课件24张PPT。第二十一章 二次函数与反比例函数21.2 二次函数的图象和性质第3课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c
的图象和性质——y＝
a(x＋h)2型1课堂讲解二次函数y＝a(x＋h)2的图象、二次函
数y＝a(x＋h)2的性质、二次函数y＝
a(x＋h)2与y＝ax2之间的关系2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 通过上节课的学习我们知道，抛物线y=ax2+k可以通过沿y轴平移抛物线y=ax2得到，那么y=a(x+h)2型的抛物线能否通过平移得到呢？ 在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数y＝x2、y＝
(x－1)2和y＝(x＋1)2的图象？
填表：
1知识点二次函数y=a(x+h)2的图象问 题知1－导知1－导
描点、连线，即得各函数的图象(请补全上述表格和下图).
1 在同一平面直角坐标系中，画出函数 、
和 的图象.
(1)列表: 知1－练 (2)描点、连线: 知1－练（来自教材）知1－练（来自《典中点》） 3 (2015·兰州)在下列二次函数中，其图象的对称轴
为直线x＝－2的是( )
A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2
C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)2 2 抛物线y＝－5(x－2)2的顶点坐标是( )
A．(－2，0) B．(2，0)
C．(0，－2) D．(0，2) 2知识点二次函数y＝a(x+h)2的性质知2－讲知识知2－讲 【例1】 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点
(－1，4)，求a的值和平移后得到的抛物
线的表达式． 知2－讲导引：抛物线y＝ax2向右平移3个单位后得到的
抛物线的表达式可表示为y＝a(x－3)2，
把点(－1，4)的坐标代入即可求得a的值．（来自《点拨》）知2－讲解：抛物线y＝ax2向右平移3个单位后得到的抛
物线的表达式可表示为y＝a(x－3)2.
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，
解得
∴平移后得到的抛物线的表达式为
总 结知2－讲 抛物线y=a(x+h)2与y=ax2的形状、开口大小和开口
方向相同，只是图象位置不同，抛物线y=a(x+h)2可由
抛物线y=ax2沿x轴方向平移 | h |个单位得到，当h＞0时，
向左平移，当h＜0时，向右平移.1 观察教材P15第1题所画的图象，并填空：
抛物线 的开口方向是________，顶点
坐标是(____，____)，对称轴是________．
当x______时，函数y随x的增大而增大；当x______
时，函数y随x的增大而减小．抛物线
可由抛物线 向________平移________个单
位得到．知2－练（来自教材）2 当a>0时，抛物线y＝a(x＋h)2的开口方向是_____，
顶点坐标是(_____，_____)，对称轴是________.
当x＝______时，函数y＝a(x＋h)2取得最______值，
y最____＝________．
当a<0时，抛物线y＝a(x＋h)2的开口方向是_____，
顶点坐标是(_____，_____)，对称轴是_________.
当x＝______时，函数y＝a(x＋h)2取得最______值，
y最____＝________．知2－练（来自教材）3 抛物线y＝－9(x＋12)2的开口向________，对称轴为
________，顶点坐标是________；当x________时，y随
x的增大而增大；当x________时，y随x的增大而减小；
当x＝________时，函数y有________值(填“最大”或
“最小”)．知2－练（来自《典中点》）4 关于二次函数y＝－2(x＋3)2，下列说法中正确的是( )
A．其图象的开口向上
B．其图象的对称轴是直线x＝3
C．其图象的顶点坐标是(0，3)
D．当x＞－3时，y随x的增大而减小知3－讲3知识点二次函数y＝a(x+h)2与y＝ax2之间的关系思考与探索： 思考y=x2,y=(x-1)2,y=(x+1)2这三个函数的图象有什么
异同点?y=x2y=(x+1)2y=(x-1)2知3－讲规律小结：
由图象可知，抛物线y=a(x+h)2与y=ax2的形状、
开口大小和开口方向相同，只是图象位置不同，抛
物线y=a(x+h)2可由抛物线y=ax2沿x轴方向平移|h|个
单位得到，当h＞0时，向左平移，当h＜0时，向右
平移.1 (2014·海南)把抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝
(x＋2)2，则这个平移过程正确的是( )
A．向左平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度
C．向上平移2个单位长度
D．向下平移2个单位长度知3－练（来自《典中点》）2 对于任何实数h，抛物线y＝－x2与抛物线
y＝－(x－h)2的相同点是( )
A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同
C．顶点相同 D．都有最低点知3－练（来自《典中点》）3 将抛物线y＝(x－1)2向左平移2个单位长度，
所得抛物线对应的函数表达式为( )
A．y＝(x＋1)2 B．y＝(x－3)2
C．y＝(x－1)2＋2 D．y＝(x－1)2－2y轴必做：1.完成教材P16 T4-T5
2.补充: 完成《典中点》P7-P8T3-T4、T7-
T8、T13-T15必做：1.完成教材P16 T4-T5
2.补充: 完成《点拨》P24-P25ⅢT1-T3、T5-T6、
T9课件22张PPT。第二十一章 二次函数与反比例函数21.2 二次函数的图象和性质第2课时 二次函数y=ax2+bx+c的图
象和性质——y=ax2+k型1课堂讲解二次函数y＝ax2＋k的图象、二次函
数y＝ax2＋k的性质、二次函数y＝
ax2＋k与y＝ax2之间的关系2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 直线y=kx+b可以通过平移直线y=kx得到，那么抛物线y=ax2+k能否通过平移抛物线y=ax2得到？1知识点二次函数y=ax2+k的图象问 题 在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数y＝2x2、
y＝2x2＋1和y＝2x2－1的图象？知1－导列表：
知1－导知1－导
描点、连线，即得各函数的图象(请补全上述表格和下图).
【例1】 在同一直角坐标系内，画出函数y=x2 、y=x2+1、
y=x2-1的图象.
解：（1）列表：
知1－讲（2）描点、连线，即得各函数的图象，如图．
知1－讲 抛物线y=x2+1开口向上，对称轴为y轴，顶点是（0,1） .
抛物线y=x2-1开口向上，对称轴为y轴，顶点是（0,-1）. 1 在同一平面直角坐标系中，画出函数 、
和 的图象.
(1)列表: 知1－练 (2)描点、连线: 知1－练（来自教材）知1－练（来自《典中点》） 3 (2015·泰安)在同一坐标系中，一次函数y＝－mx＋
n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能是( ) 2 抛物线y＝ax2＋(a－2)的顶点在x轴的下方，则a的取
值范围是____________． 2知识点二次函数y＝ax2+k的性质知2－讲2 (中考·绍兴)已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝
x2－1上，下列说法中正确的是( )
A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2
C．若0y2 D．若x1y21 对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( )
A．最小值为2
B．图象与x轴没有公共点
C．当x<0时，y随x的增大而增大
D．图象的对称轴是y轴知2－练（来自《典中点》）知3－导3知识点二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的关系相同函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到.函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?y=x2y=x2+1知3－导知识点相同函数y=x2-2的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?函数y=x2-2的图象与y=x2的图象的形状相同吗?函数y=x2-2的图象可由y=x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.知1－讲函数y=-x2+3的
图象可由y=-x2
的图象沿y轴向
上平移3个单位
长度得到.函数y=-x2-2的图象可由y=-x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.知1－讲函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图象形状
，只是位置不同；当k>0时，函数y=ax2+k
的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位得到，
当k<0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向
平移 个单位得到.图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?上加下减相同上k下|k|【例3】 (上海)如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单
位，那么所得新抛物线的表达式是( )
A．y＝(x－1)2＋2
B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝x2＋1
D．y＝x2＋3（来自《点拨》）知3－讲C1 抛物线y＝2x2＋1是由抛物线y＝2x2 ( )得到的．
A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度
C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度知3－练（来自《典中点》）2 将抛物线y＝3x2向下平移2个单位长度，得到的抛物线
对应的函数表达式是( )
A．y＝3x2－2 B．y＝3(x－2)2
C．y＝3(x＋2)2 D．y＝3x2＋2二次函数y=ax2+k的性质必做：1.完成教材P13 T2-T3
2.补充: 完成《典中点》P5-P6T3、T4、T9、
T12、T14、T17必做：1.完成教材P13 T2-T3
2.补充: 完成《点拨》P24-P25ⅢT1、T6课件29张PPT。第二十一章 二次函数与反比例函数21.2 二次函数的图象和性质第5课时 二次函数y＝ax2＋
bx＋c的图象和性质1课堂讲解二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋
k之间的关系、二次函数y＝ax2＋bx＋c的
图象和性质、二次函数y＝ax2＋bx＋c的
图象与a，b，c之间的关系2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点坐标为(h,k),二次函数y=x2-6x+21也能化成这样的形式吗?1.运用配方法，可以将二次函数表达式的两种形式y＝ax2＋
bx＋c与y＝a(x-h)2＋k相互转化．将二次函数y＝ax2＋bx＋
c(一般式)转化为y＝a(x-h)2＋k(顶点式)的形式，即
，则
2.在二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次函数y＝a(x-h)2＋k中，1知识点二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋k之间的关系知1－讲【例1】 把下面的二次函数的一般式化成顶点式：y＝2x2－5x＋3.
导引：一般式化为顶点式有两种方法，一种是配方法，另一种是公
式法．
解法一：配方法：
(将含x的项结合在一起，提取二次项系数)
(按完全平方式的特点，常数项为一次项系数一半的平方)
(应用完全平方公式)
知1－讲解法二：公式法：设顶点式为y＝a(x＋h)2＋k.
∵a＝2，b＝－5，c＝3，
∴
∴
知1－讲（来自《点拨》）总 结知1－讲（来自《点拨》） 配方法在因式分解，整式运算及解一元二次方程
中有广泛的应用，它有助于提高数学能力，而公式法
简便易掌握．1 用配方法把下列函数的表达式化成y＝a(x＋h)2＋
k的形式，并指出抛物线的开口方向、顶点坐标和
对称轴，然后再用描点法画出函数图象．
(1)y＝2x2＋8x＋5； (2)y＝－3x2＋6x；
(3) (4)y＝(2－x)(2x＋1)．知1－练（来自教材） 3 把函数y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，
再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表
达式为 则( )
A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3
C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21 2 (2014·成都)将二次函数y＝x2－2x＋3化为 y＝
a(x－h)2＋k的形式，结果为( )
A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x－1)2＋2知1－练（来自《典中点》）2知识点 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质知2－讲1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质：2.对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(c为抛物线与y轴交点的纵坐
标)，当c＝0时，y＝ax2＋bx的图象必定经过原点，图象与
x轴的另一个交点为知2－讲【例2】 已知二次函数 ，求出它的图象的顶
点坐标和对称轴，并用五点法作出它的大致图象．
解：∵
∴它的图象的顶点为M(3，－2)，对称轴为直线x＝3.
令y＝0，解方程 得x1＝1，x2＝5.
∴它的图象与x轴交于点A(1，0)，B(5，0)．知2－讲令x＝0，得它的图象与y轴的交点为
易得 关于对称轴的对称点为
将C，A，M，B，D五点连成光滑的曲线，
并使图象向两边延伸，即得二次函数
的大致图象，如图所示．知2－讲（来自《点拨》）总 结知2－讲（来自《点拨》） 若二次函数的图象与x轴、y轴有交点，则最好选
取交点进行描点，特别是在画二次函数的大致图象时，
应注意以下五点：(1)开口方向；(2)对称轴；(3)顶点；
(4)与x轴的交点；(5)与y轴的交点．这种画法先研究函
数图象的特点，确定图象的大致形状之后，选点就有了
依据，避免了盲目性．
说明：顶点坐标、对称轴可以利用公式求出．1 将函数 化成y＝a(x＋h)2＋k的形式是
_______________，其对应的抛物线的开口方向是_____，
顶点坐标是(____，____)，对称轴是________．当x＝
_____时，函数取得最________值，y最____＝______．
抛物线 可由抛物线 向______
平移______个单位，再向______平移______个单位得到．知2－练（来自教材）2 抛物线y＝3x2－5x的最低点坐标是(____，____)，
可由抛物线y＝3x2向____平移____个单位，再向
____平移___个单位得到．当x___时，函数y随x的
增大而减小；当x____时，函数y随x的增大而增大；
当x＝____时，函数取得最____值，y最___＝____．知2－练（来自教材）3 用五点法作函数y＝2x2－5x＋3的图象．（来自《点拨》）导引：(2)和以前学的一次函数一样，求图象与x轴的交点
坐标令y＝0，求图象与y轴的交点坐标令x＝0，解
方程即可. 【例3】 已知：抛物线y＝2x2－4x－6.
