7.2.2 同角三角函数关系
基础过关练
题组一 利用同角三角函数关系式求值
1.已知α∈,且cos α=-,则tan α=( )
A.- B.- C.- D.-
2.已知tan α=-2,且0<α<π,则cos α-sin α的值为( )
A.- B.- C.- D.
3.已知sin α=,则sin4α-cos4α的值为( )
A.- B.- C. D.
4.(多选题)已知α为锐角,且 cos α-sin α=,则下列选项中正确的有( )
A.α∈ B.tan α=
C.sin αcos α= D.sin α+cos α=
题组二 齐次式的求值问题
5.已知2sin θ-cos θ=0,则=( )
A.1 B. C.2 D.3
6.若=-,则tan α的值为( )
A. B.- C. D.-
7.(教材习题改编)已知tan α=3,则sin2α-sin αcos α-2cos2α=( )
A.- B. C.- D.
题组三 利用同角三角函数关系式化简与证明
8.设θ为第二象限角,则的值为( )
A.1 B.-1 C.±1 D.cos θ
9.化简cos2x的结果是( )
A.tan x B.sin x C.cos x D.
10.已知sin α+cos α=,则tan α+的值为( )
A.-1 B.-2 C. D.2
11.求证:sin θ(1+tan θ)+cos θ=+.
能力提升练
题组一 利用同角三角函数关系式求值
1.已知-<α<0,=,则sin α=( )
A.- B.- C.- D.-
2.(多选题)已知θ∈(0,π),且满足sin θ·cos θ=-,|sin θ|>|cos θ|,则下列结论正确的是( )
A.θ∈ B.tan θ=-
C.cos θ= D.sin θ+cos θ=
3.若sin α=,cos α=,则tan α= .
4.已知sin θ,cos θ是方程2x2-(-1)x+m=0的两个实数根.
(1)求实数m的值;
(2)求+的值;
(3)若θ∈,求cos2θ-sin2θ的值.
题组二 齐次式的求值问题
5.已知函数f(x)=loga(x-2)-6(a>0且a≠1)的图象过定点A,且点A在角θ的终边上,则(3sin θ-2cos θ)2-4=( )
A.- B. C.5 D.
6.已知sin α+2cos α=,则=( )
A.-3 B.- C.- D.
7. 已知sin α+cos α=-,α∈(0,π),则tan α= .
题组三 利用同角三角函数关系式化简与证明
8.若π<α<,则+的化简结果是( )
A. B.- C. D.-
9.化简:-2sin α+cos2αsin α= .
10.(1)证明:-=;
(2)已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.
答案与分层梯度式解析
7.2.2 同角三角函数关系
基础过关练
1.C 因为cos α=-,α∈,
所以sin α===,
所以tan α==-.故选C.
2.A 因为tan α=-2,且0<α<π,所以α∈,
又tan α==-2,sin2α+cos2α=1,
所以sin α=,cos α=-.
则cos α-sin α=--=-.故选A.
3.B 易知cos2α=1-sin2α=1-=,∴sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=1×=-.
4.CD 因为cos α-sin α=>0,所以cos α>sin α,而α为锐角,所以α∈,故A错误;
因为cos α-sin α=,所以(cos α-sin α)2=,即cos2α+sin2α-2cos αsin α=,所以cos αsin α=,故C正确;
因为α为锐角,所以sin α+cos α===,故D正确;
由解得所以tan α=,故B错误.故选CD.
5.D 由题意可得tan θ=,则==3.
故选D.
6.D 因为==-,
所以tan α=-.故选D.
7.B sin2α-sin αcos α-2cos2α
=
=
==.故选B.
8.B ∵θ为第二象限角,∴cos θ<0,
又∵sin2θ+cos2θ=1,
∴==-1.故选B.
9.D 原式=cos2x=·cos2x==.
10.D ∵sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=2,即1+2sin αcos α=2,∴sin αcos α=,
∴tan α+=+==2.
11.证明 左边=sin θ+cos θ=sin θ+++cos θ=+=+=右边,所以原等式成立.
