求f(x)的最小值;
(3)若f(t(2x-2-x))12.已知a∈R,函数f(x)=log2.
(1)当a=1时,解不等式f(x)>1;
(2)若关于x的方程f(x)+log2x2 =0的解集中恰有一个元素,求a的值;
(3)设a>0,若对任意t∈,函数f(x)在[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
13.已知t为实数,函数f(x)=2loga(2x-t-2),g(x)=logax,其中0(1)若函数φ(x)=g(ax+1)-kx是偶函数,求实数k的值;
(2)当x∈[1,4]时, f(x)的图象始终在g(x)的图象的下方,求t的取值范围;
(3)设t=4,当x∈[m,n]时,函数y=|f(x)|的值域为[0,2],若n-m的最小值为,求实数a的值.
答案与分层梯度式解析
6.3 对数函数
基础过关练
1.C 函数y=lo(-x),y=2log4(1-x)的真数不是自变量x,它们不是对数函数,函数y=ln x是对数函数,函数y=lox的底数含有参数a,而a的值不能保证a2+a是不等于1的正数.故选C.
2.C 由题意得a2-3a+3=1,∴a=2.故选C.
3.答案
解析 设f(x)=logax(a>0且a≠1),则loga=-2,所以=,所以a=,所以f(x)=x,
所以f()=log =log2()2=log2=.
4.A g(x)=log2=log2x-log28=log2x-3,所以只需将函数g(x)=log2的图象向上平移3个单位长度,即可得到函数f(x)=log2x的图象,故选A.
5.B 解法一:C1,C2对应的底数一定大于1,C3,C4对应的底数一定小于1,故排除C,D;对数函数的底数大于1时,底数越大,图象越靠近x轴;底数大于0且小于1时,底数越小,图象越靠近x轴,可得C1,C2,C3,C4对应的a的值依次为,,,.
解法二:过点(0,1)作平行于x轴的直线(图略),记其与C1,C2,C3,C4交点的坐标分别为(a1,1),(a2,1),(a3,1),(a4,1),易知a1,a2,a3,a4分别为各对数函数的底数,显然a1>a2>a3>a4,所以C1,C2,C3,C4的底数分别为,,,.
6.A 当0当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上单调递增,函数y=-x+a在R上单调递减,且当x=0时,y=a∈(1,+∞),故B,D错误.故选A.
7.C 令>0,得-2∴f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除B,D;
f(1)=14×log4=log43>0,排除A.故选C.
8.答案 1
解析 令x+3=1,得x=-2,所以f(-2)=loga1-=-,所以A,将其代入g(x)=3x+b,得g(-2)=3-2+b=-,解得b=-1,所以g(x)=3x-1,
所以g(log32)=-1=2-1=1.
9.A A={x|x2-2x<0}=(0,2),结合对数函数的概念及x∈(0,2),得0<2-x2<2,故log2(2-x2)<1,
故B={y|y=log2(2-x2),x∈A}=(-∞,1),
所以A∩B=(0,1).故选A.
10.A 由题知,-x2-2x+3>0,解得-3令t=-x2-2x+3,则t>0,易知y=lot在(0,+∞)上单调递减,t=-x2-2x+3在(-1,1)上单调递减,在(-3,-1)上单调递增,
由复合函数“同增异减”的单调性法则破题关键可知,y=lo(-x2-2x+3)的单调递增区间是(-1,1).故选A.
11.D ∵2 023a=2 024,2 024b=2 023,ec=2,
∴a=log2 0232 024>1,0∴logac<0,logbc>0,∴logac∵0b,∴logcabc,ca12.答案 5
解析 因为g(x)为R上的偶函数,
所以g(-2)=g(2),又当x>0时,g(x)=x2+log2x,
所以g(-2)=g(2)=22+log22=4+1=5.
13.答案 2
解析 ①当a>1时, f(x)=logax在(0,+∞)上为增函数,所以f(x)=logax在[1,4]上的最大值为loga4,最小值为loga1=0,所以loga4+0=2,解得a=2;
②当014.解析 (1)由题意得所以
所以f(x)=2+log3x.
(2)由(1)知y=[f(x)]2+f(x2)=+2+log3x2 =+2+2log3x=+6log3x+6=-3.
