(共16张PPT)
7.2 三角函数概念
7.2.3 三角函数的诱导公式
必备知识 清单破
知识点 三角函数的诱导公式
sin(α+2kπ)=sin α k∈Z 揭示了终边相同的角
的同一三角函数值的
关系
cos(α+2kπ)=cos α tan(α+2kπ)=tan α sin(-α)=-sin α 揭示了终边关于x轴
对称的两个角的同一
三角函数值的关系
cos(-α)=cos α tan(-α)=-tan α sin(π-α)=sin α 揭示了终边关于y轴
对称的两个角的同一
三角函数值的关系
cos(π-α)=-cos α tan(π-α)=-tan α sin(π+α)=-sin α 揭示了终边关于原点
对称的两个角的同一
三角函数值的关系
cos(π+α)=-cos α tan(π+α)=tan α sin =cos α 揭示了终边关于直线
y=x对称的两个角的
三角函数值的关系
cos =sin α sin =cos α cos =-sin α
知识拓展 诱导公式的记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限.
(1)“奇变偶不变”:“奇”“偶”是指k· ±α(k∈Z)中k的奇偶性.当k为奇数时,正弦变余弦,
余弦变正弦;当k为偶数时,函数名不变.
(2)“符号看象限”:在记忆诱导公式时,把α看成锐角,再根据k· ±α(k∈Z)所在的象限及“一
全正,二正弦,三正切,四余弦”的符号规律确定符号.
举例如下:
1.在诱导公式中,角α可以为任意角吗
2.同一三角函数值相等时,角是否一定为终边相同的角
3.若角α和β满足α+β=π,能否判断sin α和sin β的关系
4.若sin <0,且cos >0,则θ为第几象限角
知识辨析
1.正、余弦函数的诱导公式中角α为任意角,但是正切函数的诱导公式中角α的取值必须使公
式中角的正切值有意义.
2.不一定.比如α= ,β= ,sin α=sin β= ,但α与β并不是终边相同的角.
3.能.sin α=sin β.因为β=π-α,所以sin β=sin(π-α)=sin α.
4.θ为第二象限角.因为sin =cos θ<0,cos =sin θ>0,所以θ为第二象限角.
一语破的
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
(1)负化正:化负角为正角;
(2)大化小:将大于2π的角化为区间[0,2π)内的角;
(3)角化锐:将区间 内的角转化为区间 内的角;
(4)锐求值:求所得的锐角的三角函数值.
关键能力 定点破
定点 1 利用诱导公式解决给角求值问题
求下列各式的值:
(1)cos(-120°)sin(-150°)+tan 855°;
(2)sin cos tan .
典例
解析 (1)原式=-cos(180°-60°)sin(180°-30°)+tan(135°+2×360°)
=-(-cos 60°)sin 30°+tan 135°
=cos 60°sin 30°+tan(180°-45°)
=cos 60°sin 30°-tan 45°
= × -1=- .
(2)原式=sin cos tan
=sin cos tan
=sin cos tan
=-sin cos tan
=- × × =- .
解决条件求值问题时,首先要仔细观察条件中的已知式与待求式的角、函数名称及有关
运算之间的差异及联系,再将已知式向待求式转化,或将待求式向已知式转化.
当角比较复杂时,要注意分析已知式与待求式中两个角之间是否具有互余、互补关系,
或分析已知式与待求式中两个角的和、差是不是特殊角等.常见的互余关系: -α与 +α, +
α与 -α 等;常见的互补关系: +α与 -α, +α与 -α等.
可简记为“负角化正角,正角大变小,小角化锐角,锐角去查表”.
定点 2 利用诱导公式解决条件求值问题
(1)已知cos = ,则sin = ;
(2)已知cos = ,则cos -sin2 = .
典例
思路点拨 思路一:观察已知式与待求式中角的关系,用已知式中的角来表示待求式中的角;
思路二:设已知角为新字母,将结论用新字母表示出来,明确角的关系进而求解.
-
-
解析 解法一:(1)∵cos = ,
∴sin =-sin =-sin
=-sin =-cos
=-cos =- .
(2)∵cos = ,
∴cos =cos
=-cos =- ,
sin2 =sin2 =1-cos2 =1- = ,∴cos -sin2 =- - =- .
解法二:(1)设 -α=θ,
则α= -θ,且cos θ= ,
因此sin =sin
=sin =-sin =-cos θ=- .
(2)设 -α=θ,则α= -θ,且cos θ= ,
∴cos -sin2 =cos -sin2 =cos(π-θ)-sin2(-θ)=-cos θ-sin2θ=-cos θ
-1+cos2θ=- -1+ =- .
1.化简三角函数式的方法和技巧
(1)方法:化简三角函数式的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系,灵活应用相关
的公式及其变形解决问题.
(2)技巧:①异名化同名;②异角化同角;③弦切互化.
2.证明三角函数式的常用方法
(1)由左边推至右边或由右边推至左边,遵循的是化繁为简的原则.
(2)证明左边=A,右边=A,则左边=右边,这里的A起着桥梁的作用.
(3)通过作差或作商证明,即证左边-右边=0或 =1(右边≠0).
定点 3 利用诱导公式化简、证明三角函数式
设tan =m,求证:
= .
典例
证明： 证法一:
左边=
=
= = =右边,故等式得证.