(1)直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)求抛物线与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标；
(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？知2－讲（来自《点拨》）知2－讲解：(1)开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－8)．
(2)令y＝0，得2x2－4x－6＝0，解得x1＝－1，x2＝3,
所以抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)．
令x＝0，得y＝－6，
所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，－6)．
(3)当x≥1时，y随x的增大而增大．1 (2015·黔南州)二次函数y＝x2－2x－3的图象如
图所示，下列说法中错误的是( )
A．函数图象与y轴的交点坐标是(0，－3)
B．顶点坐标是(1，－3)
C．函数图象与x轴的交点坐标是(3，0)、(－1，0)
D．当x＜0时，y随x的增大而减小知2－练（来自《典中点》）2 (2015·雅安)在二次函数y＝x2－2x－3中，当
0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是( )
A．0，－4 B．0，－3
C．－3，－4 D．0，0知2－练（来自《典中点》）3知识点 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与a，b，c之间的关系知3－讲1．a：a的符号决定开口方向：a＞0?开口向上，a＜0?开
口向下；|a|决定开口大小：|a|越大，开口越小；|a|
越小，开口越大．
2．b：ab＞0，则对称轴在y轴左侧；ab＜0，则对称轴在y轴
右侧；b＝0，则对称轴为y轴．
3．c：c为抛物线与y轴交点的纵坐标．
4．b2－4ac：Δ＞0?抛物线与x轴有两个交点；
Δ＜0?抛物线与x轴无交点；
Δ＝0?抛物线与x轴只有一个交点．【例4】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么abc，
2a＋b，a＋b＋c这3个代数式中，值为正数的有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D.0个
导引：∵抛物线的开口向上，∴a＞0.
又∵对称轴直线 ∴b＜0.
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，∴abc＞0.知3－讲C ∵
∴－b＞2a，即2a＋b＜0.
∵当x＝1时，抛物线上对应的点在x轴的下方，
∴y＝a＋b＋c＜0.
综上所述，abc，2a＋b，a＋b＋c这3个代数式中，
值为正数的只有abc.知3－讲（来自《点拨》）总 结知3－讲（来自《点拨》） 二次函数y＝ax2＋bx＋c中的各项系数的符号与图象
位置之间的关系：(1)a决定抛物线的开口方向，简记为
“正上负下”；(2)c决定抛物线与y轴的交点位置，简记
为“上正下负原点0”；(3)a，b的符号共同决定对称轴
直线 的位置，简记为：“左同右异y轴0”．总之，
可以由各项系数的符号来决定图象的位置，也可以由图象
的位置来判断各项系数的符号．1 (中考·黔东南州)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图
象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．a<0，b<0，c>0，b2－4ac>0
B．a>0，b<0，c>0，b2－4ac<0
C．a<0，b>0，c<0，b2－4ac>0
D．a<0，b>0，c>0，b2－4ac>0知3－练（来自《典中点》）2 (2015·安徽)如图，一次函数y1＝x
与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相
交于P，Q两点，则函数 y＝ax2＋
(b－1)x＋c的图象可能是( )知3－练（来自《典中点》）1、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质：
熟记对称轴及顶点坐标的公式，并能画出简图判断增减
性和最值.
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象的平移：
关于二次函数y=ax2+bx+c的图象的平移问题，首先把
y=ax2+bx+c变形成顶点式，再判断它的图象的平移.
3、抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系：
要熟记抛物线y=ax2+bx+c与系数a、b、c之间的关系，
能通过抛物线判断系数a、b、c的符号，反过来，也能
通过系数a、b、c的符号来判断抛物线的正误.必做：1.完成教材P21 T4-T5
2.补充: 完成《典中点》P11-P12 T2、T4、T7、
T10、T13-T14必做：1.完成教材P21 T4-T5
2.补充: 完成《点拨》P34-P35ⅢT3-T7、
T9-T11课件25张PPT。第二十一章 二次函数与反比例函数21.2 二次函数的图象和性质第1课时 二次函数y＝ax2
的图象和性质1课堂讲解二次函数y＝ax2的图象、二次函数
y＝ax2 的性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢？它又有什么性质？1. 用描点法画二次函数的图象，一般要经历列表、描点、连
线三个步骤．
2. 二次函数的图象是一条抛物线，它是轴对称图形，有一条
对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点．
3. 画二次函数y＝ax2(a≠0)的图象要经历：列表，描点，连
线三个步骤，而列表一般采用“五点法”，这五点包括顶
点和在对称轴的左右两边各取的两点．1知识点二次函数y=ax2的图象知1－讲知1－讲4. 易错警示：列表时，自变量的取值应具有代表性
和普遍性；连线时，必须按照自变量由小到大
(或由大到小)的顺序用平滑的曲线把各点依次连
接，切勿跨点连接；抛物线的两端是无限延伸的，
画的时候要“出头”．
【例1】 在直角坐标系中分别画出下列函数的图象：
导引：经历列表、描点和连线三个步骤，画出函数的图象即可．
解：(1)①列表：
知1－讲 ②如图，在平面直角坐标系中描出点
(－4，8)，(－2，2)，(0，0)，(2，2)，
(4，8)．
③用一条平滑的曲线顺次连接这几个点．
这条曲线就是二次函数 的图象．
知1－讲 (2)①列表：
②如图，在平面直角坐标系中描出
点(－4，－8)，(－2，－2)，(0，0)，
(2，－2)，(4，－8)．
③用一条平滑的曲线顺次连接这几个点．
这条曲线就是二次函数 的图象．
知1－讲（来自《点拨》）总 结知1－讲（来自《点拨》）(1)列表、描点、连线是画函数图象的基本方法，用这种
方法可以画出任意一个函数的图象．列表中的数据越
多，所描的点越多，所画的二次函数图象越精确．
(2)利用列表、描点、连线画二次函数图象时，列表中的
x的值要在对称轴的左右两边对称选取，选点时，应
以计算简单、描点方便为原则．1 对于抛物线y＝－3x2，下列说法正确的是( )
A．开口向上，对称轴是x轴
B．开口向下，对称轴是x轴
C．开口向上，对称轴是y轴
D．开口向下，对称轴是y轴2 关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( )
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
D．它与y＝－3x2的图象关于x轴对称知1－练（来自《典中点》） 3 关于二次函数y＝2x2与y＝－2x2，下列叙述正确
的有( )
①它们的图象都是抛物线；②它们的图象的对称
轴都是y轴；③它们的图象都经过点(0，0)；
④二次函数y＝2x2的图象开口向上，二次函数
y＝－2x2的图象开口向下；⑤它们的图象关于x
轴对称．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个知1－练（来自《典中点》）2知识点二次函数y＝ax2的性质知2－讲1．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是抛物线，它的顶点是
原点，对称轴是y轴．
2．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与性质：知2－讲知2－讲要点精析：
(1)判断二次函数的增减性的技巧：从抛物线的对称轴
分开，自左向右看“上坡路”就是y随x的增大而增大，
“下坡路”就是y随x的增大而减小．
(2)在二次函数y＝ax2(a≠0)中，a的正负决定开口方向，
|a|的大小决定开口的大小．|a|越大，抛物线开口
越小；反之，|a|越小，抛物线开口越大．
(3)二次函数y＝－ax2(a≠0)与y＝ax2(a≠0)的图象关
于x轴对称．【例2】 已知二次函数 ，不画图象，回答下列
各题．
(1)开口方向：________；
(2)对称轴：________；
(3)顶点坐标：________；
(4)当x＞0时，y 随x的增大而________；
(5)当x________时，y＝0；
(6)当x______时，函数值y最______，是______．
导引：根据二次函数y＝ax2(a≠0)的性质直接作答．
知2－讲 向下 y轴(0，0)减小＝0 ＝0 大 0 （来自《点拨》） 在解答函数性质的问题中，即使问题没有要求画
函数图象，也应考虑在演算纸上画出函数图象的草图，
结合函数图象用数形结合的方法来求解，这样能直观
地得到函数的性质．总 结知2－讲（来自《点拨》）2 (2014·毕节)抛物线y＝2x2，y＝－2x2， 的共同
性质是( )
A．开口向上 B．对称轴是y轴
C．都有最高点 D．y随x的增大而增大1 关于函数y＝36x2的叙述，错误的是( )
A．图象的对称轴是y轴
B．图象的顶点是原点
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．y有最大值知2－练（来自《典中点》）3 已知点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(3，y3)在
抛物线 上，则y1，y2，y3的大小关系
是( )
A．y1＜y2＜y3 B．y1＞y2＞y3
C．y1＝y3＜y2 D．y2＜y3＝y1知2－练（来自《典中点》）【例3】（易错题，概念辨析题）在同一坐标系中画出
y1＝2x2，y2＝－2x2和 的图象，正确
的是( )知2－讲D（来自《点拨》）知2－讲导引：当x＝1时，y1，y2，y3的图象上的对应点分别
是(1，2)，(1，－2)， ，由此可知其中
有两点在第一象限，一点在第四象限，排除B，
C；在第一象限内，y1的对应点(1，2)在上，y3
的对应点 在下，排除A.总 结知2－讲（来自《点拨》） 本题运用了排除法解答，还可以运用数形结合思想解答，即根据函数表达式中的“数”a的符号和绝对值大小来判断抛物线这个“形”的开口方向和开口大小. a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．如图，四个函数的图象，分别对应的是①y＝ax2；
②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d 的
大小关系为( )
A．a＞b＞c＞d
B．a＞b＞d＞c
C．b＞a＞c＞d
D．b＞a＞d＞c知2－练（来自《点拨》）1、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴.
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它
的开口向上，并且向上无限伸展； 当a<0时，抛物线
y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且
向下无限伸展.
3、当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在
对称轴右侧，y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值
最小.当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增
大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小，当x=0时，
函数y的值最大.必做：1.完成教材P10-P11 T1-T5
2.补充: 完成《典中点》P3-P4 T4-T7、T12、
T14、T15必做：1.完成教材P10-P11 T1-T5
2.补充: 完成《点拨》P15-P16ⅢT1、T4、T6、
T8、T9课件20张PPT。第二十一章 二次函数与反比例函数21.2 二次函数的图象和性质第6课时 二次函数表达
式的确定1课堂讲解用一般式(三点式)确定二次函数表达式、
用顶点式确定二次函数表达式、用交点
式确定二次函数表达式2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1.一次函数的表达式是什么?如何求出它的表达式? 一次函数的表达式是y=kx+b,只需知道一次函数图象
上两个点的坐标,利用待定系数法求出系数k、b.2.已知二次函数图象上的几个点的坐标,可以求出这个
二次函数的表达式吗? 求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关键是求出a、b、c的值.由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a、b、c的三元一次方程组,求出三个待定系数a、b、c就可以写出二次函数的表达式.1知识点用一般式(三点式)确定二次函数表达式知1－讲【例1】 已知二次函数的图象经过点(－1，－5)、(0，－4)
和(1，1)，求这个二次函数的表达式．
导引：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
解： 设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
依题意得 解这个方程组，得
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.知1－讲（来自《点拨》）总 结知1－讲（来自《点拨》） 若已知二次函数图象上任意三点的坐标，求二次
函数的表达式时，可设一般式．1 已知一个二次函数的图象经过(0，0)，(－1，－11)，
(1，9)三点，求这个二次函数的表达式．知1－练（来自教材）2 (2014·宁波)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的
图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)设二次函数的图象与x轴的另一个
交点为D，求点D的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，
并写出当x在什么范围内时，一次函
数的值大于二次函数的值．知1－练（来自《典中点》）2知识点 用顶点式确定二次函数表达式知2－讲 如果知道抛物线的顶点坐标(h,k),可设函数关系式为y=a(x-h)2+k,只需要再找一个条件求出a的值即可.【例2】 已知二次函数的图象经过点(0，－2)，顶点坐标
为(1，－4)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求二次函数的图象与x轴的交点坐标．
导引：(1)已知二次函数的图象的顶点坐标，故设该二次函数
的表达式为顶点式y＝a(x－1)2－4(a≠0)，然后将
(0，－2)代入，通过解方程求得a的值；
(2)令y＝0，通过解该方程来求二次函数的图象与x轴
的交点坐标．知2－讲解：(1)∵二次函数的图象的顶点坐标为(1，－4)，
∴设其表达式为y＝a(x－1)2－4.
∵二次函数的图象经过点(0，－2)，
∴－2＝a－4，∴a＝2.
∴二次函数的表达式为y＝2(x－1)2－4.