因为函数f(x)的定义域为[1,81],
所以要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,
需满足所以1≤x≤9,所以0≤log3x≤2,
所以当log3x=2,即x=9时,y取得最大值,且ymax=22.
所以函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值为22,y取最大值时x的值为9.
15.解析 (1)由题意得解得-(2)函数f(x)为奇函数,证明如下:
由(1)知,函数f(x)的定义域为,关于原点对称,又f(-x)=loga(2-3x)-loga(2+3x)=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
(3)因为016.解析 (1)f(x)=log2log2=(log2x-2)(log2x-1),
当x∈[2,8]时,log2x∈[1,3],
令log2x=t,t∈[1,3],则g(t)=(t-2)(t-1)=t2-3t+2,t∈[1,3],
易得y=t2-3t+2的图象开口向上,对称轴为直线t=,
结合g(t)的定义域及二次函数的性质可知,当t=时,g(t)取得最小值,为-,当t=3时,g(t)取得最大值,为2,
所以当x∈[2,8]时,函数f(x)的值域为.
(2)当x∈[4,16]时,log2x∈[2,4],
令log2x=n,n∈[2,4],
由f(x)≥mlog2x在x∈[4,16]上有解,得(n-2)(n-1)=n2-3n+2≥mn在n∈[2,4]上有解,即n+-3≥m在n∈[2,4]上有解,
令h(n)=n+-3,n∈[2,4],因为函数h(n)在n∈[2,4]上单调递增,所以当n=4时,h(n)取得最大值,为,
所以m的取值范围是.
17.C 因为函数f(x)=log5x,g(x)是f(x)的反函数,
所以g(x)=5x,故f(1)+g(1)=log51+51=5.
故选C.
18.B 因为g(x)与f(x)的图象关于直线y=x对称,
所以g(x)是f(x)的反函数,即g(x)=lox,
则g(9)=lo9=lo=-2,
将原不等式化为--2≥0,
令t= ,则t>0,t2-t-2≥0,
即(t-2)(t+1)≥0,解得t≥2 或t≤-1(舍),
所以3-x≥2,解得x≤-log32.故选B.
能力提升练
1.C 由已知得函数的定义域为{x|x≠±1},关于原点对称,
∵f(-x)==
=-=-f(x),∴f(x)为奇函数,
令x=,则f()=,
又0<-==<1,∴f()<0,故排除A,D;
令x=,则f===,其中0<<1,故f<0,故排除B.故选C.
2.D 在同一平面直角坐标系中画出y=,y=log3x,y=3x,y=lox的图象,如图所示:
根据图象知n3.B 不妨设x1y=x2+3x+1的图象的对称轴为直线x=-,则x1+x2=-3,
当x>0时,|ln x3|=ln x4,即-ln x3=ln x4,即ln x3+ln x4=ln(x3x4)=0,得x3x4=1,所以x4=,当|ln x|=1时,x=或x=e,则x3∈,
所以x1+x2+x3+x4=-3+x3+在上单调递减,
当x3=时,x1+x2+x3+x4=-3+e+,当x3=1时,x1+x2+x3+x4=-1,
所以x1+x2+x3+x4的取值范围是.
故选B.
4.答案
解析 设A(t,2log2t),其中t>1,设B(x,2log2t),D(t,y),则得所以B(t2,2log2t),D(t,log2t),则点C的坐标为(t2,log2t),
将点C的坐标代入函数y=klog2x的解析式,得log2t=klog2t2,∴2k=1,解得k=.
5.B 要使g(x)=有意义,
只需解得即-26.A 因为y=log2x在(0,+∞)上单调递增,且<3<4,所以log2因为y=log3x在(0,+∞)上单调递增,且3<4<,
所以log33因为y=4x在R上单调递增,
所以a=160.3=40.6>40.5=2,
故a>b>c.故选A.
7.ABD 当a=0时, f(x)=lg x2,其定义域是{x|x≠0},关于原点对称,又f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,A正确;
当f(x)的定义域为R时,方程x2+2ax-a=0的判别式Δ=4a2+4a<0,解得-1当a=1时, f(x)=lg(x2+2x-1),由x2+2x-1>0得x<-1-或x>-1+,则y=x2+2x-1的图象开口向上,且在(-1+,+∞)上单调递增,又y=lg x在其定义域上单调递增,所以f(x)的增区间是(-1+,+∞),C错误;
y=lg x在定义域上单调递增,要想f(x)在(-1,0)上单调递减,则y=x2+2ax-a在(-1,0)上单调递减,且当x=0时,y≥0,所以解得a≤0,D正确.
