7.2 三角函数概念
7.2.1 任意角的三角函数
基础过关练
题组一 三角函数的概念及其应用
1.若角θ的终边经过点P(1,3),则sin θcos θ+cos2θ=( )
A.- B.- C. D.
2.已知角θ的终边经过点P(x,-5),且tan θ=,则x的值是( )
A.-13 B.-12 C.12 D.13
3.单位圆上一点P从(0,1)出发,按逆时针方向运动弧长到达点Q,则点Q的坐标为( )
A. B.
C. D.
4.(教材习题改编)已知角θ的终边经过点P(m,2m)(m≠0),求sin θ,cos θ,tan θ的值.
题组二 三角函数值的符号
5.已知命题p:α为钝角,命题q:tan α<0,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.若角α的终边经过点P(m,2)(m≠0),则( )
A.sin α>0 B.sin α<0
C.cos α>0 D.cos α<0
7.已知cos α<0,且tan α>0,则角α是第 象限角.
题组三 三角函数线的简单应用
8.(教材习题改编)若-<α<-,则sin α,cos α,tan α的大小关系是( )
A.sin αB.tan αC.cos αD.sin α9.使sin x≤cos x成立的x的一个取值范围是( )
A. B.
C. D.[0,π]
10.已知a=0.33π,b=,c=tan 1,比较a,b,c的大小关系为 .
11.函数y=lg(2sin x-1)+的定义域为 .
能力提升练
题组一 三角函数的概念及其应用
1. 已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有一点A(3,2cos α),则sin α=( )
A. B.-
C. D.-
2.如图,将大小为45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上,顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm,若按相同的方式将大小为37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8,tan 37°≈0.75)( )
A.2.5 cm B.2.6 cm
C.2.7 cm D.2.8 cm
3.(多选题)一般地,对任意角α,在平面直角坐标系中,设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x,y),它与原点的距离是r.我们规定:比值,,分别叫作角α的余切、余割、正割,分别记作cot α,csc α,sec α.cot α,csc α,sec α分别叫作余切函数、余割函数、正割函数.下列叙述正确的有( )
A.cot=1
B.sin α·sec α=1
C.y=sec x的定义域为
D.设角α的终边经过点P(2,4),则csc α+sec α=
4.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,动点P,Q从点A出发在单位圆上运动,点P按逆时针方向每秒转弧度,点Q按顺时针方向每秒转弧度,则P,Q两点在第1 804次相遇时,点P的坐标是 .
题组二 三角函数值的符号
5.θ为第二或第四象限角,则下列结论一定正确的是( )
A.sin θtan θ<0 B.cos θtan θ<0
C.>0 D.sin θcos θ<0
6.若|cos θ|=cos θ,|tan θ|=-tan θ,则的终边位于 ( )
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、三象限或在x轴非负半轴上
D.第二、四象限或在x轴上
7.函数y=+-的值域是 .
答案与分层梯度式解析
7.2 三角函数概念
7.2.1 任意角的三角函数
基础过关练
1.C 因为角θ的终边经过点P(1,3),所以sin θ==,cos θ==,
故sin θcos θ+cos2θ=×+=+=.故选C.
2.B 根据任意角的三角函数定义,得tan θ==,所以x=-12.故选B.
3.A 易得∠QOx=+=(O为坐标原点),所以Q, 其中cos=-,sin=,即点Q的坐标为.故选A.
4.解析 ①当m>0时,r==3m,
则sin θ==,cos θ==,tan θ==2;
②当m<0时,r==-3m,
则sin θ==-,cos θ==-,tan θ==2.
5.A 若α为钝角,则α必为第二象限角,则tan α<0,所以p是q的充分条件;
若tan α<0,则α可能为第二或第四象限角,未必就是钝角,所以p不是q的必要条件.
综上,p是q的充分不必要条件.故选A.
6.A 由角α的终边经过点P(m,2),可得|OP|=(O为坐标原点),则sin α=>0,而cos α=的符号不确定.故选A.
名师点睛 正弦值的符号取决于纵坐标y的符号,余弦值的符号取决于横坐标x的符号.
7.答案 三
解析 因为cos α<0,所以α是第二或第三象限角,或终边在x轴的非正半轴上,
因为tan α>0,所以α是第一或第三象限角,
故α是第三象限角.
8.D 如图,在单位圆中,作内的一个角α及其正弦线、余弦线、正切线.
由图知,|OM|<|MP|<|AT|,又有向线段OM,MP分别与x轴,y轴的正方向相反,有向线段AT与y轴的正方向相同,所以sin α9.A 如图,分别作出角,-的正弦线和余弦线.
由图可得,sin=cos,sin=cos,且当-sin x;当0≤x<时,cos x>sin x,故当-≤x≤时,sin x≤cos x.
10.答案 c>b>a
解析 由三角函数线可得不等式tan x>x>sin x,x∈,则c=tan 1>1,
又函数y=xe在(0,+∞)上单调递增,y=0.33x在定义域上单调递减,
所以1>>>0.33e>0.33π>0,所以1>b>a.