(2)令y＝0，则2(x－1)2－4＝0，
解得
故二次函数的图象与x轴的交点坐标为知2－讲（来自《点拨》）已知A(1，0)，B(0，－1)，C(－1，2)，D(2，－1)，E(4，2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)经过其
中三个点．
(1)求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋
k(a>0)上；
(2)点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)上吗？为什么？
(3)求a和k的值．知2－练（来自《典中点》）3知识点 用交点式确定二次函数表达式知3－讲 在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便. 找到函数图象与x轴的两个交点，分别记为x1和x2 ,代入公式y=a(x-x1)(x-x2)，再有一个经过抛物线的点的坐标，即可求出a的值.【例3】 （浙江宁波）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交
于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平
移后抛物线的顶点落在直线y＝－x
上，并写出平移后抛物线的表达式．
导引：(1)利用交点式设出抛物线的表达式为y＝a(x－1)(x－3)，
进而求出a的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；
(2)根据左加右减的平移规律得出抛物线的表达式为
y＝－x2，进而得出答案．知3－讲 解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，
∴可设抛物线的表达式为y＝a(x－1)(x－3)．
把点C(0，－3)的坐标代入，得3a＝－3，解得a＝－1.
故抛物线的表达式为y＝－(x－1)(x－3)，
即y＝－x2＋4x－3.
∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
∴顶点坐标为(2，1)．
(2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛
物线的表达式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，
0)，落在直线y＝－x上．知3－讲（来自《点拨》）总 结知3－讲（来自《点拨》） 此题主要考查了二次函数图象的平移和顶点坐标以
及利用交点式求二次函数的表达式，根据平移的规律得
出平移后的表达式是解题关键．第(2)小题是一个开放
题，平移方法不唯一，只需将原顶点平移成横、纵坐标
互为相反数即可．已知抛物线与x轴的交点坐标求其表
达式时，一般采用二次函数的交点式．(中考·宁波)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点
A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．
(1)求抛物线对应的函数表达式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶
点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线对应的函数表达式．知3－练（来自《典中点》）求二次函数的表达式一般用待定系数法，但要根据不同
条件，设出恰当的表达式：
(1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式
y＝ax2＋bx＋c(a≠0) ；
(2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可
设顶点式y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)；
(3)若给出抛物线与x轴的交点或与x轴的交点之间的距
离，通常可设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．必做：1.完成教材P23 T2-T3
2.补充: 完成《典中点》P13-P14 T2、T5-T7必做：1.完成教材P23 T2-T3
2.补充: 完成《点拨》P40ⅢT1-T2、T4-T7、
T9-T15课件20张PPT。第二十一章 二次函数与反比例函数21.3 二次函数与一元二次方程第1课时 二次函数与一元二次
方程间的关系1课堂讲解二次函数与一元二次方程之间的关系、
抛物线与x轴的交点个数之间的关系2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 猜想：二次函数的图象与x轴可能会有几个交点?我们可以借助什么来研究?1.当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的y值为0时，就得到一元
二次方程ax2＋bx＋c＝0 ，抛物线与x轴是否有公共点取
决于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况．
(1)当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，抛物
线与x轴有2个公共点；
(2)当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，抛物线
与x轴有1个公共点；1知识点二次函数与一元二次方程之间的关系知1－讲 (3)当b2－4ac＜0时，方程没有实数根，抛物线与x轴没有
公共点．反之亦成立．
2.拓展：如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公
共点A(m，0)，B(n，0)，令
其中Δ＝b2－4ac.此时A，B两点间的距离
我们把 叫做抛物线y＝
ax2＋bx＋c在x轴上的截距．知1－讲【例1】 求抛物线y＝3x2－8x＋4与x轴的两个公共点的坐标．
导引：要求抛物线y＝3x2－8x＋4与x轴的公共点的坐标，需
求y＝0时对应的x的值．可令y＝0，根据3x2－8x＋
4＝0的根来确定抛物线与x轴的公共点的横坐标．
解：令y＝0，则3x2－8x＋4＝0，解方程得x1＝ ,x2＝2.
∴抛物线y＝3x2－8x＋4与x轴的两个公共点的坐标为
，(2，0)．知1－讲（来自《点拨》）2 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是二次函数y＝
ax2＋bx＋c的图象与直线______交点的_____坐标．知1－练（来自《典中点》）3 抛物线y＝－3(x－2)(x＋5)与x轴的交点坐标为
________．一元二次方程－3(x－2)(x＋5)＝0的解
为________．（来自教材）已知一个二次函数的图象经过(0，0)，(－1，－11)，
(1，9)三点，求这个二次函数的表达式．4 (2014·柳州)小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图
象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( )
A．无解 B．x＝1
C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4知1－练（来自《典中点》）2知识点 抛物线与x轴的交点个数之间的关系知2－讲 (1)根据二次函数的图象与x轴的公共点情况，可以判断一
元二次方程的根的情况；反之，根据一元二次方程的
根的情况，可以判断二次函数的图象与x轴的公共点的
情况．
(2)拓展：一元二次方程的根的情况由根的判别式决定，而
当二次函数的图象与x轴有两个公共点时，两公共点间
的距离为 ，并且两公共点关于直线 对称．【例2】 (湖北荆门，有改动)若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一
个公共点，且过点A(m，n)，B(m＋6，n)，则 n＝____．
导引：∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个公共点，
∴当 时，y＝0，且b2－4c＝0，即b2＝4c.
又∵抛物线过点A(m，n)，B(m＋6，n)，点A，B关于直
线 对称,∴
将A 点的坐标代入抛物线对应的函数表达式，得
∵b2＝4c，∴知2－讲9（来自《点拨》）1 下列抛物线中，与x轴有两个交点的是( )
A．y＝3x2－5x＋3 B．y＝4x2－12x＋9
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝2x2＋3x－4知2－练（来自《典中点》）2 抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点的个数
是( )
A．3 B．2 C．1 D．03 (2015·烟台)如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物
线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，－4)，
则下列结论中错误的是( )
A．b2＞4ac
B．ax2＋bx＋c≥－6
C．若点(－2，m)，(－5，n)在抛物线上，则m＞n
D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－4的两根为
－5和－1知2－练（来自《典中点》）【例3】 已知二次函数y＝2x2－(m＋1)x＋m－1.
(1)求证：不论m为何值，函数的图象与x轴总有公
共点，并指出当m为何值时，只有一个公共点．
(2)当m为何值时，函数的图象经过原点？
(3)在(2)的图象中，求出y＜0时x的取值范围及y＞
0时x的取值范围．
导引：要说明二次函数的图象与x轴总有公共点，只要说
明Δ＝b2－4ac≥0即可．知2－讲 (1)证明：b2－4ac＝[－(m＋1)]2－4×2(m－1)＝m2＋
2m＋1－8m＋8＝m2－6m＋9＝(m－3)2.
显然不论m为何值，总有b2－4ac＝(m－3)2≥0，
且当m＝ 3时，b2－4ac＝0.
故不论m为何值，抛物线与x轴总有公共点，
且当m＝3时， 只有一个公共点．
(2)解：∵函数的图象经过原点(0，0)，
∴0＝2×02－(m＋1)×0＋m－1，∴m＝1.
即当m＝1时，函数的图象经过原点．
(本问也可直接由m－1＝0得出)知2－讲 (3)解：由(2)得y＝2x2－2x，其图象如图所示．
∵抛物线与x轴的两个公共点的坐标分别为(0，0)，(1，0)，
∴当y＜0时，0＜x＜1；当y＞0时，x＜0或x＞1.知2－讲（来自《点拨》）总 结知2－讲（来自《点拨》） 根据图象可直观地回答使得函数y的值大于、等于或小于零
时x的取值(范围)，具体如下表所述：已知关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x轴
有公共点．
(1)求k的取值范围．
(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个公共点的横坐标，且
满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2.
①求k的值；
②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值
和最小值．知2－练（来自《点拨》）必做：1.完成教材P33 T1-T4
2.补充: 完成《典中点》P18-P19 T4、T5、T9-
T13必做：1.完成教材P33 T1-T4
2.补充: 完成《点拨》P50-P51ⅢT1、T3、T8-
T11课件18张PPT。第二十一章 二次函数与反比例函数21.3 二次函数与一元二次方程第2课时 阅读与思考——由二次函
数的图象认识一元二次
不等式的解集 1课堂讲解利用二次函数的图象解一元二次方程、
利用二次函数的图象解一元二次不等式2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 观察：观察右图，说一说二次函数
y＝x2＋3x＋2的图象与x轴有几个交点？
交点的横坐标与一元二次方程x2＋3x＋
2＝0的根有什么关系？1知识点利用二次函数的图象解一元二次方程知1－导 由上面的观察看出，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，
当Δ＝b2－4ac≥0时有实数根，这个实数根就是对应二
次函数y＝ax2＋bx＋c当y=0时自变量x的值，这个值就是
二次函数图象与x轴交点的横坐标．
由上面可知，我们可以利用二次函数的图象求一元
二次方程的根．由于作图或观察可能有误差，由图象求
得的根一般是近似的． 知1－讲【例1】 用图象法求一元二次方程x2＋2x－1＝0的近似
解(精确到0.1)．
解：画出函数y＝x2＋2x－1的图象，如图.
由图象可知，方程有两个实数根，一个
在－3和－2之间，另一个在0和1之间．
先求位于－3和－2之间的根．
由图象可估计这个根是－2.5或－2.4，
利用计算器进行探索，见下表：知1－讲 观察上表可以发现，当x分别取－2.5和－2.4时，对
应的y由正变负，可见在－2.5与－2.4之间肯定有一个x使
y＝0，即有方程x2＋2x－1＝0的一个根．题目只要求精确
到0.1，这时取x＝－2.5或x＝－2.4作为根都符合要．但
当x＝－2.4时，y＝－0.04比y＝0.25(x＝－2.5)更接近0，
故选x＝－2.4.
因而，方程x2＋2x－1＝0在－3和－2之间精确到0.1的
根为x＝－2.4.知1－讲（来自教材）1 用图象法求方程x2－4x＋1＝0的近似解(精确到0.1)．知1－练（来自教材）2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二
次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为( )
A．x1＝1，x2＝－2
B．x1＝x2＝－1
C．x1＝x2＝2
D．x1＝－1，x2＝2（来自《典中点》）3 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象上有两
点分别为A(2.18，－0.51)，B(2.68，0.54)，则方
程ax2＋bx＋c＝0的一个解只可能是( )
A．2.18 B．2.68
C．－0.51 D．2.45知1－练（来自《典中点》）2知识点 利用二次函数的图象解一元二次不等式知2－讲【例2】阅读材料，解答问题．
利用图象法解一元二次不等式：x2－2x－3＞0.
解：设y＝x2－2x－3，则y是x的二次函数．
∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上．
又∵当y＝0时，x2－2x－3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3.
∴由此得抛物线y＝x2－2x－3的
大致图象如图所示．知2－讲 观察函数图象可知：当x＜－1或x＞3时，y＞0.
∴x2－2x－3＞0的解集是x＜－1或x＞3.
(1)观察图象，直接写出一元二次不等式x2－2x－3＜0的
解集是____________；
(2)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2－1＞0.
导引：(1)抛物线y＝x2－2x－3开口向上，y＜0时，图象在x
轴的下方，此时－1＜x＜3；
(2)仿照材料中的方法，解出图象与x轴的交点坐标，
根据图象的开口方向及函数值的符号，确定x的
范围．解： (1) －1＜x＜3
(2)设y＝x2－1，则y是x的二次函数．
∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上．
又∵当y＝0时，x2－1＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
∴由此得抛物线y＝x2－1的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：
当x＜－1或x＞1时，y＞0.
∴x2－1＞0的解集是x＜－1或x＞1.知2－讲（来自《点拨》）总 结知2－讲（来自《点拨》） 数形结合思想是解答此类问题的指导思想，它利用
抛物线这个“形”求一元二次不等式的解集这个“数”．
解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找
出当y＜0或y＞0时，自变量x的范围．若抛物线y＝ax2＋
bx＋c(a＞0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)，x1＜x2，
则不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是x＜x1或x＞x2，
不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集是x1＜x＜x2.1 (中考·牡丹江)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)如图，
则关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是( )
A．x<2 B．x>－3
C．－31知3－练（来自《典中点》）2 (2015·咸宁)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．
下列结论：①二次三项式ax2＋bx＋c的最大值为4；
②4a＋2b＋c＜0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两
根之和为－1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.