故选ABD.
8.C 因为x2-loga(x+1)<2x-1在x∈上恒成立,
所以(x-1)2令g(x)=(x-1)2, f(x)=loga(x+1),
若00,显然不合题意;
当a>1时,画出函数f(x)与g(x)的图象,如图所示,
结合图象知,要想满足(x-1)2综上,实数a的取值范围是.故选C.
9.答案 0
解析 由题意得f(2)=f(-1)=-f(1)=1, f(4)=f(1)=-1, f(6)=f(3)=f(0)=0.
因为 x>, f(x)=f(x-3),所以 n∈N*, f(6n-4)=f(2)=1, f(6n-2)=f(1)=-1, f(6n)=f(3)=0,
所以f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2 022)=337×[f(2)+f(4)+f(6)]=0.
10.答案
解析 设g(x)=2 024x-2 024-x+log2 024(+x),其定义域为R,关于原点对称,又g(-x)+g(x)=2 024-x-2 024x+log2 024(-x)+2 024x-2 024-x+log2 024(+x)=0,所以函数g(x)为奇函数,
因为y=2 024x-2 024-x,y=log2 024(+x)在R上均单调递增,所以g(x)在R上单调递增.
因为f(4x+1)+f(2x+1)-2 024<0,所以g(4x+1)+g(2x+1)<0,即g(4x+1)11.解析 (1)因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),
所以log9(9-x+1)-bx=log9(9x+1)+bx,所以2bx=log9-log9(9x+1)=log99-x=-x,所以b=-.
(2)由(1)知, f(x)=log9(9x+1)-=log9(9x+1)-log9=log9=log9.
因为3x+≥2=2,所以log9≥log92(当且仅当x=0时,等号成立),
所以f(x)的最小值为log92.
(3)由(2)知, f(x)=log9,任取x1,x2∈(0,+∞),且x1因为x1,x2∈(0,+∞),且x1所以-<0,-1>0,>0,
所以<0,
所以+<+,
所以log9所以f(x)在(0,+∞)上为增函数,
又因为f(x)为偶函数,所以|t(2x-2-x)|<|22x+2-2x|,当x=0时,0<2,t∈R;
当x≠0时,|2x-2-x|>0,所以|t|<,
设u(x)===|2x-2-x|+≥2(当且仅当|2x-2-x|=时,等号成立),所以u(x)min=2,
所以|t|<2,所以-2综上所述,实数t的取值范围是-212.解析 (1)当a=1时, f(x)=log2,因为不等式f(x)>1,所以log2>1=log22,又y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以+1>2,即>1,所以0故原不等式的解集为(0,1).
(2)由f(x)+log2x2=0,得log2+log2x2=0,
即x2=1,所以ax2+x-1=0,
当a=0时,x-1=0,解得x=1,经验证,满足题意;
当a≠0时,①若Δ=1+4a=0,则a=-,所以-x2+x-1=0,解得x=2(二重根),经验证,满足题意;
②若Δ=1+4a>0,即a>-,则方程ax2+x-1=0有两个不相等的实数根,设为x1,x2,显然x1≠0,x2≠0,
因为x2=1,x2>0,
所以a+>0,即a+>0,a+>0,所以x1,x2都满足log2+log2x2=0,不满足题意.
综上,a=0或a=-.
(3)当a>0时,对任意t∈,函数f(x)在[t,t+1]上单调递减,所以log2-log2≤1,所以log2≤log2+1,
即at2+(a+1)t-1≥0对任意t∈恒成立,
因为a>0,所以y=at2+(a+1)t-1的图象开口向上,对称轴为直线t=-,且-<0,所以其在上单调递增,所以当t=时,y=at2+(a+1)t-1取得最小值,且最小值为a+(a+1)-1=a-,
所以a-≥0,即a≥,
所以实数a的取值范围是.
13.解析 (1)φ(x)=g(ax+1)-kx=loga(ax+1)-kx,
因为φ(x)=g(ax+1)-kx是偶函数,所以φ(-x)=φ(x)对任意x∈R恒成立,即loga(a-x+1)+kx=loga(ax+1)-kx对任意x∈R恒成立,
所以2kx=loga(ax+1)-loga(a-x+1)=loga=x,所以k=.