能力提升练
1.C 由=,得=,
因为-<α<0,所以sin α<0,
故=,解得cos α=,
所以sin α=-=-.故选C.
2.BD 因为θ∈(0,π),且满足sin θ·cos θ=-<0,所以sin θ>0,cos θ<0,所以θ∈,又|sin θ|>|cos θ|,所以θ∈,故A错误;
因为sin2θ+cos2θ=1,所以sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ=1-=,sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ=1+=,
所以(sin θ+cos θ)2=,(sin θ-cos θ)2=,
因为|sin θ|>|cos θ|,sin θ>0,cos θ<0,所以sin θ+cos θ=①,sin θ-cos θ=②,故D正确;
联立①②,解得sin θ=,cos θ=-,所以tan θ==-,故B正确,C错误.故选BD.
3.答案 0或
解析 因为sin2α+cos2α=1,
所以+==1,
整理可得,m2-2m-3=0,解得m=-1或m=3,
当m=-1时,sin α=0,cos α=-1,tan α==0;
当m=3时,sin α=,cos α=,tan α==.
综上所述,tan α=0或tan α=.
4.解析 (1)由题意得
由(sin θ+cos θ)2=,得1+2sin θcos θ=1+m=,所以m=-.
(2)+=+==sin θ+cos θ=.
(3)由(1)知m=-,则sin θcos θ=-,
所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1+==.
因为θ∈,所以cos θ>0,sin θ<0,
所以cos θ-sin θ=,又sin θ+cos θ=,
所以cos2θ-sin2θ=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ)=.
5.B 易得A(3,-6),所以tan θ=-2,所以(3sin θ-2cos θ)2-4=9sin2θ-12sin θcos θ+4cos2θ-4=5sin2θ-12sin θcos θ====.故选B.
6.C 因为sin α+2cos α=,
所以(sin α+2cos α)2=,
即sin2α+4sin αcos α+4cos2α=,
即=,
所以=,即3tan2α-8tan α-3=0,
解得tan α=3或tan α=-.
因为=,
所以当tan α=3时,原式=-,
当tan α=-时,原式=-.故选C.
7.答案 -
解析 由sin α+cos α=-可得1+2sin αcos α=,故sin αcos α=-,
又sin αcos α==,
所以=-,解得tan α=-或tan α=-,
因为sin αcos α=-<0,α∈(0,π),
所以sin α>0,cos α<0,
又sin α+cos α=-<0,所以|sin α|<|cos α|,
因此|tan α|<1,故tan α=-.
8.D +
=+
=+,
因为π<α<,所以cos α<0,1+sin α>0,1-sin α>0,
故原式=+=--=-.故选D.
9.答案
解析 原式=(sin α-2sin αcos2α+cos4αsin α)
=(1-2cos2α+cos4α)=
==.
10.证明 (1)左边=
=
=
=
==右边,
所以原等式成立.
(2)因为tan2α=2tan2β+1,所以tan2α+1=2tan2β+2,所以+1=2,所以+1=2,所以=,所以cos2β=2cos2α,所以1-sin2β=2(1-sin2α),即sin2β=2sin2α-1.
(
1
)(共15张PPT)
1.平方关系式:sin2α+cos2α=1.
2.商数关系式:tan α= α≠ +kπ,k∈Z .
7.2 三角函数概念
知识点 同角三角函数的基本关系式
7.2.2 同角三角函数关系
必备知识 清单破
1.对任意角α,sin2 +cos2 =1都成立吗
2.因为sin2 +cos2 =1,所以对于任意的角α,角β都有sin2α+cos2β=1成立吗
3.对任意角α, =tan 都成立吗
知识辨析
1.成立.平方关系中强调角是任意的.
2.不一定.平方关系中强调的是同一个角.
3.不一定.当α=π时,cos =0,原式不成立.
一语破的
1.已知某三角函数值求同角的其余三角函数值
(1)若给出角所在的象限,则直接利用平方关系式及商数关系式求解.
(2)若未给出角所在的象限,则需根据已知的三角函数值确定角所在的象限,然后利用平方关
系式及商数关系式求解.若角所在的象限不确定,则需对角所在的象限分类讨论.