其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个知3－练（来自《典中点》）必做：1.完成教材P33 T1-T3
2.补充: 完成《典中点》P20-P21 T3-T4、T8-
T10必做：1.完成教材P34 T1-T2
2.补充: 完成《点拨》P50-P51ⅢT5、T7、T12课件16张PPT。第二十一章 二次函数与反比例函数21.4 二次函数的应用第2课时 求“抛物线”
型最值问题1课堂讲解建立坐标系解抛物线形建筑问题、
建立坐标系解抛物线形运动的最值问题2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升【例1】 如图，悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其
形状可近似地看作拋物线，水平桥面与主悬钢索
之间用垂直钢索连接．已知两端主塔之间水平距
离为900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m，
主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.1知识点建立坐标系解抛物线形建筑问题知1－讲知1－讲 (1)若以桥面所在直线为x轴，拋物线的对称轴为y轴，
建立平面直角坐标系，如图，求这条抛物线对
应的函数表达式；
(2)计算距离桥两端主塔分别为100 m，
50 m处垂直钢索的长．
解：(1)根据题意，得拋物线的顶点坐标为(0，0.5)，对称
轴为y轴，设抛物线对应的函数表达式为
y＝ax2＋0.5.
抛物线经过点(450，81.5)，代入上式，得
81.5＝a·4502＋0.5.
知1－讲 解方程，得
答：所求抛物线对应的函数表达式为
(2)当x＝450－100＝350(m)时，得
当x＝450－50＝400(m)时，得
答：距离桥两端主塔分别为100 m，50 m处垂直
钢索的长分别为49.5 m，64.5 m.（来自教材）总 结知1－讲1.抛物线形建筑物问题：几种常见的抛物线形建筑物
有拱形桥洞、隧道洞口、拱形门等．解决这类问题
的关键是根据已知条件选择合理的位置建立直角坐
标系，结合问题中的数据求出函数表达式，然后利
用函数表达式去解决问题．
知1－讲2.运动问题：(1)运动中的距离、时间、速度问题，这
类问题多根据运动规律中的公式求解．(2)物体的运
动路线(轨迹)问题．解决这类问题的思想方法是利用
数形结合思想和函数思想，合理建立直角坐标系，根
据已知数据，运用待定系数法求出运动轨迹(抛物线)
对应的函数表达式，再利用二次函数的性质去分析、
解决问题．（来自《典中点》） 1 (2015·铜仁)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似
的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，
其函数的表达式为 ，当水面离桥拱顶
的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为( )
A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m知1－练（来自《典中点》） 2 (2015·金华)图②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱
与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB
为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成
抛物线 ，桥拱与桥墩AC的交点
C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离
水面的高度AC为( )
A． 米 B. 米
C． 米 D. 米知1－练（来自《典中点》）2知识点 建立坐标系解抛物线形运动的最值问题知2－讲【例2】 （实际应用题）如图，一位篮球运动员跳起投篮，
球沿抛物线 运行，然后准确落入篮
筐内．已知篮筐的中心离地面的距离为3.05 m.
(1)球在空中运行的最大高度为多少米？
(2)如果该运动员跳投时，
球出手时离地面的高度
为2.25 m，则他距离篮
筐中心的水平距离l是
多少？知2－讲解：(1)因为抛物线 的顶点坐标为(0，3.5)，
所以球在空中运行的最大高度为3.5 m.
(2)在 中，当y＝3.05时， ，
解得x＝±1.5.
因为篮筐在第一象限，所以x＝1.5.
当y＝2.25时， ，解得x＝±2.5.
因为运动员在第二象限，所以x＝－2.5.
故该运动员距离篮筐中心的水平距离为
1.5－(－2.5)＝4(m)．
（来自《点拨》）1 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平
地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，
水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：
米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A．4米 B．5米
C．6米 D．7米知2－练（来自《典中点》）2 小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线
的一部分(如图)，若命中篮
筐中心，则他与篮底的水平距离l是( )
A．3.5 m B．4 m C．4.5 m D．4.6 m知2－练（来自《典中点》）解决抛物线形问题，其一般步骤为：
(1)建立适当的坐标系，正确写出关键点的坐标；
(2)根据图形设抛物线的表达式；
(3)根据已知条件，利用待定系数法求表达式，再利用二
次函数的性质解题．
在解题过程中要充分利用抛物线的对称性，同时要注意
数形结合思想的应用．必做：1.完成教材P38 T1-T2
2.补充: 完成《典中点》P21-P22 T3、T6-
T10必做：1.完成教材P38 T1-T2
2.补充: 完成《点拨》P60-P62ⅢT1、T3-T4、
T8课件15张PPT。第二十一章 二次函数与反比例函数21.4 二次函数的应用第1课时 求几何面积的
最值问题1课堂讲解二次函数的最值、几何面积的最值2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 二次函数有哪些性质?
y随x的变化增减的性质,有最大值或最小值.1．二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况：当a>0时，
函数在 处取得最小值 ，无最大值；当a<0
时，函数在 处取得最大值 ，无最小值．
2．二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线
上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最
低点的纵坐标即为函数的最小值．1知识点二次函数的最值知1－导【例1】 当-2≤x≤2时，求函数y=x2-2x-3的最大值和
最小值．
解：作出函数的图象,如图．
当x=1时，y最小值=12-2×1-3=-4，
当x=-2时，y最大值=(-2)2-2×(-2)-3=5.知1－讲总 结知1－讲 二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是
抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最
大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 3 二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值
范围是____________． 2 已知x2＋y＝3，当1≤x≤2时，y的最小值是( )
A．－1 B．2 C. D．3 1 二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c的值
为( )
A．2 B．4 C．－4 D．16知1－练（来自《典中点》）2知识点 几何面积的最值知2－讲【例2】 在第21.1节的问题1中，要使围成的水面面
积最大，则它的边长应是多少米？它的最
大面积是多少平方米？
解：在第21.1节中，得S＝x(20－x)．
将这个函数的表达式配方，得
S＝－(x－10)2＋100 (0 知2－讲这个函数的图象是一条开口向下抛物线中的一段，
如图，它的顶点坐标是(10，100)．
所以，当x＝10时，函数取得最大值，
即S最大值＝100(m2)．
此时，另一边长＝20－10＝10(m)．
答：当围成的矩形水面边长都为10 m时，
它的面积最大为100 m2.
（来自教材）总 结知2－讲（来自《点拨》）(1)这类与几何图形有关的探究题，在近年来考试中较为常
见，解决这类题的方法是：在平面几何图形中寻找函数
表达式，要充分挖掘图形的性质．
(2)利用二次函数求几何图形面积的最值问题，其步骤一般为：
①设图形的一边长为自变量，所求面积为因变量；
②利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式建立二
次函数模型，并指明自变量的范围；
③利用函数的性质求最值．1 已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则这
个直角三角形的最大面积为( )
A．25 cm2 B．50 cm2 C．100 cm2 D．不确定知2－练（来自《典中点》）2 用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长
方形，a的值不可能为( )
A．20 B．40 C．100 D．1203 如图，从长为2，宽为1的矩形ABCD的较短边AD上
找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分
别是AE、DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小
时, 点E应选在( )
A．AD的中点
B．AE∶ED＝( －1)∶2
C．AE∶ED＝ ∶1
D．AE∶ED＝( －1)∶2
知2－练（来自《典中点》） 利用二次函数求几何图形面积的最值是二次函数应用
的重点之一，解决此类问题的基本方法是：借助已知条件，
分析几何图形的性质，确定二次函数表达式，再根据二次
函数的图象和性质求出最值，从而解决问题．必做：1.完成教材P36 T1-T2
2.补充: 完成《典中点》P19-P20 T3、T5、T9-
T12、T14必做：1.完成教材P36 T1-T2
2.补充: 完成《点拨》P61ⅢT5-T7课件29张PPT。第二十一章 二次函数与反比例函数21.1 二次函数1课堂讲解二次函数的定义、用二次函数表达式
表示实际问题2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 要用长20 m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设连墙的一边为x, 矩形的面积为y,试写出y关与x的函数关系式 .1知识点二次函数的定义问 题（一） 某水产养殖户用长40 m的围网，在水库中围一块矩
形的水面，投放鱼苗(如图)．要使围成的水面面积最大，
则它的边长应是多少米？知1－导 这个问题首先要找出围成的矩形水面
面积与其边长之间的关系．
设围成的矩形水面的一边长为x m，
那么，矩形水面的另一边长应为(20－x)m.
若它的面积是S m2，则有S＝x(20－x).知1－导这里x的取值
有什么限制？问 题（二）知1－导 有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每
天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增加1人，
可使每人每天少装配玩具10个．问增加多少人才能使
每天装配玩具总数最多？玩具总数最多是多少？
设增加x人，这时，则共有(15＋x)个装配工，每
人每天可少装配10x个玩具，因此，每人每天只装配
(190－10x)个玩具．所以，增加人数后，每天装配玩
具总数y可表示为y＝(190－10x)(15＋x)．知1－导归 纳 定义：一般地，表达式形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做x的二次函数；其中x是自变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．（来自《点拨》）【例1】下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的
二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y＝7x－1； (2)y＝－5x2；
(3)y＝3a3＋2a2； (4)y＝x－2＋x；
(5)y＝3(x－2)(x－5)；(6)
导引：判断一个函数是否是二次函数，要紧扣定义并将其化
简后再判断．(1)是一次函数；(2)是二次函数，二次
项系数为－5，一次项系数和常数项都为0；(3)中自
变量的最高次数是3，所以不是二次函数；(4)中x－2
知1－讲 不是整式，所以不是二次函数；把(5)整理得到y＝
3x2－21x＋30，是二次函数，二次项系数为3，一次
项系数为－21，常数项为30；(6)中 是分式，所
以不是二次函数．
解：(2)与(5)是二次函数．
(2)y＝－5x2的二次项系数为－5，一次项系数和常数
项都为0；(5)化为一般式，得到y＝3x2－21x＋30，所
以y＝3(x－2)(x－5)的二次项系数为3，一次项系数
为－21，常数项为30. 知1－讲（来自《点拨》） 判断一个函数是否为二次函数，要看这个函数的表
达式化简后是否同时满足二次函数定义中的三个条件：
(1)函数的表达式为整式；
(2)函数的表达式有唯一的自变量；
(3)函数表达式自变量的最高次数为2，且二次项系数
不等于0.总 结知1－讲（来自《点拨》）1 设圆的半径为r，请填空：
(1)这个圆的周长C＝______，它是r的_______函数；
(2)这个圆的面积S＝______，它是r的_______函数．知1－练（来自教材）2 在下列表达式中，哪些是二次函数？
(1)正常情况下，一个人在运动时每分所能承受的
最高心跳次数b与这个人的年龄a之间的关系可
表示为b＝0.8(220－a)；
(2)圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的
关系可表示为 (h为定值)；知1－练 (3)物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的
关系可表示为 (g为定值)；
(4)导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位
时间所产生的热量Q与电流I之间的关系可表示为
Q＝RI2(R为定值)．知1－练（来自教材）4 对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是( )
A．y＝mx2＋3x－1 B．y＝(m－1)x2
C．y＝(m－1)2x2 D．y＝(－m2－1)x23 (2015·兰州)下列函数表达式中，一定为二次函数
的是( )
A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋c
C．s＝2t2－2t＋1 D．知1－练（来自《典中点》）【例2】 已知函数 是y关
于x的二次函数，求a，b的值．
导引：若是二次函数，则等号的右边应是关于x的二次多
项式，故a－b＝0，2a＋b－3＝0，于是a，b可求．
解：由题意得
解得知1－讲（来自《点拨》） 当二次函数的二次项系数含有待定字母时，求出字
母的值必须满足二次项系数不为0这一条件．总 结知1－讲（来自《点拨》）1 若函数 是y关于x的二次函数，求
k的值．知1－练（来自《点拨》）2 已知关于x的函数 .