(2)设h(x)=f(x)-g(x)=2loga(2x-t-2)-logax,
因为当x∈[1,4]时, f(x)的图象始终在g(x)的图象的下方,
所以h(x)=2loga(2x-t-2)-logax<0在x∈[1,4]上恒成立,
即2loga(2x-t-2)因为0,
即t<2x--2在x∈[1,4]上恒成立,
设y=2x--2=2-,x∈[1,4],
所以当x=1时,ymin=-1,所以t<-1,即实数t的取值范围为(-∞,-1).
(3)因为t=4,所以y=|f(x)|=|2loga(2x-6)|,令2x-6>0,得x>3,
又0因为当x∈[m,n]时,函数y=|f(x)|的值域为[0,2],
所以3令|2loga(2x-6)|=2,可得loga(2x-6)=±1,解得x=或x=,
又因为-=>0,
所以->-,
所以n-m的最小值为-=,解得a=.
(
1
)(共31张PPT)
一般地,函数y=logax(a>0,a≠1)叫作对数函数,它的定义域是(0,+∞).
6.3 对数函数
知识点 1 对数函数的概念
必备知识 清单破
知识点 2 对数函数的图象与性质
对数函数 y=logax(a>0,a≠1) a>1 0图象
性质 定义域:(0,+∞) 值域:R 图象过点(1,0) 增函数;当01时,y>0 减函数;当00;当x>1时,y<0
注意:对数函数y=logax与y=lo x(a>0,a≠1)的图象关于x轴对称.
1.平移变换
对数函数图象的平移变换同指数函数图象的平移变换,满足“左加右减,上加下减”的
原则.
2.对称变换(a>0,a≠1)
(1)函数y=logax的图象与函数y=-logax(即y=lo x)的图象关于x轴对称;
(2)函数y=logax的图象与函数y=loga(-x)的图象关于y轴对称;
(3)函数y=logax的图象与函数y=-loga(-x)的图象关于原点对称.
知识点 3 对数函数图象的变换
当a>0,a≠1时,y=logax称为y=ax的反函数.反之,y=ax也称为y=logax的反函数.一般地,如果
函数y=f(x)存在反函数,那么它的反函数记作y=f -1(x).
知识点 4 反函数
知识拓展 (1)互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同.(2)互为反函数
的两个函数的定义域和值域正好互换.(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
1.函数y=3log2x,y=log2(x+1),y=logx5是否都是对数函数
2.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象位置有何特点
3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是不是单调函数
4.任意一个函数都有反函数吗
知识辨析
1.都不是.对数函数的解析式的结构特征:①底数a为大于0且不等于1的常数;②真数是自变量
x,且x的系数是1;③logax的系数是1.在y=3log2x中,log2x的系数为3,不是1;在y=log2(x+1)中,真数
位置不是x;在y=logx5中,底数不是常数,真数不是自变量.
2.函数图象在y轴的右侧,且恒过点(1,0).
3.是.当a>1时,该函数在(0,+∞)上单调递增;当04.不一定.只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数.
一语破的
1.对数型函数图象过定点问题
求函数y=m+loga f(x)(a>0,且a≠1, f(x)>0)的图象所过定点时,只需令f(x)=1,求出x,即得定
点为(x,m).
2.根据对数函数图象判断底数大小的方法
作直线y=1,与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,根据在第一象限内,自左向右,
图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.
3.函数图象的变换规律
(1)一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|
个单位长度后,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.
关键能力 定点破
定点 1 对数(型)函数的图象及其应用
(1)已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( )
典例
(2)设a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且a思路点拨 (1)可利用函数的性质识别图象,注意底数a对图象的影响,也可根据图象的位置结
合单调性来判断.
(2)根据题意作出函数y=|lg x|的图象和直线y=c,观察图象即可求解.
B
（0，1）
解析 (1)解法一:若01,则函数y=ax在其定义域上单调递增且图象过点(0,1),而函数y=loga(-x)在其定义域上单调递减且图象过点
(-1,0),只有B满足条件.
解法二:曲线y=ax只可能在x轴上方,y=loga(-x)的图象只可能在y轴左侧,从而排除A,C;y=ax与y=
loga(-x)的增减性正好相反,故排除D.故选B.
