第7章 三角函数
7.1 角与弧度
7.1.1 任意角
基础过关练
题组一 任意角
1.下列说法正确的是( )
A.终边相同的角一定相等
B.钝角一定是第二象限角
C.第四象限角一定是负角
D.小于90°的角都是锐角
2.(教材习题改编)已知角α在平面直角坐标系中如图所示,其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°,则α的值为( )
A.-480° B.-240° C.150° D.480°
题组二 终边相同的角与区域角
3.与-2 024°角的终边相同的角是( )
A.24° B.113° C.136° D.224°
4.若角α的终边与135°角的终边在一条直线上,则角α的取值集合为( )
A.{α|α=k·360°-45°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°+135°,k∈Z}
C.{α|α=k·180°-135°,k∈Z}
D.{α|α=k·180°-45°,k∈Z}
5.设集合M=xx=·180°+45°,k∈Z,N=xx=·180°+45°,k∈Z,那么( )
A.M=N B.N M
C.M N D.M∩N=
6.已知角α为钝角,角4α与角α有相同的始边与终边,则角α= .
7.(教材习题改编)已知角β的终边落在如图所示的阴影部分,试指出角β的取值范围.
题组三 象限角与轴线角
8. -1 000°角的终边位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9.若α是第三象限角,则-是( )
A.第一象限角 B.第一或第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角
10.若角α,β的终边相同,则α-β的终边在( )
A.x轴的正半轴上 B.y轴的正半轴上
C.x轴的负半轴上 D.y轴的负半轴上
11.若α是第二象限角,则--α是第 象限角.
答案与分层梯度式解析
7.1 角与弧度
7.1.1 任意角
基础过关练
1.B 对于A,30°角和390°角的终边相同,但两个角不相等,故A错误;
对于B,钝角α的范围是90°<α<180°,所以钝角一定是第二象限角,故B正确;
对于C,330°角是第四象限角,但不是负角,故C错误;
对于D,-45°<90°,但-45°角不是锐角,故D错误.
故选B.
名师点睛 象限角是以角的终边的位置分类的,而锐角、钝角和直角是以角的大小分类的.
2.D 由角α按逆时针方向旋转,可知α为正角,又旋转了480°,∴α=480°.
3.C 因为-2 024°=136°-360°×6,所以-2 024°角与136°角的终边相同.故选C.
4.D 由题意知α=k·360°-45°,k∈Z或α=k·360°+135°,k∈Z,即α=2k·180°-45°,k∈Z或α=(2k+1)·180°-45°,k∈Z,
故角α的取值集合为{α|α=k·180°-45°,k∈Z},
故选D.
5.C M=xx=·180°+45°,k∈+1)·45°,k∈Z},即M为45°的奇数倍的角构成的集合,N=xx=·180°+45°,k∈+1)·45°,k∈Z},即N为45°的整数倍的角构成的集合,所以M N.故选C.
6.答案 120°
解析 若角4α与角α有相同的始边与终边,则4α=k·360°+α(k∈Z),即α=k·120°(k∈Z),又角α为钝角,所以k=1,所以α=120°.
7.解析 题图(1),终边落在射线OA上的角的集合是{β|β=k·360°+210°,k∈Z},
终边落在射线OB上的角的集合是{β|β=k·360°+300°,k∈Z},
所以角β的取值范围是{β|k·360°+210°≤β≤k·360°+300°,k∈Z}.
题图(2),终边落在x轴上方阴影部分的角的集合为{β|k·360°+60°≤β终边落在x轴下方阴影部分的角的集合为{β|k·360°+240°≤β所以角β的取值范围是A∪B={β|n·180°+60°≤β8.A -1 000°角的终边与-1 000°+360°×3=80°角的终边相同,则-1 000°角的终边位于第一象限.故选A.
9.C 若α是第三象限角,则k·360°+180°<α故-k·180°-135°<-α<-k·180°-90°,k∈Z.
当k为偶数时,-是第三象限角;
当k为奇数时,-是第一象限角.故选C.