(1)当a取什么值时，它为二次函数？
(2)当a取什么值时，它为一次函数？2知识点用二次函数表达式表示实际问题知2－讲【例3】 填空：
(1)已知圆柱的高为14 cm，则圆柱的体积
V(cm3)与底面半径r(cm)之间的函数表
达式是_________________；
(2)已知正方形的边长为10，若边长减少x，
则面积减少y，y与x之间的函数表达式
是________________________．
V＝14πr2(r＞0) y＝－x2＋20x(0≤x≤10) 导引：(1)根据圆柱体积公式V＝πr2h求解．
(2)有三种思路：如图，①减少的面积y＝S四边形AEMG＋
S四边形GMFD＋S四边形MHCF＝
x(10－x)＋x2＋x(10－x)
＝－x2＋20x；②减少的面积
y＝S四边形AEFD＋S四边形GHCD－
S四边形GMFD＝10x＋10x－x2＝－x2＋
20x；③减少的面积y＝S四边形ABCD－
S四边形EBHM＝102－(10－x)2＝－x2＋20x.知2－讲（来自《点拨》）(1)求几何问题中的二次函数表达式，除了根据有关的
面积、体积公式写出二次函数表达式以外，还应考
虑问题的实际意义，明确自变量的取值范围(在一
些问题中，自变量的取值可能是整数或者是在一定
的范围内)．总 结知2－讲(2)如果不能通过已知条件直接写出函数表达式(直接法)，
应适当考虑通过割补法，将问题转化为几个图形面积
和差的问题(间接法)，再寻求解答；判断自变量的取
值范围，应结合问题，考虑全面，不要漏掉一些约束
条件，列不等式组是求自变量的取值范围的常见方法．
(3)如果要作实际问题中的函数的图象，注意其图象应是
在自变量取值范围内的部分图象．总 结知2－讲（来自《点拨》）下列函数关系中，不是二次函数的是( )
A．边长为x的正方形的面积y与边长x的函数关系
B．一个直角三角形两条直角边长的和是6，则这个直
角三角形的面积y与一条直角边长x的函数关系
C．在边长为5的正方形内挖去一个边长为t的小正方形，
剩余面积S与t的函数关系
D．多边形的内角和m与边数n的函数关系知2－练（来自《典中点》）1【例4】 如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方
形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，
开始时点A与点M重合，然后让△ABC向右移动，最
后点A与点N重合．问题：
(1)试写出重叠部分的面积y(cm2)与线段MA的长度
x(cm)之间的函数表达式；
(2)当MA＝1 cm时，重叠部
分的面积是多少？知2－讲（来自《点拨》）知2－讲导引：(1)根据图形及题意可得出重叠部分是等腰直角三角形，
从而根据MA的长度可得出y与x之间的函数表达式；
(2)将x＝1代入函数表达式可得出重叠部分的面积．
解： (1)由题意知，开始时点A与点M重合，
然后让△ABC向右移动，
两图形重叠部分为等腰直角三角形，
所以 ．
(2)当MA＝1 cm 时，重叠部分的面积是 cm2.总 结知2－讲（来自《点拨》） 此题主要考查的是求动态几何图形中面积的函数表达式，判断出重叠部分是等腰直角三角形是关键．
在确定实际问题中的函数表达式时，通常根据题目中的等量关系列出恰当的函数表达式，并且要特别注意自变量的取值范围.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 mm，BC＝
24 mm，动点P从点A开始沿边AC向C以2 mm/s的速度移
动，动点Q从点C开始沿边CB向B以4 mm/s的速度移动．
(1)若P，Q两点同时出发，请写出△PCQ的面积S1关于运
动时间t(s)的函数表达式及t的取值范围．
(2)在(1)的条件下，请写出四
边形APQB的面积S2关于运
动时间t(s)的函数表达式．知2－练（来自《点拨》）1.定义：一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函
数叫做x的二次函数.
2.y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax2 ----- (a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax2+c ----- (a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax2+bx ----- (a≠0,b≠0,c=0).
3.(1)确定自变量与函数代表的实际意义；
(2)找到自变量与函数之间的等量关系，根据等量关系列
出方程或等式．
(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．
必做：1.完成教材P4 T1-T2
2.补充: 完成《典中点》P1T2-T6 、T8-T10、
T12必做：1.完成教材P4 T1-T2
2.补充: 完成《点拨》P8-P9Ⅲ中T2-T5、
T7-T11、T13-T14课件21张PPT。第二十一章 二次函数与反比例函数21.4 二次函数的应用第3课时 求实际中一般
最值问题
1课堂讲解用二次函数表示实际问题、用二次函
数的最值解实际问题2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升用二次函数表示实际问题的基本步骤:
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已
知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即
函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要
注意所设变量的单位要准确．?1知识点用二次函数表示实际问题知1－讲知1－讲(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此
语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)再根据问题中蕴含的等量关系列出等式,最后确定自变
量的取值范围.
实际问题往往还含有许多实际常识性的、书面无表达的条
件,需要同学们注意。 1 某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元
时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：
每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的
前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为
y元，则y与x的函数表达式为( )
A．
B．
C．
D．知1－练（来自《典中点》） 2 在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形风景画的四周镶一
条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要
使整幅挂图的面积是y cm2，设金色纸边的宽度为
x cm，那么y关于x的函数表达式是( )
A．y＝(60＋2x)(40＋2x)
B．y＝(60＋x)(40＋x)
C．y＝(60＋2x)(40＋x)
D．y＝(60＋x)(40＋2x)知1－练（来自《典中点》）2知识点 用二次函数的最值解实际问题知2－讲【例1】 上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下的
表达式 其中h是物体上升的高度，
v0是物体被上抛时竖直向上的初始速度，g是重
力加速度(取g＝10 m/s2)，t是物体抛出后经过
的时间．在一次排球比赛中，排球从靠近地面
处被垫起时竖直向上的初始速度为10 m/s.(1)问排球上升的最大高度是多少？
(2)已知某运动员在2.5 m高度时扣球效果最佳，如果她
要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球
最佳？(精确到0.1 s)
解:(1)根据题意，得
因为抛物线开口向下，顶点坐标为(1，5)．
答：排球上升的最大高度是5 m.
知2－讲(2)当h＝2.5 m时，得10t－5t2＝2.5.
解方程，得t1≈0.3(s)，t2≈1.7(s)．
排球在上升和下落中，各有一次经过2.5 m高度，
但第一次经过时离排球被垫起仅有0.3 s，要打快攻，
选择此时扣球，可令对方措手不及，易获成功．
答：该运动员应在排球被垫起后0.3 s时扣球最佳．知2－讲（来自教材） 1.炮弹以一定的初速度和发射角射出后，上升的高度
y m与对应的水平距离x m之间的函数关系可表示
为
试求：
(1)炮弹能达到的最大高度；
(2)炮弹最远射程．知2－练（来自教材）知2－讲【例2】 (湖北咸宁)为鼓励大学毕业生自主创业，某市政
府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成
本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与
出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政
策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这
种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12
元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关
系近似满足一次函数：y＝－10x＋500.知2－讲(1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那
么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
(2)设李明获得的利润为w(元)，当销售单价定为多少元
时，每月可获得最大利润？
(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．
如果李明想要每月获得的利润不低于3 000元，那么
政府为他承担的总差价最少为多少元？知2－讲导引：(1)把x＝20代入y＝－10x＋500求出销售的件数，然后求
出政府这个月为他承担的总差价；
(2)由利润＝销售价－成本价，总利润＝单件利润×销售
量，得w＝(x－10)(－10x＋500)，把函数表达式转化
成顶点式，根据二次函数的性质求出最大利润；
(3)令w＝3 000，求出x的值，结合图象求出w≥3 000时x
的范围，然后设政府每个月为他承担的总差价为p元，
根据一次函数的性质求出总差价的最小值．知2－讲解：(1)当x＝20时，y＝－10x＋500＝－10×20＋500＝300，
300×(12－10)＝300×2＝600，
即政府这个月为他承担的总差价为600元．
(2)依题意得，w＝(x－10)(－10x＋500)
＝－10x2＋600x－5 000
＝－10(x－30)2＋4 000，
∵a＝－10＜0，∴当x＝30时，w有最大值4 000.
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利
润4 000元．
知2－讲(3)由题意得，－10x2＋600x－5 000＝3 000，
解得x1＝20，x2＝40.∵a＝－10＜0，
∴抛物线开口向下，画出抛物线，如图.
结合图象可知：当20≤x≤40时，w≥3 000.
又∵x≤25，∴当20≤x≤25时，w≥3 000.
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
则p＝(12－10)×(－10x＋500)＝－20x＋1 000.
∵－20＜0，∴p随x的增大而减小．
∴当x＝25时，p有最小值500.
即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担
的总差价最少，为500元．（来自《点拨》）总 结知2－讲(1)解答本题的关键是将实际问题转化为求函数的最值
问题，解这类题，既要看到销售价格对销售数量的
影响，也要看到销售价格对单件商品利润产生的影
响，两者结合起来，销售价格就会对销售总利润产
生影响．知2－讲（来自《点拨》）(2)利润公式：总利润＝单件利润×销售数量＝总销售
额－总成本；利润＝售价－进价．
(3)列日常生活应用的函数式时，必须指明自变量的
取值范围，其图象必须是自变量取值范围内的部
分图象．1.(2015·天水)天水“伏羲文化节”商品交易会上，某商
人将每件进价为8元的纪念品，按每件9元出售，每天可
售出20件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试
验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减
少4件．
(1)写出每天所得的利润y(元)与售价x(元/件)之间的函
数表达式；
(2)每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？
最大利润是多少元？知2－练（来自《典中点》）解函数应用题的步骤:
设未知数(确定自变量和函数);
找等量关系,列出函数关系式;
化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数等);
求自变量取值范围；
利用函数知识，求解（通常是最值问题）；
写出结论.必做：1.完成教材P41 T2-T3
2.补充: 完成《典中点》P23-P24 T3-T5、T7-
T10必做：1.完成教材P41 T2-T3
2.补充: 完成《点拨》P60-P62ⅢT2、T6、T9课件15张PPT。第二十一章 二次函数与反比例函数21.5 反比例函数第5课时 反比例函数的实际应用1课堂讲解实际问题中的反比例函数表达式、
实际问题中的反比例函数的图象2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1知识点实际问题中的反比例函数表达式【例1】 你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：
一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y(m)是面条的粗
细(横截面面积)S(mm2)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)写出y与S之间的函数表达式；
(2)当面条粗为1.6 mm2时，面条的
总长度是多少米？知1－讲知1－讲（来自《点拨》）导引：(1)已知反比例函数图象上一个点的坐标，用待定系数法
求表达式；(2)已知S的值求y的值．
解：(1)设y＝ (k≠0)，由图象知双曲线过点P(4，32)，可得
k＝128，即y与S之间的函数表达式为y＝ (S＞0)．
(2)当面条粗为1.6 mm2时，即当S＝1.6时，y＝
＝80.因此，当面条粗为1.6 mm2时，面条的总长度为
80 m.总 结知1－讲（来自《点拨》）建立反比例函数解决实际问题的方法：先灵活运用反比例函
数解决实际问题的一般步骤求出反比例函数的表达式并写出
自变量的取值范围，然后根据题中要求，利用函数的定义或
性质解答相关问题．知1－练（来自教材）1某水池的容量一定，当注入水的流量Q=15m3/min时，注
满全池需时t=20 min.
(1)求Q与t之间的函数表达式；
(2)当t=25 min时，求水流量Q的值.2某汽车的油箱一次加满汽油45 L，可行驶y km，设该汽
车每行驶100 km耗油x升，则y关于x的函数表达式为
.（来自《典中点》）知1－练（来自《典中点》）3电是商品，可以提前预购．小明家用购电卡购买800度电，那么这
些电能够用的天数n(天)与小明家平均每天的用电量m(度)之间的函
数表达式为____________；如果平均每天用电4度，则这些电可
用________天．4(2015·临沂)已知甲、乙两地相距20 km，汽车从甲地匀速行驶到
乙地，则汽车行驶时间t(单位：h)关于行驶速度v(单位：km/h)的
函数表达式是( )
A．t＝20v B．t＝ C．t＝ D．t＝2知识点实际问题中的反比例函数的图象知2－讲【例2 】 甲乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达
乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均速度x(km/h) 的函数，则
这个函数的图象大致是（ ）C解析：∵路程为100，速度为v，∴时间t=100 /v ，t是v的反比例函
数．又v>0，只取双曲线中第一象限的一支，故选C.总 结知2－讲实际问题中反比例函数的表达式自变量的取值范围，
一般都是大于零，图象在第一象限.1 (2015·河北)一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它
的使用时间x(年)成反比例关系，当x＝2时，y＝20.则y与x
的函数图象大致是( )知2－练（来自《典中点》）2 (2015·广西)已知矩形的面积为10，长和宽分别为
x和y，则y关于x的函数图象大致是( )知2－练（来自《典中点》）3 (2015·宜昌)如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为
104 m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的占地面积S(单位：
m2)与其深度d(单位：m)的函数图象大致是( )知2－练（来自《典中点》）用反比例函数解决实际问题的步骤：
(1)审清题意，找出问题中的常量、变量(有时常量、变量以图象
的形式给出)，并且理清常量与变量之间的关系；
(2)根据常量与变量之间的关系，设出反比例函数表达式；
(3)利用待定系数法确定函数表达式，并注意自变量的取值范围；
(4)利用反比例函数的图象与性质解决实际问题．
必做：1.完成教材P48-P49T2-T3，T8
2.补充：《典中点》P33-P34T4-T5，T9-T13必做：1.完成教材P48-P49T2-T3，T8
2.补充：《点拨》P074-P075举一反三T10-T12课件27张PPT。第二十一章 二次函数与反比例函数21.5 反比例函数第2课时 反比例函数的
图象1课堂讲解反比例函数的图象、反比例函数图象
的对称性、反比例函数的系数k的几
何意义2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1.什么叫做反比例函数?下列函数中哪些是反比例函数?