(2)由题意知,在x∈(0,10)上,函数y=|lg x|的图象和直线y=c有两个交点,作出函数y=|lg x|的图象
与直线y=c,如图所示,
结合图象可知,0∴abc的取值范围是(0,1).
比较对数值大小的类型及方法
(1)底数相同,真数不同:利用对数函数的单调性进行比较.
(2)底数不同,真数相同:利用对数函数的图象或用换底公式转化进行比较.
(3)底数不同,真数不同:利用中间量进行比较.
(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
定点 2 比较对数值的大小
设a=log2 ,b=log3 ,c=lo ,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.c>b>a B.c>a>b
C.a>c>b D.a>b>c
典例
解析 a=log2 =log23-1,b=log3 =log34-1,c=lo =log34.
∵log23=lo 33=log827,log34=lo 42=log916,log827>log927>log916,
∴log23>log34,∴log23-1>log34-1,即a>b.
∵log23log33=1,∴log34>log23-1,即c>a.∴c>a>b.
B
简单对数不等式的解法
(1)形如loga f(x)>logab(a>0,且a≠1)的不等式,借助函数y=logax(a>0,且a≠1)的单调性求解,如
果a的取值不确定,则需分a>1和0(2)形如loga f(x)>b(a>0,且a≠1)的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(即b=logaab),
借助函数的单调性求解;
(3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.
定点 3 解对数不等式
解下列关于x的不等式:
(1)loga(2x-5)>loga(x-1)(a>0,且a≠1);
(2)logx >1.
典例
思路点拨 根据对数函数的单调性和定义域建立不等式(组)求解,底数含字母时要注意分类
讨论.
解析 (1)当a>1时,原不等式等价于 解得x>4.
当0解得 综上所述,当a>1时,原不等式的解集为{x|x>4};当0(2)当x>1时,由logx >1=logxx,解得0当01=logxx,解得x> ,所以 综上,原不等式的解集为 .
易错警示 解含有对数的不等式常用到对数函数的单调性,去对数符号时还要注意函数的定
义域,解题时防止用错单调性,忽视定义域导致错误.
1.对数型函数的定义域
求对数型函数的定义域时,除了要遵循前面所学的求函数定义域的方法外,还要保证对数的
真数大于0,底数大于0且不等于1.
2.求对数型函数的值域的常用方法
(1)直接法:根据函数解析式的特征,直接得出函数的值域.
(2)配方法:当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠0,a>0,a≠
1))时,可以用配方法求函数的值域.
(3)单调性法:根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性,求出函数的值域.
(4)换元法:求形如y=loga f(x)(a>0且a≠1, f(x)>0)的函数的值域时,先换元,令u=f(x),利用函数的
图象和性质求出u的范围,再利用y=logau(a>0,且a≠1)的单调性、图象求出y的取值范围.
定点 4 与对数函数有关的函数的定义域、值域问题
(1)求函数y= 的定义域;
(2)求函数y=log0.4(-x2+3x+4)的值域.
典例
解析 (1)由题意得
解得x<-1- 或-1- 所以函数的定义域为(-∞,-1- )∪(-1- ,-3)∪[2,+∞).
(2)由题意得-x2+3x+4>0,即x2-3x-4<0,解得-1设f(x)=-x2+3x+4=- + ,x∈(-1,4),则当x∈ 时, f(x)单调递增;当x∈ 时,f(x)单
调递减,所以当x= 时,f(x)有最大值 ,
又f(-1)=f(4)=0,所以0因为对数函数y=log0.4x在定义域内为减函数,所以y≥log0.4 =-2,所以函数y=log0.4(-x2+3x+4)的
值域为[-2,+∞).
易错警示 解题时要注意函数定义域对解题的影响,避免因忽视定义域导致解题错误.
1.“定义域优先”原则
单调区间是定义域的子集.
2.与对数函数有关的函数的单调性的判断方法
形如y=loga f(x)(a>0,a≠1, f(x)>0)的复合函数,当a>1时,y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相
同;当0 形如y=f(logax)(a>0且a≠1)的复合函数,一般用复合函数的单调性“同增异减”的规律
判断,即令t=logax(a>0,a≠1),只需研究t=logax与y=f(t)的单调性即可.