证法二:由tan =m,得tan =m.
左边=
=
=
= = =右边,故等式得证.7.2.3 三角函数的诱导公式
基础过关练
题组一 利用诱导公式解决给角求值问题
1.cos 840°的值为( )
A.- B. C.- D.
2.(教材习题改编)已知角α的终边经过点P(1,),则cos=( )
A.- B.- C. D.
3.若α=,则+=( )
A.4 B.2 C. D.
4.设a=sin(-870°),b=tan,c=lg,则( )
A.a
题组二 利用诱导公式解决条件求值问题
5.在平面直角坐标系中,角α的顶点在坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边过点P(x,4),且tan(-π+α)=-2,则cos α=( )
A.- B.-
C. D.
6.已知sin(3π+α)=,则cos=( )
A. B.- C.- D.
7.已知sin(5π+θ)=2sin,则+sin2θ的值为( )
A. B. C. D.
8.已知sin=,则cos=( )
A. B.- C.- D.
题组三 利用诱导公式化简、证明恒等式
9.化简:得( )
A.sin 2+cos 2 B.cos 2-sin 2
C.sin 2-cos 2 D.±(cos 2-sin 2)
10.化简:= .
11.求证:=.
能力提升练
题组一 利用诱导公式解决条件求值问题
1.已知cos(508°-α)=,则cos(212°+α)=( )
A.- B. C.- D.
2.已知cos=,则2sin+cos=( )
A.-2 B.2 C.- D.
3.已知cos=-,α∈,则cos的值为( )
A.- B.- C. D.
4.已知α是第四象限角,且3sin2α=8cos α,则cos=( )
A.- B.- C. D.
5.已知sin α是方程5x2-7x-6=0的一个实数根,且α为第三象限角,则·tan2(π-α)= .
题组二 利用诱导公式化简、证明恒等式
6.化简:= .
7. 求证:
=-tan θ.
8.求证:sin=cos2nπ+(-1)n·(n∈Z).
答案与分层梯度式解析
7.2.3 三角函数的诱导公式
基础过关练
1.A cos 840°=cos(2×360°+120°)=cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60°=-.故选A.
2.A cos=-sin α=-=-.故选A.
3.A 由题意知,sin α=sin=sin=-sin=-,
所以+=+
=+
=+
=2++2-=4.故选A.
4.C a=sin(-870°)=-sin 870°=-sin(2×360°+150°)=-sin 150°=-sin(180°-30°)=-sin 30°=-,b=tan=tan=tan=-tan=-1,
因为lg所以-1从而b5.B 由tan(-π+α)=-2,得tan α=-2,即=-2,∴x=-2,∴P(-2,4),故cos α==-,故选B.
6.D 由诱导公式得sin(3π+α)=sin(π+α)=-sin α=,故cos=-sin α=.故选D.
7.C 因为sin(5π+θ)=2sin,
所以-sin θ=-2cos θ,所以tan θ=2,
则+sin2θ=+=+=+=.故选C.
8.B cos=cos=-sin=-.故选B.
解题模板 解决条件求值问题的关键是找到已知式和待求式中角的关系,根据此关系结合诱导公式进行转化,从而达到求值的目的.
9.C
=
=
=
=|sin 2-cos 2|,
又因为2是第二象限角,所以sin 2>0,cos 2<0,
所以|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2.故选C.
10.答案 -tan α
解析 原式=
=-=-tan α.
11.证明 左边=
==
===右边,
所以原等式成立.
能力提升练
1.B 解法一:因为cos(508°-α)=cos(360°+148°-α)=cos(148°-α)=,
所以cos(212°+α)=cos(360°+α-148°)=cos(α-148°)=cos(148°-α)=.
解法二:cos(212°+α)=cos[720°-(508°-α)]=cos(508°-α)=.
2.A 令m=θ-,则θ=m+,
∴2sin+cos
=2sin+cos
=2sin+cos(m+3π)=-3cos m,
∵cos=,∴cos m=,
∴原式=-3cos m=-2.
故选A.
3.D 因为α∈,所以α+∈,
由cos=-,得sin==,
故cos=cos=sin=.
故选D.
4.A ∵3sin2α=8cos α,∴cos α=,
∴sin2α+=1,
整理,得9sin4α+64sin2α-64=0,解得sin2α=.
又∵α是第四象限角,∴sin α=-,
∴cos=cos
=-cos=sin α=-.
5.答案 -
解析 设方程5x2-7x-6=0的两根分别为x1,x2,解方程5x2-7x-6=0,得x1=-,x2=2.
因为α是第三象限角,所以sin α=-,
所以cos α=-,所以tan α==,
所以·tan2(π-α)
=·tan2α=-tan2α=-.
6.答案 -1
解析 原式
=
=
=
=
==-1.
7.证明 左边=
==-tan θ=右边,
所以原等式成立.
8.证明 ①当n=2k,k∈Z时,
左边=sin=sin=,
右边=cos=cos=,
左边=右边,则原等式成立;
②当n=2k+1,k∈Z时,
左边=sin=sin=sin=,
右边=cos2(2k+1)π+(-1)2k+1·=cos=cos=,
左边=右边,则原等式成立.
综上,sin=cos2nπ+(-1)n·(n∈Z).
(
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