反比例函数的定义中需要注意什么?
2.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,那么反比
例函数的图象是什么样的呢?
3.画函数图象的一般步骤是什么?图象的画法：
(1)反比例函数的图象是双曲线；
(2)画反比例函数的图象要经过“列表、描点、连线”
这三个步骤．1知识点反比例函数的图象知1－讲知1－讲要点精析：
(1)双曲线的两端是无限延伸的，画的时候要“出头”；
(2)画双曲线时，取的点越密集，描出的图象就越准确，
但计算量会越大，故一般在原点的两侧各取3～5个点
即可；
(3)连线时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用
平滑的曲线连接．注意：两个分支不连接．【例1】 (作图题)作反比例函数 的图象．
导引：按照列表、描点、连线的步骤进行．
解：(1)列表：
(2)描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面
直角坐标系内描出相应的点．知1－讲知1－讲(3)连线：用平滑的曲线分别顺次连接横坐标为负数的点
及横坐标为正数的点，各得到图象的一个分支，这两
个分支合起来就是函数 的图象．如图.（来自《点拨》）总 结知1－讲（来自《点拨》） 列表时，自变量的值可以以0为中心，在0的两边
选择绝对值相等而符号相反的值，既可简化运算又便
于描点；在列表、描点时要尽量多取一些数据，多描
一些点，方便连线．1 (2015·柳州)下列图象中是反比例函数 的
图象的是( )知1－练（来自《典中点》）2 如图所示的图象对应的函数表达式为( )
A．y＝－6x B．y＝－3x＋2
C． D． 3 (2015·牡丹江)在同一直角坐标系中，函数
与y＝ax＋1(a≠0)的图象可能是( )知1－练（来自《典中点》）2知识点 反比例函数图象的对称性知2－导 观察例1中函数图象，如果点P(x0,y0)在函数
的图象上,那么与点P关于原点成中心对称的P′的坐标
应是什么?这个点在函数 的图象上吗?知2－讲 双曲线既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．对称轴有两条，分别是直线y＝x与直线y＝－x；对称中心是坐标原点，任何一条经过原点的直线只要与双曲线有两个交点，则这两个交点关于原点对称．【例2】 (山东聊城)如图，在直角坐标系中，正方形的
中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，
点P(3a，a)是反比例函数 (k＞0)的图象与
正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等
于9，则这个反比例函数的表达式为________．
知2－讲 导引：由反比例函数图象的对称性可知阴影部分的面积
正好等于正方形面积的 ,设正方形的边长为b，
由图中阴影部分的面积等于9可求出b的值，进而
可得出a的值，再根据点P(3a，a)在反比例函数的
图象上，可得出反比例函数的表达式．知2－讲（来自《点拨》）总 结知2－讲（来自《点拨》） 由求表达式这种“数”，联想到求表达式的图象上
的点的坐标这种“形”，再由点在几何图形的位置，结
合图形的相关性质(如本例的对称性、面积与边长的关系
等)，求出相关线段的长，即可得到点的坐标，最后将点
的坐标代入所设的表达式中求出待定字母的值，从而得
到所求的表达式．这种由“数”到“形”，最后又由
“形”回到“数”的数形结合思想在本章中有相当高的
使用“频率”．２ 若点P(2，5)在反比例函数 的图象上，则下列
各点在图象的另一个分支上的是( )
A．(2，－5) B．(－2，5)
C．(－2，－5) D．(5，2)1 已知P为函数 的图象上一点，且点P到原点的
距离为2，则符合条件的点P有( )
A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个知2－练（来自《典中点》）（来自《点拨》）3知识点 反比例函数的系数k的几何意义知3－讲1．双曲线的几何特性：过双曲线 上的任意一点
向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等
于|k|，连接该点与原点，还可得出两个直角三角
形，这两个直角三角形的面积都等于 .
知3－讲2．反比例函数图象上任何一点的坐标都可以设为要点精析：如图，点P是双曲线上任意一点，
过点P作PA⊥x轴于点A，作PB⊥y轴于点B，
设点P的坐标为(x，y)，则
∵ ，
∴xy＝k.∴【例3】 (湖南永州)如图，两个反比例函数 和
在第一象限内的图象分别
是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥
x轴于点A，交C2于点B，则
△POB的面积为____．
导引：根据反比例函数中k的几何意义，得△POA和
△BOA的面积分别为2和1，于是阴影部分的
面积为1.知3－讲1（来自《点拨》）总 结知3－讲（来自《点拨》） 求阴影部分面积的方法：当它无法直接求出时，一
般都采用“转化”的方法，将它转化为易求图形面积的
和或差来进行计算．如本例就是将阴影部分面积转化为
两个与比例系数k相关的特殊三角形的面积的差来求，
要注意转化思想的运用．1 (2015·凉山州)以正方形ABCD的两条对角线的交
点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标
系，双曲线 经过点D，则正方形ABCD的面
积是( )
A．10 B．11
C．12 D．13知3－练（来自《典中点》）2 (湖北黄冈)已知反比例函数 在第一象限的图象
如图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，
连接AO，AB，且AO＝AB，则S△AOB＝________.知3－练（来自《点拨》）1．性质：
2. 易错警示：反比例函数的增减性取决于k的正负，
反之亦成立．在运用增减性时，一定要注意在同
一象限．
3. 反比例函数 的系数k的几何意义：
过反比例函数图象上的任意一点P作x轴、y轴的垂
线，则可得：
(1)两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积等于|k|.
(2)所作垂线、x轴(或y轴)与线段OP围成的三角形
的面积等于 .
常应用该几何意义来确定反比例函数的表达式或
进行相应面积的计算、比较等．必做：1.完成教材P47-P48 T1-T3
2.补充: 完成《典中点》P27-P28 T3、T5、T7-
T9、T11-T14必做：1.完成教材P47-P48 T1-T3
2.补充: 完成《点拨》P80-P81ⅢT4、T5、T7、
T11-T12课件22张PPT。第3课时 反比例函数的性质第二十一章 二次函数与反比例函数21.5 反比例函数1课堂讲解反比例函数的几何性质、反比例函数的增减性
质、反比例函数的函数值性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升问题：观察并比较函数 与 的图象，你能就k>0和k<0两种情况，分别总结反比例函数 (k为常数，且 k≠0 )的性质吗？1知识点反比例函数的几何性质知1－讲1.反比例函数的图象是双曲线；
2.图象性质见下表：知1－讲（来自《点拨》）【例1】已知反比例函数y＝ 的图象如图所
示，则实数m的取值范围是( )
A．m＞1 B．m＞0
C．m＜1 D．m＜0
导引：由反比例函数图象的特点求出m的取值范围．∵反比例函数
y＝ 的图象位于第一、三象限，∴m－1＞0.∴m＞1.
故选A.A总 结知1－讲（来自《点拨》）由反比例函数的图象特点可知，比例系数k的正负决定图
象的位置，反过来也可由图象的位置来确定k的符号，并
由此求出相关待定系数的取值范围．知1－练（来自教材）1如图，直线x＝t与反比例函数y＝ ，y＝－ 的图象交于点A，B，直线y＝2t与反比例函数y＝ ，y＝－ 的图象交于点C，D，其中常数t，k均大于0.点P，Q分别是x轴、y轴上任意点，设△PCD和△QAB的面积分别为S1和S2，则下列结论正确的有________．
①S1＝2t；②S2＝2k；
③S1＝2S2；④S1＝S2；
⑤S2＝2S1；⑥S1，S2均为定值．知1－练（来自《典中点》）2(2015·台州)若反比例函数y＝ 的图象经过点(2，－1)，则该反比例函数的图象在( )
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限3关于反比例函数y＝－ 的图象的对称性的叙述错误的
是( )
A．关于原点对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于直线y＝－x对称
D．关于x轴对称知1－练（来自《典中点》）4(2015·武汉)在反比例函数y＝ 图象上有两点A(x1，
y1)，B(x2，y2)，x1<0A．m> B．m<
C．m≥ D．m≤2知识点反比例函数的增减性质知2－讲【例2】 反比例函数y＝ 的图象中，当x＞0时，y随x的
增大而增大，则k的取值范围是( )
A．k＜3 B. k≤3 C．k＞3 D．k≥3
导引：x＞0时，图象在同一个象限(第一或第四象限)，根据
其增减性说明图象在第四象限，从而可以判断k的取值
范围．∵x＞0，∴图象在第一或第四象限．又∵y随x
的增大而增大，∴图象在第四象限．∴k－3＜0.∴k＜
3.故选A.A（来自《点拨》）总 结知2－讲（来自《点拨》） 反比例函数的增减性由比例系数k的正负决定，反之
亦成立，但一定要注意在同一象限，本题“x＞0”就是
阐明在同一象限． (2015·钦州)对于函数y＝ ，下列说法错误的是( )
A．这个函数的图象位于第一、三象限
B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．当x>0时，y随x的增大而增大
D．当x<0时，y随x的增大而减小知2－练（来自《典中点》）2 (2015·黑龙江)关于反比例函数y＝－ ，下列说
法正确的是( )
A．图象过(1，2)点
B．图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而增大知2－练（来自《典中点》）3 反比例函数y＝ 的图象在每个象限内，y随x
的增大而增大，则a的值可以是________．知2－练（来自《点拨》）知3－讲3知识点反比例函数的函数值性质 【例3】（山东滨州）若点A(1，y1)，B(2，y2)都在反比
例函数y＝ (k＞0)的图象上，则y1，y2的大小
关系为( )
A．y1＜y2 B．y1≤y2
C．y1＞y2 D．y1≥y2 C（来自《点拨》）知3－讲导引：方法一：利用反比例函数的性质进行比较；方法二：
运用特殊值法进行比较；方法三：运用图象法进行比
较．方法一：∵k＞0，∴在每个象限内，y随x的增大
而减小．又∵0＜1＜2，∴y1＞y2.方法二：∵k＞0，∴
取k＝2.把x＝1，x＝2分别代入
y＝ ，得y1＝2，y2＝1，
∴y1＞y2.方法三：画出函
数y＝ (k＞0)的图象如图，故y1＞y2.故选C.总 结知3－讲（来自《点拨》）根据反比例函数的增减性比较函数值大小的方法：利用反比例函数的增减性来比较函数值的大小时，如果给定两点或几点能够确定在同一象限的分支上时，可以直接利用反比例函数的性质解答；如果给定两点或几点不能够确定在同一象限的分支上时，则不能利用反比例函数的性质，需要根据函数的图象和点的位置用数形结合思想来判断或利用特殊值法即通过求值来进行比较．1 (2015·兰州)若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在反比
例函数y＝ (k＞0)的图象上，且x1＝－x2，则
( )
A．y1＜y2 B．y1＝y2
C．y1＞y2 D．y1＝－y2知3－练（来自《典中点》）2 已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在反比例函数y
＝ 的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正
确的是( )
A．0＜y1＜y2
B．0＜y2＜y1
C．y1＜y2＜0
D．y2＜y1＜0知3－练（来自《典中点》）运用反比例函数的增减性要谨记两点：
一是当k相同时，反比例函数y＝ 在每个象限内的
增减性与正比例函数y＝kx的增减性相反，千万不能
受思维定式的影响；二是必须在同一象限，反比例
函数的增减性才适用．必做：1.完成教材P48-P49T5-T7
2.补充：《典中点》P29-P30T2，T4，,T5，
T7-T9,T11-T14必做：1.完成教材P48-P49T5-T7
2.补充：《点拨》P079-P081ⅢT1-T3，T6，
T10课件22张PPT。第二十一章 二次函数与反比例函数21.5 反比例函数第4课时 反比例函数图像与
性质的常见应用1题型 图表信息题1．数学复习课上，王老师出示了如框中的题目：
题目中的黑色矩形框部分是一段被墨水污染
了无法辨认的文字．已知：直线 y=kx + b(k ≠ 0)经过点
M（b,-b）,
求证：点M一定在双曲线 上.根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中直线对应的函数表达式？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由；
(2) 请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，
添加一个适当的条件，把原题补充完整，你添
加的这个条件是什么？
解： (1)能．由结论中的点M一定在双曲线
上，得 ，则b＝－2，∴M(－2，2)．
∴2＝－2k－2.解得k＝－2，
∴直线对应的函数表达式为y＝－2x－2. (2)答案不唯一，如：直线 y＝kx＋b经过点
N(1，－4)等等．
把点M的坐标代入双曲线对应的函数表达式中得到关于b的方程，解该方程即可求出b的值，从而求得M的坐标，代入直线对应的函数表达式即可求得k的值，从而求得一次函数的表达式；根据(1)中所求的函数表达式可写出图象上另一个点的坐标，添加的条件不唯一．2题型反比例函数与一次函数综合题（数形结合思想）2. (中考·资阳)如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点
P ，且与反比例函数y＝ (m≠0)的图象相交于
点A(－2，1)和点B.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求点B的坐标，并根据图象回答：
当x在什么范围内取值时，一次函
数的函数值小于反比例函数的函
数值？解： (1)∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点 和
A(－ 2,1)，
∴一次函数的表达式为y＝－2x－3.