10.A 由于角α,β的终边相同,所以α=k·360°+β,k∈Z,所以α-β=k·360°,k∈Z,所以α-β的终边在x轴的正半轴上.故选A.
11.答案 二
解析 由α与-α的终边关于x轴对称,可知若α是第二象限角,则-α是第三象限角,
所以--α是第二象限角.
(
1
)(共17张PPT)
1.角的概念
一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的
图形.射线的端点称为角的顶点,射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边.
2.任意角
7.1 角与弧度
知识点 1 角的相关概念
必备知识 清单破
7.1.1 任意角
类型 定义
正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转所形成的角
负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转所形成的角
零角 如果射线没有作任何旋转,那么也把它看成一个角,叫作零角
3.角的加法与减法
(1)设α,β是两个任意角,将角α的终边旋转角β(当β是正角时,按逆时针方向旋转;当β是负角时,
按顺时针方向旋转;当β是零角时,不旋转),这时终边所对应的角称为α与β的和,记作α+β.
(2)相反角:一条射线绕着它的端点分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两
个角称为互为相反角.角α的相反角记为-α,于是有α-β=α+(-β).
以角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴正半轴,建立平面直角坐标系.这样,角的终边(除端点
外)在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,称这个角为轴线角.
知识点 2 象限角和轴线角
知识拓展 (1)象限角的集合表示:
象限角 角的集合
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°+90°<α第三象限角 {α|k·360°+180°<α第四象限角 {α|k·360°-90°<α(2)轴线角的集合表示:
终边位置 角的集合
在x轴的非负半轴上 {α|α=k·360°,k∈Z}
在x轴的非正半轴上 {α|α=180°+k·360°,k∈Z}
在y轴的非负半轴上 {α|α=90°+k·360°,k∈Z}
在y轴的非正半轴上 {α|α=270°+k·360°,k∈Z}
在x轴上 {α|α=k·180°,k∈Z}
在y轴上 {α|α=90°+k·180°,k∈Z}
在坐标轴上 {α|α=k·90°,k∈Z}
一般地,与角α终边相同的角的集合为{β|β=k·360°+α,k∈Z},即任一与角α终边相同的角都可以
表示成角α与整数个周角的和.
知识点 3 终边相同的角
1.当一个角的始边和终边确定后,这个角是不是确定的
2.始边和终边重合的角一定是零角吗
3.第一象限角一定是锐角吗
4.当两个角的始边相同时,若这两个角相等,则它们的终边相同吗 反之呢
5.三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角吗
知识辨析
1.不是.因为角的旋转方向和旋转量并不是确定的,所以这个角不是确定的.
2.不一定.只有始边没有作任何旋转,始边与终边重合的角才是零角.
3.不一定.如-300°角是第一象限角,但不是锐角,因此第一象限角不一定是锐角.反之成立,即锐
角一定是第一象限角.
4.若这两个角相等,则它们的终边相同.反之不一定,因为终边相同的角相差360°的整数倍,所
以这两个角不一定相等.
5.不一定.三角形的内角可能是90°,90°角的终边在y轴非负半轴上,它既不是第一象限角也不
是第二象限角.
一语破的
1.求在某个范围内与已知角终边相同的角的步骤
(1)将已知角表示成α+k·360°(k∈Z)的形式,其中0°≤α<360°;
(2)用赋值法或不等式法求解,确定k的值;
(3)写出适合条件的角.
2.求终边在某条射线或直线上的角的集合的策略
(1)找出终边在某条射线或直线上的一个角;
(2)若所求角的终边在某条射线上,则角之间相差360°的整数倍,若所求角的终边在某条直线
上,则角之间相差180°的整数倍.
关键能力 定点破
定点 1 终边相同的角的表示
已知角α=2 024°.
(1)把α写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式;
(2)求角θ,使θ与α的终边相同,且-360°≤θ<360°.
典例1
解析： (1)∵2 024÷360=5……224,
∴k=5,β=224°,
∴2 024°=5×360°+224°.