综上所述,c>b>a.
11.答案 (k∈Z)
解析 要使原函数有意义,必须有
即在[0,2π]内,当sin x=时,x=或x=;当cos x=时,x=或x=.
如图,在单位圆中作出相应的三角函数线,
由图得
故2kπ+≤x<2kπ+,k∈Z.
所以原函数的定义域为2kπ+,2kπ+(k∈Z).
能力提升练
1.A 由角α的终边经过点A(3,2cos α),可得|OA|=(O为坐标原点),
根据三角函数的定义,可得cos α=,整理得4cos4α+9cos2α-9=0,解得cos2α=或cos2α=-3(舍去),所以cos α=或cos α=-(舍去),
所以sin α===.故选A.
2.C 以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设B(xB,yB),C(xC,yC),
由题意得yC=yB=2tan 45°=2,
则xC=≈≈2.7.
故点C在尺上的读数约为2.7 cm.故选C.
3.ACD cot==1,故A正确;sin α·sec α=sin α·=1不一定成立,故B不正确;y=sec x=,则cos x≠0,即x≠kπ+,k∈Z,故C正确;
∵角α的终边经过点P(2,4),∴r==2,
∴csc α==,sec α==,∴csc α+sec α=,故D正确.故选ACD.
4.答案
解析 由题可知,点P,Q在第1 804次相遇的时间t=1 804×2π÷=3 608(秒),
故点P转过的角度为×3 608=300π+,
故对应坐标为,即P.
5.D 当θ为第二象限角时,sin θ>0,cos θ<0,tan θ<0;当θ为第四象限角时,sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.
对于A,当θ为第四象限角时,sin θtan θ>0,故A错误;对于B,当θ为第二象限角时,cos θtan θ>0,故B错误;对于C,当θ为第二象限角时,<0,故C错误;对于D,无论θ为第二象限角还是第四象限角,sin θcos θ<0均成立,故D正确.
6.D 因为|cos θ|=cos θ,所以cos θ≥0,则θ的终边位于第一、四象限或在x轴的非负半轴上,
又因为|tan θ|=-tan θ,所以tan θ≤0,则θ的终边位于第二、四象限或在x轴上,
所以θ的终边位于第四象限或在x轴的非负半轴上,
所以k·360°+270°<θ≤k·360°+360°,k∈Z,
所以k·180°+135°<≤k·180°+180°,k∈Z.
令k=2n,n∈Z,可得n·360°+135°<≤n·360°+180°,n∈Z,
则的终边位于第二象限或在x轴的非正半轴上;
令k=2n+1,n∈Z,可得n·360°+315°<≤n·360°+360°,n∈Z,
则的终边位于第四象限或在x轴的非负半轴上.
综上可得,的终边位于第二、四象限或在x轴上.
故选D.
7.答案 {-4,0,2}
解析 易知sin x≠0,cos x≠0,所以角x的终边不在坐标轴上.
当x为第一象限角时,sin x>0,cos x>0,sin xcos x>0,所以y=1+1-2=0;
当x为第二象限角时,sin x>0,cos x<0,sin xcos x<0,所以y=1-1+2=2;
当x为第三象限角时,sin x<0,cos x<0,sin xcos x>0,所以y=-1-1-2=-4;
当x为第四象限角时,sin x<0,cos x>0,sin xcos x<0,所以y=-1+1+2=2.
所以函数y=+-的值域为{-4,0,2}.
(
1
)(共16张PPT)
对任意角α,在平面直角坐标系中,设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x,y),它与
原点的距离是r,则r= .此时,点P是角α的终边与半径为r的圆的交点.我们规定:
(1)比值 叫作α的正弦,记作sin α,即sin α= ;
(2)比值 叫作α的余弦,记作cos α,即cos α= ;
(3)比值 (x≠0)叫作α的正切,记作tan α,即tan α= .
sin α,cos α,tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数,这三种函数都称为α的三角函数.
7.2 三角函数概念
知识点 1 三角函数的概念
7.2.1 任意角的三角函数
必备知识 清单破
知识拓展 把表示正切、正弦、余弦的三个比 , , 取倒数,那么又得到三个比,其中:
(1)比值 叫作角α的余切,记作cot α;
(2)比值 叫作角α的余割,记作csc α;
(3)比值 叫作角α的正割,记作sec α.
cot α,csc α,sec α分别叫作余切函数、余割函数、正割函数.它们也都称为三角函数.
简记为“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.
知识点 2 三角函数值在各象限的符号
1.有向线段
规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段;对于有向线段AB,把它的长度
添上正号或负号,这样所得的数,叫作有向线段的数量,记作AB.