∵反比例函数 的图象过点A(－2，1)，
∴ .解得 m＝－2.
∴反比例函数的表达式为(2) 联立一次函数和反比例函数的表达式，得方程组
由图象可知，当－2＜x＜0或x＞ 时，一次函数
的函数值小于反比例函数的函数值．3题型函数与几何综合题3． (2015·济宁)在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4，
分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边
BC上一点(不与B、C两点重
合)，过点F的反比例函数y＝
(k>0)的图象与AC边交于点E.(1)请用含k的代数式表示点E，F的坐标；
(2)若△OEF的面积为9，求反比例函数的表达式．解：(1)
(2)∵E，F两点坐标分别为
∴
∴S△EOF＝S矩形AOBC－S△AOE－S△BOF－S△ECF
＝24－ － －S△ECF
＝24－k－∵△OEF的面积为9，
∴24－k－ ＝9.
整理得，k2＝144，k＝±12.
∵k>0，∴k＝12.所以反比例函数表达式为
4题型一次函数、反比例函数、三角形面积综合题4．(2015·山西)如图，在平面直角坐标系xOy中，一
次函数y＝3x＋2的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝ (k≠0)在第一象限内的图象交于点B，且点B的横坐标为1.过点A作AC⊥y轴交反比例函数y＝ (k≠0)的图象于点C，连接BC.求：
(1)反比例函数的表达式．
(2)△ABC的面积．
解：(1) ∵一次函数y＝3x＋2的图象过点B，且点B的
横坐 标为1，
∴y＝3×1＋2＝5.∴点B的坐标为(1，5)．
∵点B在反比例函数y＝ 的图象上，
∴k＝1×5＝5.
∴反比例函数的表达式为y＝ .(2)∵一次函数y＝3x＋2的图象与y轴交于点A，
当x＝0时，y＝2，∴点A的坐标为(0，2)．
∵AC⊥y轴，
∴点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，是2.
∵点C在反比例函数y＝ 的图象上，
∴当y＝2时，2＝ ，解得x＝ .∴AC＝ .
过B作BD⊥AC于D，则BD＝yB－yC＝5－2＝3，
∴S△ABC＝ AC·BD＝ × ×3＝ .5题型等面积的综合题5．（2015 ·甘南州）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC
的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标 轴上，点B的坐标为(4，2)，直线 交AB， BC于点M，N，反比例函数y＝ 的图象经过点M，N.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点P在x轴上，且△OPM的面积
与四边形BMON的面积相等，求点
P的坐标．解：(1) ∵B(4，2)，四边形OABC是矩形，
∴OA＝BC＝2.
将y＝2代入y＝－ x＋3 得：x＝2，
∴M(2，2)．
把M的坐标代入y＝ 得：k＝4，
∴反比例函数的表达式是y＝ .(2) 把x＝4代入y＝ 得：y＝1，即CN＝1，
∵S四边形BMON＝S矩形OABC－S△AOM－S△CON
＝4×2－ ×2×2－ ×4×1＝4，
由题意得： OP×AO＝4，
∵AO＝2，∴OP＝4.
∴点P的坐标是(4，0)或(－4，0)．6题型反比例函数与轴对称的综合题6． (2015·南通)如图，直线y＝mx＋n与双曲线 y＝
相交于A(－1，2)，B(2，b)两点，与y轴相交于点C.
(1)求m，n的值；
(2)若点D与点C关于x轴对称，
求△ABD的面积．
解：(1) 把x＝－1，y＝2；x＝2，y＝b代入y＝ ，
解得：k＝－2，b＝－1；
把x＝－1，y＝2；x＝2，y＝－1
代入y＝mx＋n，解得：m＝－1，n＝1；
(2)直线y＝－x＋1与y轴交点C的坐标为(0，1)，所以
所以点D的坐标为(0，-1)，又点B的坐标为(2，-1)，
所以△ABD的面积＝ ×(1＋1)×(1＋2)＝3.
7题型反比例函数与几何最小值的综合题7．如图，反比例函数y＝ (k≠0，x＞0)的图象与直线
y＝3x相交于点C，过直线上点A(1，3)作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB＝3BD.
(1)求k的值；
(2)求点C的坐标；
(3)在y轴上确定一点M，使点M到
C，D两点距离之和d＝MC＋MD
最小，求点M的坐标．解：(1) ∵A(1，3)，∴OB＝1，AB＝3.
∵AB＝3BD.∴BD＝1，
∴ D(1，1)．∴k＝1×1＝1.
(2)由(1)知反比例函数的表达式为y＝ ，
解方程组
∴点C的坐标为 .
(3) 作点D关于y轴的对称点E，则E(－1，1)，连接CE
交y轴于点M，点M即为所求．
设直线CE的函数表达式为y＝mx＋b，则
∴直线CE的函数表达式为y＝(2 －3)x＋2 －2.
当x＝0时，y＝2 －2，
∴点M的坐标为(0，2 －2)．课件25张PPT。第二十一章 二次函数与反比例函数21.5 反比例函数第1课时 认识反比例函数1课堂讲解反比例函数的定义、反比例函数表达
式的确定、实际问题中的反比例函数
关系2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 某村有耕地200 hm2，人口数量x逐年发生变化，该村人均耕地面积y hm2与人口数量x之间有怎样的函数关系？
全村耕地面积应是人均耕地面积与人口数量的乘
积，即yx＝200，所以变量y hm2与x之间的函数关系可
以表示为问 题（一） 某市距省城248 km，汽车行驶全程所需的时间t h与平均速度v km/h之间有怎样的函数关系？
由路程s＝vt，变量t h与v km/h之间的函数关系可以表示为问 题（二） 在一个电路中，当电压U一定时，通过电路的电流I的大小与该电路的电阻R的大小之间有怎样的函数关系？
由电学可知，变量I与R之间的函数关系可以表示为问 题（三）1.定义：一般地，表达式形如 (k为常数，且k≠0)
的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数．
要点精析：
(1)判定一个函数为反比例函数的条件：
①所给等式是形如 或y＝kx－1或xy＝k的等式；
②比例系数k是常数，且k≠0.1知识点反比例函数的定义知1－讲知1－讲 (2)y是x的反比例函数?函数表达式为 或y＝kx－1
或xy＝k(k为常数，且k≠0)．
2. 易错警示：反比例函数 中，自变量x的取值范围
一般情况下是x≠0，但在实际问题中，自变量的取值
要有实际意义．【例1】 下列表达式中，y是x的反比例函数的是______．
(填序号)
①y＝2x－1；② ③y＝x2＋8x－2；
④ ⑤ ⑥
导引：根据反比例函数的定义进行判断，看它是否满足反比
例函数的三种表现形式．①y＝2x－1是一次函数；
② 是反比例函数；③y＝x2＋8x－2是二次函
数；④ ，y与x2成反比例，但y与x不是反比例
知1－讲②⑤
知1－讲
函数关系；⑤ 是反比例函数，可以写成 ；
⑥ ，当a≠0时是反比例函数，没有此条件则不一
定是反比例函数．（来自《点拨》）总 结知1－讲（来自《点拨》） 判断一个函数是不是反比例函数的方法：先看它
是否能写成反比例函数的三种表现形式；再看k是否
为常数且k≠0.
警示：形如 的式子中，y是x2的反比例函
数，不要误认为y是x的反比例函数．1 判断下列各题中的两个变量是否成反比例关系，
如果是，请写出这个函数的表达式．
(1)正三角形的面积S与边长a；
(2)当圆锥的体积是50时，它的高h与底面积S；
(3)当矩形的面积为90时，它的一边y与另一边x.知1－练（来自教材） 2 下列函数中，y是x的反比例函数的是( )
A．x(y－1)＝1 B．
C． D．知1－练（来自《典中点》）2知识点 反比例函数表达式的确定知2－讲1.求反比例函数的表达式，就是确定反比例函数表达式
(k≠0)中常数k的值，它一般需经历“设→代→
求→还原”这四步．即：
(1)设：设出反比例函数表达式 ；
(2)代：将所给的数据代入函数表达式；
(3)求：求出k的值；
(4)还原：写出反比例函数的表达式．知2－讲2．由于反比例函数的表达式中只有一个待定系数k，
因此求反比例函数的表达式只需一组对应值或一
个条件即可．【例2】 已知y是x的反比例函数，当x＝3时，y＝6.
(1)写出y与x之间的函数表达式；
(2)求当x＝9时，y的值．
导引：因为y是x的反比例函数，所以可设 ，
再把x＝3，y＝6代入上式求出常数k的值．
知2－讲知2－讲解：(1)设 ，∵当x＝3时，y＝6，
∴ ，解得k＝18.
∴y与x之间的函数表达式为
(2)当x＝9时，（来自《点拨》）总 结知2－讲（来自《点拨》）用待定系数法确定反比例函数表达式的方法：
在明确两个变量为反比例函数关系的前提下，先设出
反比例函数的表达式，然后把满足反比例函数关系的
一组对应值代入设出的表达式中构造方程，解方程求
出待定系数，从而确定反比例函数的表达式．1 (2015·福州)一个反比例函数的图象过点A(－2，－3)，
则这个反比例函数的表达式是________．知2－练（来自《典中点》）2 若y与x－2成反比例，且当x＝－1时，y＝3，则y与
x之间的关系是( )
A．正比例函数 B．反比例函数
C．一次函数 D．其他函数3知识点 实际问题中的反比例函数关系知3－讲【例3】 用反比例函数表达式表示下列问题中两个变量间的
对应关系：
(1)小明完成100 m赛跑时，所用时间t(s)随他跑步
的平均速度v(m/s)的变化而变化；
(2)一个密闭容器内有气体0.5 kg，气体的密度ρ
(kg/m3)随容器体积V(m3)的变化而变化；
(3)压力为600 N时，压强p(N/m2)随受力面积
S(m2)的变化而变化；
(4)三角形的面积为20，它底边a上的高h随底边a
的变化而变化．知3－讲导引：先根据每个问题中两个变量与已知量之间的等量关
系建模，列出等式，然后通过变形得到表达式．
解：(1)∵vt＝100，∴ (v＞0)；
(2)∵0.5＝ρV，∴ (V＞0)；
(3)∵pS＝600，∴ (S＞0)；
(4)∵ ，∴ (a＞0)．（来自《点拨》）总 结知3－讲（来自《点拨》） 用反比例函数的表达式表示实际问题的方法：通常
建立数学模型，找出两个变量之间的等量关系，然后经
过变形即可得出．
注意：实际问题中的反比例函数，自变量的取值范
围一般都是大于零．1 (2015·青岛)把一个长、宽、高分别为3 cm，2 cm，
1 cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱
体铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数表达式
为________．2 某工厂现有原材料300 t，平均每天用去x t，这批原
材料能用y天，则y与x之间的函数表达式是( )
A．y＝300x B．
C． D．y＝300－x知3－练（来自《典中点》）用待定系数法确定反比例函数表达式的“四步骤”：
(1)设：设反比例函数的表达式为
(2)列：把已知的x与y的一对对应值代入 ，得
到关于k的方程；
(3)解：解方程，求出k的值；
(4)代：将求出的k的值代入所设表达式中，即得到所
求反比例函数的表达式．必做：1.完成教材P44 T2
2.补充: 完成《典中点》P25-P26 T2-T3、T6、
T9-T15必做：1.完成教材P44 T2
2.补充: 完成《点拨》P66-P67ⅢT1-T9、T12-
T13课件14张PPT。第二十一章 二次函数与反比例函数21.6 综合与实践 获取最
大利润 名师点金求函数最值的方法：
对于分段函数，已知函数值求自变量取值时，要分别代入各段函数中，并检验求出的自变量是否在其取值范围内，若不在应舍去；若函数是反比例函数或一次函数，一般情况下没有最值，但当自变量的取值范围有特殊的规定时，根据自变量的范围的极端值确定函数的最值．1题型利用一次函数的性质求实际中最值问题1．(2015·乐山)“六一”期间，小张购进100只两
种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的
关系如下表：(1)小张如何进货，使进货款恰好为1 300元？
(2)要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货
价格的40%，请你帮小张设计一个进货方案，并求出
其所获利润的最大值．
解：(1)设A文具为x只，则B文具为(100－x)只，可得：
10x＋15(100－x)＝1 300，解得：x＝40.