(2)由题意及(1)知θ=n·360°+224°(n∈Z). 由-360°≤n·360°+224°<360°,且n∈Z,得n=-1或n=0,
∴角θ的值为-136°或224°.
求终边落在直线y= x上的角的集合.
典例2
解析： 终边落在射线y= x(x≥0)上的角的集合S1={α|α=60°+k·360°,k∈Z},
终边落在射线y= x(x≤0)上的角的集合S2={α|α=240°+k·360°,k∈Z},
所以终边落在直线y= x上的角的集合S=
{α|α=60°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=240°+k·360°,k∈Z}={α|α=60°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+
1)·180°,k∈Z}={α|α=60°+n·180°,n∈Z}.
区域角是指终边在坐标系的某个区域内的角.表示时可分为三步:
(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界;
(2)由小到大分别标出起始和终止边界对应的在-360°到360°范围内的角α和β,并将该范围内
的区域角表示为{x|α(3)起始、终止边界对应的角α、β再加上360°的整数倍,即得区域角的范围.
定点 2 区域角的表示
已知角α 的终边落在如图所示的阴影区域内(包括边界),求角α的集合.
图(1)
图(2)
典例
题图(1)中,若角α的终边落在射线OA上,则α=30°+k·360°,k∈Z.
若角α的终边落在射线OB上,则α=135°+k·360°,k∈Z.
所以角α的终边落在阴影区域内(包括边界)时,有30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z.
故角α的集合为{α|30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.
题图(2)中,当角α的终边落在x轴上方的阴影区域内(包括边界)时,角α 的集合为{α|90°+k·360°
≤α≤135°+k·360°,k∈Z}={α|90°+2k·180°≤α≤135°+2k·180°,k∈Z},记为集合A;
当角α的终边落在x轴下方的阴影区域内(包括边界)时,角α 的集合为{α|270°+k·360°≤α≤315°+
k·360°,k∈Z}={α|90°+(2k+1)·180°≤α≤135°+(2k+1)·180°,k∈Z},记为集合B.
所以终边落在阴影区域内(包括边界)的角α 的集合为A∪B={α|90°+n·180°≤α≤135°+n·180°,
n∈Z}.
解析：
1.角α所在象限的判断方法
根据终边相同的角的概念,把角α转化到0°~360°范围内,则转化后的角的终边落在第几
象限,角α就是第几象限角.
2.角nα所在象限的判断方法
由角α的范围求出角nα 的范围,再利用终边相同的角所在象限的判断方法进行判断即可.
注意:不要忽略nα为轴线角的情况.
3.角 (n≠0)所在象限的判断方法
(1)分类讨论法:根据角α所在象限,写出角α的范围(用含有k(k∈Z)的式子表示),由此求出角
定点 3 象限角的判断
的范围,然后对k(k∈Z)进行分类讨论,从而判断角 的终边所在象限.
(2)几何法:先把各象限分为n等份,再从x轴非负半轴的上方起,按逆时针方向依次将各区域标
上一、二、三、四,一、二、三、四,……,则α原来是第几象限角,标号为几的区域即为角
的终边所在区域.
说明:当n≥4时,角 的终边在四个象限都有分布,研究的价值不大,一般只讨论n=2,n=3的
情形.
若α是第一象限角,则(1)2α;(2) -α;(3) 各是第几象限角
典例
解析: ∵α是第一象限角,
∴k·360°<α(1)k·720°<2α故2α是第一或第二象限角,或终边在y轴非负半轴上的角.
(2)-k·360°-90°<-α<-k·360°(k∈Z),
∴-α是第四象限角.
(3)解法一:由(*)式得k·120°< ①当k=3n(n∈Z)时,n·360°< 时,n·360°+120°< 240°< 综合①②③知, 是第一或第二或第三象限角.
解法二:如图,将各象限分成3等份,再从x轴非负半轴的上方起,按逆时针方向依次将各区域标
上一、二、三、四,则标有一的区域(阴影部分,不含边界)即 的终边所在的区域,故 是第一
或第二或第三象限角.