2.三角函数线
设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于点P,过点P作x轴的垂线PM,垂足
为M,过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于点T.单位圆中的有向线段MP,
OM,AT分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线,记作sin α= ,cos α= ,tan α= .当角α
终边在不同象限时,其三角函数线如图(1)(2)(3)(4)所示:
知识点 3 三角函数线
1.角α的三角函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关
2.三角函数值在各象限的符号由什么决定
3.若sin α>0,则角α一定是第一或第二象限角吗
4.三角函数线的长度等于三角函数值吗
知识辨析
1.无关.三角函数值是比值,是一个实数,它的大小只与角α的终边位置有关.
2.由角的终边上异于原点的一点P(x,y)的横、纵坐标决定.正、余弦函数值的符号分别取决
于纵坐标y、横坐标x的符号,正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的,当x,y同号时为正,
异号时为负.
3.不一定.当角α的终边落在y轴的非负半轴上时,也有sin α>0.
4.不等于.三角函数线的长度是指有向线段的长度,一定是非负实数,而三角函数值可正、可
负、可为0,实际上,三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值.
一语破的
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况(单位圆的圆心为原点O):
(1)若已知角α的大小,则只需确定出角α的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值.
(2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)是单位圆上一点,则sin α=y,cos α=x,tan α= .
(3)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)不是单位圆上一点,则先求r= ,再求sin α= ,
cos α= ,tan α= .当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进
行分类讨论.
(4)若角的终边在一条经过原点的直线上时,则选择适当的参数表示直线上的点,参数取不同
的符号确定两条射线,再利用三角函数的定义求解.
关键能力 定点破
定点 1 利用三角函数的概念求值
已知O为坐标原点,角α的终边落在直线y=-3x上,求2sin α+3cos α的值.
典例
思路点拨 在直线y=-3x上任取两点,一点在第四象限,一点在第二象限,然后根据三角函数的
定义求解.
解析: 当角α的终边在第四象限时,取直线y=-3x上一点P1(1,-3),则r1=OP1= = ,sin α= =- ,cos α= = ,
∴2sin α+3cos α=- + =- ;
当角α的终边在第二象限时,取直线y=-3x上一点P2(-1,3),则r2=OP2= ,sin α= ,cos α=- ,
∴2sin α+3cos α= - = .
综上,2sin α+3cos α=± .
判断三角函数值符号的步骤
(1)确定角所在的象限;
(2)利用三角函数值的符号规律,即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”来判断.
定点 2 三角函数值符号的判断
(1)判断sin 2·cos 3·tan 4的符号;
(2)若sin θtan θ>0,且cos θtan θ<0,判断sin θcos θ的符号.
典例
解析: (1)易知2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角,
所以sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0,
所以sin 2·cos 3·tan 4<0.
(2)由sin θtan θ>0,知sin θ与tan θ同号,故θ是第一或第四象限角.
由cos θtan θ<0,知cos θ与tan θ异号,故θ是第三或第四象限角.
综上可知,θ是第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,所以sin θcos θ<0.
方法总结 已知一个角的三角函数值中任意两个的符号,可分别确定出角的终边所在的可能
位置,二者的“交集”即为该角的终边位置,同时应注意终边在坐标轴上的特殊情况.
1.利用三角函数线比较大小
利用三角函数线比较三角函数值的大小时,不仅要看有向线段的长度,还要看方向,其长
度是三角函数值的绝对值,当方向指向坐标轴的正方向时,取正实数值,当方向指向坐标轴的
负方向时,取负实数值.
2.利用三角函数线解不等式
利用三角函数线求解不等式时,通常采用数形结合的方法,求解关键是恰当寻求点.一般
来说,对于sin α≥b,cos α≥a(或sin α≤b,cos α≤a),只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点
和交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的角α的范围;对于tan α≥c
(或tan α≤c),取点(1,c),连接该点和原点并反向延长,即得角的终边所在的位置,结合图形可确
定相应的角α的范围.
定点 3 三角函数线的应用
注意:确定区域时,可以将终边绕原点顺时针(或逆时针)转动,观察函数值的变化,从而确定符
合条件的区域.
在(0,2π)上,利用单位圆,得到cos x>sin x>tan x成立的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
典例
C
解析 在单位圆中,设∠AOM=x,则AM=sin x,OM=cos x,TN=tan x.如图①②③④所示,
由图①可得,在第一象限内,sin x,cos x,tan x均大于0,TN>AM,即tan x>sin x,以 为分界线,当0< 时,OM>AM,即cos x>sin x;
当 OM,即sin x>cos x.
所以cos x>sin x>tan x在第一象限内无解.
由图②可得,在第二象限内,sin x>0,cos x,tan x均小于0,所以cos x>sin x>tan x在第二象限内无
解.
由图③可得,在第三象限内,sin x,cos x均小于0,tan x>0,所以cos x>sin x>tan x在第三象限内无
解.
由图④可得,在第四象限内,cos x>0,sin x,tan x均小于0,且TN>AM,即sin x>tan x,所以 cos x>sin x>
tan x在第四象限内有解,此时使cos x>sin x>tan x成立的x的取值范围是 综上,x的取值范围是 .故选C.