答：A文具为40只，则B文具为100－40＝60只；
(2)设A文具为x只，则B文具为(100－x)只，可得
(12－10)x＋(23－15)(100－x) ≤40%[10x＋
15(100－x)]，
解得：x≥50，设：利润为y元，则可得：
y＝(12－10)x＋(23－15)(100－x)
＝2x＋800－8x
＝－6x＋800，
因为y随x的增大而减小，所以当x＝50时，利润最大，
即最大利润＝－50×6＋800＝500元．
2题型利用二次函数的性质求实际中最值问题2. 为了落实国务院总理李克强同志到恩施考察时的指
示精神，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠
政策，使农民收入大幅度增加．某农 户生产经销一
种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千
克．市场调查发现，该产品每天的销售量w(千克)与
销售价x(元/千克)有如下关系：w＝－2x＋80.设这
种产品每天的销售利润为y(元) .(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当销售价定为多少元/千克时，每天的销售利润
最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可知，
y＝(x－20)w＝(x－20)(－2x＋80)
＝－2x2＋120x－1 600.
所以y与x之间的函数表达式为
y＝－2x2＋120x－1 600.(2)因为y＝－2x2＋120x－1 600＝－2(x－30)2＋200，
所以当销售价格定为30元/千克时，
每天的销售利润最大，最大利润是200元．3题型利用反比例函数的性质求跨学科最值问题3．工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个
工序，即需要将材料烧到800 ℃，然后停止煅烧进
行锻造操作，经过8 min时，材料温度降为600 ℃.
煅烧时，温度y(℃)与时间x(min)成
一次函数关系；锻造时，温度y(℃)
与时间x(min)成反比例函数关系，
如图．已知该材料初始温度是32 ℃.(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数表达式，
并且写出自变量x的取值范围；
(2)根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃，需停
止操作，那么锻造的操作时间有多长？解：(1)设锻造时y与x的函数表达式为y＝ (k≠0)，
则600＝ ，∴k＝4 800，
∴锻造时y与x的函数表达式为y＝ .
当y＝800时，800＝ ，解得x＝6，∴点B的坐标为(6，800)，自变量的取值范围是x＞6.
设煅烧时y与x的函数表达式为y＝ax＋b(a≠0)，
则 解得
∴煅烧时y与x的函数表达式为y＝128x＋32(0≤x≤6)．
(2)当y＝480时，x＝ ＝10，10－6＝4(min)，
∴锻造的操作时间有4 min.4题型利用多种函数的性质求最值问题4．(2015·抚顺)一个批发商销售成本为20元/千克的某
产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得
超过90元，在销售过程中发现的销售量y(千克)与
售价x(元/千克)满足一次函数关系，对应关系如下
表：(1)求y与x的函数表达式；
(2)该批发商若想获得4 000元的利润，应将售价定
为多少？
(3)该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利
润W(元)最大？此时的最大利润为多少元？解：(1)设y与x的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
根据题意得 解得
故y与x的函数表达式为y＝－x＋150；(2)根据题意得(－x＋150)(x－20)＝4 000，
解得x1＝70，x2＝100＞90(不合题意，舍去)．
故该批发商若想获得4 000元的利润，应将售价定为70元；
(3)W与x的函数表达式为：
W＝(－x＋150)(x－20)＝－x2＋170x－3 000
＝－(x－85)2＋4 225，
∵－1＜0，∴当x＝85时，W值最大，W最大值是4 225.
∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润W(元)
最大，此时的最大利润为4 225元．课件28张PPT。第二十一章 二次函数与反比例函数21.2 二次函数的图象和性质第4课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c
的图象和性质——y＝
a(x＋h)2＋k型1课堂讲解二次函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2之间
的关系、二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图
象、二次函数y＝a(x＋h)2＋k的性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 抛物线y=ax2能否通过平移得到y=a(x+h)2+k的图象呢？如果能，怎么平移？ 怎样画出函数 的图象？
我们已经知道二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋h)2的图象与y＝ax2的图象之间的关系，因此本题在描点画图前，不妨先将函数 与 作一比较．1知识点二次函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2之间的关系问 题知1－导 对于每一个给定的x值，函数 的值都要
比函数 的值大1.由此可见，函数
的图象可由抛物线 向上平移1个单位得到．
再由前面的研究可知，抛物线 可由抛物线
向右平移2个单位得到．
知1－导 因此，函数 的图象可由抛物线
向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图.知1－导知1－导归 纳平移的规律总结：y=ax2y=a(x+h)2y=a(x+h)2+k 当h>0时,向左平移h个单位当h<0时,向右平移| h |个单位当k>0时,向上平移k个单位当k<0时,向下平移| h |个单位y=a(x+h)21 (2015·成都)将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再
向下平移3个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达
式为( )
A．y＝(x＋2)2－3 B．y＝(x＋2)2＋3
C．y＝(x－2)2＋3 D．y＝(x－2)2－32 在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝3x2不动，而把x
轴、y轴分别向上、向右平移3个单位长度，那么在新坐
标系下此抛物线对应的函数表达式是( )
A. y＝3(x－3)2＋3 B. y＝3(x－3)2－3
C. y＝3(x＋3)2＋3 D. y＝3(x＋3)2－3 知1－练（来自《典中点》）2知识点二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象知2－讲图象：知2－讲知2－讲【例1】 由二次函数y＝2(x－5)2＋2，可知( )
A．其图象开口向下
B．其图象的对称轴为直线x＝－5
C．其最小值为2
D．当x＜5时，y随x的增大而增大
导引：二次函数y＝2(x－5)2＋2中，a＝2＞0，∴图象开口向
上，函数有最小值；∵h＝－5，∴图象的对称轴为直
线x＝5；而k＝2，∴当x＝5时，函数有最小值2；在对
称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x
的增大而增大．（来自《点拨》）C知2－讲【例2】 已知二次函数图象的顶点坐标为(－2，－3)，且
图象过点(－3,－2)，求此二次函数的表达式．
导引：由于题目的已知条件中，有二次函数图象的顶点坐标，
所以将二次函数的表达式设为顶点式y＝a(x＋h)2＋
k(a≠0)比较简便．
解：∵二次函数图象的顶点坐标为(－2，－3)，
∴设此二次函数的表达式为y＝a(x＋2)2－3.
又∵图象过点(－3,－2)，
∴－2＝a(－3＋2)2－3,∴a＝1.
∴此二次函数的表达式为y＝(x＋2)2－3.（来自《点拨》）(1)利用抛物线y＝a(x＋h)2＋k(顶点式)中的顶点坐
标、对称轴、最值的公式解题，首先必须熟记它
们与表达式中的a，h，k之间的关系，再结合题
中给出的相关条件及已学的相关知识按题目的要
求解题．总 结知2－讲(2)若已知顶点坐标、对称轴、最值等条件，求二次
函数的表达式，一般设二次函数的顶点式比较方
便；对于已知顶点求表达式时，注意若顶点在x
轴上，则设其表达式为y＝a(x＋h)2；若顶点为
原点，则设其表达式为y＝ax2；
(3)易错警示：本例设表达式时，一定要注意y＝
a(x＋h)2＋k中h与k的符号，千万不要写成：
y＝a(x－2)2－3.总 结知2－讲（来自《点拨》）3 (2014·兰州)抛物线y＝(x－1)2－3的对称轴是( )
A．y轴 B．直线x＝－1
C．直线x＝1 D．直线x＝－31 (2015·新疆)抛物线y＝(x－1)2＋2的顶点坐标是( )
A．(－1，2) B．(－1，－2)
C．(1，－2) D．(1，2)知2－练（来自《典中点》）2 (2015·益阳)若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第
一象限，则m的取值范围为( )
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞－1 D．－1＜m＜0知3－讲3知识点二次函数y＝a(x＋h)2＋k的性质1.性质：当a＞0时，抛物线y＝ax2＋k，y＝a(x＋h)2，
y＝a(x＋h)2＋k的开口向上；在对称轴的左边，抛物
线自左向右下降，y随x的增大而减小；在对称轴的右
边，抛物线自左向右上升，y随x的增大而增大；简记
为“抛物线开口向上，函数左减右增”．当a＜0时，
抛物线y＝ax2＋k，y＝a(x＋h)2，y＝a(x＋h)2＋k的
开口向下；在对称轴的左边，抛物线自左向右上升，
y随x的增大而增大；在对称轴的右边，抛物线自左向
右下降，y随x的增大而减小；简记为“抛物线开口向
下，函数左增右减”．知3－讲知识点2．二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的最值：
(1)当a＞0时，y最小值＝k；
(2)当a＜0时，y最大值＝k.
说明：二次函数的最大值、最小值实质是抛物线的
顶点的纵坐标．当a＞0时，顶点最低，函数有最小
值；当a＜0时，顶点最高，函数有最大值． 【例3】 已知二次函数y＝2(x－1)2＋k的图象上有A
( ，y1)，B(2，y2)，C( ，y3)三点，
则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3
C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1知3－讲D知3－讲∵ ，∴点C( ，y3)到对称轴
的距离大于点B(2，y2)到对称轴的距离，
∴y2＜y3.∴y3＞y2＞y1.
（来自《点拨》）导引：∵a＝2＞0，∴图象开口向上．∵对称轴为直
线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
又∵x1＝ ＞1，x2＝2＞1，x1＜x2，
∴y1＜y2. 总 结知3－讲（来自《点拨》） 解答此类题有两种思路，思路一：将三点的横坐标分别代入函数表达式，求出对应的y1，y2，y3的值，再比较大小，但本例这样计算比较困难，显然不是最佳的方案；思路二：根据二次函数图象的特征来比较，利用增减性以及点在抛物线上的大致位置，关键是由这些点与对称轴的位置关系来确定y1，y2，y3的大小，显然本例使用这种方法比较简单．1 (中考·泰安)对于抛物线 ，下列结
论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；
③顶点坐标为(－1，3)；④x＞1时，y随x的增大而
减小，其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4知3－练（来自《典中点》）2 已知二次函数y＝a(x－h)2＋k(a＜0)的图象如图
所示，当－5≤x≤0时，下列关于函数值y的说法
正确的是( )
A．有最小值－5，最大值0
B. 有最小值－3，最大值6
C. 有最小值0，最大值6
D. 有最小值2，最大值6知3－练（来自《典中点》）导引：二次函数y＝(x－m)2－1的图象开口向上，其对称
轴为直线x＝m，顶点坐标为(m，－1)，在对称轴
的左侧，y随x的增大而减小．因为当x≤1时，y随
x的增大而减小，所以直线x＝1应在对称轴x＝m
的左侧或与对称轴重合，故m≥1.【例4】 已知二次函数y＝(x－m)2－1，当x≤1时，y随
x的增大而减小，则m的取值范围是( )
A．m＝1 B．m＞1 C．m≥1 D．m≤1 知3－讲（来自《点拨》）C 已知抛物线 ，当1≤x≤5时，y的最大值是( )
A．2 B. C. D.知3－练（来自《点拨》）二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质： 形如y=a(x+m)2+n这样的二次函数，顶点坐标为
（-m，n），对称轴为直线x=-m.必做：1.完成教材P17 T2
2.补充: 完成《典中点》P9-P10T3-T4、T8-
T9,T12-T15必做：1.完成教材P17T2
2.补充: 完成《点拨》P24-P26ⅢT2、T4、T7-
T8,T10-T12