2.利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值
若已知sin α±cos α,sin αcos α 中的一个,则可以利用方程思想求得另一个,进一步求得sin α,
cos α 的值,从而解决相关问题.涉及的三角恒等式有:
(1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α;
(2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α;
(3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2;
关键能力 定点破
定点 1 利用同角三角函数的基本关系式求值
(4)(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin α·cos α.
已知sin α+cos α= ,α∈(0,π).
(1)求2sin αcos α的值;
(2)求sin α-cos α的值;
(3)求sin α,cos α,tan α的值.
典例
思路点拨 (1)将sin α+cos α= 的等号的两边同时平方后化简即可得到2sin α·cos α的值.
(2)结合(1)中2sin αcos α的值及α∈(0,π)判断α所在的象限,然后结合三角恒等式的变形即可得
到sin α-cos α的值.
(3)建立关于sin α,cos α的方程组,解方程组求出sin α,cos α的值,进而可求出tan α的值.
解析 (1)∵sin α+cos α= ,
∴(sin α+cos α)2= ,
即1+2sin αcos α= ,
∴2sin αcos α=- .
(2)由(1)知2sin αcos α=- <0,
又α∈(0,π),
∴sin α>0,cos α<0,
∴α∈ ,
∴sin α-cos α= = .
(3)由题意及(2)得
解得
∴tan α= =- .
1.已知tan α=m, 求形如 的式子的值,方法是将分
子、分母同时除以cos α (或cos2α),化成关于tan α 的式子,再代入求值.
2.已知tan α=m,求形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子的值,方法是将其转化为分母是1的分
式,利用1=sin2α+cos2α 进行代替后,分子、分母同时除以cos2α,得到关于tan α 的式子,再代入求
值.
定点 2 齐次式的求值问题
已知 <α<π,tan α+ =- .
(1)求tan α的值;
(2)求 的值;
(3)求2sin2α-sin αcos α-3cos2α的值.
典例
解析 (1)因为 <α<π,所以-1又tan α+ =- ,所以3tan2α+10tan α+3=0,解得tan α=- 或tan α=-3(舍去).
(2)由(1)知tan α=- ,
所以 = = =- .
(3)由(1)知tan α=- ,所以2sin2α-sin αcos α-3cos2α= = =
=- .
1.利用同角三角函数关系化简的方法
(1)化切为弦,即把正切函数化成正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.
(2)对于含有根号的三角函数式,常把根号下的式子化成完全平方式,然后去根号,达到化简的目的.
(3)对于含高次的三角函数式,往往借助因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数式的次数,
达到化简的目的.
2.利用同角三角函数关系证明三角恒等式的方法
(1)从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简;
(2)左右归一法,即证明左右两边都等于同一个数或式子;
(3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,通过变形,以消除差异;
定点 3 利用同角三角函数关系进行化简与证明
(4)变更命题法,如要证明 = ,可证ad=bc或证 = 等;
(5)比较法,即设法证明“左边-右边=0”或“ =1(右边≠0)”.
若sin α·tan α<0,化简 + .
典例1
思路点拨 先确定cos α的符号,然后利用平方关系式去根号,再进行化简.
解析： ∵sin α·tan α<0,∴cos α<0.
原式= +
= + = +
=- .
求证: = .
典例2
证明 证法一:因为等式右边分母为cos α,所以可将等式左边分子、分母同乘cos α.
左边= =
= = =右边,故原等式成立.
证法二:因为等式左边分母是1-sin α,所以可将等式右边分子、分母同乘(1-sin α).
右边= =
= = =左边,故原等式成立.
证法三:证明等式左、右两边都等于同一个式子.
左边= ,
右边= =
= ,左边=右边,
故原等式成立.
证法四:证明左边-右边=0.
-
=
= = =0,
所以 = .
证法五:为了消去等式左、右两边的差异,在等式左边的分子上凑出1+sin α.
左边= = = = =右边,故原等式成立.
证法六:证明内项积等于外项积.
因为(1-sin α)(1+sin α)=1-sin2α=cos2α,1-sin α≠0,cos α≠0,
所以 = 成立.