定点 5 与对数函数有关的函数的单调性
函数f(x)=lo (-x2-2x+3)的单调递减区间为 ( )
A.(-∞,-1] B.(-3,-1]
C.[-1,1) D.[-1,+∞)
典例1
思路点拨 先求出函数f(x)的定义域,再根据复合函数单调性“同增异减”的规律求解.
B
解析 由题意得-x2-2x+3>0,即x2+2x-3<0,解得-3+3,x∈(-3,1),
易知函数y=lo t在(0,+∞)上单调递减,
所以由复合函数的单调性可知f(x)的单调递减区间为t=-x2-2x+3在(-3,1)上的单调递增区间.易
知函数t=-x2-2x+3=-(x+1)2+4的图象开口向下,对称轴为直线x=-1,所以t=-x2-2x+3的单调递增区
间为(-3,-1].
故函数f(x)的单调递减区间为(-3,-1].
已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0且a≠1).
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,并且最大值为1 如果存在,求出a的
值;如果不存在,请说明理由.
典例2
解析 (1)设t(x)=3-ax,
∵a>0,∴t(x)=3-ax在R上为减函数,
∴当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a.
∵当x∈[0,2]时, f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立,∴3-2a>0,∴a< .
又a>0且a≠1,
∴实数a的取值范围是(0,1)∪ .
(2)不存在.理由如下:假设存在实数a.
由(1)知函数t(x)=3-ax在R上为减函数.
∵f(x)在区间[1,2]上单调递减,
∴y=logat在区间[1,2]上单调递增,∴a>1.
又x∈[1,2]时,t(x)的最小值为3-2a, f(x)的最大值为f(1)=loga(3-a),
∴ 即 无解.
故不存在实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,并且最大值为1.
易错警示 解决与对数函数有关的函数的单调性问题时,首先要确定函数的定义域,再根据
“同增异减”规律判断函数的单调性.
直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是进行数学推理、构建抽象
结构的思维基础,本质上是将相对复杂、抽象的问题“图形化”,建立形与数的联系.
学科素养 情境破
素养 通过幂函数、指数函数、对数函数的知识发展直观想象的素养
素养解读
典例呈现
例题 已知函数f(x)=log2x+1,g(x)=2x-2.
(1)求函数F(x)=[f(x)]2-af(x2)+1(a∈R)在区间[2,4]上的最大值;
(2)若函数h(x)=g(f(x)),且函数y= h(|g(x)|)-1的图象与函数y=4b- -1的图象有3个不同的交
点,求实数b的取值范围.
解题思路 (1)F(x)=[f(x)]2-af(x2)+1=(log2x+1)2-a(log2x2+1)+1=(log2x)2+2(1-a)·log2x+2-a,令t=log2x,x∈[2,4],则1≤t≤2,
y=t2+2(1-a)t+2-a,其图象开口向上,对称轴为直线t=a-1,
当a-1≤ ,即a≤ 时,y=t2+2(1-a)t+2-a,t∈[1,2]在t=2处取得最大值,即F(x)max=22+4(1-a)+2-a=10
-5a;
当a-1> ,即a> 时,y=t2+2(1-a)t+2-a,t∈[1,2]在t=1处取得最大值,即F(x)max=12+2(1-a)+2-a=5-
3a.
(2)h(x)=g(f(x))= -2=2x-2.
令m=|g(x)|(m≥0),
则y= h(|g(x)|)-1=|g(x)|-2=m-2,
y=4b- -1=4b- -1,
令m-2=4b- -1,整理,得m2-(1+4b)m+3b+2=0①.
作出函数m=|g(x)|=|2x-2|的图象,如图所示:
∵函数y= h(|g(x)|)-1的图象与函数y=4b- -1的图象有3个不同的交点,
∴①式有两个根,且一根在区间(0,2)内,另一根为0或在区间[2,+∞)内.
当m=0时,3b+2=0,解得b=- ,
∴m2+ m=0,解得m=0或m=- (舍去),不符合题意,
∴①式的一根在区间(0,2)内,另一根在区间[2,+∞)内.设φ(m)=m2-(1+4b)m+3b+2,则有
或
即 或 所以b> ,
∴实数b的取值范围为 .
思维升华
直观想象主要是利用几何图形描述问题,借助几何直观理解问题,运用空间想象认识事
物,形成数学直观.在本章中,这就要求我们能够准确掌握幂函数、指数函数、对数函数的图
象与性质,通过“数形结合”解决相关问题.